空间向量及其运算教学设计教案

空间向量及其线性运算（教案）课题：空间向量及其线性运算教学⽬标：1．运⽤类⽐⽅法，经历向量及其运算由平⾯向空间推⼴的过程； 2．了解空间向量的概念，掌握空间向量的线性运算及其性质； 3．理解空间向量共线的充要条件教学重点：空间向量的概念、空间向量的线性运算及其性质；教学难点：空间向量的线性运算及其性质。

教学过程：⼀、创设情景1、蚂蚁爬⾏的问题引⼊为什么要研究空间向量.2、平⾯向量的概念及其运算法则；⼆、建构数学1．空间向量的概念：在空间，我们把具有⼤⼩和⽅向的量叫做向量注：⑴空间的⼀个平移就是⼀个向量⑵向量⼀般⽤有向线段表⽰同向等长的有向线段表⽰同⼀或相等的向量⑶空间的两个向量可⽤同⼀平⾯内的两条有向线段来表⽰ 2．空间向量的运算定义：与平⾯向量运算⼀样，空间向量的加法、减法与数乘向量运算如下（如图）b a AB OA OB+=+=b a-=-=)(R a ∈=λλ运算律：⑴加法交换律：a b b a+=+⑵加法结合律：)()(c b a c b a++=++ ⑶数乘分配律：b a b aλλλ+=+)(3．平⾏六⾯体：平⾏四边形ABCD 平移向量a到D C B A ''''的轨迹所形成的⼏何体，叫做平⾏六⾯体，并记作：ABCD －D C B A ''''，它的六个⾯都是平⾏四边形，每个⾯的边叫做平⾏六⾯体的棱。

4．共线向量与平⾯向量⼀样，如果表⽰空间向量的有向线段所在的直线互相平⾏或重合，则这些向量叫做共线向量或平⾏向量．a 平⾏于b 记作b a //．当我们说向量a 、b 共线（或a //b ）时，表⽰a 、b的有向线段所在的直线可能是同⼀直线，也可能是平⾏直线． 5．共线向量定理：共线向量定理：空间任意两个向量a 、b （b ≠0 ），a //b的充要条件是存在实数λ，A / B使a＝λb .三、数学运⽤1、例1 如图，在三棱柱111C B A ABC -中，M 是1BB 的中点，化简下列各式，并在图中标出化简得到的向量：（1）1BA CB +; （2）121AA CB AC ++; （3）AA --1解：（1）11CA BA CB =+ （2）AA =++121（3）11BA CB AC AA =--2、如图，在长⽅体///B D CA OADB -中，1,2,4,3======OK OJ OI OC OB OA ，点E,F 分别是//,B D DB 的中点，设===,,,试⽤向量,,表⽰OE 和OF解：j i OE 423+=2423++=3、课堂练习已知空间四边形ABCD ，连结,AC BD ，设,M G 分别是,BC CD 的中点，化简下列各表达式，并标出化简结果向量：（1）AB BC CD ++；（2）1()2AB BD BC ++；（3）1()2AG AB AC -+ ．四、回顾总结空间向量的定义与运算法则五、布置作业72页练习2,3《数学之友》选T3.1空间向量及其线性运算BCDMGA。

教案)空间向量及其运算一、教学目标1. 了解空间向量的概念，掌握空间向量的基本性质。

2. 学会空间向量的线性运算，包括加法、减法、数乘和点乘。

3. 能够运用空间向量解决实际问题，提高空间想象力。

二、教学内容1. 空间向量的概念：向量的定义、大小、方向、表示方法。

2. 空间向量的线性运算：(1) 向量加法：三角形法则、平行四边形法则。

(2) 向量减法：差向量、相反向量。

(3) 数乘向量：数乘的定义、运算规律。

(4) 向量点乘：点乘的定义、运算规律、几何意义。

三、教学重点与难点1. 教学重点：空间向量的概念、线性运算及应用。

2. 教学难点：空间向量线性运算的推导及证明，空间向量在实际问题中的应用。

四、教学方法1. 采用多媒体教学，结合图形、动画，直观展示空间向量的概念和运算。

2. 利用实际例子，引导学生运用空间向量解决实际问题。

3. 组织小组讨论，培养学生团队合作精神，提高解决问题的能力。

五、教学安排1. 第一课时：空间向量的概念及表示方法。

2. 第二课时：空间向量的线性运算（向量加法、减法）。

3. 第三课时：空间向量的线性运算（数乘向量、向量点乘）。

4. 第四课时：空间向量线性运算的应用。

5. 第五课时：总结与拓展。

六、教学评价1. 课堂参与度：观察学生在课堂上的发言和提问情况，评估学生的参与度和积极性。

2. 作业完成情况：检查学生完成的作业质量，评估学生对空间向量及其运算的理解和掌握程度。

3. 小组讨论：评估学生在小组讨论中的表现，包括团队合作、问题解决能力和创新思维。

4. 课堂测试：通过课堂测试，了解学生对空间向量及其运算的掌握情况，及时发现并解决问题。

七、教学资源1. 多媒体教学课件：通过动画、图形等展示空间向量的概念和运算，增强学生的直观感受。

2. 实际例子：收集与空间向量相关的实际问题，用于引导学生运用空间向量解决实际问题。

3. 小组讨论材料：提供相关的问题和案例，供学生进行小组讨论。

4. 课堂测试卷：编写涵盖空间向量及其运算知识的测试卷，用于评估学生的学习效果。

空间向量及其加减运算【教课目的】1．认识向量与平面平行、共面向量的意义，掌握向量与平面平行的表示方法；2．理解共面向量定理及其推论；掌握点在已知平面内的充要条件；3．会用上述知识解决立体几何中有关的简单问题。

【教课要点】点在已知平面内的充要条件。

共线、共面定理及其应用。

【教课难点】对点在已知平面内的充要条件的理解与运用。

【讲课种类】新讲课【课时安排】1课时【教课过程】一、复习引入：1．空间向量的观点：在空间，我们把拥有大小和方向的量叫做向量注：（1）空间的一个平移就是一个向量；（2）向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量；（3）空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示。

2．空间向量的运算定义：与平面向量运算同样，空间向量的加法、减法与数乘向量运算以下（如图）CbaBb baAOD' C'OB OA AB a b ； BA OA OB a b ；OPa(R)A' B'运算律：（ 1）加法互换律：ab b aaD CA B（2）加法联合律： (ab )c a (b c)（3）数乘分派律： (a b)ab3．平行六面体：平行四边形 ABCD 平移向量 a到 A B C D的轨迹所形成的几何体， 叫做平行六面体，并记作：ABCD － A B C D它的六个面都是平行四边形，每个面的边叫做平行六面体的棱。

4．平面向量共线定理方向同样或许相反的非零向量叫做平行向量。

因为任何一组平行向量都能够平移到同一条直线上，所以平行向量也叫做共线向量。

向量 b 与非零向量 a共线的充要条件是有且只有一个实数 λ ，使 b ＝λ a。

这个定理称为平面向量共线定理，要注意此中对向量a的非零要求。

二、解说新课：1．共线向量与平面向量同样，假如表示空间向量的有向线段所在的直线相互平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量。

a 平行于 b 记作 a // b。

和上节我们学习的空间向量的定义、 表示方法、空间向量的相等以及空间向量的加减与数乘运算和运算律都是平面向量的推行同样， 空间向量共线（平行）的定义也是平面向量有关知识的推行。

空间向量及其线性运算教学设计(人教A版普通高中教科书数学选修第一册第一章)一、教学目标1.复习空间向量的相关概念2.能够熟练应用空间向量的线性运算及运算律3.理解并掌握共线、共面定理的推论，会用共线、共面定理及其推论解决问题二、教学重难点重点：空间向量的线性运算及运算律难点：共线、共面定理的推论三、教学过程1.复习回顾知识点一：空间向量的概念1.定义：在空间，具有大小和方向的量叫做空间向量.2.长度或模：向量的大小.3.表示方法：(1)几何表示法：空间向量用有向线段表示.(2)字母表示法：用字母a，b，c，…表示；若向量a的起点是A，终点是B，也可记作：AB，其模记为a或AB.|知识点二：空间向量的线性运算知识点三：共线定理与共面定理2.空间向量概念的应用【设计意图】通过简单的习题，加深学生对于空间向量概念的理解，纠正易错点.3.空间向量的加减运算【设计意图】选自课本中本节习题，旨在让学生体会表示未知向量时，可将未知向量放入三角形中，通过向量加减的三角形法将其表示出来.4.空间向量的数乘运算【设计意图】与例2对比，此题在加减运算的基础上加入数乘运算，是一道线性运算的综合题型，通过此题可以使学生加深对空间向量线性运算的认识，提高计算能力.5.空间向量共线、共面定理【设计意图】通过将共线、共面定理的推论以思考题的形式给出，使学生在证明的过程中加深对共线、共面定理的理解与记忆，同时引出推论.【设计意图】将推论引出后通过两个较为简单的练习题，让学生初步感受共线、共面定理推论的应用.【设计意图】用共线定理及其推论两种解法解此题目，让学生再次感受共线定理及推论在证明三点共线时的应用.,,.ABCD .AC O OA,OB,OC,ODOE OF OG OHE,F,G,H ====k,OA OB OC ODE,F,G,H 例5.如图，已知平行四边形过平面外一点作射线在四条射线上分别取点使求证：四点共面1111,,,,,,.OE OF OG OH====k OA OB OC ODOA OE OB OF OC OG OD OHOA OD OB OC OE OB OC OD ∴====∴-=-∴=-+∴k k k kABCD E F G H 四边形为平行四边形四点共面【设计意图】此题是第一课时例题，用共面定理的推论给出此题目的第二种解法，让学生再次感受共面定理及推论在证明四点共面问题时的应用，以达到开拓学生的思路的目的.6.归纳小结(1).用好已有的定理及推论：如共线向量定理、共面向量定理及推论等， 并能运用它们证明空间向量的共线和共面的问题.(2).在解决空间向量问题时，结合图形，将未知向量放入三角形中，再运用向量加减的三角形法则解决问题。

