陪集与拉格朗日定理+循环群(屈版)

群的子群反映了群的结构和性质，本节将用子群对群做一个划分，从而得到关于群与子群的一个重要定理：拉格朗日定理。

主要内容：z陪集定义z陪集基本性质（4个定理+1个推论）z拉格朗日定理及其推论1定义：设H是G的子群，a∈G. 令 Ha={ha | h∈H}称Ha是子群H在G中的右陪集. 称a为Ha的代表元素.例：设G={e,a,b,c}是Klein四元群，H=<e,a>是G的子群.H所有的右陪集是：He={e,a}=H, Ha={a,e}=HHb={b,c}, Hc={c,b}可以看出：1) 不同的右陪集只有两个，且He= Ha , Hb=Hc,Ha∩Hb=Φ2) {Ha, Hb}是G的一个划分3) |H|=|Ha|=|Hb|2定理1设H是群G的子群，则(1) He = H(2) ∀a∈G 有a∈Ha证(1) He = { he | h∈H } = { h | h∈H } = H(2) ∀a∈G，由a = ea 和ea∈Ha 得a∈Ha3定理2设H是群G的子群，则∀a, b∈G 有 a∈Hb ⇔ab−1∈H ⇔Ha=Hb证先证a∈Hb ⇔ab−1∈Ha∈Hb ⇔∃h(h∈H∧a=hb)⇔∃h(h∈H∧ab−1=h)⇔ab−1∈H 再证a∈Hb ⇔Ha=Hb.充分性. 若Ha=Hb，由a∈Ha 可知必有a∈Hb.必要性. 由a∈Hb 可知存在h∈H使得a =hb，即b =h−1a任取ha∈Ha，则有1 ha = h1(hb) = (h1h)b∈Hb，从而得到Ha ⊆Hb.1反之，任取hb∈Hb，则有1 hb = h1(h−1a) = (h1h−1)a∈Ha , 从而得到Hb ⊆Ha.1综合上述，Ha=Hb得证.4定理2设H是群G的子群，则∀a, b∈G 有 a∈Hb⇔ab−1∈H ⇔Ha=Hb说明:定理2给出了两个右陪集相等的充要条件右陪集中的任何元素都可以作为它的代表元素a∈Hb⇔Ha=Hb5定理3设H是群G的子群，在G上定义二元关系R：∀a, b∈G, <a,b>∈R ⇔ab−1∈H= Ha.则R是G上的等价关系，且[a]R证先证明R为G上的等价关系.自反性. ∀a∈G，aa−1= e∈H ⇔<a,a>∈R对称性. ∀a, b∈G，则<a,b>∈R⇒ab−1∈H⇒(ab−1)−1∈H⇒ba−1∈H⇒<b,a>∈R传递性. ∀a, b, c∈G，则<a,b>∈R∧<b,c>∈R ⇒ab−1∈H∧bc−1∈H ⇒ac−1∈H ⇒<a,c>∈R= Ha.下面证明：∀a∈G，[a]R∀b∈G，b∈[a]R⇔<a,b>∈R ⇔ab−1∈H ⇔Ha=Hb ⇔b∈Ha67定理3的推论推论设H 是群G 的子群, 则(1) ∀a , b ∈G ，Ha = Hb 或Ha ∩Hb = ∅(2) ∪{Ha | a ∈G } = G证明：由等价类性质可得.定理3设H 是群G 的子群，在G 上定义二元关系R ：∀a , b ∈G , <a ,b >∈R ⇔ab −1∈H则R 是G 上的等价关系，且[a ]R = Ha .左陪集的定义与性质设G是群，H是G的子群，H 的左陪集，即 aH = {ah | h∈H}，a∈G关于左陪集有下述性质：(1) eH = H(2) ∀a∈G，a∈aH(3) ∀a, b∈G，a∈bH ⇔b−1a∈H ⇔aH=bH(4) 若在G上定义二元关系R， ∀a, b∈G，<a, b>∈R ⇔b−1a∈H= aH.则R是G上的等价关系，且[a]R8陪集的基本性质定理4设G是群，H是G的子群，则：(1) ∀a∈G，有|Ha|= |H| = |aH|(2) ∀b∈G，有|Hb|= |H| = |bH|(3) ∀a, b∈G，有|aH| = |bH| =|Ha|=|Hb|说明：从定理4可以看出，如果G是有限群，设|G|=n，则它的子群H也是有限群，设|H|= m，∀a∈G，有|Ha|= |aH| = m.9Lagrange定理定理（Lagrange）设G是有限群，H是G的子群，则 |G| = |H| · [G:H]其中[G:H] 是H在G中的不同右陪集(或左陪集) 数，称为H在G 中的指数.证: 设[G:H] = r，a1, a2,…, ar分别是H 的r 个右陪集的代表元素， G = Ha1∪Ha2∪…∪Har |G| = |Ha1| + |Ha2| + … + |Har|由|Hai| = |H|，i = 1,2,…,r, 得 |G| = |H|·r = |H|·[G:H]拉格朗日定理简言之：G是有限群，H是G的子群，则H的阶整除G的阶.10推论1阶为素数的群G只有平凡子群，而无真子群。

