47、2020同步人A数学必修第一册新教材课时分层作业43 单调性与最值 Word版含解析
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课时分层作业(四十三) 单调性与最值
(建议用时：60分钟)
[合格基础练]
一、选择题
1．下列函数中，周期为π，且在⎣⎢⎡⎦
⎥⎤π4，π2上为减函数的是( ) A ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫2x ＋π2 B ．y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2 C ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2 D ．y ＝cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫x ＋π2 A [对于选项A ，注意到y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝cos 2x 的周期为π，且在⎣⎢⎡⎦
⎥⎤π4，π2上是减函数．]
2．下列关系式中正确的是( )
A ．sin 11°<cos 10°<sin 168°
B ．sin 168°<sin 11°<cos 10°
C ．sin 11°<sin 168°<cos 10°
D ．sin 168°<cos 10°<sin 11°
C [由诱导公式，得cos 10°＝s i n 80°，s i n 168°＝s i n (180°－12°)＝s i n 12°，由正弦函数y ＝s i n x 在[0°，90°]上是单调递增的，所以sin 11°<sin 12°<sin 80°，即sin 11°<sin 168°<cos 10°.故选C.]
3．函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫x －π3，x ∈[－π，0]的单调递增区间是( ) A.⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－π，－5π6 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π6，－π6 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，0 D.⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－π6，0 D [令2k π－π2≤x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，
解得2k π－π6≤x ≤2k π＋56π，k ∈Z ，
又－π≤x ≤0，∴－π6≤x ≤0，
故选D.]
4．函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，x ∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤0，π2的值域是( ) A.⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－32，12 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，32 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，1 D.⎣⎢⎡⎦
⎥⎤12，1 B [因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3，所以y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－12，32.] 5．设函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫ωx ＋φ＋π4(ω＞0，|φ|＜π2)的最小正周期为π，且是偶函数，则( )
A ．f (x )在⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，π2单调递减 B ．f (x )在⎝ ⎛⎭
⎪⎫π4，3π4单调递减 C ．f (x )在⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，π2单调递增 D ．f (x )在⎝ ⎛⎭
⎪⎫π4，3π4单调递增 A [由条件知ω＝2. ∵f (x )是偶函数且|φ|＜π2，∴φ＝π4，
这时f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫2x ＋π2＝2cos 2x . ∵x ∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，π2时，2x ∈(0，π)， ∴f (x )在⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，π2上单调递减．] 二、填空题
6．y ＝a cos x ＋1的最大值为5，则a ＝________.
±4 [∵|a |＋1＝5，∴|a |＝4，∴a ＝±4.]
7．将cos 150°，sin 470°，cos 760°按从小到大排列为_________．
cos 150°＜cos 760°＜sin 470° [cos 150°＜0，s i n 470°＝s i n 110°＝cos 20°＞0，cos 760°＝cos 40°＞0且cos 20°＞cos 40°，所以cos 150°＜cos 760°＜s i n 470°.]
8．已知函数y ＝sin πx 3在区间[0，t ]上至少取得2次最大值，则正整数t 的最小
值是________．
8 [因为T ＝2ππ3
＝6.
所以在[0，＋∞)第一次出现最大值x ＝64＝32，
第二次出现最大值x ＝152，
所以t ≥152.
又因为t ∈Z ，
所以t 的最小值为8.]
三、解答题
9．求下列函数的单调递增区间．
(1)y ＝13sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π6－x ，x ∈[0，π]； (2)y ＝log 12sin x .
[解] (1)由y ＝－13sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫x －π6的单调性， 得π2＋2k π≤x －π6≤3π2＋2k π，k ∈Z ，
即2π3＋2k π≤x ≤5π3＋2k π，k ∈Z .
又x ∈[0，π]，故2π3≤x ≤π.
即单调递增区间为⎣⎢⎡⎦
⎥⎤2π3，π.