空间向量及其运算3.1.1 空间向量及其加减运算教学目标：（1）通过本章的学习，使学生理解空间向量的有关概念。

（2）掌握空间向量的加减运算法则、运算律，并通过空间几何体加深对运算的理解。

能力目标：（1）培养学生的类比思想、转化思想，数形结合思想，培养探究、研讨、综合自学应用能力。

（2）培养学生空间想象能力，能借助图形理解空间向量加减运算及其运算律的意义。

（3）培养学生空间向量的应用意识教学重点：（1）空间向量的有关概念（2）空间向量的加减运算及其运算律、几何意义。

（3）空间向量的加减运算在空间几何体中的应用教学难点：（1）空间想象能力的培养，思想方法的理解和应用。

（2）空间向量的加减运算及其几何的应用和理解。

考点：空间向量的加减运算及其几何意义，空间想象能力，向量的应用思想。

易错点：空间向量的加减运算及其几何意义在空间几何体中的应用教学用具：多媒体教学方法：研讨、探究、启发引导。

教学指导思想：体现新课改精神，体现新教材的教学理念，体现学生探究、主动学习的思维教学过程：（老师）：同学们好！首先请教同学们一个问题：物理学中，力、速度和位移是什么量？怎样确定？（学生）：矢量，由大小和方向确定（学生讨论研究）（课件）引入：（我们看这样一个问题）有一块质地均匀的正三角形面的钢板，重500千克，顶点处用与对边成60度角，大小200千克的三个力去拉三角形钢板，问钢板在这些力的作用下将如何运动？这三个力至少多大时，才能提起这块钢板？（老师）：我们研究的问题是三个力的问题，力在数学中可以看成是什么？（学生）向量（老师）：这三个向量和以前我们学过的向量有什么不同？（学生）这是三个向量不共面（老师）：不共面的向量问题能直接用平面向量来解决么？（学生）：不能，得用空间向量（老师）：是的，解决这类问题需要空间向量的知识这节课我们就来学习空间向量板书：空间向量及其运算（老师）:实际上空间向量我们随处可见，同学们能不能举出一些例子？（学生）举例（老师）：然后再演示（课件）几种常见的空间向量身影。

空间向量及其运算（优质课）教案教学目标：1 了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示；2 掌握空间向量的线性运算及其坐标表示；3 掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能用向量的数量积判断向量的共线和垂直.教学过程：1．空间向量的有关概念(1)共线向量定理：对空间任意两个向量a ，b (b ≠0)，a ∥b 的充要条件是存在实数λ，使得a ＝λb ．(2)共面向量定理：若两个向量a ，b 不共线，则向量p 与向量a ，b 共面⇔存在唯一的有序实数对(x ，y )，使p ＝x a ＋y b ．(3)空间向量基本定理：如果三个向量a ，b ，c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在有序实数组{x ，y ，z }，使得p ＝x a ＋y b ＋z c ，把{a ，b ，c }叫做空间的一个基底． 3．空间向量的数量积及运算律(1)数量积及相关概念 ①两向量的夹角已知两个非零向量a ，b ，在空间任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB 叫做向量a 与b 的夹角，记作〈a ，b 〉，其范围是0≤〈a ，b 〉≤π，若〈a ，b 〉＝π2，则称a 与b 互相垂直，记作a⊥b .②两向量的数量积已知空间两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做向量a，b的数量积，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．(2)空间向量数量积的运算律①结合律：(λa)·b＝λ(a·b)；②交换律：a·b＝b·a；③分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c．4．空间向量的坐标表示及其应用设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3).规律方法：1.选定空间不共面的三个向量作基向量，并用它们表示出指定的向量，是用向量解决立体几何问题的基本要求．如本例用OA→，OB→，OC→表示OG→，MG→等，另外解题时应结合已知和所求观察图形，联想相关的运算法则和公式等，就近表示所需向量．(2.首尾相接的若干个向量的和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量．所以在求若干向量的和，可以通过平移将其转化为首尾相接的向量求和．3.数量积的应用：(1)求夹角，设向量a，b所成的角为θ，则cosθ＝a·b|a||b|，进而可求两异面直线所成的角；(2)求长度(距离)，运用公式|a|2＝a·a，可使线段长度的计算问题转化为向量数量积的计算问题；(3)解决垂直问题，利用a⊥b⇔a·b＝0(a≠0，b≠0)，可将垂直问题转化为向量数量积的计算问题．类型一空间向量的线性运算例１：如图3-1-6,已知平行六面体ABCD A B C D''''-.求证:2.AC AB AD AC'''++=【解析】:由于在平行六面体中,每个面都是平行四边形,故可结合空间向量加法的平行四边形法则进行向量的运算,从而证明结论.【答案】∵平行六面体的六个面均为平行四边形,,,AC AB AD AB AB AA ''∴=+=+.AD AD AA ''=+∴AC AB AD ''++()()()AB AD AB AA AD AA ''=+++++ 2().AB AD AA '=++又∵,,AA CC AD BC ''==,AB AD AA AB BC CC AC CC AC ''''∴++=++=+=2.AC AB AD AC '''∴++=练习１：如图所示，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，设AA →1＝a ，AB →＝b ，AD →＝c ，M ，N ，P 分别是AA 1，BC ，C 1D 1的中点，试用a ，b ，c 表示以下各向量：AP →,A 1N →【答案】(1)AP →=a+c+2b ；(2)A 1N →=-a+b+2c练习2：【2015高考新课标2，理13】设向量a ，b 不平行，向量a b λ+与2a b +平行，则实数λ=_________．【答案】12类型二 共线定理、共面定理的应用例2：射线AB 、AC 、AD 不共面,连结BC 、CD 、DB ,取AB 、BC 、CD 、DA 的中点E 、F 、G 、H ,如图3-1-20,试判断四边形EFGH 的图形形状,并用向量的方法证明.【答案】解法1:四边形EFGH 是平行四边形. ∵1()2EH EA AH BA AD =+=+=111,(),222BD FG FC CG BC CD BD =+=+=.EH FG ∴=∵E 点不在FG 上,∴EH ∥FG ,且EH =FG ,∴四边形EFGH 是平行四边形. 解法2:∵11(),22HG HD DG AD DC AC =+=+= 11(),22EF EB BF AB BC AC =+=+=∴.HG EF =又H 点不在EF 上, ∴HG ∥EF ,且HG =EF .∴四边形EFGH 是平行四边形.练习1：【2015江苏高考，6】已知向量a =)1,2(，b=)2,1(-,若m a +n b =)8,9(-(R n m ∈,),则n m -的值为______.【解析】由题意得：29,282,5, 3.m n m n m n m n +=-=-⇒==-=- 【答案】3-类型三 空间向量数量积的应用例3：已知空间四边形ABCD 的各边和对角线的长都等于a ，点M ，N 分别是AB ，CD 的中点．(1)求证：MN ⊥AB ，MN ⊥CD ； (2)求MN 的长；(3)求异面直线AN 与CM 所成角的余弦值． 【解析】（1）设AB =p,AC =q ，AD =r.由题意可知：|p|=|q|=|r|=a ，且p 、q 、r 三向量两两夹角均为60°.MN=AN -AM =12（AC +AD ）-12AB =12（q+r-p ）， ∴MN·AB =12（q+r-p ）·p =12（q ·p+r ·p-p 2）=12（a 2·cos60°+a 2·cos60°-a 2）=0. ∴MN ⊥AB,同理可证MN ⊥CD.（2）由（1）可知MN=12（q+r-p ） ∴|MN |2=MN 2=14（q+r-p ）2=14［q 2+r 2+p 2+2（q ·r-p ·q-r ·p ）］=14[a 2+a 2+a 2+2（22a -22a -22a ）=14×2a 2=22a . ∴|MN|=22a,∴MN 的长为22a. (3)解 设向量AN →与MC →的夹角为θ. ∵AN →＝12(AC →＋AD →)＝12(q ＋r)，MC →＝AC →－AM →＝q －12p ， ∴AN →·MC →＝12(q ＋r)·(q －12p) ＝12(q2－12q ·p ＋r ·q －12r ·p)＝12(a 2－12a 2cos60°＋a 2cos60°－12a 2cos60°)＝22a . 又∵|AN →|＝|MC →|＝32a ，∴AN →·MC →＝|AN →||MC →|cos θ＝32a ×32a ×cos θ＝22a . ∴cos θ＝23.∴向量AN →与MC →的夹角的余弦值为23，从而异面直线AN 与CM 所成角的余弦值为23.【答案】（1）见解析（2）MN a.（3）异面直线AN 与CM 所成角的余弦值为23练习1：在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，以顶点A 为端点的三条棱长度都为1，且两两夹角为60°.求BD →1与AC →夹角的余弦值．【答案】设AB =a,AD =b.1AA =cBD 1→＝b ＋c －a ，AC →＝a ＋b ，∴|BD 1→|＝2，|AC →|＝3，BD 1→·AC →＝(b ＋c －a )·(a ＋b )＝b 2－a 2＋a ·c ＋b ·c ＝1. ∴cos 〈BD 1→，AC →〉＝BD 1→·AC →|BD 1→|·|AC →|＝66.1．（2014·广东卷）已知向量a ＝(1，0，－1)，则下列向量中与a 成60°夹角的是( ) A ．(－1，1，0) B ．(1，－1，0)C ．(0，－1，1)D ．(－1，0，1)【答案】B 2．在下列命题中：①若向量a ，b 共线，则向量a ，b 所在的直线平行；②若向量a ，b 所在的直线为异面直线，则向量a ，b 一定不共面； ③若三个向量a ，b ，c 两两共面，则向量a ，b ，c 共面；④已知空间的三个向量a ，b ，c ，则对于空间的任意一个向量p 总存在实数x ，y ，z 使得p ＝x a ＋y b ＋z c .其中正确命题的个数是( ) A ．0 B ．1C ．2D ．3【答案】A3.在空间直角坐标系中，A (1，2，3)，B (－2，－1，6)，C (3，2，1)，D (4，3，0)，则直线AB 与CD 的位置关系是( )A ．垂直B ．平行C ．异面D ．相交但不垂直【答案】B4.O 为空间任意一点，若OP →＝34OA →＋18OB →＋18OC →，则A ，B ，C ，P 四点( )A ．一定不共面B ．一定共面C ．不一定共面D ．无法判断【答案】B_________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________基础巩固（1）1．已知a ＝(－2，1，3)，b ＝(－1，2，1)，若a ⊥(a －λb )，则实数λ的值为( ) A ．－2 B ．－143C.145D ．2【答案】D2.已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于a ，点E ，F 分别是BC ，AD 的中点，则AE →·AF →的值为( )A ．a 2B.12a 2C.14a 2 D.34a 2 【答案】C3．若向量c 垂直于不共线的向量a 和b ，d ＝λa ＋μb (λ，μ∈R ，且λμ≠0)，则( ) A ．c ∥d B ．c ⊥dC ．c 不平行于d ，c 也不垂直于dD ．以上三种情况均有可能 【答案】B4．已知{a ，b ，c }是空间的一个基底，{a ＋b ，a －b ，c }是空间的另一个基底，一向量p 在基底{a ，b ，c }下的坐标为(4，2，3)，则向量p 在基底{a ＋b ，a －b ，c }下的坐标是( )A ．(4，0，3)B ．(3，1，3)C ．(1，2，3)D ．(2，1，3)【答案】B5.已知2a ＋b ＝(0，－5，10)，c ＝(1，－2，－2)，a ·c ＝4，|b |＝12，则以b ，c 为方向向量的两直线的夹角为________．【答案】60°6.已知a ＝(2，－1，3)，b ＝(－1，4，－2)，c ＝(7，5，λ)，若a ，b ，c 三个向量共面，则实数λ等于________．【答案】657能力提升（2）7.在四面体OABC 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，D 为BC 的中点，E 为AD 的中点，则OE →＝________(用a ，b ，c 表示)．【答案】111244a b c ++ 8.A ，B ，C ，D 是空间不共面四点，且AB →·AC →＝0，AC →·AD →＝0，AB →·AD →＝0，则△BCD 的形状是________三角形(填锐角、直角、钝角中的一个)．【答案】锐角9.已知空间中三点A (－2，0，2)，B (－1，1，2)，C (－3，0，4)，设a ＝AB →，b ＝AC →. (1)若|c |＝3，且c ∥BC →，求向量c . (2)求向量a 与向量b 的夹角的余弦值．【答案】解 (1)∵c ∥BC →，BC →＝(－3，0，4)－(－1，1，2)＝(－2，－1，2)， ∴c ＝mBC →＝m (－2，－1，2)＝(－2m ，－m ，2m )， ∴|c |＝（－2m ）2＋（－m ）2＋（2m ）2＝3|m |＝3， ∴m ＝±1.∴c ＝(－2，－1，2)或(2，1，－2)． (2)∵a ＝(1，1，0)，b ＝(－1，0，2)， ∴a ·b ＝(1，1，0)·(－1，0，2)＝－1，又∵|a |＝12＋12＋02＝2， |b |＝（－1）2＋02＋22＝5，∴cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a |·|b |＝－110＝－1010，即向量a 与向量b 的夹角的余弦值为－1010. 所以异面直线AG 与CE 所成角的余弦值为23.。

