2018_2018学年八年级数学上册第十二章全等三角形12.3角的平分线的性质(1)课时练习(新版)

第十二章12.3角的平分线的性质姓名： ________________________ 班 考号： ________________________ 1. 如图所示，已和一条定长线段在Z/I 防内找一点出使点P 到0A,防的距离都等 于日，作法如下：①在ZAOB 内作防的垂线段NH,使NH 二a, 〃为垂足;②过艸作NM// 0B\③作AAOB 的平分线0P,与翩交于点P;④点戶即为所求.其中③的依据是（）A. 平行线之间的距离处处相等B. 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上C. 角的平分线上的点到角的两边的距离相等D. 线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等2. 如图，〃平分ZAOB, PCLOA, PD10B,垂足分别为C, D,则下列结论中错误的是（）A. PC=PDB. OD=OCC. 乙 DPO 二乙 CPOD. PC=OC 3. 如图，在中，,他平分ZABC, EDI AB 于点D,若AC=5 cm,则AE+DE 等于 ()A. 3 cmB. 4 cm C ・5 cm D.6 cm 4.如图，在中，ZQ90° , ZJ-30°，勿是SBC 的平分线,〃-20,则％的长是A. 20B. 20C.评卷人得分一、选择题 学校:B5. 如图，的外角上BCD,上CBE 的平分线相交于点穴连接你则下列结论正确的是（）6. 如图所示，在△ /D7中，, AC=BQ AD 是ZD1C 的平分线,％丄也垂足为2若7. 如图，已知AB=AC, AE 二AF, BE 与CF 交于点、D,贝I 」:①'ABE^'ACF;②△跑灼△宓;③〃在 Z 浙C 的平分线上，以上结论中，正确的是（）A.①①② 8. 已知△肋Q 的周长是60cm,三条角平分线交于P 点,且P 点到 氏的距离是10cm,则△肋C 的面积为 （）2 2 A. 600 cmB. 300 cmC.300 cm 2 D.无法确定 9. 如图所示，点P 到AE, AD,力的距离相等，则下列说法:①点P 在ABAC 的平分线上;②点P 在ZQE 的平分线上;③点尸在Z/O 的平分线上;④点户是ABAC. ZCBE t的平分线的交点.其中，正确的是（）A. 4 个B. 3 个C. 2 个D. 1个 10. 如图，在中，AB 二AC,初平分ZBAC, DEX.AB 于E 点、,DFLAC 于F 点、,有下列结论:®BD=DC;②〃③初上任意一点到 也化的距离相等;④初上任意一点到〃点与C点A. AF 平分BC AFLBCB. SF 平分/ACD.以上结论都正确 c.B.② D.①②③C.A B E14 cmD. 10 cm的距离不等.其中正确的是（）11.如图所示，直线日,方,c表示交叉的公路,现要建一货物屮转站，要求它到三条公路的距离相等,则可供选择的站址有________ 处.12._______ 如图，点0是内一点，且到三边的距离相等,Z/I-600，则ZBOC的度数为•13.如图所示，已知BDA.AE于点B, DCA.AF于点C,且DB二DC, ZBAC^O° , ZADG=13O° ,则14.________________________ 如图，在四边形肋C刀中，Z^-90°,初珂连接BD, BDLDC y乙ADB二乙C.若P是〃C边上一动点，则莎长的最小值为.15. ________ 如图，在△血农中，AB=BC,应=16 cm, ZABC=80° ,弘平分ZABC, DE//BC,则AD=,乙EDB _______ .评卷人得分二、填空题B.③④C.D.①②③④评卷人得分解答题A.①②①②③16.如图，在Rt△血农中，,AD平分Z CAB, DEI AB于E若Ag BC之，〃-3,求化'的长.17.二和△PG?的面积相等,求证："平分ZAOC.18.如图，已知〃丄M于点D, BEL AC于点£, CD交BE于点、0.