1.7.2定积分在物理中的应用教学设计

我们知道，作变速直线运动的物体所经过的路程s ，等于其速度函数)(t v v = (0)(≥t v ) 在时间区间[a,b]上的定积分，即⎰

=

b

a

dt t v s )(。试回答下面的问题：

问题1：当0)(≥t v 时，路程和位移是否相同？能否直接用定积分来求？ 问题2：当0)(

a

dt t v )(表示的是路程吗？如果不是，

那它表示的是什么？ 问题3：如果定积分

⎰b

a

dt t v )(表示的不是路程，应该怎么求路程？

问题4：如果在区间[a,b]上，速度有正有负，比如，当],[c a t ∈ 时，0)(≥t v ；当],[b c t ∈时，0)(

又应该怎么求路程？

情境二：通过以上的探索，你是如何认识变速直线运动的路程和位移这两个物理量的？（小组讨论，最后形成结论后，由小组代表阐述本组最终观点，跟其它各组比较，体会相互沟通、交流的乐趣和必要性） 问题1：用定积分解决变速直线运动的路程和位移问题时的关键是什么？（分清物体的运动状态，明确运动状态改变的“节点”） 总结：求变速直线运动的路程s 和位移1s 的方法： （1）若)(0)(b t a t v ≤≤≥，则⎰

==b

a

dt t v s s )(1；

（2）若)(0)(b t a t v ≤≤≤，则⎰

-

=b

a

dt t v s )(；⎰=b a

dt t v s )(1。

（3）若在区间],[c a 上0)(≥t v ，在区间],[b c 上0)(

-=

b c

c

a

dt t v dt t v s )()(，⎰=b

a

dt t v s )(1

对于给出速度—时间曲线的问题，关键是由图像得到速度的解析式及积分的上、下限，若是分段函数，则需要先分别求出各段上的路程，然后再求和。 例1：一辆汽车的速度—时间曲线如图所示，求汽车在这1分钟内行驶的路程。

情境三： 变力作功 一物体在恒力F （单位：N ）的作用下做直线运动，如果物体沿着与F 相同的方向移（单位：m)，则力F 所作的功为W=Fs .如果物体在变力 F(x ）的作用下做直线运动，并且物体沿着与 F (x) 相同的方向从x =a 移动到x=b (a

与求曲边梯形的面积和求变速直线运动的路程一样，可以用“四步曲”解决变力做功的问题。可以得到

⎰=b

a

dx x F W )(

例2：如图，在弹性限度内，将一弹簧从平衡位置拉到离平衡位置lm 处，求克服弹力所

作的功．

解：在弹性限度内，拉伸（或压缩）弹簧所需的力 F ( x ）与弹簧拉伸（或压缩）的长度 x 成正比，即 F ( x ）= kx , 其中常数 k 是比例系数．由变力作功公式，得到

22

0011|()22

l

l W kxdx x kl J ==

=⎰

答：克服弹力所作的功为2

12kl J .

总结：

（1）求变力做功，要根据物理学的实际意义，求出变力F 的表达式，这是求功的关键。

（2）由功的物理意义，已知物体在变力)(x F 的作用下，沿力)(x F 的方向做直线运动，使物体从a x =移到b x =

（b a <）。因此，求功之前还应求出位移的起始位置和终止位置。 （3）根据变力做功公式⎰=

b

a

dx x F W )( 即可求出变力)(x F 所做的功。

情境四：定积分在物理上的综合应用 【课堂练习】： 1.A 、B 两站相距7.2km ，一辆电车从A 站B 开往站，电车开出ts 后到达途中C 点，这一段的速度为1.2t(m/s)，到C 点的速度为24m/s ，从C 点到B 点前的D 点以等速行驶，从D 点开始刹车，经ts 后，速度为（24-1.2t ）m/s ，在B 点恰好停车，试求：（1）A 、C 间的距离；（2）B 、D 间的距离；（3）电车从A 站到B 站所需时间。

t/s

v(m/s) O A B C

10 40

60

50

20 30 30 20 10

2.直径为20cm ，高为80cn 的圆柱体内充满压强为10N/cm 2

的蒸气，设温度保持不变，要使蒸气的体积缩小为原来的一斗，求需要做多少功？ 习题设计：

1.一质点沿直线以23+=t v （t 的单位：s ；v 的单位：m/s ）的速度运动，则该质点在第3a 到第6s 间的运动路程为（ ）A.46m B.46.5m C.87m D.47m （知识点1，易）

2.一物体在力523)(2

+-=x x x F （力的单位：N ；位移的单位：m ）作用下沿与力)(x F 相同的方向由m x 5=直线运动到m x 10=处，作用力)(x F 所做的功为（ ） A.925J B.850J C.825J D.800J （知识点2，易）

3.一物体以)/(83)(2

s m t t t v +-=的速度运动，则其在前30s 内的平均速度为 （知识点3，中）

4.有一动点P 沿x 轴运动，在时间t 时的速度为2

28)(t t t v -=（速度的正方向与x 轴的正方向一致）求：（1）点P 从原点出发，当6=t 时，求点P 离开原点的路程和位移；

（2）点P 从原点出发经时间t 后又返回原点时的t 值。 （知识点1，中） 5.一物体在力2

315)(x x F -=（力的单位：N ；位移的单位：m ）作用下沿与力)(x F 成

30角的方向由1=x 直线运动到2=x 处，作用力)(x F 所做的功为（ ） （知识点2，难）

A. J 3

B. J 32

C. J 34

D.

J 2

3