《空间向量及其运算》教学设计课时1空间向量及其线性运算一、本节内容分析本节的主要内容是空间向量的定义，几种常见的空间向量，零向量、单位向量、共线向量、相等向量、相反向量、方向向量，空间向量的线性运算，向量加法、向量减法、向量数乘，空间向量的夹角以及数量积，空间向量的投影向量，我们可利用空间向量解决有关立体几何中的夹角，距离，平行，垂直等问题.空间向量是解决立体几何问题的重要手段之一，了解并掌握空间向量在立体几何中的使用有利于解决立体几何中的关键问题.对于本节课而言，它是空间向量的基础，不管是在以后学习中要用空间向量求异面直线的夹角，线面角，面面角，还是两点之间的距离，证明平行，垂直都离不开空间向量的线性运算和数量积，掌握本节课对以后空间向量的学习至关重要.本节内容的重点是认识空间向量，并能熟练应用线性运算法则进行空间向量的运算，熟练掌握空间向量的数量积，会为以后学习线线角、线面角、面面角起到至关重要的作用.难点是空间向量线性运算以及空间向量数量积.本节包含的核心知识和体现的核心素养如下:二、学情整体分析学生已经学习了平面向量并对平面向量的相关知识较熟悉，在此基础上学习求解空间向量，学生还是比较容易接受的，也更容易理解，同时也是比较感兴趣的.鉴于学生在学习平面向量阶段基础参差不齐、认识上也有很大偏差，特别对概念的理解也不是太深入，所以更应该让学生学会自主学习，鼓励学生大胆讨论交流、认真总结，建立能学好数学的自信心.学情补充:____________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________ 三、教学活动准备【任务专题设计】1.空间向量的基本概念2.空间向量的线性运算3.共线向量定理4.共面向量定理5.空间向量的夹角6.空间向量的数量积运算【教学目标设计】1.通过本节的学习，理解空间向量的有关概念.2.掌握空间向量的加减运算法则、运算律，并通过空间几何体加深对运算的理解.3.能借助图形理解空间向量加减运算及其运算律的意义.培养空间向量的应用意识.【教学策略设计】本节介绍了空间向量的相关概念，线性运算，共线向量定理，共面向量定理和数量积，先由学生自己复习回顾平面向量的相关概念、线性运算、共线向量定理、共面向量定理和数量积，通过对比平面向量和空间向量得出，平面向量和空间向量的关系，进而类比平面向量给出空间向量的相关知识点，并通过例题巩固加深理解.【教学方法建议】迁移教学法、问题教学法,还有________________________________________________.【教学重点难点】重点1.掌握空间向量的概念和空间向量的线性运算.2.掌握空间向量的共线向量定理和共面向量定理.3.掌握空间向量的夹角和空间向量的数量积.4.掌握空间向量的投影向量.难点空间向量的线性运算、共线向量定理、共面向量定理和数量积.【教学材料准备】1.常规材料:多媒体课件、________________________________________________2.其他材料:_____________________________________________________________.四、教学活动设计教学导入师：对于平面向量而言我们很熟悉，生活中也经常见到，比如力，速度等等，过正方体同一点的三条棱上我们会得到三个向量，它们与以前我们学过的向量有什么不同？生：这三个向量不是平面向量.师：也就是说，它们是不共面的向量，不共面的向量与平面向量有什么区别与联系？这就是我们本节要学习研究的问题，也叫做空间向量.【设计意图】回顾前面所学过的平面向量，提出新的问题，引出关于本节课的问题，激发学生学习的兴趣，提出本节课题.教学精讲探究1 空间向量的基本概念师：本节我们来研究空间向量的概念和运算，空间向量与平面向量的区别与联系，接下来我们将通过类比的方法来研究空间向量，首先我们复习回顾一下平面向量的知识点.【学生回顾并回答上述问题，教师予以肯定并总结学生结果】【设活动 深探究】回答教师提出的问题，复习旧的知识，为学习新的知识做准备，培养归纳记忆能力. 【要点知识】平面向量的相关概念1.平面向量:在平面上既有大小又有方向的量叫做向量.2.长度或模:平面向量的大小.3.表示方法:(1)几何表示法:平面向量用有向线段表示. (2)字母表示法:用字母,,a b c 表示;若向量a 的起点是A ,终点是B ,也可记作:AB ,其模记为||a 或||AB .(3)坐标表示法:建立平面直角坐标系后,还可以用坐标表示平面向量.如:(,)x y =a . 4.零向量:长度为0的向量叫做零向量,记为0. 5.单位向量:模为1的向量叫做单位向量.6.相反向量:与向量a 长度相等而方向相反的向量,叫做a 的相反向量,记为-a .7.共线向量:方向相同或相反的非零向量叫平行向量,也叫共线向量.8.相等向量:方向相同且模相等的向量叫做相等向量.师：其实空间向量就是把向量放到空间中了，同学们可以给空间向量下个定义吗？ 生：可以.在空间中既有大小又有方向的量.师：很好，请同学们类比平面向量得到空间向量的其他定义. 生：分组讨论，并回答. 【要点知识】空间向量的相关概念1.空间向量:在空间中, 既有大小又有方向的量叫做空间向量.2.长度或模: 空间向量的大小．3.表示方法:(1)几何表示法: 空间向量用有向线段表示. (2)字母表示法:用字母,,a b c 表示;若向量a 的起点是A ,终点是B ,也可记作:AB ,其模记为||a 或||AB .(3)坐标表示法:建立空间直角坐标系后,还可以用坐标表示空间向量.如:=a (,,)x y z . 4.零向量:长度为0的向量叫做零向量,记为0. 5.单位向量:模为1的向量叫做单位向量.6.相反向量:与向量a 长度相等而方向相反的向量,叫做a 的相反向量,记为-a .7.共线向量:方向相同或相反的非零向量叫平行向量,也叫共线向量.8.相等向量:方向相同且模相等的向量叫做相等向量.9.方向向量:在直线l 上取非零向量a ,与向量a 平行的非零向量称为直线l 的方向向量. 【猜想探究能力】通过类比的手法给出空间向量的概念以及相关知识点，锻炼学生的猜想探究能力. 师：下面练习有关空间向量的有关题目巩固概念. 【要点知识】利用空间向量的有关概念解题思考辨析.（正确的打“√”，错误的打“×”）(1)空间向量,,a b c ,若//,//a b b c ,则//a c . （ ） (2)相等向量一定是共线向量. （ ） (3)三个空间向量一定是共面向量. （ ） (4)零向量没有方向. （ ） 【概括理解能力】通过类比的手法给出空间几个特殊向量的概念，并能掌握它们之间的差别与联系，锻炼学生的概括理解能力.师: 本题考查向量的有关概念, 请同学们独自完成. 【学生回答问题,并说明理由】 生:(1)⨯;若=0b 时,a 与c 不一定平行. (2)√;相等向量一定共线，但共线不一定相等.(3)⨯;两个空间向量一定是共面向量,但三个空间向量可能是共面的,也可以是不共面的. (4)⨯;零向量有方向,它的方向是任意的. 探究2 空间向量的线性运算师：在学习平面向量后我们学习了平面向量的运算，空间向量的运算我们也可采用与平面向量相同的方法，首先我们来回顾一下平面向量的加法、减法、数乘.【学生复习回顾并回答问题】 【多媒体展示】 【要点知识】平面向量的加、减、数乘运算1.向量的加法、减法OB OA OC =+=+aCA OA OC =-=-a +=+b b a)()++=++b c a b c 向量加法用三角形法则或平行四边形法则, 减法用平行四边形法则. 2.平面向量的数乘运算(1)定义:实数λ与空间向量a 的乘积λa 仍然是一个向量,称为向量的数乘运算.当0λ>时,λa 与向量a 方向相同;当0λ<时,λa 与向量a 方向相反; λa 的长度是a 的长度的||λ倍.(2)运算律①结合律:()()()λμμλλμ==a a a .②分配律:(),()λμλμλλλ+=++=+a a a a b a b . 【设情境 巧激趣】复习向量的运算，即平面向量的加法、减法及数乘的运算法则及满足的运算律，培养学生的自主学习能力，提升学生的归纳记忆能力.师:很好.由此我们可知1223341?n n A A A A A A A A -++++=生:12233411n n n A A A A A A A A A A -++++=.师:予以肯定,对于两个向量来说,空间向量和平面向量有没有区别?生:平面向量可在同一平面内平移,而空间向量也可在空间中平移,平移后的向量与原向量是同一向量.由此得出空间任意两个向量都可转化为共面向量.师:换句话说,空间任意两个向量都可转化为共面向量,那它们的加、减、数乘运算呢?生:空间任意两个向量的线性运算,平面向量的结论都适用.【猜想探究能力】通过上面的学习，学生回答教师提出的问题，猜想、推测，找出空间向量和平面向量的联系，从而最终总结出合适的结论，锻炼猜想探究能力.【要点知识】空间向量的加法，减法运算OB OA OC=+=+aCA OA OC=-=-a+=+b b a)()++=++b c a b c师：平面向量的加法有几种做法？生：两种，三角形法则和平行四边形法则.师：同样的，空间向量的加法也有两种.请同学上黑板展示两向量,a b的加法.【选一个代表进行展示】【归纳总结】空间向量加法的几何作图三角形法则:已知非零向量,a b,在平面内任取一点A,作,AB BC==a b,则向量AC叫做a 与b的和,记作+a b,即AB BC AC+=+=a b,这种求向量和的方法,称为向量加法的三角形法则,即,三角形法则的结果是向量的首尾相接,如图:平行四边形法则:先把两个已知向量的起点平移到同一点,再以这两个已知向量为邻边作平行四边形,则这两邻边所夹的对角线所在向量就是这两个已知向量的和.以A 为起点作向量,AB AD ==a b ,以,AB AD 为邻边作平行四边形ABCD ,则以A 为起点的对角线AC 就是a 与b 的和,记作AC +=a b ,如图:【概括理解能力】教师通过引导学生类比平面向量的线性运算归纳空间向量的线性运算，锻炼学生的概括理解能力.师：空间向量的减法呢？生：也是两种，三角形法则和平行四边形法则.（其中，平行四边形法则是由相反向量得出，由相反向量的定义可知，()-=+-a b a b ，即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量）【学生分组讨论，并总结答案，教师予以肯定学生答案，并多媒体展示】 【深度学习】通过类比平面向量加法的三角形法则和平行四边形法则，归纳出空间向量加法的三角形法则和平行四边形法则，锻炼学生的概括理解能力.【归纳总结】空间向量减法的几何作图作法一:利用相反向量作图,(同加法)通过向量加法的平行四边形法则作出-a b ,作,,OA OB AC ===-a b b ,则()BA OC ==-=-a +b a b ,如图:作法二:已知非零向量,a b ,在平面内任取一点A ,作,AB AD ==a b ,则向量DB 叫做a 与b 的差,记作-a b ,即AB AD DB -=-=a b ,这种求向量差的方法,称为向量减法的三角形法则,如图:师:利用此方法作图时,把两个向量的起点放在一起,则这两个向量的差是以减向量的终点为起点,被减向量的终点为终点的向量.师:空间向量的加法与减法的法则与平面向量的加减法法则是一致的,那么它们的运算律也是一致的.都满足哪些运算律?【学生分组讨论】 生:(1)交换律:+=+a b b a . (2)结合律:()()++=++a b c a b c . 