(1)若求证：点0在的平分线上；(2)若点0在Z胡Q的平分线上，求证：00%19.如图所示，PA二PB, ZPA附ZPBN=\80°，求证：莎平分GOB.20.如图，△肋C屮，肋平分ZBAC,必;丄％且平分BC, DEIAB于E, DFIAC于F.求证:駁参考答案1.【答案】B【解析】由要找角内部的点到角两边的距离相等可知本题考查对角的平分线的判定的掌握.2.【答案】D【解析\ JOP平分ZAOB, :. ZAOP=ZPOB.由PC丄％刖丄血可得Z ODP二Z OCP,且OP=OP,・•・ R t △ "0ZZ R t △POC,所以Z DPO二乙CPO, OD二OC, PD二PC.若PC=OQ 乙POB二乙PO&45° ,则OB LOA,由图可知D项错误，故选D.3.【答案】C【解析】根据角的平分线的性质可知DE二CE,所以AE+DE二AE+CE二ACt cm.4.【答案】D【解析】劭是的平分线，所以ZABD=ZCBD=30° ,所以AD二BDQ,又Z 67^-30 ° ,所以0=10.5.【答案】B【解析】过厂点分别作侃BC,所在直线的垂线，垂足分别为G, A；由角平分线的性质可得沏心67=忧再由角平分线的判定定理即可得出平分ABAC.由已知条件推不出结论"F平分比：AFL BC.6.【答案】A【解析】・••肋是乙BAC的平分线，・・・ZG〃二乙EAD，又1评卷人得分O LI四、证明题DE_LAB, ZO90°・ CD二ED,又AD二AD,；・△JCM厶AEDQW), :. AE=AC,又AC二BC, :./XDBE的周长二DE+EB+BD二CD+DB+EB二BC+EB二AC+EB二AE+EB二AB=\ 2 cm.7.【答案】D【解析】由题意可知・・・ZQ=Z〃,・•・△财竺△宓(AAS) ;△/!仞竺劭(SSS),所以ZCAD二ZBAD,所以点〃在Z胡Q的平分线上,所以①②③都正确.8.【答案】B【解析】角平分线上的点到角两边的距离相等，则△/!%的面枳=X60X10-300cm'；9.【答案】A【解析】过点戶分别向AE, AD, BC作垂线段，由角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上可证明①②③④都正确.10.【答案】C【解析\・・• AB二AC, AD平分ZBAC, .・・/!〃是％的垂直平分线，:・BD二DC,且上任意一点到AB,AC的距离相等，・・・①③正确，④错误；又•: DEIAB,DFIAC,:・DE二DF,・••②正确. 故选 C.11.【答案】412.【答案】120°13.【答案】150°14.【答案】415.【答案】8 cm;40° 16.【答案】•・•初平分ZCAB,DE丄AB, ZG90° ,:・CD二DE. •: CD冯，：・DE冷. 17.【答案】证明：如图，过点"分别作肱丄如M丄垂足分别为点2点人:・AB・ PE二CD • PF,又J AB二CD, :. PE二PF,又J PEI OB, PFIOD,・•・〃平分ZAOC.18.【答案】•・•点0在Z胡C的平分线上，OE=OD.又'：BEVAC y CD LAB, :. ZOEC=ZODB=90a .在和△沏中,・•・△ OEd△ 妙(ASA),・・・OC=OD.19.【答案】证明：如图，过点戶分别作PELO•札PFJLON,垂足分别为鸟斤则ZPEANPFB3。

《12.3 角的平分线的性质》一、填空题1．如图,∠B=∠D=90゜,根据角平分线性质填空：（1）若∠1=∠2,则______=______．（2）若∠3=∠4,则______=______．2．如图,BD是∠ABC的平分线,DE⊥AB于E,DF⊥BC于F,AB=12,BC=15,S△ABD=36,则S△BCD=______．3．如图,△ABC的三边AB、BC、CA长分别是20、30、40,其三条角平分线将△ABC分成三个三角形,则S△ABO：S△BCO：S△CAO等于______．4．如图,AD是△ABC的角平分线,若AB=2AC．则S△ABD：S△ACD=______．二、选择题5．