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初一数学图形与面积竞赛教程含例题练习及答案

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1 初一数学竞赛讲座 图形与面积 一、直线图形的面积 在小学数学中我们学习了几种简单图形的面积计算方法，数学竞赛中的面积问题不但具有直观性，而且变换精巧，妙趣横生，对开发智力、发展能力非常有益。 图形的面积是图形所占平面部分的大小的度量。它有如下两条性质： 1．两个可以完全重合的图形的面积相等； 2．图形被分成若干部分时，各部分面积之和等于图形的面积。 对图形面积的计算，一些主要的面积公式应当熟记。如： 正方形面积=边长×边长；矩形面积=长×宽；平行四边形面积=底×高； 三角形面积=底×高÷2；梯形面积=（上底+下底）×高÷2。 此外，以下事实也非常有用，它对提高解题速度非常有益。 1．等腰三角形底边上的高线平分三角形面积； 2．三角形一边上的中线平分这个三角形的面积； 3．平行四边形的对角线平分它的面积； 4．等底等高的两个三角形面积相等。 解决图形面积的主要方法有： 1．观察图形，分析图形，找出图形中所包含的基本图形； 2．对某些图形，在保持其面积不变的条件下改变其形状或位置（叫做等积变形）； 3．作出适当的辅助线，铺路搭桥，沟通联系； 4．把图形进行割补（叫做割补法）。 例1 你会用几种不同的方法把一个三角形的面积平均分成4等份吗？ 解：最容易想到的是将△ABC的底边4等分， 如左下图构成4个小三角形，面积都为原来的三

角形面积的41。 另外，先将三角形△ABC的面积2等分（如右 上图），即取BC的中点D，连接AD， 则S△ABD=S△ADC，然后再将这两个小三角 形分别2等分，分得的4个小三角形各

自的面积为原来大三角形面积的41。还 有许多方法，如下面的三种。请你再想出几种不同的方法。 例2 右图中每个小方格面积都是1cm2，那么六边形 ABCDEF的面积是多少平方厘米？ 分析：解决这类问题常用割补法，把图形分成几个简单 的容易求出面积的图形，分别求出面积。 也可以求出六边形外空白处的面积，从总面积中减去空 白处的面积，就是六边形的面积。 2

解法1：把六边形分成6块： △ABC，△AGF，△PEF，△EKD，△CDH和正方形GHKP。用S表示三角形面积，如用S△ABC表示△ABC的面积。

故六边形ABCDEF的面积等于6+2+1+21+4+9=)(21222cm 说明：当某些图形的面积不容易直接计算时，可以把这个图形分成几个部分，计算各部分的面积，然后相加，也就是说，可以化整为零。 解法2：先求出大正方形MNRQ的面积为6×6=36（cm2）。

说明：当某些图形的面积不易直接计算时，可以先求出一个比它更大的图形的面积，再减去比原图形多的那些（个）图形的面积，也就是说，先多算一点，再把多算的部分减去。 解法3：六边形面积等于

S△ABC+S梯形ACDF-S△DEF=6×2×21+（3+6）×4×21-3×1×

21=6+18-121=)(21222cm 3

说明：“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”，从不同的角度去观察同一个图形，会对图形产生不同的认识。一种新的认识的产生往往会伴随着一种新的解法。做题时多想一想，解法就会多起来，这对锻炼我们的观察能力与思考能力大有益处。 例3 如下图所示，BD，CF将长方形ABCD分成4块， △DEF的面积是4cm2，△CED的面积是6cm2。 问：四边形ABEF的面积是多少平方厘米？ 解：如下图，连结BF。则△BDF与△CFD面积相等， 减去共同的部分△DEF，可得△BEF与△CED面积相等， 等于6cm2。

四边形ABEF的面积等于 S△ABD-S△DEF=S△BDC-S△DEF=S△BCE+S△CDE-S△DEF=9+6-4=11（cm2）。

问：两块红色图形的面积和与两块蓝色图形的面积和， 哪个大？ 分析：只需比较△ACE与△BDF面积的大小。因 为△ACE与△BDF的高相等（都是CD），所以只需比 较两个三角形的底AE与BF的大小。

因为△ACE与△BDF高相等，所以S△ACE＞S△BDF。 减去中间空白的小四边形面积，推知两块红色图形的面积和大于两块蓝色图形的面积和。 例5 在四边形ABCD中（见左下图），线 段BC长6cm，∠ABC为直角，∠BCD为135°， 而且点A到边CD的垂线段AE的长为12cm，线 段ED的长为5cm，求四边形ABCD的面积。 解：延长AB，DC相交于F（见右上图）， 则∠BCF=45°，∠FBC=90°，从而∠BFC=45°。 因为∠BFC=∠BCF，所以BF=BC=6（cm）。 4