【要点知识】空间向量的数乘实数λ与空间向量a 的乘积λa 仍然是一个向量，称为向量的数乘运算. 【深度学习】通过类比平面向量加法的三角形法则和平行四边形法则，归纳出空间向量减法的三角形法则和平行四边形法则，锻炼学生的概括理解能力.师:空间向量的数乘与平面向量的数乘是一样的,数乘的运算结果仍然为向量. 当0λ>时,λa 与a 的方向如何?大小呢?生:当0λ>时, λa 与向量a 方向相同. λa 的长度是a 的长度的||λ倍. 师:若0λ<或0λ=呢?情况又如何?【学生分组讨论,并总结结果,选一个代表回答问题,并展示结果】生:当0λ>时, λa 与向量a 方向相同;当0λ<时, λa 与向量a 方向相反;当0λ=时,0;λλ=a a 的长度是a 的长度的||λ倍.师:平面向量数乘运算满足哪些运算律?空间向量的数乘运算与平面向量相同,它满足什么运算律呢?生:平面向量数乘运算满足结合律与分配律,所以空间向量也满足结合律与分配律. 【意义学习】学生通过学习空间向量加法，减法的运算，可以用其解决问题. 【要点知识】数乘运算的运算律1.结合律:()()()λμμλλμ==a a a .2.分配律:(),()λμλμλλλ+=++=+a a a a b a b . 【概括理解能力】通过类比平面向量的数乘，定义空间向量的数乘，锻炼学生的概括理解能力. 师：根据空间向量的线性运算，我们来看下面例题. 【典型例题】向量的线性运算例1 在三棱锥A BCD -中,若BCD 是正三角形,E 为其中心,则AB +1322BC DE AD --化简的结果为_____________.师：由△BCD 是正三角形可知E ，F 分别是DF 与BC 的几分点？ 生：E 是DF 的3分点，F 是BC 的2分点. 师：回答上述例题问题.【学生利用向量线性运算规则回答上述问题】 【多媒体展示】 【典型解析】向量的线性运算解:延长DE 交边BC 于点F ,连接AF ,则有13,22AB BC AF DE AD AD DF AF +=+=+=,故1322AB BC DE AD +--=0.【先学后教】先引导学生分析题目，本题给出一个正三角形以及正三角形的中心，中心是只有正三角形有的，而且是它的重心，垂心，内心，外心四心合一，所以E 是DF 的三分点，F 是BC 的中点，进而根据空间向量的运算法则化解式子，让学生自己感受化解向量式子的方法和具体策略，让学生对做题方法印象更深、运用更好.探究3 共线向量定理师:复习回顾平面向量的共线向量定理.生:共线向量定理:对于平面任意两个向量,(0),//≠a b b a b 的充要条件是存在实数λ使λ=a b .师:类似于平面向量共线定理,我们可得出空间向量的共线向量定理.【要点知识】共线向量定理对于空间任意两个向量,(0),//≠a b b a b 的充要条件是存在实数λ使λ=a b .师:如图,O 是直线l 上一点,在直线l 上取非零向量a ,则对于直线l 上任意一点P ,由数乘向量定义及共线向量定理可知,OP a 有什么关系?生:由数乘向量定义及共线向量定理可知,存在实数λ,使得OP λ=a .师:O 是直线l 上一点,在直线l 上取非零向量a ,则对于直线l 上任意一点P ,由数乘向量定义及向量共线的充要条件可知,存在实数λ,使得OP λ=a .同时我们把与向量a 平行的非零向量称为直线l 的方向向量.师:同理,如图,如果l 为经过已知点A 且平行于已知向量a 的直线,那么对任一点O ,点P 在直线l 上的充要条件是存在实数t ,满足哪个等式?生:在l 上取AB =a ,所以可得到AP t t AB ==a .师:由向量加法可知OP OA AP =+,那么OP OA t =+a .生:OP OA t =+a ①(或者OP OA t AB =+).师:还可以得出什么?生:(1)OP t OA tOB =-+②.师:①或②式都叫做空间直线的向量参数方程.师:由此我们得出共线向量定理的推论,也就得出三点共线的证明方法.【意义学习】教师通过对学生的提问，使学生加深空间向量的共线向量的定理的理解，加深对它的记忆，在以后学习应用中能够更熟练地使用.【要点知识】共线向量定理推论设,,O A B 三点不共线,那么点P 在直线AB 上的充要条件是:存在唯一实数t ,使得(1)OP t OA tOB =-+.【概括理解能力】通过类比平面向量的共线向量定理总结空间向量的共线向量定理，锻炼学生的概括理解能力.师:从上述推论可知,,OA OB 系数之和为1.师:下面我们来练习利用共线向量定理及推论解题.【典型例题】共线向量定理的应用例2 设12,e e 是空间两个不共线的向量,已知1212,54AB k BC =+=+e e e e ,122DC =--e e ,且,,A B D 三点共线,实数k =_____________.师:本题中由,,A B D 三点共线,可知AD 和AB 有何关系?生:由共线向量定理可知,存在实数λ,使得AD AB λ=.师:请同学黑板展示上题结果.生解:()()()121212125427(6)AD AB BC CD k k =++=+++++=++e e e e e e e e ,设AD AB λ=, 则()12127(6)k k λ++=+e e e e ,所以7,6,k k λλ=⎧⎨=+⎩解得1k =. 【猜想探究能力】教师一步步引导学生根据空间向量共线定理推导出利用空间向量证明三点共线的共线定理推论，锻炼猜想探究能力.探究4 共面向量定理师：下面我们继续探究共面向量.【要点知识】共面向量如果表示向量a 的有向线段OA 所在的直线OA 与直线l 平行或重合,那么称向量a 平行于直线l .如果直线OA 平行于平面又或在平面α内,那么称向量a 平行于平面α.平行于同一个平面的向量叫做共面向量.师:我们知道空间任意两个向量总是共面的,空间任意三个向量一定共面吗?生:不一定共面,如图,空间四边形中,,AB AC AD 不共面.师：那么什么情况下三个空间向量共面呢？请看结论.【先学后教】引导学生分析题目，确定完成此题需要用到的定理，然后确定目标，找出合适的向量之间的关系，来证明三点共线.【要点知识】共面向量定理及其推论1.共面向量定理若两个向量,a b 不共线,则向量p 与向量,a b 共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(,)x y ,使x y =+p a b .2.共面向量定理推论空间一点P 位于平面ABC 内的充要条件:存在有序实数对(,)x y ,使AP xAB y AC =+或对空间任意一点O ,有OP OA x AB y AC =++.【概括理解能力】通过类比平面向量的共面向量定理总结空间向量的共面向量定理，锻炼学生的概括理解能力.师：下面我们根据共面向量定理及其推论来解题.【典型例题】空间向量的共面向量例3 若空间任意一点O 和不共线的三点,,A B C ,满足1133OP OA OB =++13OC ,则点P 与点,,A B C 是否共面?师：我们可利用共面向量定理推论来解决本题，请同学自主完成.【自主学习】学生自主回答问题，通过解决本题，让学生完全理解什么是空间共面向量定理，并锻炼学生计算能力及解题速度，学生自主摸索证明共面的方法，以达到学习以学生为主的目的.【学生独立思考，并完成.教师多媒体展示】【典型例题】空间向量的共面向量解:由111333OP OA OB OC=++得11()()33OP OA OB OA OC OA-=-+-即1133AP AB AC=+,因此点P与点,,A B C共面.【概括理解能力】根据空间向量的定义，概括总结空间向量共面的定义，锻炼学生的归纳概括理解能力.【教师：对学生解题过程予以肯定并给出总结】师：本节课我们要学习的知识已经全部完成.我们来一起回顾我们都学了哪些内容？（提问同学，并口述回答）【设计意图】总结本节课所学知识，让学生对空间向量及其线性运算有一个系统的理解与把握，并巩固所学知识.【课堂小结】空间向量及其线性运算1.空间向量的基本概念2.空间向量的线性运算3.共线向量定理4.共面向量定理教学评价学完本节课，学生对空间向量有了深刻认识.这堂课由平面向量引出，通过平面向量类比给出空间向量的相关概念，定义空间向量的加法、减法、数乘以及数量积，体会空间向量在数学学习中的重要性.根据学生实际学习情况和课堂效果总结出教学过程中的方法和策略的成功之处，不足之处及改进方法.应用所学知识，完成下题：如图,在ABO 中,11,42OC OA OD OB ==,AD 与BC 相交于点M .,OA OB ==a b . 【设计意图】引导学生加深理解空间向量的知识，让学生体会所学知识，通过具体知识点的演练，运用课堂教学中所学分析计算等能力，解决本题，达到数学运算、逻辑推理核心素养目标.(1)试用a 和b 表示向量OM .(2)在线段AC 上取一点E ,在线段BD 上取一点F ,使EF 过点M ,设OE OA λ=,OF OB μ=,当EF 为AD 时,11,2λμ==,此时137λμ+=.有人得出如下结论:不论,E F 在线段,AC BD 上如何变动,137λμ+=总成立,试问他的这个结论对吗?请说明理由.解析：(1)设OM m n =+a b ,则(1),AM OM OA m n m n =-=+-=-+a b a a b 1122AD OD OA OB OA =-=-=-+a b . ∵,,A M D 三点共线,∴AM 与AD 共线.故存在实数t ,使得AM t AD =,即1(1)2m n t ⎛⎫-+=-+ ⎪⎝⎭a b a b , ()11,2m n t t ∴-+=-+a b a b 1,,2m t t n -=-⎧⎪∴⎨=⎪⎩消去t ,得12m n -=-,即21m n +=.① 1144CM OM OC m n m n ⎛⎫=-=+-=-+ ⎪⎝⎭a b a a b ,1144CB OB OC =-=-=-+b a a b,又,,C M B 三点共线,CM ∴与CB 共线.同理可得41m n +=.②联立①②,解得13,77m n ==, 故1377OM =+a b . (2)他的结论是对的.理由如下:1313,7777EM OM OE λλ⎛⎫=-=+-=-+ ⎪⎝⎭a b a a b EF OF OE OB OA μλλμ=---=-+a b , 又EF 与EM 共线,故存在实数k ,使得EM kEF =, 即()1377k k k λλμλμ⎛⎫-+=-+=-+ ⎪⎝⎭a b a b a b ,1,73,7k k λλμ⎧-=-⎪⎪∴⎨⎪=⎪⎩消去k ,得1377λλμ-=-⋅. 整理即得137λμ+=.教学反思本节课我们学习了空间向量的定义及相关概念，空间向量的线性运算，空间向量的共线向量定理和共面向量定理以及空间向量的数量积.通过探究教学法，让学生更深刻地理解空间向量及其运算的相关知识.【以学定教】类比平面向量的定义和相关概念，线性运算以及数量积，给出空间向量的定义和相关概念，线性运算以及数量积，并利用空间向量解决有关问题.【以学论教】向量是一种重要的教学工具，是沟通代数和集合的桥梁.空间向量为处理立体几何问题提供了一个新视角，是解决空间中图形位置关系与度量问题的有效手段.在教学过程中，使学生体会认识事物的本质，体会数形结合的数学思想方法，并提高运用所学知识解决实际问题的能力.通过学习和运用，进一步使学生体会数学的科学价值、应用价值，进而领会数学的人文价值、美学价值，不断提高自身的文化素养.。