如图,已知点P、D、E分别在OC、OA、OB上,下列推理：①∵OC平分∠AOB,∴PD=PE；②∵OC平分∠AOB,PD⊥OA,PE⊥OB,∴PD=PE；③∵PD⊥OA,PE⊥OB,∴PD=PE；其中正确的个数有（）A．0个B．1个C．2个D．3个6．如图△ABC中,∠ACB=90゜,AD平分∠BAC交BC于D,DE垂直AB于E,若DE=1.5cm,BD=3cm,则BC=（）A．3cm B．7.5cm C．6cm D．4.5cm7．在△ABC中,∠C=90゜,AD平分∠BAC交BC于D,BD：DC=3：2,点D到AB的距离为6,则BC长为（）A．10 B．20 C．15 D．258．如图,在△ABC中,∠B、∠C的角平分线交于点0,OD⊥AB于D,OE⊥AC于E,则OD与OE的大小关系是（）A．OD＞OE B．OD＜OE C．OD=OE D．不能确定三、解答题9．如图,△ABC中,∠C=90゜,AD是∠BAC的平分线,DE⊥AB于E,F在AC上,且BE=CF,求证：（1）DE=DC；（2）BD=DF．10．如图,四边形ABCD中,AB=AD,CB=CD,点P是AC上一点,PE⊥BC于E,PF⊥CD于F,求证：PE=PF．11．已知,如图,BD是∠ABC的平分线,AB=BC,点P在BD上,PM⊥AD,PN⊥CD,垂足分别是M、N．试说明：PM=PN．12．如图,BD是∠ABC的平分线,DE⊥AB于E,S△ABC=90,AB=18,BC=12,求DE的长．13．如图．已知在△ABC中,∠A、∠B的角平分线交于点O,过O作OP⊥BC于P,OQ⊥AC于Q,OR⊥AB 于R,AB=7,BC=8,AC=9．（1）求BP、CQ、AR的长．（2）若BO的延长线交AC于E,CO的延长线交AB于F,若∠A=60゜,求证：OE=OF．《12.3 角的平分线的性质》参考答案与试题解析一、填空题1．如图,∠B=∠D=90゜,根据角平分线性质填空：（1）若∠1=∠2,则BC = DC ．（2）若∠3=∠4,则AB = AD ．【考点】角平分线的性质．【分析】（1）根据角平分线性质推出即可；（2）根据角平分线性质推出即可．【解答】解：（1）∵∠B=∠D=90°,∴AB⊥BC,AD⊥DC,∵∠1=∠2,∴BC=CD,故答案为：BC,DC．（2）∵AB⊥BC,AD⊥DC,∵∠3=∠4,∴AB=AD,故答案为：AB,AD．【点评】本题考查了角平分线性质的应用,注意：角平分线上的点到角两边距离相等．2．如图,BD是∠ABC的平分线,DE⊥AB于E,DF⊥BC于F,AB=12,BC=15,S△ABD=36,则S△BCD= 45 ．【考点】角平分线的性质．【分析】首先根据△ABD的面积计算出DE的长,再根据角平分线上的点到角两边的距离相等可得DE=DF,然后计算出DF的长,再利用三角形的面积公式计算出△BCD的面积即可．【解答】解：∵S△ABD=36,∴•AB•ED=36,×12×ED=36,解得：DE=6,∵BD是∠ABC的平分线,DE⊥AB于E,DF⊥BC于F,∴DE=DF,∴DF=6,∵BC=15,∴S△BCD=•CB•DF=×15×6=45,故答案为：45．【点评】此题主要考查了角平分线的性质,关键是掌握角平分线上的点到角两边的距离相等．3．如图,△ABC的三边AB、BC、CA长分别是20、30、40,其三条角平分线将△ABC分成三个三角形,则S△ABO：S△BCO：S△CAO等于2：3：4 ．【考点】角平分线的性质；三角形的面积．【专题】常规题型．【分析】由角平分线的性质可得,点O到三角形三边的距离相等,即三个三角形的AB、BC、CA的高相等,利用面积公式即可求解．【解答】解：过点O作OD⊥AC于D,OE⊥AB于E,OF⊥BC于F,∵O是三角形三条角平分线的交点,∴OD=OE=OF,∵AB=20,BC=30,AC=40,∴S△ABO：S△BCO：S△CAO=2：3：4．故答案为：2：3：4．【点评】此题主要考查角平分线的性质和三角形面积的求法,难度不大,作辅助线很关键．4．如图,AD是△ABC的角平分线,若AB=2AC．则S△ABD：S△ACD= 2 ．【考点】角平分线的性质．【分析】过D作DM⊥AC于M,DN⊥AB于N,根据角平分线性质得出DM=DN,根据三角形面积公式求出即可．