浙江省杭州市18届高考数学总复习向量学案(无答案)

§5.1平面向量的概念及线性运算考纲展示 ? 1. 了解向量的实际背景．2．理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义．3．理解向量的几何表示．4．掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义．5．掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义．6．了解向量线性运算的性质及其几何意义．考点 1平面向量的有关概念向量的有关概念(1)向量：既有大小又有 ________的量叫做向量，向量的大小叫做向量的________．(2)零向量：长度为 ________的向量，其方向是任意的．(3)单位向量：长度等于 ________的向量．(4)平行向量：方向相同或 ________的非零向量，又叫共线向量．规定：0 与任一向量共线．(5)相等向量：长度相等且方向 ________的向量．(6)相反向量：长度相等且方向 ________的向量．答案： (1) 方向模(2)0(3)1 个单位(4)相反 (5) 相同 (6) 相反向量有关概念的理解误区：相等向量；共线向量．→→(1)若四边形 ABCD满足 AD＝ BC，则四边形 ABCD的形状是__________．答案：平行四边形→→解析： AD＝BC表示 AD∥ BC且 AD＝ BC，所以四边形ABCD是平行四边形．→→(2)若四边形 ABCD满足 AD＝ kBC( k>0， k≠1)，则四边形 ABCD的形状是__________．答案：梯形- 1 -→→解析： AD＝ kBC( k>0， k≠1)表示 AD∥ BC，但 AD与 BC不相等，所以四边形ABCD是梯形.[ 典题 1] (1) 给出下列命题：①若 |a| ＝ |b| ，则 a＝ b；→→②若 A， B，C， D 是不共线的四点，则“ AB＝ DC”是“四边形 ABCD为平行四边形”的充要条件；③若 a＝ b，b＝c，则 a＝c；④若 a∥b， b∥c，则 a∥c.其中正确命题的序号是()A．②③B．②④C．③④D．②③④[答案]A[ 解析 ]①不正确．两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同．→→②正确．∵ AB＝ DC，→→→→∴|AB| ＝ | DC| 且AB∥DC.又 A， B， C，D是不共线的四点，∴四边形 ABCD为平行四边形；→→→→→→→反之，若四边形ABCD为平行四边形，则| AB| ＝ | DC| ，AB∥DC且AB，DC方向相同．因此AB →＝DC.③正确．∵ a＝ b，∴a，b 的长度相等且方向相同，又 b＝ c，∴b，c 的长度相等且方向相同，∴a， c 的长度相等且方向相同，故a＝ c.④不正确．当b＝ 0 时， a， c 可能不平行．综上所述，正确命题的序号是②③.(2)给出下列命题：①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量；②两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小；③若λ a＝0(λ为实数)，则λ必为零；- 2 -④已知 λ，μ 为实数，若λ a ＝ μ b ，则 a 与 b 共线． 其中错误命题的个数为() A ．1B ．2 C ．3D ．4 [答案] C[ 解析 ]①错误．两向量共线要看其方向而不是起点与终点；②正确．因为向量既有大 小，又有方向，故它们不能比较大小，但它们的模均为实数，故可以比较大小；③错误．当a ＝ 0 时，不论 λ 为何值， λ ＝ 0；④错误．当 λ ＝μ ＝ 0 时， λ ＝ μ ，此时， a 与 b 可以aab是任意向量．[ 点石成金 ] 1. 相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性．2．共线向量即平行向量，它们均与起点无关．3．向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量．解题时，不要把它与函数图象移 动混为一谈．4．非零向量 a 与a a的关系：是 a 方向上的单位向量．|a||a|考点 2向量的线性运算向量的线性运算 向量法则(或几定义运算律运算何意义 )交换律： a ＋b ＝求两个向量和的运________ ；加法结合律： ( a ＋ b ) ＋ c ＝a算＋ (________)- 3 -求 a 与 b 的相反向减法a － b ＝a ＋(________)量－ b 的和的运算| λa | ＝ | λ || a | ，当λ＞ 0 时，λ ( μ a ) ＝λ a 与 a 的方向 ________；求实数 λ 与向量 a当 λ ＜ 0 时， λ a 与 a 的方向数乘______；的积的运算当 λ ＝ 0 时，λ a ＝0答案： b ＋ a b ＋ c － b 相同 相反 λμ(______) a ；( λ＋μ ) a ＝________ ；λ ( a ＋b ) ＝________λa ＋μ a λa ＋ λ b→ →→ →→(1)[ 教材习题改编] 向量和式 ( AB ＋MB ) ＋ ( BO ＋BC ) ＋OM 化简后等于 __________ ．