教案)空间向量及其运算一、教学目标1. 理解空间向量的概念，掌握空间向量的基本性质。

2. 学会空间向量的表示方法，能够熟练地在坐标系中表示和计算空间向量。

3. 理解空间向量的运算规则，包括加法、减法、数乘和点乘。

4. 能够运用空间向量的运算解决实际问题。

二、教学内容1. 空间向量的概念：向量的定义、大小、方向。

2. 空间向量的表示方法：坐标表示、图形表示。

3. 空间向量的运算规则：a. 加法：三角形法则、平行四边形法则。

b. 减法：向量的减法等于加法的相反向量。

c. 数乘：数乘向量的概念、运算规则。

d. 点乘：点乘的定义、运算规则、几何意义。

三、教学重点与难点1. 教学重点：a. 空间向量的概念及其基本性质。

b. 空间向量的表示方法。

c. 空间向量的运算规则。

2. 教学难点：a. 空间向量的运算规则的理解与应用。

b. 空间向量在实际问题中的应用。

四、教学方法与手段1. 教学方法：a. 采用讲授法，讲解空间向量的概念、性质和运算规则。

b. 采用示例法，展示空间向量的运算过程和应用实例。

c. 采用练习法，让学生通过练习巩固空间向量的知识。

2. 教学手段：a. 使用多媒体课件，展示空间向量的图形和运算过程。

b. 使用黑板和粉笔，绘图和演算空间向量的运算。

五、教学安排1课时教案)空间向量及其运算六、教学过程1. 导入：通过简单的二维向量例子，引导学生思考空间向量的概念。

2. 新课：讲解空间向量的定义、性质，以及各种表示方法。

3. 示范：展示空间向量的加法、减法、数乘和点乘运算，并用多媒体课件演示运算过程。

4. 练习：让学生在多媒体课件上进行空间向量的运算练习，巩固所学知识。

5. 应用：举例说明空间向量在实际问题中的应用，如物体运动、空间几何等。

七、教学反思课后，教师应认真反思本节课的教学效果，包括学生的课堂表现、教学内容的掌握程度等。

针对存在的问题，调整教学方法，为下一节课的教学做好准备。

八、课后作业1. 复习空间向量的概念、性质和运算规则。

3.1 空间向量及其运算【课题】：空间向量的数乘运算【教课目的】：（1）知识与技术：掌握空间向量的数乘运算（2）过程与方法：进行类比学习，会用空间向量的运算意义和运算律解决立几问题（3）感情态度与价值观：会用平面的向量表达式解决共面问题【教课要点】：空间向量的数乘运算及运算律【教课难点】：用向量解决立几问题【课前准备】： Powerpoint 课件【教课过程设计】：教课环教课活动设计企图节1、空间向量的数乘运算 a ，其模长是 a 的 | | 倍（ 1）当0 时， a 与 a 同向（ 2）当0时， a 与 a 反向2、空间向量的数乘分派律和联合律一．温（1）分派律：故知新（ 2）联合律：(a b)a b( a) ()a以数乘向量及其运算律为打破口，与平面向量进行比较学习，为下边引出共面向量作铺垫。

3、共线向量或平形向量近似于平面向量共线，对空间随意两个向量a, b(b 0) ，a // b的充要条件是存在实数，使a b1、方向向量假如 l 为经过已知点 AaP且平行于已知非零向量a 的直线，关于随意一 BA点 O，点 P 在直线l上的l充要条件是存在实数 t知足等式OOP OA t a．此中向量 a 叫做直线 l 的方向向量.在 l 上取AB a，则上式可化为 OP OA t AB证明：关于空间内随意一点O，A, B ,P三点共线方向向量的引入是为了更好的说明三点共线的向量充要条件，作为特点班，t R,使 AP t AB 能够依据实质状况增补证明过程。

OP-OA t ABOP OA t AB因而可知，能够利用向量之间的关系判断空间任意三点共线，这与利用平面向量判断平面内三点共线二．新是同样的。

课讲解回首平面向量的基本定理：共面向量定理假如两个向量a, b 不共线，那么向量p 与向量 a,b 共面的充要条件是存在有序实数组( x, y) ，使得 p x yb ，这就是说，向量不共线的两个向量a, b 线性表示。

3.1空间向量及其运算教学设计教案第一篇：3.1空间向量及其运算教学设计教案教学准备1.教学目标（1）知识与技能：理解和掌握空间向量的基本概念，向量的加减法（2）过程与方法：通过高一学习的平面向量的知识，引申推广，理解和掌握向量的加减法（3）情感态度与价值观：类比学习，注重类比、推广等思想方法的学习，运用向量的概念和运算解决问题，培养学生的开拓创新能力。

2.教学重点/难点【教学重点】：空间向量的概念和加减运算【教学难点】：空间向量的应用3.教学用具多媒体4.标签3.1.1空间向量及其加减运算教学过程课堂小结 1．空间向量的概念： 2．空间向量的加减运算课后习题第二篇：3.1空间向量及其运算教学设计教案教学准备1.教学目标1、知识与技能：理解空间向量基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示，会在简单问题中选用空间三个不共面向量作为基底表示其他向量。

2、过程与方法：通过类比、推广等思想方法，启动观察、分析、抽象概括等思维活动，培养学生的思维能力，体会类比、推广的思想方法，对向量加深理解。

3、情感、态度与价值观：通过本节课的学习，养成积极主动思考，勇于探索，不断拓展创新的学习习惯和品质。

2.教学重点/难点重点：理解空间向量基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示；难点：理解空间向量基本定理；3.教学用具多媒体设备4.标签教学过程教学过程设计（一）.复习引入1、共线向量定理：2、共面向量定理：3、平面向量基本定理：4、平面向量的正交分解：（二）、新课探究：探究一.空间向量基本定理2、空间向量基本定理3、注意：对于基底{a,b,c},除了应知道向量a,b,c不共面，还应明确（1）任意不共面的三个向量都可做为空间的一个基底。

（2）由于零向量可视为与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，所以三个向量不共面，就隐含着它们都不是零向量。