【解答】解：过D作DM⊥AC于M,DN⊥AB于N,∵AD是△ABC的角平分线,∴DM=DN,∴S△ABD：S△ACD=（AB×DN）：（AC×DM）=AB：AC=2AC：AC=2,故答案为：2．【点评】本题考查了角平分线性质的应用,注意：角平分线上的点到角两边的距离相等．二、选择题5．如图,已知点P、D、E分别在OC、OA、OB上,下列推理：①∵OC平分∠AOB,∴PD=PE；②∵OC平分∠AOB,PD⊥OA,PE⊥OB,∴PD=PE；③∵PD⊥OA,PE⊥OB,∴PD=PE；其中正确的个数有（）A．0个B．1个C．2个D．3个【考点】角平分线的性质．【分析】直接根据角平分线的性质进行解答即可．【解答】解：∵OC平分∠AOB,PD⊥OA,PE⊥OB,∴PD=PE．故选B．【点评】本题考查的是角平分线的性质,即角平分线上的点到角两边的距离相等．6．如图△ABC中,∠ACB=90゜,AD平分∠BAC交BC于D,DE垂直AB于E,若DE=1.5cm,BD=3cm,则BC=（）A．3cm B．7.5cm C．6cm D．4.5cm【考点】角平分线的性质．【分析】根据角平分线的性质得出CD长,代入BC=BD+DC求出即可．【解答】解：∵∠ACB=90°,∴AC⊥BC,∵DE⊥AB,AD平分∠BAC,∴DE=DC=1.5cm,∵BD=3cm,∴BC=BD+DC=3cm+1.5cm=4.5cm,故选D．【点评】本题考查了角平分线性质的应用,注意：角平分线上的点到角两边的距离相等．7．在△ABC中,∠C=90゜,AD平分∠BAC交BC于D,BD：DC=3：2,点D到AB的距离为6,则BC长为（）A．10 B．20 C．15 D．25【考点】角平分线的性质．【分析】过点D作DE⊥AB于E,根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得DC=DE,然后求出BD 的长,再根据BC=BD+DE代入数据进行计算即可得解．【解答】解：如图,过点D作DE⊥AB于E,∵点D到AB的距离为6,∴DE=6,∵∠C=90°,AD平分∠BAC交BC于D,∴DC=DE=6,∵BD：DC=3：2,∴BD=×3=9,∴BC=BD+DE=9+6=15．故选C．【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质,熟记性质是解题的关键,作出图形更形象直观．8．如图,在△ABC中,∠B、∠C的角平分线交于点0,OD⊥AB于D,OE⊥AC于E,则OD与OE的大小关系是（）A．OD＞OE B．OD＜OE C．OD=OE D．不能确定【考点】角平分线的性质．【分析】根据三角形的角平分线相交于一点,连接AO,则AO平分∠BAC,然后根据角平分线上的点到角的两边的距离相等解答．【解答】解：如图,连接AO,∵∠B、∠C的角平分线交于点0,∴AO平分∠BAC,∵OD⊥AB,OE⊥AC,∴OD=OE．故选C．【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质,根据三角形的角平分线相交于一点作辅助线并判断出AO平分∠BAC是解题的关键．三、解答题9．如图,△ABC中,∠C=90゜,AD是∠BAC的平分线,DE⊥AB于E,F在AC上,且BE=CF,求证：（1）DE=DC；（2）BD=DF．【考点】角平分线的性质；全等三角形的判定与性质．【专题】证明题．【分析】（1）根据角平分线上的点到角的两边的距离相等证明即可；（2）利用“边角边”证明△BDE和△FDC全等,再根据全等三角形对应边相等证明即可．【解答】证明：（1）∵∠C=90°,AD是∠BAC的平分线,DE⊥AB,∴DE=DC；（2）在△BDE和△FDC中,,∴△BDE≌△FDC（SAS）,∴BD=DF．【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质,全等三角形的判定与性质,是基础题,熟记性质是解题的关键．10．如图,四边形ABCD中,AB=AD,CB=CD,点P是AC上一点,PE⊥BC于E,PF⊥CD于F,求证：PE=PF．