→答案： AC→ → → → → →解析： 原式＝ AB ＋ BO ＋ OM ＋ MB ＋ BC ＝ AC .→ →→→(2)[教材习题改编] 已知三角形ABC ，用 AB 与 AC 表示 BC 边上的中线向量 AD ，则 AD ＝ ________.→→11答案：2AB ＋2AC[ 典题 2] (1)[20172 广东惠州高三二模] 如图，在正方形ABCD 中，点 E 是 DC 的中点，- 4 -→点 F 是 BC 的一个三等分点，那么 EF ＝()→ 1 →→→ 11 1A. 2AB － 3ADB. 4AB ＋2AD→ →→ →C.13AB ＋ 21DAD. 21AB －32AD[ 答案] D→ → →[ 解析] 在△ CEF 中，有 EF ＝ EC ＋CF .→ →因为点E 为的中点，所以＝1.DC EC2DC因为点 F 为 BC 的一个三等分点，→→2所以 CF ＝3CB .→→→→→→→121212所以 EF ＝2DC ＋3CB ＝2AB ＋3DA ＝2AB －3AD ，故选D.→ → →→(2)[20172 辽宁沈阳模拟] 已知△ABC 和点M 满足MA ＋MB ＋MC ＝ 0. 若存在实数m 使得 AB ＋ →→AC ＝ mAM 成立，则 m ＝()A ．2B ．3C ．4D ．5[答案]B→ → →[ 解析 ]由MA ＋ MB ＋ MC ＝0 知，点 M 为△ ABC 的重心，设点 D 为底边 BC 的中点，- 5 -→→→→→ →→ →→22 11则AM ＝3AD ＝332( AB ＋ AC )＝3( AB ＋AC )，所以 AB ＋ AC ＝3AM ，故 m ＝3.[ 点石成金 ]向量线性运算的解题策略(1) 常用的法则是平行四边形法则和三角形法则，一般共起点的向量求和用平行四边形法则，求差用三角形法则，求首尾相连向量的和用三角形法则．(2) 找出图形中的相等向量、共线向量，将所求向量与已知向量转化到同一个平行四边形或三角形中求解．(3) 用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧：①观察各向量的位置；②寻找相应的三角形或多边形；③运用法则找关系；④化简结果．考点 3共线向量定理的应用共线向量定理向量 a ( a ≠0)与 b 共线的充要条件是存在唯一一个实数λ ，使得 b ＝ λ ________. 答案： a处理向量问题的常见错误：忽视零向量；滥用结论．(1) 若 a 与 b 是共线向量， b 与 c 是共线向量，则a 与 c 的关系是 __________ ．答案： 共线向量或不共线向量解析： 若 b ＝0，则 a 与 c 未必是共线向量；若b 是非零向量，则 a 与c 是共线向量．注意：在处理向量问题时不要忽略零向量．(2) 已知两向量 ， ，若 | a | ＝1，| | ＝2，则 | a ＋ | 的范围是 ________． a b b b答案： [1,3]解析： 当 a ， b 方向相同时，有| a ＋b |＝3；当 a ， b 方向相反时，有| a ＋ b |＝1；当 a ， b 不共线时， 1<| a ＋b |<3. 所以 | a ＋b | 的范围是 [1,3].注意：在一般情况下，| a ＋b | ＝ | a | ＋ | b | 不成立 .有关向量的几个结论：三点共线；向量的中线公式；三角形重心的向量表示．- 6 -→(1) A，B，C三点共线的充要条件是对不在直线AB上的任意一点O，存在实数t 使得 OC＝→→tOA＋________OB.答案： 1－t→→解析：根据共线向量定理知，A， B， C 三点共线的充要条件是存在实数t 使得 BC＝ tBA，→→→→→→→即 OC－OB＝ t ( OA－ OB)，即 OC＝ tOA＋(1－t ) OB.→→ →(2)△ ABC中， D是 BC的中点，则 AD＝λ( AC＋ AB)，则λ＝________.1答案：2→→→→→→解析：由 AD＝ AB＋ BD， AD＝ AC＋ CD，得→→→→→2AD＝ ( AB＋AC) ＋ ( BD＋CD)．→→→→→1∵BD＋ CD＝0，∴ AD＝2( AB＋ AC)．[ 典题 3]设两个非零向量a 和 b 不共线．→→→(1)若 AB＝ a＋b， BC＝2a＋ 8b， CD＝3( a－ b)．求证： A， B， D三点共线；(2)试确定实数 k，使 ka＋ b 与 a＋kb 共线．