（3）一个基底是指一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量，二者是相关连的不同概念。

课题：空间向量及其运算(一)教学目的：1．理解空间向量的概念，掌握空间向量的加法、减法和数乘运算2．用空间向量的运算意义和运算律解决立几问题教学重点：空间向量的加法、减法和数乘运算及运算律教学难点：用向量解决立几问题授课类型：新授课课时安排：1课时教具：多媒体、实物投影仪内容分析：本节，空间向量及其运算共有4个知识点：空间向量及其线性运算、共线向量与共面向量、空间向量的分解定理、两个向量的数量积这一节是全章的重点，有了第一大节空间平行概念的基础，我们就很容易把平面向量及其运算推广到空间向量由于本教材学习空间向量的主要目的是，解决一些立体几何问题，所以例习题的编排也主要是立体几何问题本小节首先把平面向量及其线性运算推广到空间向量学生已有了空间的线、面平行和面、面平行概念，这种推广对学生学习已无困难但仍要一步步地进行，学生要时刻牢记，现在研究的X围已由平面扩大到空间一个向量已是空间的一个平移，两个不平行向量确定的平面已不是一个平面，而是互相平行的平行平面集，要让学生在空间上一步步地验证运算法则和运算律这样做，一方面复习了平面向量、学习了空间向量，另一方面可加深学生的空间观念当我们把平面向量推广到空间向量后，很自然地要认识空间向量的两个最基本的子空间：共线向量和共面向量把平行向量基本定理和平面向量基本定理推广到空间然后由这两个定理推出空间直线和平面的向量表达式有了这两个表达式，我们就可以很方便地使用向量工具解决空间的共线和共面问题在学习共线和共面向量定理后，我们学习空间最重要的基础定理：空间向量基本定理，这个定理是空间几何研究数量化的基础有了这个定理空间结构变得简单明了，整个空间被3个不共面的基向量所确定空间—个点或一个向量和实数组(x，y，z)建立起一一对应关系本节的最后一个知识点是，两个向量的数量积由平面两个向量的数量积推广到空间最重要的是让学生建立向量在轴上的投影概念为了减轻教学难度，内积的几个运算性质教材中没有证明学生基础好的学校可在教师的指导下，由学生自己证明 教学过程： 一、复习引入： 1向量的概念(1)向量的基本要素：大小和方向(2)向量的表示：几何表示法 AB ，a；坐标表示法(,)a xi yj x y =+=(3)向量的长度：即向量的大小，记作｜a｜(4)特殊的向量：零向量a ＝0 ⇔｜a｜＝0单位向量0a 为单位向量⇔｜0a｜＝1(5)相等的向量：大小相等，方向相同),(),(2211y x y x =⎩⎨⎧==⇔2121y y x x(6)平行向量(共线向量)：方向相同或相反的向量，称为平行向量记作a ∥b由于向量可以进行任意的平移(即自由向量)，平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量2向量的运算向量的加减法，数与向量的乘积，向量的数量（内积）及其各运算的坐标表示和性质运算类型 几何方法坐标方法运算性质向 量的加 法1平行四边形法则2三角形法则),(2121y y x x b a ++=+a b b a +=+)()(c b a c b a ++=++ AB BC AC +=向量的减法三角形法则),(2121yyxxba--=-)(baba-+=-AB BA=-OB OA AB-=向量的乘法1aλ是一个向量,满足:2λ>0时,aλ与a同向;λ<0时,aλ与a异向;λ=0时,aλ=0),(yxaλλλ=aa)()(λμμλ=aaaμλμλ+=+)(babaλλλ+=+)(a∥babλ=⇔向量的数量积ba•是一个数10=a或0=b时,ba•=020≠a且0≠b时,),cos(||||bababa=•2121yyxxba+=•abba•=•)()()(bababa•=•=•λλλcbcacba•+•=•+)(22||aa=22||yxa+=||||||baba≤•3重要定理、公式：(1)平面向量基本定理21,ee是同一平面内两个不共线的向量，那么，对于这个平面内任一向量，有且仅有一对实数21,λλ，使2211eeaλλ+=(2)两个向量平行的充要条件a∥b⇔a＝λb⇔01221=-yxyx(3)两个向量垂直的充要条件a⊥b⇔a·b＝O⇔02121=+yyxx(4)线段的定比分点公式设点P 分有向线段⇔所成的比为λ，即1PP ＝λ2PP ，则OP ＝λ+111OP ＋λ+112OP (线段的定比分点的向量公式) ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=++=.1,12121λλλλy y y x x x (线段定比分点的坐标公式)当λ＝1时，得中点公式：OP ＝21（1OP ＋2OP ）或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=.2,22121y y y x x x (5)平移公式设点),(y x P 按向量),(k h a = 平移后得到点),(y x P '''，则OP '＝OP +a或⎩⎨⎧+='+='.,k y y h x x ，曲线)(x f y =按向量),(k h a =平移后所得的曲线的函数解析式为：)(h x f k y -=-(6)正、余弦定理 正弦定理：.2sin sin sin R CcB b A a === 余弦定理：A bc c b a cos 2222-+=⇔bca cb A 2cos 222-+=B ac a c b cos 2222-+=⇔cab ac B 2cos 222-+=C ab b a c cos 2222-+=⇔abc b a C 2cos 222-+=二、讲解新课：1．空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量 注：⑴空间的一个平移就是一个向量⑵向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量aC'B'A'D'DABC GMC'B'A'D'DAB C ⑶空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示 2．空间向量的运算定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘向量运算如下（如图）OB OA AB a b =+=+ BA OA OB a b =-=- ()OP a R λλ=∈运算律：⑴加法交换律：a b b a+=+ ⑵加法结合律：)()(c b a c b a++=++⑶数乘分配律：b a b aλλλ+=+)(3．平行六面体：平行四边形ABCD 平移向量a到D C B A ''''的轨迹所形成的几何体，叫做平行六面体，并记作：ABCD －D C B A ''''它的六个面都是平行四边形，每个面的边叫做平行六面体的棱 三、讲解X 例：例1已知平行六面体ABCD －D C B A ''''化简下列向量表达式，标出化简结果的向量. ⑴AB BC +；⑵AB AD AA '++； ⑶12AB AD CC '++； ⑷1()3AB AD AA '++ 解：如图：⑴AB BC AC +=；⑵AB AD AA '++=AC AA AC ''+=；⑶设M 是线段C C '的中点，则12AB AD CC AC CM AM '++=+=； ⑷设G 是线段C A '的三等份点，则11()33AB AD AA AC AG ''++==向量,,,AC AC AM AG '如图所示:C B AOb b baa例2 已知空间四边形ABCD ，连结,AC BD ，设,M G 分别是,BC CD 的中点，化简下列各表达式，并标出化简结果向量：（1）AB BC CD ++； （2）1()2AB BD BC ++； （3）1()2AG AB AC -+． 解：如图，（1）AB BC CD AC CD AD ++=+=； （2）111()222AB BD BC AB BC BD ++=++ AB BM MG AG =++=；（3）1()2AG AB AC AG AM MG -+=-=． 四、课堂练习：1．如图，在空间四边形ABCD 中，,E F 分别是AD 与BC 的中点， 求证：1()2EF AB DC =+． 证明：1122EF ED DC CF AD DC CB =++=++ 11()22AB BD DC CB =+++ 11()22AB DC CB BD =+++ 1122AB DC CD =++ 1()2AB DC =+ 2．已知2334x y a b c +=-++，385x y a b c --=-+，把向量,x y 用向量,,a b c 表示 解:∵2334x y a b c +=-++，385x y a b c --=-+ ∴32x a b c =-+-， 2y a b c =-+3．如图，在平行六面体ABCD A B C D ''''-中，设AB a =，,AD b AA c '==，,E F 分别是,AD BD '中点，（1）用向量,,a b c 表示,D B EF '；BCDMGABCDEFAA'BB'CC'DD'EFACD（2）化简：2AB BB BC C D D E ''''++++； 解: （1）D B D A A B B B b a c ''''''=++=-+-1122EF EA AB BF D A a BD '=++=++ 111()()()222b c a a b a c =--++-+=- 五、小结 ：空间向量的相关的概念及空间向量的表示方法；平行六面体的概念； 向量加法、减法和数乘运算六、课后作业：如图设A 是△BCD 所在平面外的一点，G 的重心求证：1()3AG AB AC AD =++七、板书设计（略） 八、课后记：。

（1）空间向量及其相关概念；（2）共线向量定理和共面向量定理；（3）空间向量的线性运算；（4）空间向量的数量积运算.1.2内容解析内容本质：本节课是本单元的起始课，在建立单元学习框架的基础上，通过本节的知识内容空间向量的定义，几种常见的空间向量，零向量、单位向量、共线向量、相等向量、相反向量、方向向量，空间向量的线性运算，向量加法、向量减法、向量数乘，空间向量的夹角以及数量积，空间向量的投影向量等的学习，我们可利用空间向量解决有关立体几何中的夹角，距离，平行，垂直等问题.空间向量是解决立体几何问题的重要手段之一，了解并掌握空间向量在立体几何中的使用有利于解决立体几何中的关键问题.对于本节课，它既是空间向量的基础，以及在以后学习中要用空间向量求异面直线的夹角，线面角，面面角，还是两点之间的距离，证明平行，垂直都离不开空间向量的线性运算和数量积，掌握本节知识点对空间向量以后的学习是至关重要的.同时本节课的内容本质是通过对向量的概念从平面向量的认识向空间向量的过渡，有平面内的向量都可以看作空间中的向量，因此空间向量的概念、表示和平面向量具有一致性，但在维数上发生了变化，空间向量是三维的，平面向量是二维的.由于任意两个空间向量都可以平移到一个平面内，因此两个空间向量的运算可以看作两个平面向量的运算，它们的加法、减法、数乘、数量积运算也具有一致性，当然也要注意维数的变化.蕴含的思想方法：（1）向量作为代数对象，通过类比数及其运算，抽象与表示运算对象、构建运算体系；向量作为几何对象，以平面几何、立体几何中关于几何对象的抽象与表示、图像性质的内涵与发现等为参照发现和提出问题.向量运算法则、运算律都具有几何意义，而且这些定义的给出都是以几何的相关定理例如平行四边形定理、相似三角形定理、勾股定理等等作为逻辑基础的.（2）在教学时，类比平面向量得出空间向量的相关概念，体现了直观想象的核心素养；通过空间向量的性质与运算，强化数学运算的核心素养，通过几何体中的线性运算，巩固学习空间向量的含义与运算，有利于培养学生空间想象能力即数学抽象、直观想象和数学运算等数学核心素养.过空间向量的数量积运算，强化数学运算的核心素养，通过几何体中的数量积运算，有利于培养学生空间想象能力即数学抽象、直观想象和数学运算等数学核心素养.知识的上下位关系：在平面向量知识的基础上，结合具体实例，继续研究空间向量；通过空间向量的相关知识的学习，加深对平面向量知识的认识和理解；通过利用空间向量知识来解决实际问题，提高用向量方法解决问题的能力。