在Rt△AEF中，∠AFE=45°，所以∠FAE=90°-45°=45°，从而EF=AE=12（cm）。

故S四边形ABCD=S△ADF-S△BCF=102-18=84（cm2）。 说明：如果一个图形的面积不易直接求出来，可根据图形的特征和题设条件的特点，添补适当的图形，使它成为一个新的易求出面积的图形，然 后利用新图形面积减去所添补图形的面积，求出原图形面积。 这种利用“补形法”求图形面积的问题在国内外初中、小学 数学竞赛中已屡见不鲜。 例6 正六边形ABCDEF的面积是6cm2，M，N，P分别是所 在边的中点（如上图）。 问：三角形MNP的面积是多少平方厘米？ 解法1：如左下图，将正六边形分成6个面积为正 1cm2的正三角形，将另外三个面积为1cm2的正三角形分 别拼在边BC，DE，AF外面，得到一个大的正三角形XYZ，其面积是9cm2。 这时，M，N，P分别是边ZX，YZ，Xy的中点，推知

解法2：如右上图，将正六边形分成6个面积为1cm2的正三角形，再取它们各边的中点将每个正三角形分为4个面积为41的小正三角形。于是正六边形

ABCDEF被分成了24个面积为41的小正三角形。因为△MNP由9个面积为41的小正三角形所组成，所以S△MNP=41×9=2.25（cm2） 二、圆与组合图形 以上我们讨论了有关直线图形面积计算的种种方法。现在我们继续讨论涉及圆的面积计算。 1．圆的周长与面积 计算圆的周长与面积，有的直接利用公式计算，有的需要经过观察分析后灵活运用公式计算。主要公式有： （1）圆的周长=π×直径=2π×半径，即C=πd=2πr；

（2）中心角为n°的弧的长度=n×π×（半径）÷180，即1=180rn （3）圆的面积=π×（半径）2，即S=πr2； 5

（4）中心角为n°的扇形面积=n×π×（半径）2÷360，即lrrnS213602 例7 右图是三个半圆（单位：cm），其阴影部分 的周长是多少？ 解：由图可知，阴影部分是由三个直径不同的半 圆周所围成，所以其周长为

说明：实际上，该图形中两个小半圆的直径之和等于大半圆的直径，因而它们的周长也正好等于大半圆的半圆周。 推而广之，若n个小圆的直径之和等于大圆的直径，即：d1+d2+d3+„+dn=D， 那么这些小圆的周长之和也等于大圆的周长，即 πd1+πd2+πd3+„+πdn=π（d1+d2+d3+„+dn）=πD。 例8 某开发区的大标语牌上，要画出如下图所示（图形阴影部分）的三种标点符号：句号、逗号、问号。已知大圆半径为R，小圆半径为r，且R=2r。若均匀用料，则哪一个标点符号的油漆用得多？哪一个标点符号的油漆用得少？

分析：在均匀用料的情形下，油漆用量多少问题可转化为阴影部分的面积大小问题。现在涉及到的基本图形是圆，弄清阴影部分如何由大小圆分割、组合而成，是解该题的关键点和突破口。 解：因为S句号=S大圆-S小圆=πR2-πr2=π（2r）2-πr2=3πr2

说明：留意我们的日常生活，不同于课本的“非常规”问题随处可见，如何把“非常规”问题转化为或近似地转化为“常规”数学问题，需要细心观察、积极思考，考察转化的可能性和转化的途径。像上例那样，认真分析图形的特征和课本图形的基本关系，进一步探讨能否由基本图形分割而成、组合而成。 2．圆与组合图形 在日常生活中，除了经常遇到直线型（如矩形、正方形、三角形、梯形等）以及曲线型（如圆、扇形等）的面积外，还经常遇到不同形状图形叠加而成的组合图形的面积问题。组合图形的面积计算，可以根据几何图形的特征，通过分割、 6

割补、平移、翻折、对称、旋转等方法，化复杂为简单，变组合图形为基本图形的加减组合。 例9 下图中，ABCD是边长为a的正方形，分别以AB， BC，CD，DA为直径画半圆。求这四个半圆弧所围成的阴影 部分的面积。 解：图中阴影部分是由四个半圆的重叠部分构成的，这 四个半圆的直径围成一个正方形。显然，这四个半圆的面积 之和大于正方形的面积，两者的差就是阴影部分的面积。因 此，我们就得到以下的算式：