→→→(1)[ 证明 ] 因为AB＝a＋b，BC＝2a＋8b，CD＝3( a－b) ，→→→所以 BD＝ BC＋CD＝ 2a＋ 8b＋3( a－ b)→＝5( a＋b) ＝ 5AB，→→所以 AB， BD共线．→→又AB与 BD有公共点 B，所以 A， B，D三点共线．(2) [ 解 ]因为ka＋b与a＋kb共线，- 7 -所以存在实数λ ，使ka＋b＝λ (a＋kb)，k＝λ，即解得 k＝±1.1＝λk，即当 k＝±1时， ka＋b 与 a＋ kb 共线．→→[ 题点发散 1] 若将本例 (1) 中“BC＝ 2a＋8b”改为“BC＝a＋mb”，则当m为何值时，A，B， D三点共线？→ →→解： BD＝ BC＋CD＝( a＋ mb)＋3( a－ b)＝4a＋( m－3) b，→→若 A， B， D三点共线，则存在实数λ，使 BD＝λ AB，即4a＋( m－3) b＝λ( a＋ b)，4＝λ，解得 m＝7.所以m－3＝λ，故当 m＝7时， A， B，D三点共线．[ 题点发散 2] 若将本例 (2) 中的“共线”改为“反向共线”，则k 为何值？解：因为 ka＋ b 与 a＋ kb 反向共线，所以存在实数λ，使 ka＋ b＝λ( a＋kb)( λ<0) ，k＝λ，解得 k＝±1.即kλ＝1，又λ <0，k＝λ ，所以k＝－ 1.故当 k＝－1时，两向量反向共线．[ 点石成金 ] 1. 证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．2．向量a，b共线是指存在不全为零的实数λ，λ，使λ a＋λ b＝0成立；若λ a＋1 2 1 2 1λ b＝0，当且仅当λ＝λ＝ 0 时成立，则向量a， b 不共线．2 1 21.已知向量 a， b 不共线，且 c＝λ a＋b，d＝ a＋(2λ －1) b，若 c 与 d 同向，则实数λ＝________.答案： 1解析：由于 c 与 d 同向，所以c＝ kd( k＞0)，于是λ a＋ b＝k[ a＋(2λ－1) b]，整理得λ a＋b＝ ka＋(2λ k－ k) b.- 8 -λ＝ k，由于 a， b 不共线，所以有2λk－k＝ 1，21整理得 2λ －λ－ 1＝ 0，所以λ＝ 1 或λ＝－.又 k＞0，所以λ＞0，故λ＝1.1 2．已知a，b是两个不共线的非零向量，且a 与 b 起点相同．若a， t b，3( a＋ b)三向量的终点在同一条直线上，则t ＝________.1答案：21解析：∵ a，t b，3( a＋ b)三向量的终点在同一条直线上，且a 与 b 起点相同．1∴a－ t b 与 a－3( a＋ b)共线，21即 a－ t b 与3a－3b 共线，21∴存在实数λ，使 a－ t b＝λ3a－3b ，2 3∴1＝3λ，解得λ ＝2，1 1t ＝3λ，t ＝2，即当t ＝1时，a，，1(a＋) 三向量的终点在同一条直线上 .2 t b3 b[ 方法技巧 ] 1. 向量加法的三角形法则要素是“首尾相接，指向终点”；向量减法的三角形法则要素是“起点重合，指向被减向量”；平行四边形法则要素是“起点重合”．→→→→→2．对于平面上的任一点O，OA，OB不共线，满足OP＝xOA＋yOB( x，y∈ R) ，则P，A，B 共线 ? x＋y＝ 1.[ 易错防范 ] 1. 解决向量的概念问题要注意两点：一是不仅要考虑向量的大小，更重要的是要考虑向量的方向；二是考虑零向量是否也满足条件．要特别注意零向量的特殊性．2．在利用向量减法时，易弄错两向量的顺序，从而求得所求向量的相反向量，导致错误.真题演练集训- 9 -→→1．[20152 新课标全国卷Ⅰ] 设D 为△ABC 所在平面内一点，BC ＝3CD ，则() →→→14A. AD ＝－3AB ＋3AC → →→14B. AD ＝3AB －3AC → →→41C.AD ＝3AB ＋3AC → →→D.AD ＝ 34AB － 31AC 答案： A→→→→→→→→→→→→11 4 1 1 4解析： AD ＝AC ＋ CD ＝ AC ＋3BC ＝ AC ＋3( AC － AB ) ＝ 3AC －3AB ＝－3AB ＋3AC . 故选 A.→2．[20142 新课标全国卷Ⅰ ] 设 D ，E ，F 分别为△ ABC 的三边 BC ， CA ，AB 的中点，则 EB ＋→FC ＝ ()→→1A. ADB. 2AD →→1 C.BCD. 2BC→ → → →→ → → → →111答案： A 解析： EB ＋FC ＝ 2( AB ＋CB ) ＋ 2( AC ＋ BC ) ＝ 2( AB ＋ AC ) ＝ AD ，故选 A.→→ → → →3．[20142 新课标全国卷Ⅰ] 已知 ， ， 为圆 上的三点，若 ＝1(＋ ) ，则 与ACA B C OAO 2 AB ACAB 的夹角为 ________．