2018版高中数学北师大版必修五学案：第一章 章末复习课
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学习目标 1.整合知识结构，梳理知识网络，进一步巩固、深化所学知识.2.提高解决等差数列、等比数列问题的能力，培养综合运用知识解决问题的能力．
知识点一 知识网络
知识点二 对比归纳等差数列和等比数列的基本概念和公式 等差数列 等比数列
定义 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫作等差数列，这个常数叫作等差数列的公差，公差通常用字母d表示
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数，那么这个数列叫作等比数列，这个常数叫作等比数列的公比，公比通常用字母q表示(q≠0)
递推公式 an＋1－an＝d an＋1
an
＝q
中项 由三个数a，A，b组成的等差数如果在a与b中间插入一个数 列可以看成最简单的等差数列．这时A叫作a与b的等差中项，并且A＝a＋b2 G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，且G＝±ab
通项公式 an＝a1＋(n－1)d an＝a1qn－1
前n项和公式 Sn＝na1＋an2＝na1＋nn－12d q≠1时，Sn＝a11－qn1－q＝ a1－anq1－q，
q＝1时，Sn＝na1
性质
am，an的关系 am－an＝(m－n)d aman＝qm－n m，n，s，t∈N＋， m＋n＝s＋t am＋an＝as＋at aman＝asat
{kn}是等差数列，且kn∈N＋ {akn}是等差数列 {akn}是等比数列
n＝2k－1，k∈N＋ S2k－1＝(2k－1)·ak a1a2·„·a2k－1＝a2k－1k
判断方法
利用定义 an＋1－an是同一常数 an＋1
an
是同一常数
利用中项 an＋an＋2＝2an＋1 anan＋2＝a2n＋1 利用通项公式 an＝pn＋q，其中p、q为常数 an＝abn(a≠0，b≠0)
利用前n项和公式 Sn＝an2＋bn (a，b为常数) Sn＝A(qn－1)，其中A≠0，q≠0且q≠1或Sn＝np(p为非零常数) 知识点三 本章公式推导和解题过程中用到的基本方法和思想 1．在求等差数列和等比数列的通项公式时，分别用到了________法和________法； 2．在求等差数列和等比数列的前n项和时，分别用到了____________法和____________法． 3．等差数列和等比数列各自都涉及5个量，已知其中任意____个求其余____个，用到了方程思想． 4．在研究等差数列和等比数列单调性，等差数列前n项和最值问题时，都用到了________思想． 5．等差数列和等比数列在很多地方是相似的，发现和记忆相关结论时用到了________．
类型一 方程思想求解数列问题 例1 设{an}是公比大于1的等比数列，Sn为数列{an}的前n项和．已知S3＝7，且a1＋3,3a2，a3＋4构成等差数列． (1)求数列{an}的通项； (2)令bn＝lna3n＋1，n＝1,2，„，求数列{bn}的前n项和Tn. 反思与感悟 在等差数列和等比数列中，通项公式an和前n项和公式Sn共涉及五个量：a1，an，n，q(d)，Sn，其中首项a1和公比q(公差d)为基本量，“知三求二”是指将已知条件转换成关于a1，an，n，q(d)，Sn的方程组，通过方程的思想解出需要的量． 跟踪训练1 记等差数列{}an的前n项和为Sn，设S3＝12，且2a1，a2，a3＋1成等比数列，求Sn. 类型二 转化与化归思想求解数列问题 例2 在数列{an}中，Sn＋1＝4an＋2，a1＝1.
(1) 设cn＝an2n，求证数列{cn}是等差数列； (2) 求数列{an}的通项公式及前n项和的公式． 反思与感悟 由递推公式求通项公式，要求掌握的方法有两种，一种求法是先找出数列的前几项，通过观察、归纳得出，然后证明；另一种是通过变形转化为等差数列或等比数列，再采用公式求出． 跟踪训练2 设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＋2a2＋3a3＋„＋nan＝(n－1)Sn＋2n(n∈N＋)． (1)求a2，a3的值； (2)求证：数列{Sn＋2}是等比数列． 类型三 函数思想求解数列问题 命题角度1 借助函数性质解数列问题 例3 已知等差数列{an}的首项a1＝1，公差d>0，且第2项、第5项、第14项分别是一个等比数列的第2项、第3项、第4项． (1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝1nan＋3(n∈N＋)，Sn＝b1＋b2＋„＋bn，是否存在t，使得对任意的n均有Sn>t36总成立？若存在，求出最大的整数t；若不存在，请说明理由． 反思与感悟 数列是一种特殊的函数，在求解数列问题时，若涉及参数取值范围，最值问题或单调性时，均可考虑采用函数的性质及研究方法指导解题．值得注意的是数列定义域是正整数集或{1,2,3，„，n}，这一特殊性对问题结果可能造成影响．
跟踪训练3 已知首项为32的等比数列{an}不是递减数列，其前n项和为Sn(n∈N＋)，且S3＋a3，S5＋a5，S4＋a4成等差数列． (1)求数列{an}的通项公式； (2)设Tn＝Sn－1Sn(n∈N＋)，求数列{Tn}最大项的值与最小项的值． 命题角度2 以函数为载体给出数列 例4 已知函数f(x)＝2－|x|，无穷数列{an}满足an＋1＝f(an)，n∈N＋. (1)若a1＝0，求a2，a3，a4； (2)若a1＞0，且a1，a2，a3成等比数列，求a1的值． 反思与感悟 以函数为载体给出数列，只需代入函数式即可转化为数列问题．
跟踪训练4 已知函数f(x)＝2x＋33x，数列{an}满足 a1＝1，an＋1＝f1an，n∈N＋. (1)求数列{an}的通项公式； (2)令Tn＝a1a2－a2a3＋a3a4－a4a5＋„－a2na2n＋1，求Tn.