证：因为|G| 是素数，则|H| = 1，|H| = |G| ，所以H只能是G 的平凡子群。

1112推论2设G 是n 阶群，则∀a ∈G ，|a |是n 的因子，且有a n = e . 证：1）任取a ∈G ，则<a >是G 的子群，由拉格朗日定理知<a >的阶是n 的因子. 又<a >是由a 生成的子群，若|a | = r ，则 H = <a > = {a 0=e , a 1, a 2,…, a r −1}这说明<a >的阶与|a |相等, 所以|a |是n 的因子.这说明有限群G 中任意元素的阶都整除群G 的阶。

||||G n k H r==2）设，则a r =e, a n =(a r )k =e .推论3对阶为素数的群G，必存在a∈G使得G = <a>.证: 设|G| = p，p是素数. 由p≥2知G中必存在非单位元.任取a∈G，a ≠e，则<a>是G的子群. 根据拉格朗日定理，<a>的阶是p的因子，即<a>的阶是p或1. 显然<a>的阶不是1，<a>的阶为p，又<a>是G的子集，所以G = <a>.说明：推论3说明素数阶群必定是循环群，并且除单位元（幺元）外的其它元素都是其生成元。

13陪集与拉格朗日定理的难点1、设G是群，H是G的子群，由H可以定义G上的等价关系R：∀a, b∈G, <a,b>∈R ⇔ab−1∈H由该等价关系可以计算等价类，其对应的等价类就是相应= Ha.的右陪集，即[a]R2、拉格朗日定理说明了群与子群之间的关系，因此，应用拉格朗日定理时，首先要构建子群，并通过该子群利用拉格朗日定理得到所要求的结论，如证明元素的阶整除群的阶时（推论2），首先根据该元素构建一个子群（即由该元素的幂组成），该子群的阶等于元素的阶，然后由拉格朗日定理可得元素的阶整除群的阶。

总之，应用拉格朗日定理时，要充分应用子群与群的性质。

145-5 特殊群—阿贝尔群和循环群本节我们主要介绍两类特殊的群：阿贝尔群和循环群，其中循环群是被研究的较透彻的群，是本节的重点和难点。

主要内容：z阿贝尔群–阿贝尔群定义、实例z循环群–循环群定义、实例–循环群分类–循环群的生成元–循环群的子群15阿贝尔群定义如果群<G,＊>中的运算＊是可交换的，则称该群为阿贝尔群，或称交换群.例：,×>等是阿贝尔群, 因数的加法和乘法满足（1）<Z,+>, <R+交换律。

（2）n阶实可逆矩阵的全体, 对矩阵乘法构成了群,但由于矩阵乘法不满足交换律, 因而不是交换群。

16阿贝尔群的性质定理1设<G,＊>是一个群，则<G,＊>是阿贝尔群的充要条件是对任意a, b ∈G 有, (a*b)*(a*b) = (a*a)*(b*b)证明：充分性：对任a，b∈G∵(a*b)*(a*b)=(a*a)*(b*b)∴a-1*(a*b)*(a*b)*b-1=a-1*(a*a)*(b*b)*b-1∴b*a=a*b∴<G,＊>是阿贝尔群必要性：若<G,＊>是阿贝尔群，则a, b ∈G ，a*b=b*a∴a*(a*b)*b = a*(b*a)*b∴(a*a)*(b*b)=(a*b)*(a*b)17定义设G是群，若存在a∈G使得 G={a k| k∈Z}则称G是循环群，记作G=<a>，称a 为G 的生成元.说明：从定义可以看出，如果知道循环群<G,＊>的生成元a，就可以通过计算a的整数幂得到G的所有元素，这就是把a称为<G,＊>的生成元的原因。

从定义还可以看出，计算群的生成元是判别一个群是否是循环群的关键。

18定理2任何一个循环群必定是阿贝尔群，反之不成立。

证明：设G=<a>是循环群，那么∀x, y∈G，必∃r, s∈Z，使得x=a r, y=a s且有x y = a r a s = a r+s = a s+r = a s a r = y x因此G=<a>是一个阿贝尔群。

Klein四元群是交换群，但不是循环群, 在四元群G＝{e, x, y, z}, x2＝y2＝z2＝e, G不是由某个元素生成的.1920循环群实例例：证明整数加法群<Z,+>是个循环群，并求其所有的生成元。

分析：要证明<Z,+>是循环群，就必须说明生成元存在。

不妨设a ∈Z 是生成元，则由生成元的定义，∀n ∈Z ，存在k ∈Z ，使得n=a k =ka特别地，取n=1，则有1=ak又a ，k 都是整数，所以必然有a =1，或a = -1.以上说明，如果a 是生成元，则a 必须是1或-1，因此，还需要进一步验证是否是<Z,+>的生成元。

1±21例：证明整数加法群<Z,+>是个循环群，并求其所有的生成元。

证明：因为∀n ∈Z ，有n n 1111=+++="n n n −−−−−−=−=−++−+−=+++=)1())1(()1()1()1(1111111""所以是生成元，故<Z,+>是循环群，其生成元为-1和1。

1±说明：判别群是否是循环群主要就是计算生成元，而计算生成元有两步：1）假设生成元存在，并根据生成元的定义得到生成元满足的方程，计算这个方程得到解；2）验证计算的结果是否是生成元，如果是，则该群是循环群。

22例：证明模n 的整数加群<Z n ,⊕>是循环群, 并求其所有生成元。

1=+ka ns 所以有，即a 与n 互素。

这说明，如果a 是生成元，则a 与n 互素。

1),gcd(=n a 证明：不妨设a ∈Z n 是生成元，则由生成元的定义，∀m ∈Z n ，存在k ∈Z ，使得m=a k =ka (mod n )特别地，取m=1，则有1=ka (mod n )即存在s ∈Z ，使得23例：证明模n 的整数加群<Z n ,⊕>是循环群, 并求其所有生成元。