答案： 90°→→ →1解析：∵ AO ＝2( AB ＋ AC )， ∴点 O 是△ ABC 边 BC 的中点，→ →∴BC 为直径，根据圆的几何性质有〈AB ， AC 〉＝90°.课外拓展阅读-10-专题一平面向量与三角形问题的综合→→ →[典例 1]已知 P 是△内一点，且＝ 1 ＋ 7 ，△ 的面积是 2 015 ，则△PABABCAP3AB 18ACPBC的面积是 ________．[ 思路分析 ]△ ，△分别与△ 共底边于 ， ，由平面几何知识，将每组共PBCPAB ABC BC AB底边的三角形面积之比转化为共底边上的对应高的比，即可得出面积关系，进而计算出△PAB 的面积．[ 解析 ]设 S △ABC ＝ S ，S △PBC ＝ S 1＝2 015 ， S △PAB ＝ S 2. 解法一： ( 恰当切入，从“三点共线”突破) 如图所示，→ 延长 AP 交 BC 于 D ，由平面几何知识，得S 1 | PD |S ＝→.| |AD由 A ， P ， D 三点共线，可得→→→ →AD ＝ μ AP ＝1＋ 7μ∈ R) ．①3μ AB18μAC (由 B ， D ， C 三点共线，可得→→→ AD ＝ λ AB ＋ (1 －λ ) AC ( λ∈ R) ．②16λ ＝ 3μ ，，联立①和②，有解得 λ ＝137181－λ ＝ 18μ ，μ ＝13.→→→ →→ →→185则AD ＝μ AP ＝13AP ， PD ＝AD － AP ＝13AP ，-11-|PD|5那么→ ＝18，| AD|18于是 S＝5 S1.→|PE|7同理，延长CP交 AB于 E，计算可得→ ＝18，| CE|7218S.所以 S＝于是2＝7 7 181＝7 7＝183 1＝32 015＝2 821.S 18S5 S5S5解法二：( 巧妙构造，引出向量“投影”取胜) 如图所示，→→→→构造一个单位向量e(其中 e⊥BC)，那么 BP， BA在单位向量 e 方向上的投影长度| e2 BP| →与 | e2 BA| 分别是△PBC，△ABC的公共底边上的高，→→1则 S＝2| BC|2| e2 BA|→→→＝1| BC|| e|| BA||cos 〈e，BA〉 | 2→→1＝2| BC|2| BA|sin ∠ABC；→→→→→→17因为 BP＝ BA＋AP＝ BA＋3AB＋18AC→→→→17＝BA＋3AB＋18( AB＋ BC)-12-57＝ 18BA ＋18BC ，→11e 2 →所以 S ＝ 2| BC | BP1 → → → 5 7＝ 2| BC | e 2BA ＋ BC18 181→→5＝ | | e 2 BA2 BC 181→→→5＝ |||cos 〈 ， 〉 |18BA2 BC e BA→ →51＝18 2| BC || BA |sin ∠ABC5＝ 18S .→设 i 为与向量 AB 垂直的单位向量，同理，可以推出 27S ＝ 18S .于是 2＝ 7 7 18 7 7＝ 3 1＝ 1＝ 32 015 ＝2 821.S18S 18 5 S 5S5解法三： ( 划归转化，牵手三角形“重心”巧解 )→→→17由AP ＝3AB ＋18AC ，→→→可得 5PA ＋ 6PB ＋ 7PC ＝ 0.→→→→→→令PA ′＝5PA ， PB ′＝6PB ， PC ′＝7PC ， 连接 A ′ B ′， B ′ C ′， C ′ A ′，如图所示，-13-→→→于是 PA ′＋PB ′＋ PC ′＝0. 即 P 是△ A ′B ′ C ′的重心，S △PA ′B ′＝S △PB ′C ′，根据已知条件，得→ →1S 1＝2| PB || PC |sin ∠ BPC1 → → ＝ 1 1 sin ∠BPC2 PB ′ PC ′ 6 71 →→＝ 142 | PB ′ || PC ′ |sin ∠ BPC21 ＝ 42S △PB ′C ′，所以 S △PB ′C ′＝42S 1， 同理可得 S △PA ′B ′＝30S 2.42于是 S 2＝30S 1＝2 821.故填2 821. [ 答案] 2821 温馨提示在寻找三个三角形面积之间的关系时，可以从多方面思考：①可以从“三点共线”突破，运用三点共线向量式求解，思维起点低，思路直接，如解 法一；②可以从向量“投影”得出关系，构造出一个中介性辅助元素单位向量e ，i ，如解法二；→→→→→→17③可以转化条件形式，将 AP ＝3AB ＋18AC 转化成5PA ＋6PB ＋7PC ＝0，利用三角形“重心”性质引出巧解，如解法三．专题二 用几何法求解向量填空题利用向量加法的几何意义或向量减法的几何意义，可以将一些向量问题转化为几何问题， 利用数形结合的方法，快速得到答案，避免繁琐的运算和由于运算而产生的错误．[典例 2]已知 ， b 是两个非零向量，且 |a| ＝ |b| ＝ |a － b| ，则 a 与 ＋ b 的夹角是aa________．