【考点】全等三角形的判定与性质；角平分线的性质．【专题】证明题．【分析】根据“SSS”可得到△ABC≌△ADC,则∠BCA=∠DCA,再利用角平分线的性质即可得到结论．【解答】证明：在△ABC和△ADC中,,∴△ABC≌△ADC（SSS）,∴∠BCA=∠DCA,∵PE⊥BC于E,PF⊥CD于F,∴PE=PF．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质：三边都对应相等的两三角形全等；全等三角形的对应边相等,对应角相等．角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．11．已知,如图,BD是∠ABC的平分线,AB=BC,点P在BD上,PM⊥AD,PN⊥CD,垂足分别是M、N．试说明：PM=PN．【考点】角平分线的性质；全等三角形的判定与性质．【专题】证明题．【分析】根据角平分线的性质以及已知条件证得△ABD≌△CBD（SAS）,然后由全等三角形的对应角相等推知∠ADB=∠CDB；再由垂直的性质和全等三角形的判定定理AAS判定△PMD≌△PND,最后根据全等三角形的对应边相等推知PM=PN．【解答】证明：在△ABD和△CBD中,AB=BC（已知）,∠ABD=∠CBD（角平分线的性质）,BD=BD（公共边）,∴△ABD≌△CBD（SAS）,∴∠ADB=∠CDB（全等三角形的对应角相等）；∵PM⊥AD,PN⊥CD,∴∠PMD=∠PND=90°；又∵PD=PD（公共边）,∴△PMD≌△PND（AAS）,∴PM=PN（全等三角形的对应边相等）．【点评】本题考查了角平分线的性质、全等三角形的判定与性质．由已知证明△ABD≌△CBD是解决的关键．12．如图,BD是∠ABC的平分线,DE⊥AB于E,S△ABC=90,AB=18,BC=12,求DE的长．【考点】角平分线的性质．【分析】过点D作DF⊥BC于F,根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得DE=DF,然后根据三角形的面积列出方程求解即可．【解答】解：如图,过点D作DF⊥BC于F,∵BD是∠ABC的平分线,DE⊥AB,∴DE=DF,∴S△ABC=AB•DE+BC•DF=90,即×18•DE+×12•DE=90,解得DE=6．【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质,三角形的面积,熟记性质并作出辅助线是解题的关键．13．如图．已知在△ABC中,∠A、∠B的角平分线交于点O,过O作OP⊥BC于P,OQ⊥AC于Q,OR⊥AB 于R,AB=7,BC=8,AC=9．（1）求BP、CQ、AR的长．（2）若BO的延长线交AC于E,CO的延长线交AB于F,若∠A=60゜,求证：OE=OF．【考点】角平分线的性质；全等三角形的判定与性质．【分析】（1）根据角平分线性质得出OR=OQ=OP,根据勾股定理起床AR=AQ,CQ=CP,BR=BP,得出方程组,求出即可；（2）过O作OM⊥AC于肘,ON⊥AB于N,求出OM=ON,证出△FON≌△EOM即可．【解答】解：连接AO,OB,OC,∵OP⊥BC,OQ⊥AC,OR⊥AB,∠A、∠B的角平分线交于点O,∴OR=OQ,OR=OP,∴由勾股定理得：AR2=OA2﹣OR2,AQ2=AO2﹣OQ2,∴AR=AQ,同理BR=BP,CQ=CP,即O在∠ACB角平分线上,设BP=BR=x,CP=CQ=y,AQ=AR=z,则x=3,y=5,z=4,∴BP=3,CQ=5,AR=4．（2）过O作OM⊥AC于M,ON⊥AB于N,∵O在∠A的平分线,∴OM=ON,∠ANO=∠AMO=90°,∵∠A=60°,∴∠NOM=120°,∵O在∠ACB、∠ABC的角平分线上,∴∠EBC+∠FCB=（∠ABC+∠ACB）=×（180°﹣∠A）=60°,∴∠FON=∠EOM,在△FON和△EOM中∴△FON≌△EOM,∴OE=OF．【点评】本题考查了角平分线性质和全等三角形的性质和判定的应用,注意：角平分线上的点到角两边的距离相等．。