说明：此例除了用上面的解法外，还可以采用列方程解应用题的方法来解。 如题图，设x和y分别表示相应部分的面积，由图看出

例10 如左下图所示，平行四边形的 长边是6cm，短边是3cm，高是2.6cm， 求图中阴影部分的面积。 分析：本题的图形比较复杂，我们可 以先计算阴影部分的一半（见右上图）。 我们的目标是把图形分解成若干基本图形 的组合或叠合。本题中的基本图形就是大、小两种扇形，以及平行四边形。仔细观察 后得出结论： 右上图中的阴影部分等于

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初中几何竞赛试题及答案

初中几何竞赛试题及答案

初中几何竞赛试题及答案1. 题目：已知三角形ABC中，AB=AC，点D在BC边上，且BD=DC。

求证：AD是角BAC的平分线。

答案：由于AB=AC，根据等腰三角形的性质，我们知道角B等于角C。

又因为BD=DC，所以三角形ABD和三角形ACD是全等的。

根据全等三角形对应角相等的性质，我们可以得出角BAD等于角CAD。

因此，AD是角BAC的平分线。

2. 题目：在一个矩形ABCD中，E是边AB上的一点，且AE=2EB。

如果三角形BCE的面积是6平方厘米，求矩形ABCD的面积。

答案：设矩形ABCD的长为a，宽为b。

则三角形BCE的底边BC等于b，高EC等于2/3a。

根据三角形面积公式，三角形BCE的面积为1/2 *BC * EC = 1/2 * b * (2/3)a = 6。

解得ab = 18。

因此，矩形ABCD的面积为ab = 18平方厘米。

3. 题目：如果一个圆的半径增加20%，那么它的面积增加了多少百分比？答案：设原圆的半径为r，那么增加后的半径为1.2r。

原圆的面积为πr^2，增加后的面积为π(1.2r)^2 = 1.44πr^2。

面积增加的百分比为(1.44πr^2 - πr^2) / πr^2 * 100% = 44%。

因此，圆的面积增加了44%。

4. 题目：在直角三角形ABC中，角C为直角。

如果角A的正切值是3/4，求角B的正切值。

答案：在直角三角形ABC中，角A和角B互为余角，即角A + 角B = 90度。

根据正切的定义，tan(A) = 对边/邻边 = 3/4。

由于tan(90度- B) = cot(B) = 1/tan(B)，我们可以得出tan(B) = 4/3。

因此，角B的正切值为4/3。

5. 题目：一个正五边形的内角和是多少度？答案：正五边形有5个内角，每个内角的度数可以通过公式(n-2) * 180度/n计算，其中n为边数。

将5代入公式，我们得到(5-2) * 180度/5 = 540度/5 = 108度。

初一数学竞赛教程含例题练习及答案⑴

初一数学竞赛教程含例题练习及答案⑴

初一数学竞赛讲座第1讲数论的方法技巧（上）数论是研究整数性质的一个数学分支，它历史悠久，而且有着强大的生命力。

数论问题叙述简明，“很多数论问题可以从经验中归纳出来，并且仅用三言两语就能向一个行外人解释清楚，但要证明它却远非易事”。

因而有人说：“用以发现天才，在初等数学中再也没有比数论更好的课程了。

任何学生，如能把当今任何一本数论教材中的习题做出，就应当受到鼓励，并劝他将来从事数学方面的工作。

”所以在国内外各级各类的数学竞赛中，数论问题总是占有相当大的比重。

数学竞赛中的数论问题，常常涉及整数的整除性、带余除法、奇数与偶数、质数与合数、约数与倍数、整数的分解与分拆。

主要的结论有：1．带余除法：若a，b是两个整数，b＞0，则存在两个整数q，r，使得a=bq+r （0≤r＜b），且q，r是唯一的。

特别地，如果r=0，那么a=bq。

这时，a被b整除，记作b|a，也称b是a 的约数，a是b的倍数。

2．若a|c，b|c，且a，b互质，则ab|c。

3．唯一分解定理：每一个大于1的自然数n都可以写成质数的连乘积，即其中p1＜p2＜…＜p k为质数，a1，a2，…，a k为自然数，并且这种表示是唯一的。

（1）式称为n的质因数分解或标准分解。

4．约数个数定理：设n的标准分解式为（1），则它的正约数个数为：d（n）=（a1+1）（a2+1）…（a k+1）。

5．整数集的离散性：n与n+1之间不再有其他整数。

因此，不等式x＜y与x≤y-1是等价的。

下面，我们将按解数论题的方法技巧来分类讲解。

一、利用整数的各种表示法对于某些研究整数本身的特性的问题，若能合理地选择整数的表示形式，则常常有助于问题的解决。

这些常用的形式有：1．十进制表示形式：n=a n10n+a n-110n-1+…+a0；2．带余形式：a=bq+r；4．2的乘方与奇数之积式：n=2m t，其中t为奇数。