→ →[ 解析]令 ＝ ， ＝ ，以， 为邻边作平行四边形 ，OA a OB b OA OBOACB则 OC ＝ a ＋ b ，BA ＝ a －b ，又 |a| ＝|b| ＝ |a － b| ，-14-所以△ OAB 是正三角形，由向量加法的几何意义，π可知 OC 是∠ AOB 的平分线，所以 a 与 a ＋b 的夹角是6.π[ 答案]6[典例 3]已知两个非零向量a ， 满足 |a ＋ b| ＝ |a － b| ，则下面结论正确的是 ________．b① a ∥b ；②a ⊥b ；③|a| ＝|b| ；④a ＋ b ＝a － b .[ 解析 ]根据向量加法、减法的几何意义可知，|a ＋ b| 与|a － b| 分别为以向量 a ， b 为邻 边的平行四边形的两条对角线的长，因为|a ＋ b| ＝ |a － b|. 所以该平行四边形为矩形，所以 a ⊥b.[答案]②-15-。

．
1 【答案】 3
【解析】
1 a / / b, a x 1, x 1, b 2,1, x 1 2 x 2 0, x 3
5.已知向量 a ( x, y ), b ( 1,2) ，且 a b (1,3) ，则 | a 2b | 等于 【答案】 5 【解析】 因 a b (1,3) , b ( 1,2) ,故 a (2,1) ,所以 a 2b ( 4,3) ,故 | a 2b | B 能力提升训练 1.已知向量 =（cosα，﹣2） ， =（sinα，1） ，且 ∥ ，则 tan（α﹣ ）等于（ ） .
【解析】由已知得， OA OM 2.在 ABC 中， D 为 AB 边上一点， AD A． 3 1 【答案】B B.


1 ， CD DB 2
2 CA CB ，则 =（ 3
D. 2
）
1 3
C. 2 3 1
）
3 1 2
D．
CM CA＝mCA nCA CB 如图，设正三角形的边长为 a，由 CM mCA nCB 得： 2 ， CM CB＝mCA CB nCB
A．1 【答案】C
B．
1 3
C.
1 9 1 t AC ,因为 4
D．3
【解析】设 BP t BN ,则 AP AB t ( AN AB ) ,即 AP (1 t ) AB
b 2 2.已知向量 a (1，3) ， b (0, t 1) ，则当 t [ 3, 2] 时， | a t | 的取值范围是_________． |b|

一、选择题1．(2016·杭州第二次教学质量检测)在梯形ABCD 中，AB ∥DC ，AB ⊥AD ，AD ＝DC ＝1，AB ＝2.若AP →＝16AD →＋56AB →，则|BC →＋tPB →|(t ∈R )的取值范围是( )A ．[55，＋∞) B ．[2，＋∞) C ．[55，1]D ．[1，＋∞)2．(2016·嘉兴市高三教学测试(一))如图，B ，D 是以AC 为直径的圆上的两点，其中AB ＝t ＋1，AD ＝t ＋2，则AC →·BD →等于( ) A ．1 B ．2C ．tD ．2t3．如图所示，AB 是圆O 的直径，P 是AB 上的点，M ，N 是直径AB 上关于O 对称的两点，且AB ＝6，MN ＝4，则PM →·PN →等于( ) A ．13B ．7C ．5D ．34．(2016·湖北七校联考)在△ABC 中，点D 在线段BC 上，且BD →＝2DC →，点O 在线段CD 上(与点C ，D 不重合)．若AO →＝xAB →＋(1－x )AC →，则x 的取值范围是( ) A ．(0,1)B ．(23，1)C ．(0，13)D ．(13，23)5．已知O 是△ABC 所在平面上的一点，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若aOA →＋bOB →＋cOC →＝0，则O 是△ABC 的( ) A ．外心 B ．内心 C ．重心D ．垂心6．(2016·衢州4月高三教学质量检测)正方形ABCD 的边长为6，点E ，F 分别在边AD ，BC 上，且DE ＝EA ，CF ＝2FB ，如果对于常数λ，在正方形ABCD 的四条边上(不含顶点)有且只有6个不同的点P ，使得PE →·PF →＝λ成立，那么λ的取值范围为( ) A ．(－3，－14)B ．(－3,3)C ．(－14，3)D ．(3,12)二、填空题7．(2016·绍兴高三教学质量检测)在△ABC 中，BC ＝6，M 1，M 2分别为边BC ，AC 的中点，AM 1与BM 2相交于点G ，BC 的垂直平分线与AB 交于点N ，且NG →·NC →－N G →·NB →＝6，则BA →·BC →＝________.8．在△ABC 中，AC ＝2，BC ＝6，已知点O 是△ABC 内一点，且满足OA →＋3OB →＋4OC →＝0，则OC →·(BA →＋2BC →)＝________.9．如图所示，在半径为1的扇形OAB 中，∠AOB ＝60°，C 为弧上的动点，AB 与OC 交于点P ，则OP →·BP →的最小值是________．10．