(2)由sin x ＞0，得
2k π＜x ＜2k π＋π，k ∈Z ，
∴函数的定义域为(2k π，2k π＋π)(k ∈Z )．设u ＝sin x ，则0＜u ≤1，又y ＝log 12
u 是减函数，
∴函数的值域为(0，＋∞)．
∵12＜1，
∴函数y ＝log 12sin x 的递增区间
即为u ＝sin x (sin x ＞0)的递减区间，
故函数y ＝log 12sin x 的递增区间为2k π＋π2，2k π＋π(k ∈Z )．
10．求下列函数的最大值和最小值．
(1)f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，x ∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤0，π2； (2)y ＝－2cos 2
x ＋2sin x ＋3，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，5π6. [解] (1)当x ∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤0，π2时， 2x －π6∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－π6，5π6，由函数图象(略)知， －12≤sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫2x －π6≤1， 所以，f (x )在⎣⎢⎡⎦
⎥⎤0，π2上的最大值和最小值分别为1，－12. (2)y ＝－2(1－sin 2x )＋2sin x ＋3
＝2sin 2x ＋2sin x ＋1
＝2⎝ ⎛⎭
⎪⎫sin x ＋122＋12. ∵x ∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤π6，5π6，
∴12≤sin x ≤1.
当sin x ＝1时，y max ＝5；
当sin x ＝12时，y min ＝52.
[等级过关练]
1．函数f (x )＝15sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫x －π6的最大值为( ) A.65
B ．1 C.35
D.15
A [∵⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫π6－x ＝π2， ∴f (x )＝15sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫x －π6 ＝15sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π6－x ＝15sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫x ＋π3 ＝65sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫x ＋π3≤65. ∴f (x )max ＝65.故选A.]
2．函数f (x )＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫13|cos x |在[－π，π]上的单调递减区间为( ) A.⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－π2，0 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0及⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π C [在[－π，π]上，依据函数图象的对称性可知y ＝|cos x |的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0及⎣⎢⎡⎦
⎥⎤π2，π，而f (x ) 依|cos x |取值的递增而递减，故⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0及⎣⎢⎡⎦
⎥⎤π2，π为f (x )的单调递减区间．]
3．函数y ＝sin x 的定义域为[a ，b ]，值域为⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－1，12，则b －a 的最大值是________．
4π3 [因为函数y ＝s i n x ，x ∈[a ，b ]的最小值和最大值分别为－1和12.
不妨在一个区间[0,2π]内研究，可知sin π6＝sin 5π6＝12，sin 3π2＝－1，
结合图象(略)可知(b －a )min ＝3π2－5π6＝2π3，(b －a )max ＝13π6－5π6＝4π3.]
4．若函数f (x )＝sin ωx (0＜ω＜2)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上单调递增，在区间⎣⎢⎡⎦
⎥⎤π3，π2上单调递减，则ω等于________．
32 [根据题意知f (x )在x ＝π3处取得最大值1，
∴sin ωπ3＝1，
∴ωπ3＝2k π＋π2，k ∈Z ，即ω＝6k ＋32，k ∈Z .
又0＜ω＜2，∴ω＝32
.] 5．已知函数f (x )＝sin(2x ＋φ)，其中φ为实数，且|φ|＜π.若f (x )≤⎪⎪⎪⎪
⎪⎪f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6对x ∈R 恒成立，且f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2＞f (π)，求f (x )的单调递增区间． [解] 由f (x )≤⎪⎪⎪⎪
⎪⎪f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6对x ∈R 恒成立知， 2·π6＋φ＝2k π±π2(k ∈Z )．
∴φ＝2k π＋π6或φ＝2k π－5π6(k ∈Z )．
∵|φ|＜π，得φ＝π6或φ＝－5π6，
又∵f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2＞f (π)，∴φ＝－5π6， 由2k π－π2≤2x －5π6≤2k π＋π2(k ∈Z )，
得f (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦
⎥⎤k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z )．。