1．设数列{an}是公差不为零的等差数列，Sn是数列{an}的前n项和(n∈N＋)，且S21＝9S2，S4
＝4S2，则数列{an}的通项公式是________．
2．若数列{an}的前n项和Sn＝32n2－292n(n＝1,2,3，„)，则此数列的通项公式为________；数列{nan}中数值最小的项是第________项． 3．设等差数列{an}的前n项和为Sn，公比是正数的等比数列{bn}的前n项和为Tn，已知a1
＝1，b1＝3，a3＋b3＝17，T3－S3＝12，求{an}、{bn}的通项公式．
1．等差数列与等比数列是高中阶段学习的两种最基本的数列，也是高考中经常考查并且重点考查的内容之一，这类问题多从数列的本质入手，考查这两种基本数列的概念、基本性质、简单运算、通项公式、求和公式等问题． 2．数列求和的方法：一般的数列求和，应从通项入手，若无通项，先求通项，然后通过对通项变形，转化为与特殊数列有关或具备某种方法适用特点的形式，从而选择合适的方法求和． 答案精析 知识梳理 知识点三 1．累加 累乘 2．倒序相加 错位相减 3．三 两 4．函数 5．类比 题型探究 例1 解 (1)由已知得
a1＋a2＋a3＝7，a1＋3＋a3＋42＝3a2，解得a2＝2.
设数列{an}的公比为q，由a2＝2，可得a1＝2q，a3＝2q， 又S3＝7，可知2q＋2＋2q＝7， 即2q2－5q＋2＝0. 解得q1＝2，q2＝12.由题意得q＞1， ∴q＝2，∴a1＝1. 故数列{an}的通项为an＝2n－1. (2)由于bn＝lna3n＋1，n＝1,2，„， 由(1)得a3n＋1＝23n， ∴bn＝ln23n＝3nln2. 又bn＋1－bn＝3ln2，∴{bn}是等差数列，
∴Tn＝b1＋b2＋„＋bn＝nb1＋bn2＝3nn＋12·ln2.
故Tn＝3nn＋12ln2. 跟踪训练1 解 设数列{}an的公差为d， 依题设有 2a1a3＋1＝a22，a1＋a2＋a3＝12， 即 a21＋2a1d－d2＋2a1＝0，a1＋d＝4. 解得 a1＝1，d＝3或 a1＝8，d＝－4. 因此Sn＝12n(3n－1)或Sn＝2n(5－n)，n∈N＋. 例2 (1)证明 由Sn＋1＝4an＋2，① 则当n≥2，n∈N＋时，有Sn＝4an－1＋2.② ①－②得an＋1＝4an－4an－1. 方法一 对an＋1＝4an－4an－1两边同除以2n＋1，得 an＋12n＋1＝2an2n－an－1
2n－1，
即an＋12n＋1＋an－12n－1＝2an2n， 即cn＋1＋cn－1＝2cn， ∴数列{cn}是等差数列． 由Sn＋1＝4an＋2，得a1＋a2＝4a1＋2，则a2＝3a1＋2＝5，
∴c1＝a12＝12，c2＝a222＝54，故公差d＝54－12＝34，
∴{cn}是以12为首项，34为公差的等差数列． 方法二 ∵an＋1－2an＝2an－4an－1 ＝2(an－2an－1)， 令bn＝an＋1－2an， 则{bn}是以a2－2a1＝4a1＋2－a1－2a1＝3为首项，2为公比的等比数列， ∴bn＝3·2n－1，
∵cn＝an2n，∴cn＋1－cn＝an＋12n＋1－an2n＝an＋1－2an2n＋1
＝bn2n＋1＝3×2n－12n＋1＝34， c1＝a12＝12， ∴{cn}是以12为首项，34为公差的等差数列． (2)解 由(1)可知数列{an2n}是首项为12，公差为34的等差数列． ∴an2n＝12＋(n－1)34＝34n－14，an＝(3n－1)·2n－2是数列{an}的通项公式．