如图，线段AB 的长度为2，点A ，B 分别在x 轴的非负半轴和y 轴的非负半轴上滑动，以线段AB 为一边，在第一象限内作矩形ABCD ，BC ＝1，O 为坐标原点，则OC →·OD →的取值范围是________．11．(2016·湖南师大附中月考四)如图，在△ABC 中，E 为边AC 上一点，且AC →＝3AE →，P 为BE 上一点，且满足AP →＝mAB →＋nAC →(m >0，n >0)，则1n ＋3m＋3的最小值为________． 12．(2016·浙江杭州萧山中学期中)已知点A (1，－1)，B (3,0)，C (2,1)．若平面区域D 由所有满足AP →＝λAB →＋μAC →(1≤λ≤2,0≤μ≤1)的点P 组成，则D 的面积为________．答案解析1．A2．A [因为BD →＝AD →－AB →，所以AC →·BD →＝AC →·(AD →－AB →)＝AC →·AD →－AC →·AB →＝|AC →|·|AD →|cos ∠CAD －|AC →|·|AB →|cos ∠CAB .又因为AC 为圆的直径，所以∠ADC ＝∠ABC ＝π2，所以cos ∠CAD ＝|AD →||AC →|，cos ∠CAB ＝|AB →||AC →|，则AC →·BD →＝|AD →|2－|AB →|2＝t ＋2－(t ＋1)＝1，故选A.]3．C [连接AP ，BP ，则PM →＝P A →＋AM →，PN →＝PB →＋BN →＝PB →－AM →，所以PM →·PN →＝(P A →＋AM →)·(PB →－AM →)＝P A →·PB →－P A →·AM →＋AM →·PB →－|AM →|2＝－P A →·AM →＋AM →·PB →－|AM →|2＝AM →·AB →－|AM →|2＝1×6－1＝5.]4．C [因为O 在线段CD 上，且BD →＝2DC →，设BO →＝λBC →，且23<λ<1，则AO →－AB →＝λ(AC →－AB →)，即AO →＝(1－λ)AB →＋λAC →.又AO →＝xAB →＋(1－x )AC →，则x ＝1－λ∈(0，13)．故选C.]5．B [OB →＝OA →＋AB →，OC →＝OA →＋AC →. 若aOA →＋bOB →＋cOC →＝0， 则 (a ＋b ＋c )OA →＋bAB →＋cAC →＝0， 得AO →＝bc a ＋b ＋c ⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|.∵AB →|AB →|与AC →|AC →|分别为AB →和AC →方向上的单位向量，设AP →＝AB →|AB →|＋AC →|AC →|，则AP 平分∠BAC .又AO →、AP →共线，∴AO 平分∠BAC .同理可证BO 平分∠ABC ，CO 平分∠ACB ，从而O 是△ABC 的内心．]6．C [以AB 所在直线为x 轴，AB 的垂直平分线为y 轴建立坐标系如图所示，则设E (－3,3)，F (3,2)，所以EF ＝37，设P (x ，y )，则由λ＝PE →·PF →＝(PE →＋PF →)2－(PE →－PF →)24＝4x 2＋(2y －5)2－|EF →|24，整理得x 2＋(y －52)2＝λ＋374，所以P 在以(0，52)为圆心，半径为λ＋374的圆上运动，要使正方形与圆有6个交点，需满足AB ，BC 与圆相交，CD 与圆相离，所以52<λ＋374，3<λ＋374，72>λ＋374，解得－14<λ<3，故选C.]7．36解析 N G →·NC →－NG →·NB →＝NG →·(NC →－NB →)＝N G →·BC →＝(NM 1→＋M 1G →)·BC →＝NM 1→·BC →＋M 1G →·BC →＝6.因为NM 1⊥BC ，所以NM 1→·BC →＝0，所以M 1G →·BC →＝6.由题意知G 是△ABC 的重心，所以M 1G →＝13M 1A →，则BA →·BC →＝(BM 1→＋M 1A →)·BC→＝BM 1→·BC →＋M 1A →·BC →＝12BC →2＋3M 1G →·BC →＝12×62＋3×6＝36.8．40解析 由OA →＋3OB →＋4OC →＝0，得(OC →＋CA →)＋3(OC →＋CB →)＋4OC →＝0，即得OC →＝－18(CA →＋3CB →)．又BA →＋2BC →＝CA →＋3BC →＝CA →－3CB →，则OC →·(BA →＋2BC →)＝－18(CA →＋3CB →)·(CA →－3CB →)＝18×(9CB →2－CA →2)＝40. 9．－116解析 ∵OP →＝OB →＋BP →，∴OP →·BP →＝(OB →＋BP →)·BP →＝OB →·BP →＋|BP →|2.又∵∠AOB ＝60°，OA ＝OB ＝1，∴∠OBA ＝60°.