8.6 空间向量及其运算[知识回顾]一、空间向量及其有关概念语言描述共线向量(平行向量)表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合．共面向量平行于同一平面的向量．共线向量定理对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b⇔存在λ∈R，使a＝λb.共面向量定理若两个向量a，b不共线，则向量p与向量a，b共面⇔存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝x a＋y b.空间向量基本定理(1)定理：如果三个向量a、b、c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}使得p＝x a＋y b＋z c．(2)推论：设O、A、B、C是不共面的四点，则对空间一点P都存在唯一的三个有序实数x、y、z使OP＝x OA＋y OB＋z OC且x＋y＋z＝1.二、数量积及坐标运算1．两个向量的数量积(1)a·b＝|a||b|cos〈a，b〉；(2)a⊥b⇔a·b＝0(a，b为非零向量)；(3)|a|2＝a2，|a|＝x2＋y2＋z2.2．向量的坐标运算a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)向量和a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)向量差a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)数量积a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3共线a∥b⇒a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)垂直a⊥b⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0公式cos〈a，b〉＝a1b1＋a2b2＋a3b3a21＋a22＋a23b21＋b22＋b23三、平面的法向量(1)所谓平面的法向量，就是指所在的直线与平面垂直的向量，显然一个平面的法向量有无数多个，它们是共线向量．(2)在空间中，给定一个点A 和一个向量a ，那么以向量a 为法向量且经过点A 的平面是唯一的．[高频考点]考点一空间向量的线性运算典题导入[例1] 如图，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中G 为△A 1BD 的重心，设AB ＝a ， AD ＝b ，1AA ＝c ，试用a ，b ，c 表示1AC ，AG .本例条件不变，设A 1C 1与B 1D 1交点为M ，试用a ，b ，c 表示MG .由题悟法用已知向量表示未知向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键，要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义，灵活运用三角形法则及四边形法则．以题试法1.如图所示，已知空间四边形OABC ，其对角线为OB 、AC ，M 、N 分别为OA 、BC 的中点，点G 在线段MN 上，且MG ＝2GN ，若OG ＝x OA ＋y OB ＋z OC ，则x ，y ，z 的值分别为________．考点二共线、共面向量定理的应用典题导入[例2]如图，已知平行六面体ABCD－A′B′C′D′，E、F、G、H分别是棱A′D′、D′C′、C′C和AB的中点，求证E、F、G、H四点共面．由题悟法应用共线向量定理、共面向量定理证明点共线、点共面的方法比较：三点(P，A，B)共线空间四点(M，P，A，B)共面PA＝λPB且同过点P MP＝x MA＋y MB对空间任一点O，OP＝OA→＋t AB 对空间任一点O，OP＝OM＋x MA＋y MB对空间任一点O，OP＝x OA＋(1－x) OB对空间任一点O，OP＝x OM＋y OA＋(1－x－y) OB以题试法2.已知E、F、G、H分别是空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点，用向量方法，求证：(1)E、F、G、H四点共面；(2)BD∥平面EFGH.考点三利用空间向量证明平行或垂直典题导入[例3]已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD为等边三角形，边长为2a，AD ＝DE＝2AB，F为CD的中点．(1)求证：AF∥平面BCE；(2)求证：平面BCE⊥平面CDE.由题悟法利用直线的方向向量与平面的法向量，可以判定直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行和垂直．(1)设直线l1的方向向量v1＝(a1，b1，c1)，l2的方向向量v2＝(a2，b2，c2)．则l1∥l2⇔v1∥v2⇔(a1，b1，c1)＝k(a2，b2，c2)(k∈R)．l1⊥l2⇔v1⊥v2⇔a1a2＋b1b2＋c1c2＝0.(2)设直线l的方向向量为v＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量为n＝(a2，b2，c2)，则l∥α⇔v ⊥n⇔a1a2＋b1b2＋c1c2＝0.l⊥α⇔v∥n⇔(a1，b1，c1)＝k(a2，b2，c2)．(3)设平面α的法向量n1＝(a1，b1，c1)，β的法向量为n2＝(a2，b2，c2)，则α∥β⇔n1∥n2，α⊥β⇔n1⊥n2.以题试法3．如图所示的长方体ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为2的正方形，O为AC 与BD的交点，BB1＝2，M是线段B1D1的中点．(1)求证：BM∥平面D1AC；(2)求证：D1O⊥平面AB1C.[方法总结]1.用空间向量解决立体几何中的平行或共线问题一般用向量共线定理；求两点间距离或某一线段的长度，一般用向量的模来解决；解决垂直问题一般可转化为向量的数量积为零；求异面直线所成的角，一般可以转化为两向量的夹角，但要注意两种角的范围不同，最后应进行转化．2．直线的方向向量与平面的法向量的确定：(1)直线的方向向量：l 是空间一直线，A ，B 是直线l 上任意两点，则称AB 为直线l 的方向向量，与AB 平行的任意非零向量也是直线l 的方向向量．(2)平面的法向量可利用方程组求出：设a ，b 是平面α内两不共线向量，n 为平面α的法向量，则求法向量的方程组为⎩⎪⎨⎪⎧n ·a ＝0，n ·b ＝0.答案[例1]【答案】 1AC ＝AB ＋BC ＋1CC ＝AB ＋AD ＋1AA ＝a ＋b ＋c .AG ＝1AA ＋1A G＝1AA ＋13(1A D ＋1A B )＝1AA ＋13(AD －1AA )＋13(AB －1AA )＝131AA ＋13AD ＋13AB ＝13a ＋13b ＋13c .解：如图，MG ＝1MA ＋1A G＝－12(11A B ＋11A D )＋13(1A D ＋1A B )＝－12a －12b ＋13(AD －1AA )＋13(AB －1AA )＝－12a －12b ＋13b －13c ＋13a －13c＝－16a －16b －23c1.【解析】∵OG ＝OM ＋MG ＝12OA ＋23MN＝12OA ＋23(ON －OM ) ＝12OA ＋23ON －23OM ＝12OA ＋23×12(OB ＋OC )－23×12OA ＝16OA ＋13OB ＋13OC ∴x ，y ，z 的值分别为16，13，13.【答案】16，13，13[例2]【答案】 取ED '＝a ，EF ＝b ，EH ＝c ， 则HG ＝HB ＋BC ＋CG ＝D F '＋2ED '＋12AA '＝b －a ＋2a ＋12(AH ＋HE ＋EA ')＝b ＋a ＋12(b －a －c －a )＝32b －12c ，∴HG 与b 、c 共面．即E 、F 、G 、H 四点共面． 2.证明：(1)连接BG ，则EG ＝EB ＋BG ＝EB ＋12(BC ＋BD )＝EB ＋BF ＋EH ＝EF ＋EH ， 由共面向量定理知： E 、F 、G 、H 四点共面． (2)因为EH ＝AH －AE＝12AD －12AB ＝12(AD －AB )＝12BD ， 又因为E 、H 、B 、D 四点不共线，所以EH ∥BD . 又EH ⊂平面EFGH ，BD ⊄平面EFGH ， 所以BD ∥平面EFGH . [例3]【答案】 依题意，以AC 所在的直线为x 轴，AB 所在的直线为z 轴，过点A 且垂直于AC 的直线为y 轴，建立如图所示的空间直角坐标系A －xyz ，则A (0,0,0)，C (2a,0,0)，B (0,0，a )，D (a ，3a,0)，E (a ，3a,2a )．∵F 为CD 的中点，∴F ⎝⎛⎭⎫32a ，32a ，0.(1)易知，AF ＝⎝⎛⎭⎫32a ，32a ，0，BE ＝(a ，3a ，a )，BC ＝(2a,0，－a )，∵AF ＝12(BE ＋BC )，AF ⊄平面BCE ，∴AF ∥平面BCE .(2)∵AF ＝⎝⎛⎭⎫32a ，32a ，0，CD ＝(－a ，3a,0)，ED ＝(0,0，－2a )，∴AF ·CD ＝0，AF ·ED ＝0，∴AF ⊥CD ，AF ⊥ED ，即AF ⊥CD ，AF ⊥ED . 又CD ∩ED ＝D ，∴AF ⊥平面CDE .又AF ∥平面BCE ，∴平面BCE ⊥平面CDE . 3．证明：(1)建立如图所示的空间直角坐标系，则点O (1,1,0)、D 1(0,0，2)， ∴1OD ＝(－1，－1，2)， 又点B (2,2,0)，M (1,1，2)， ∴BM ＝(－1，－1，2)， ∴1OD ＝BM ， 又∵OD 1与BM 不共线， ∴OD 1∥BM .又OD 1⊂平面D 1AC ，BM ⊄平面D 1AC ， ∴BM ∥平面D 1AC .(2)连接OB 1.∵1OD ·1OB ＝(－1，－1，2)·(1,1，2)＝0，1OD ·AC ＝(－1，－1，2)·(－2,2,0)＝0，∴1OD ⊥1OB ，1OD ⊥AC ， 即OD 1⊥OB 1，OD 1⊥AC ，又OB 1∩AC ＝O ，∴D 1O ⊥平面AB 1C .。

教案)空间向量及其运算教案内容：一、教学目标1. 了解空间向量的概念，理解向量的几何表示和坐标表示。

2. 掌握空间向量的线性运算，包括加法、减法、数乘和点乘。

3. 能够应用空间向量的运算解决实际问题。

二、教学重点与难点1. 空间向量的概念及其几何表示。

2. 空间向量的坐标表示及其运算。

3. 空间向量的应用问题。

三、教学准备1. 教师准备PPT或黑板，用于展示向量的图形和运算过程。

2. 准备一些实际问题，用于引导学生应用向量知识解决。

四、教学过程1. 引入：通过展示一些实际问题，如物体运动、几何图形等，引导学生思考向量的概念和作用。

2. 讲解：向学生介绍空间向量的概念，讲解向量的几何表示和坐标表示。

通过示例和图形，让学生理解向量的加法、减法、数乘和点乘运算。

3. 练习：让学生通过练习题的方式，巩固对向量运算的理解和掌握。

可以提供一些选择题和填空题，以及一些应用问题。

4. 应用：引导学生将向量知识应用到实际问题中，如物体运动、几何图形等。

可以让学生分组讨论和展示解题过程。

5. 总结：对本节课的主要内容和知识点进行总结，强调重点和难点。

五、作业布置1. 完成课后练习题，包括选择题、填空题和应用问题。

2. 准备下一节课的预习内容，了解空间向量的线性组合和叉乘。

六、教学反思在课后，教师应反思本节课的教学效果，包括学生的参与度、理解程度和掌握情况。

根据学生的反馈和表现，调整教学方法和策略，以便更好地进行后续教学。

六、教学评价1. 评价方式：通过课堂讲解、练习题和实际问题解决，评价学生对空间向量的概念理解和运算掌握程度。

2. 评价标准：学生能准确地描述空间向量的概念，理解向量的几何表示和坐标表示；能熟练地进行向量的加法、减法、数乘和点乘运算；能将向量知识应用到实际问题中，解决问题。

七、拓展与延伸1. 向量的线性组合：向学生介绍空间向量的线性组合概念，讲解线性组合的性质和运算规律。

2. 向量的叉乘：向学生介绍空间向量的叉乘概念，讲解叉乘的性质和运算规律。

第一课时3.1.1空间向量及其加减运算教学要求：理解空间向量的概念，掌握其表示方法；会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律；能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题． 教学重点：空间向量的加减与数乘运算及运算律．教学难点：由平面向量类比学习空间向量．教学过程：一、复习引入1、有关平面向量的一些知识：什么叫做向量？向量是怎样表示的呢？既有大小又有方向的量叫向量．向量的表示方法有：用有向线段表示；用字母a 、b 等表示；用有向线段的起点与终点字母：AB ．长度相等且方向相同的向量叫相等向量.2. 向量的加减以及数乘向量运算：向量的加法：向量的减法：实数与向量的积：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa ，其长度和方向规定如下：|λa |＝|λ||a |(2)当λ＞0时，λa 与a 同向； 当λ＜0时，λa 与a 反向； 当λ＝0时，λa ＝0.3. 向量的运算运算律：加法交换律：a ＋b ＝b ＋a4. 三个力都是200N ，相互间夹角为60°，能否提起一块重500N 的钢板？二、新课讲授1. 定义：我们把空间中具有大小和方向的量叫做空间向量．向量的大小叫做向量的长度或模.→ 举例？ 表示？（用有向线段表示） 记法？ → 零向量？ 单位向量？ 相反向量？ → 讨论：相等向量？ 同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量．→ 讨论：空间任意两个向量是否共面？2. 空间向量的加法、减法、数乘向量的定义与平面向量的运算一样：OB OA AB =+=a +b ，AB OB OA =-（指向被减向量），OP =λa()R λ∈ （请学生说说数乘运算的定义？）3. 空间向量的加法与数乘向量的运算律．⑴加法交换律：a +b = b + a ；⑵加法结合律：(a + b ) + c =a + (b + c )；⑶数乘分配律：λ(a + b ) =λa +λb ；⑶数乘结合律：λ(u a ) =(λu )a ．4. 推广：⑴12233411n n n A A A A A A A A A A -++++=； ⑵122334110n n n A A A A A A A A A A -+++++=；⑶空间平行四边形法则．5. 出示例：已知平行六面体（底面是平行四边形的四棱柱）''''ABCD A B C D -（如图），化简下列向量表达式，并标出化简结果的向量：AB BC +⑴； 'AB AD AA ++⑵；1(3)'2AB AD CC ++； 1(')3AB AD AA ++⑷． 师生共练 → 变式训练6. 练习：课本P 927. 小结：概念、运算、思想（由平面向量类比学习空间向量）三、巩固练习： 作业：P106 A 组 1、2题.。