例1 红、黄、白和蓝色卡片各1张，每张上写有1个数字，小明将这4张卡片如下图放置，使它们构成1个四位数，并计算这个四位数与它的各位数字之和的10倍的差。

初一数学竞赛教程含例题练习及答案⑼

初一数学竞赛教程含例题练习及答案⑼

初一数学竞赛讲座第9讲应用问题选讲我们知道，数学是一门基础学科。

我们在学校中学习数学的目的，一方面是为学习其它学科和学习更深的数学知识打下一个基础，更重要的是为了现在和将来运用所学的数学知识去解决一些日常生活、科学实验、工农业生产以及经济活动中所遇到的实际问题。

运用数学知识解决实际问题的基本思路是：先将这个实际问题转化为一个数学问题（我们称之为建立数学模型），然后解答这个数学问题，从而解决这个实际问题。

即：这里，建立数学模型是关键的一步。

也就是说，要通过审题，将实际问题与自己学过的数学知识、数学方法联系起来，将其归结到某一类型的数学问题，然后解答这个数学问题。

下面介绍一些典型的数学模型。

一、两个量变化时，和一定的问题两个变化着的量，如果在变化的过程中，它们的和始终保持不变，那么它们的差与积之间有什么关系呢？观察下面的表：我们不难得出如下的规律：两个变化着的量，如果在变化的过程中，和始终保持不变，那么它们的差越小，积就越大。

若它们能够相等，则当它们相等时，积最大。

这个规律对于三个和三个以上的变量都是成立的。

例1 农民叔叔阿根想用20块长2米、宽1.2米的金属网建一个靠墙的长方形鸡窝。

为了防止鸡飞出，所建鸡窝的高度不得低于2米，要使鸡窝面积最大，长方形的长和宽分别应是多少？解：如上图，设长方形的长和宽分别为x米和y米，则有x＋2y＝1.2×20＝24。