∴OB →·BP →＝|BP →|cos120°＝－12|BP →|，∴OP →·BP →＝－12|BP →|＋|BP →|2＝(|BP →|－14)2 －116≥－116，当且仅当|BP →|＝14时取等号． 10．[1,3]解析 设∠OBA ＝α，则0°≤α<90°.此时|OA →|＝2sin α，|OB →|＝2cos α，且向量OA →与AD →的夹角为α，向量OB →与BC →的夹角为90°－α. 又OC →＝OB →＋BC →，OD →＝OA →＋AD →，且OA →⊥OB →，AD →＝BC →，则OC →·OD →＝(OB →＋BC →)·(OA →＋AD →)，即OC →·OD →＝OB →·OA →＋OB →·AD →＋BC →·OA →＋BC →·AD →＝OB →·AD →＋BC →·OA →＋1＝OB →·BC →＋AD →·OA →＋1＝|OB →|×|BC →|×cos(90°－α)＋|OA →|×|AD →|×cos α＋1＝2cos α·sin α＋2sin αcos α＋1＝2sin 2α＋1.而0°≤2α<180°，则0≤sin 2α≤1，故1≤2sin 2α＋1≤3，即OC →·OD →的取值范围是[1,3]． 11．15解析 根据题意，得AP →＝mAB →＋nAC →＝mAB →＋3nAE →.因为B ，P ，E 三点共线，所以m ＋3n ＝1，从而有1n ＋3m ＝(m ＋3n )·(1n ＋3m )＝3＋3＋m n ＋9n m ≥6＋29＝12，当且仅当m n ＝9n m ，即m ＝12，n＝16时取等号，所以1n ＋3m ＋3的最小值是12＋3＝15. 12．3解析 设点P 的坐标为(x ，y )，则AB →＝(2,1)，AC →＝(1,2)，AP →＝(x －1，y ＋1)．∵AP →＝λAB →＋μAC →，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝2λ＋μ，y ＋1＝λ＋2μ， 解得⎩⎨⎧λ＝23x －13y －1，μ＝－13x ＋23y ＋1.∵1≤λ≤2,0≤μ≤1，∴点P 的坐标满足不等式组⎩⎨⎧1≤23x －13y －1≤2，0≤－13x ＋23y ＋1≤1.作出不等式组对应的平面区域，得到如图所示的平行四边形CDEF 及其内部，其中C (4,2)，D (6,3)，E (5,1)，F (3,0)． ∵|CF →|＝(3－4)2＋(0－2)2＝5，点E (5,1)到直线CF ：2x －y －6＝0的距离为d ＝|2×5－1－6|5＝355，∴平行四边形CDEF 的面积为S ＝|C F →|×d ＝5×355＝3，即动点P 构成的平面区域D 的面积为3.。

导数及其应用【命题热点突破一】导数的几何意义例1、(2017·天津卷)已知a ∈R ，设函数f (x )＝ax －ln x 的图象在点(1，f (1))处的切线为l ，则l 在y 轴上的截距为________；【变式探究】1、【2016高考新课标2理数】若直线y kx b =+是曲线ln 2y x =+的切线，也是曲线ln(1)y x =+的切线，则b = ．【变式探究】2、 函数f(x)＝e xsin x 的图像在点(0，f(0))处的切线的倾斜角为( ) A.3π4 B.π3 C.π4 D.π6例 2、(1)(2013·浙江)已知函数y ＝f (x )的图象是下列四个图象之一，且其导函数y ＝f ′(x )的图象如图所示，则该函数的图象是( )(2)已知y ＝f (x )是可导函数，如图，直线y ＝kx ＋2是曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线，令g (x )＝xf (x )，g ′(x )是g (x )的导函数，则g ′(3)＝ .【命题热点突破二】函数的单调性 与极值例3、（1）(2007·浙江)设f ′(x )是函数f (x )的导函数，将y ＝f (x )和y ＝f ′(x )的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是( )（2）.(2011·浙江)设函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c ∈R )，若x ＝－1为函数f (x )e x的一个极值点，则下列图象不可能为y ＝f (x )的图象是( )（3）.已知定义在R 上的函数f (x )，其导函数f ′(x )的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是( ) A.f (b )>f (c )>f (d ) B.f (b )>f (a )>f (e ) C.f (c )>f (b )>f (a ) D.f (c )>f (e )>f (d )例4、(1)已知函数f (x )＝ln x ＋12ax 2－2x 有两个极值点，则a 的取值范围是( )A.