易错点：运用角的平分线的性质时，常因忽略“到角两边的距离”而 导致错误 10．如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，交AC于点D，BC边上有一 点E，连接DE，则AD与DE的关系为( D) A．AD＞DE B．AD＝DE C．AD＜DE D．无法确定
11．如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB交AB于点E， DF⊥AC交AC于点F.若S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，则AC＝( B ) A．4 B．3 C．6 D．5
上海 2006 高考 理科 状元-武亦 文
武亦文 格致中学理科班学生 班级职务：学习委员 高考志愿：复旦经济 高考成绩：语文127分 数学142分 英语144分
物理145分 综合27分 总分585分
“一分也不能少”
“我坚持做好每天的预习、复习，每 天放学回家看半小时报纸，晚上10： 30休息，感觉很轻松地度过了三年 高中学习。”当得知自己的高考成 绩后，格致中学的武亦文遗憾地说 道，“平时模拟考试时，自己总有 一门满分，这次高考却没有出现，
7．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D， 已知AB＝10 cm，CD＝3 cm，则△ABD的面积为______1_5_c_m．2
8．如图，△ABC的三边AB，BC，CA的长分别为40，50，60，
其 三 条 角 平 分 线 交 于 点 O ， 则 S△ABO∶S△BCO∶S△CAO ＝ _____4_∶__5_∶__6___．
9．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，点D是BC的中点， DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，求证：∠B＝∠C. 解：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF，在 Rt△BDE 和 Rt△CDF 中 ， DE ＝ DF ， BD ＝ CD ， ∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL)，∴∠B＝∠C

垂足为D．若PD =3，则点P 到OB 的距离为3．
A
D C
P
O
B
如图，E是∠AOB的角平分线OC上的一点， EM⊥OB垂足为M，且 EM=3cm，求点E 到OA的距离
分析：点E 到OA的距离是过点E作OA的垂线段，再根据角的平分线的性质，可知点E 到OA的距离。
解：过E作EN⊥OA垂足为N
∵ E是∠AOB的角平分线上的一点， EM⊥OB， EN⊥OA，B
2、分别以M、N为圆心，大于
的长为1半M 径N 作弧，两弧在∠AOB内部交于点C。
2
3、作射线OC，射线OC即为所求。
证明:连结MC,NC由作法知:
在△OMC和△ONC中 OM=ON MC=NC OC=OC
∵△OMC≌△ONC(SSS) ∴∠AOC=∠BOC 即:OC 是∠ＡＯＢ的角平分线.
A
M
C
O
8
C
课堂小结
（1）本节课学习了哪些主要内容？ （2）本节课是通过什么方式探究角的平分线的性质的？ （3）角的平分线的性质为我们提供了证明什么的方法？
在应用这一性质时要注意哪些问题？
布置作业
教科书习题12.3第4、5题．
利用尺规作角的平分线的具体方法:
1、以O为圆心，适当长为半径作 弧，交OA于M，交OB于N。
2长、为分半12别径M以作NM弧、，N为两圆弧心在，∠大AO于B内部交于的M
点C。 3 、 作 射 线 OC ， 射 线 OC 即为所求。
A C
O
N
B
感悟实践经验，用尺规作角的平分线
追问4 你能说明为什么射线OC 是∠AOB 的平分线吗？ A
用量角器度量，也可用折纸的方法． 追问1 你能评价这些方法吗？在生产生活中，这 些方法是否可行呢？