长方形的面积为因为x和2y的和等于24是一个定值，故它们的乘积当它们相等时最大，此时长方形面积S也最大。

于是有x=12， y＝6。

例2 如果将进货单价为40元的商品按50元售出，那么每个的利润是10元，但只能卖出500个。

当这种商品每个涨价1元时，其销售量就减少10个。

为了赚得最多的利润，售价应定为多少？解：设每个商品售价为（50+x）元，则销量为（500-10X）个。

总共可以获利:（50＋x-40）×（500-10x）=10×（10+X）×（50-X）（元）。

七年级数学培优专题 专题25 图形面积的计算_答案

七年级数学培优专题 专题25 图形面积的计算_答案

专题25 图形面积的计算例1 196 提示：S △SSS =S △SSS −S △SSS =12×28×（28+14）-12×28×28=12×28×14=28×7=196.例 2 D 提示：设△ABC 底边上的高为h ，则12×BC ×h =24 故h=48SS =484SS =12SS =12SS. 设△ABC 底边DE 上的高为S 1，△BDE 底边DE上的高为S 2，则h =S 1+S 2.∴S △SSS +S △SSS =12∙SS ∙S 1+12∙SS ∙S 2=12∙SS ∙（S 1+S 2）=12∙SS ∙S=12∙SS ∙12SS=6.例3 2cm .提示：设△ABE 的AE 边上的高为hcm ，DE 长为xcm ，则{5S −12S (5+S )=95S =30，解得DE =2.例454提示：2S CES EA==丙甲,2S BE S ED ==丙乙, 12S DE S BE ==丁甲,12S AE S EC ==丁乙. 例51133AEC ABC S S ==V V，1133BGF ABC S S ==V V .设=x PEC S V ，=y PFC S V 则=3x PBC S V ，=3y PCA S V于是133133x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩①+②，得243x y +=（），∴16x y +=，即6=1PECF S .例6 设=a ABCD S Y ，因为E,F 分别是AB,BC 的中点，所以a 4ADE ABF S S ==V V .∴APD BEPF S S =V 四边形.如图，连接EF,DF ，则a a ==82AEF ADF S S V V ，.所以a18=a 42EP PD =. 设xAEP S =V ，则=4xADP S V .由APD BEPFS S =V 四边形得ax=4x 4-. ∴a x=20. ∴a a 4=205APD S =⨯V . 连接AC ，又∵AQ ∥PC ，APQ ACQS S =V V ， ∴a 5ACQ ADQ S S +=V V . ∴a a 3=a 2510CDQ S =-V .连接PB ，则a =20EBP AEP S S=V V . 由1=a 2ABP CDP S S +V V ， 得a a a 3a a 22101010CPQ ABP CDQ S S S =--=--=V V V .∴aPQ 110=3a 310CPQCDQS DQ S ==V V ，从而PQ 1=4PD ，1a=420APQ APD S S =V V .于是a a 3a==201020APQ CPQ APCQ S S S +=+V V 梯形. ∴3=20APCQ ABCDS S Y 梯形.A 级 1.14提示：POC AOE S S =V V ,14ABCD S S =阴影正方形.2. 48.3. ()22a 2π-4. 15.625. 5. B.6. C.7. B.8. C.9. 35 提示:连接EF ，EGFABG S S =V V ,EFH DHC S S =V V .10. 解法一：将△DEK 的面积转化为规则图形的面积之和或差.如图,延长AE 交PK 的延长线于点H.设正方形ABCD ，正方形PKPF 的边长分别a ， b.则DEK ADE CDG PKG FHK ABCD BEFG EHPF S S S S S S S S =++----V V V V V 正方形正方形矩形=()()()()221111a 44b a a 4a a-4b b 4b 4-b 2222++-+--+-=222221111a 164b a 2a a 2a b 2b 2b+b 2222++---+---=16.解法二：运用等积变形转化问题，连接DB,GE,FK.则∠DBA=∠GEB=45°, ∴DB ∥GE,得GED GEB S S =V V ，同理GE ∥FK ，得GEK GEF S S =V V .∴16DEKGED GEK GEB GEF BEFG S S S S S S =+=+==V V V V V 正方形.B 级 1.2212a 3a π-（或22.58a ）.2. 120 提示：设AB=a ，AD=b ，CE=c ，CF=d.则BE=b -c -，DF=a -d ，c=12b ，d= 15a ，cd=8.3. 18.75（π≈3）.4. 8.5 提示：连HD.5. 4812481提示：“生长”n 次后得到n 34⨯边形，面积为原面积的n 114293+-倍.6. B.7. B 提示：过点K 作KH ⊥AB. ∵AB=8，BE=6，∴AE=8+6=14.又∵∠KAE=∠KEA=45°,∴KH=12AE=7.111474922AKE S AE KH =••=⨯⨯=V .8. B 提示：根据正方形的对称性，只需考虑它的14部分即可.9. B.10. ⑴当a ＞1时，即B 在OA 上方时，如图. AOB CBO AOD BCDA S S S S =+-V V V 梯形，∴()()11151a a 22122222=⨯⨯++⨯--⨯⨯，解得a=6.⑵当0≦a ＜1时，即B 在OA 于x 轴之间时，依题意，有()111221a-a 21=5222⨯⨯-⨯⨯⨯+⨯，解得a=-4（不合题意，舍去）.⑶当a ＜0时，即B 在x 轴下方时，有()()()111122a 221a =5222+⨯-⨯-⨯⨯-⨯⨯-，解得a=-4.综上所述，当a=-4或a=6时，5ABO S =V . 11.14AMD AMC S S ==V V . ∵AMG S V 为公共部分, ∴AGD CMG S S =V V .又因为△AMG与△AMD 的高的高相等（以A 为顶点作高），△MCG 与△MCD 的高相等（以C 为顶点作高），∴AMGOMG AMDMCD S S MGS S MD==V V V V ,即141142CMGCMGS S -=V V ，解得：1=6CMG S V .∴11=2=63S ⨯阴影.连BG ，设ABC S S =V ,x DOG S =V ，y BGF S =V .则1332233,,x y S x y S ⎧-=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 解得12421x S y S ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩同理可得：121.EAH FBI S S S ==V V 又13ADC BEA S S ==V V S ，得12532121=-=OCEH HAFI S S S S ⎛⎫= ⎪⎝⎭四形四形 .∴21011321217=--GHI S S S ⎛⎫= ⎪⎝⎭V 故17GHI ABC S S =V V .。