(－∞，1)B.(0,2)C.(0,1)D.(0,3)(2)若函数f (x )＝x 33－a2x 2＋x ＋1在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3上有极值点，则实数a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，52B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫2，52C.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，103D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫2，103跟踪训练 (1)(2013·浙江)已知e 为自然对数的底数，设函数f (x )＝(e x－1)(x －1)k(k ＝1,2)，则( ) A.当k ＝1时，f (x )在x ＝1处取到极小值 B.当k ＝1时，f (x )在x ＝1处取到极大值 C.当k ＝2时，f (x )在x ＝1处取到极小值 D.当k ＝2时，f (x )在x ＝1处取到极大值(2)若函数f (x )＝ax 22－(1＋2a )x ＋2ln x (a >0)在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1内有极大值，则a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞ B.(1，＋∞) C.(1,2) D.(2，＋∞)例5、设函数f (x )＝ln(x ＋1)＋a (x 2－x )，其中a ∈R .讨论函数f (x )极值点的个数，并说明理由.【命题热点突破三】函数的单调性 与最值例6、已知函数f (x )＝ln x ，g (x )＝12ax 2＋2x (a ≠0).(1)若函数h (x )＝f (x )－g (x )存在单调递减区间，求a 的取值范围； (2)若函数h (x )＝f (x )－g (x )在[1,4]上单调递减，求a 的取值范围.引申探究1.本例(2)中，若函数h (x )＝f (x )－g (x )在[1,4]上单调递增，求a 的取值范围.2.本例(2)中，若h (x )在[1,4]上存在单调递减区间，求a 的取值范围.例7、已知函数f (x )＝ln x －ax (a ∈R ). (1)求函数f (x )的单调区间；(2)当a >0时，求函数f (x )在[1,2]上的最小值.【变式探究】(1)已知函数f(x)＝ln(x＋a)＋ax，求函数f(x)的单调区间和极值．(2)已知函数f(x)＝(ax－2)e x在x＝1处取得极值，求函数f(x)在[m，m＋1]上的最小值．【命题热点突破四】导数与函数的零点例8、(1)已知函数f(x)＝ax3－3x2＋1，若f(x)存在唯一的零点x0，且x0>0，则实数a的取值范围是__________.（2）.定义在R上的奇函数y＝f(x)满足f(3)＝0，且不等式f(x)>－xf′(x)在(0，＋∞)上恒成立，则函数g(x)＝xf(x)＋lg|x＋1|的零点个数为________.例9、已知函数f(x)＝x ln x，g(x)＝－x2＋ax－3.(1)对一切x∈(0，＋∞)，2f(x)≥g(x)恒成立，求实数a的取值范围；(2)探讨函数F(x)＝ln x－1e x ＋2e x是否存在零点？若存在，求出函数F(x)的零点；若不存在，请说明理由.【命题热点突破五】函数的单调性与不等式例10、（1）已知x ∈(0,2)，若关于x 的不等式x e x <1k ＋2x －x2恒成立，则实数k 的取值范围为________.(2)定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＋f ′(x )>1，f (0)＝4，则不等式e x f (x )>e x＋3(其中e 为自然对数的底数)的解集为( )A.(0，＋∞)B.(－∞，0)∪(3，＋∞)C.(－∞，0)∪(0，＋∞)D.(3，＋∞)例11、已知f(x)＝xe x＋ax 2－x ，a ∈R . (1)当a ＝－12时，求函数f(x)的单调区间；(2)若当x ≥0时，恒有f ′(x)－f(x)≥(4a ＋1)x 成立，求实数a 的取值范围．例12、(2017·全国卷Ⅲ)已知函数f (x )＝ln x ＋ax 2＋(2a ＋1)x . (1)讨论f (x )的单调性；(2)当a <0时，证明f (x )≤－34a －2.【变式探究】【2016高考山东理数】已知()221()ln ,R x f x a x x a x-=-+∈. （I ）讨论()f x 的单调性；（II ）当1a =时，证明()3()'2f x f x +＞对于任意的[]1,2x ∈成立.。