空间向量及其运算第一章：空间向量的概念1.1 向量的定义介绍向量的定义和表示方法解释向量的方向和大小1.2 向量的图形表示绘制向量的起点和终点展示向量的箭头表示法1.3 向量的坐标表示介绍坐标系的概念解释如何用坐标表示向量第二章：空间向量的运算2.1 向量的加法介绍向量加法的定义和性质演示向量加法的图形表示法2.2 向量的减法介绍向量减法的定义和性质演示向量减法的图形表示法2.3 向量的数乘介绍向量数乘的定义和性质解释数乘对向量大小和方向的影响第三章：空间向量的线性组合3.1 线性组合的概念介绍线性组合的定义和表示方法解释线性组合的性质3.2 线性相关的向量组介绍线性相关的定义和判定条件展示线性相关向量组的例子3.3 线性无关的向量组介绍线性无关的定义和判定条件解释线性无关向量组的重要性第四章：空间向量的线性变换4.1 线性变换的概念介绍线性变换的定义和表示方法解释线性变换的性质4.2 矩阵与线性变换介绍矩阵的概念和表示方法解释矩阵与线性变换的关系4.3 线性变换的矩阵表示解释线性变换的矩阵表示方法演示如何求解线性变换的矩阵第五章：空间向量的内积和外积5.1 内积的概念介绍内积的定义和表示方法解释内积的性质和几何意义5.2 内积的计算公式介绍内积的计算公式和推导过程演示如何计算两个向量的内积5.3 外积的概念介绍外积的定义和表示方法解释外积的性质和几何意义5.4 外积的计算公式介绍外积的计算公式和推导过程演示如何计算两个向量的外积第六章：空间向量的投影6.1 投影的概念介绍向量投影的定义和表示方法解释投影的性质和几何意义6.2 投影的计算方法介绍投影的计算方法和推导过程演示如何计算一个向量在另一个向量上的投影6.3 投影的应用解释投影在几何和物理中的应用展示投影在坐标变换和图像处理中的应用第七章：空间向量的正交性7.1 正交性的概念介绍正交性的定义和表示方法解释正交性的几何意义和重要性7.2 正交向量组介绍正交向量组的定义和判定条件展示正交向量组的例子7.3 施密特正交化解释施密特正交化的概念和推导过程演示如何将一组向量正交化第八章：空间向量的范数8.1 范数的概念介绍范数的定义和表示方法解释范数的性质和几何意义8.2 常见范数介绍常见范数的概念和计算方法演示如何计算向量的不同范数8.3 范数与向量空间解释范数与向量空间的关系展示范数对向量空间结构的限制第九章：空间向量的角度和距离9.1 角度的概念介绍向量角度的定义和表示方法解释向量角度的几何意义9.2 角度的计算方法介绍向量角度的计算方法和推导过程演示如何计算两个向量之间的角度9.3 距离的概念介绍向量距离的定义和表示方法解释向量距离的几何意义9.4 距离的计算方法介绍向量距离的计算方法和推导过程演示如何计算两个向量之间的距离第十章：空间向量的应用10.1 向量在几何中的应用解释向量在几何中的作用和应用展示向量在证明几何定理和解决问题中的应用10.2 向量在物理中的应用介绍向量在物理中的基本概念和应用解释向量在力学和电磁学中的应用10.3 向量在工程和计算机科学中的应用介绍向量在工程和计算机科学中的应用展示向量在图像处理、机器学习和数据可视化等方面的应用第十一章：空间向量的分解11.1 向量分解的概念介绍向量分解的定义和表示方法解释向量分解的意义和几何意义11.2 向量的线性组合分解介绍向量的线性组合分解方法和步骤演示如何将一个向量分解为线性组合11.3 向量的正交分解解释向量的正交分解的概念和推导过程演示如何将一个向量正交分解为两个正交向量的和第十二章：空间向量组的极大线性无关组12.1 极大线性无关组的概念介绍极大线性无关组的定义和判定方法解释极大线性无关组的意义和重要性12.2 基底的概念介绍基底的概念和表示方法解释基底的作用和几何意义12.3 基底的选取方法介绍基底的选取方法和策略展示如何选择合适的基底第十三章：空间向量空间和子空间13.1 向量空间的概念介绍向量空间的概念和性质解释向量空间的作用和重要性13.2 子空间的概念介绍子空间的概念和判定方法解释子空间的意义和几何意义13.3 子空间的性质和运算介绍子空间的性质和运算规则演示如何计算子空间的交集和并集第十四章：空间向量的线性映射14.1 线性映射的概念介绍线性映射的定义和表示方法解释线性映射的性质和几何意义14.2 线性映射的矩阵表示解释线性映射的矩阵表示方法和推导过程演示如何求解线性映射的矩阵14.3 线性映射的性质和运算介绍线性映射的性质和运算规则展示线性映射的图像和特点第十五章：空间向量的应用案例分析15.1 向量在几何中的应用案例分析向量在几何中的经典应用案例解释向量在解决几何问题中的作用和方法15.2 向量在物理中的应用案例分析向量在物理中的经典应用案例解释向量在解决物理问题中的作用和方法15.3 向量在工程和计算机科学中的应用案例分析向量在工程和计算机科学中的经典应用案例解释向量在解决工程和计算机科学问题中的作用和方法重点和难点解析1. 向量的概念及其表示方法：向量是具有大小和方向的量，可以用箭头表示法、坐标表示法等方法表示。

《空间向量及其运算》教学设计◆教学目标1、了解空间向量、向量的模、零向量、相反向量、相等向量、共面向量等概念．提升学生的数学运算、逻辑推理素养；.2、会用平行四边形法则、三角形法则作出向量的和与差，掌握数乘向量运算的意义及运算律．提高运算、抽象、推理等数学思维能力．◆教学重难点◆教学重点：熟练掌握空间向量的加法、减法、数乘的计算方法.教学难点：利用空间向量的加法、减法、数乘的计算方法解决简单的问题.◆课前准备PPT课件．◆教学过程一、整体概览问题1：阅读课本第2页，回答下列问题：（1）本章将要研究哪类问题？（2）本章要研究的对象在高中的地位是怎样的？（3）本章研究的起点是什么？目标是什么？师生活动：学生带着问题阅读课本，老师指导学生概括总结本节的内容.预设的答案：（1）本章内容共分为空间向量及其运算和空间向量在立体几何中的应用两大部分.第一部分空间向量及其运算,包含空间向量及其运算、空间向量基本定理、空间向量的坐标与空间直角坐标系三小节内容.第二部分空间向量在立体几何中的应用包含五小节内容.首先将立体几何中的基本研究对象空间中的点、直线和平面用空间向量表示,然后把点、线、面的位置关系和向量运算建立联系,通过向量运算研究平行、垂直、角和距离等位置和数量关系．（2）本章是“几何与代数”这条内容主线在选择性必修部分的承接.空间向量的引入,为解决三维空间中的图形的位置关系和度量关系提供了一个十分有效的工具.在本章中,学生将在学习平面向量的基础上,把平面向量及其运算推广到空间,运用空间向量解决有关直线、平面位置关系的问题,体会向量方法在研究几何图形中的作用,进一步发展学生的直观想象、数学运算的核心素养．（3）本章的起点是空间向量的概念，通过学生已经学习过的平面向量的概念，通过例题说明向量源于实际并应用于实际，这符合学生的认知规律，在实际教学中，要利用学生的生活经验以及他们学过的其他学科，创设丰富的情景，使学生进一步理解空间向量概念的实质，激发学生的学习兴趣,引导学生用数学眼光观察世界,用数学思维思考世界,用数学语言表达世界．设计意图：通过章引言内容的预习，让学生明晰下一阶段的学习目标，初步搭建学习内容的框架.二、探索新知1、复习概念问题2：我们在必修第二册第六章中曾经学习过平面向量的相关概念，请同学们回忆平面向量的相关概念．（板书：空间向量及其运算）师生活动：在教师的指导下共同回忆平面向量的相关概念．教师讲解：①在平面内，既有大小又有方向的量称为向量(也称为矢量)．②向量的大小也称为向量的模(或长度)．③可以用有向线段来直观地表示向量,其中有向线段的长度表示向量的大小,有向线段箭头所指的方向表示向量的方向.有向线段不带箭头的端点称为向量的始点(或起点),带箭头的端点称为向量的终点.④有向线段始点和终点的相对位置确定向量的大小与方向.始点为A，终点为B的向量,记为AB,向量的模用|AB|表示,还可用一个小写字母来表示向量:在印刷时,通常用加粗的斜a b c来表示向量.此时,向体小写字母如a,b,c来表示向量;在书写时,用带箭头的小写字母如,,量a的模也用|a|或|a|来表示．⑤始点和终点相同的向量称为零向量,零向量的方向是不确定的.零向量在印刷时,通常用0表示;书写时,用0表示.零向量的模为|0|,即|0|=0.⑥模等于1的向量称为单位向量.因此,e是单位向量的充要条件是|e|=1.a b.⑦大小相等、方向相同的向量称为相等的向量.向量a和b相等,记作⑧如果两个非零向量的方向相同或者相反,则称这两个向量平行.通常规定零向量与任意a b,两个向量平行也称为两个向量共线.向量平行.两个向量a和b平行,记作//设计意图：通过复习,引导学生把握数学内容的本质,使学生对平面向量的相关概念加深理解,为下面学习空间向量的相关概念打下坚实的基础.2、形成定义观察上述平面向量的有关概念,思考能否将它们从平面推广到空间中，如果能,尝试说出推广后的不同之处;如果不能,说明理由．师生活动：通过类比，学生自己得出空间向量的概念．教师讲解：只要去掉“在平面内”的限定，就都可以原封不动地推广到空间中，因此，我们仍使用上述向量的概念与约定如下.（1）空间向量①空间向量的定义在空间，把具有大小和方向的量叫做空间向量，向量的大小叫做向量的长度或模．②空间向量及其模的表示方法空间向量用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的模．如图，a 的起点是A ，终点是B ，则a 也可记作AB →，其模记为|a |或|AB →|.③特殊向量不同之处：空间中的向量，除了共线之外，我们还要讨论共面的情形.一般地，空间中的多个向量，如果表示它们的有向线段通过平移之后，都能在同一平面内，则称这些向量共面；否则，称这些向量不共面.设计意图：通过回顾平面向量的相关概念可以知道,对于一个向量,只要不改变它的大小和方向,是可以任意平行移动的.不过平面向量仅限于研究同一平面内的平移,而空间向量研究的是空间中的平移.提高学生的逻辑推理素养．问题3：如图1-1-2，请指出下列各组向量的位置关系.（1）1AA ，1DD ； （2）1AA ，11B C ； （3）1AA ，1DD ，11B C ； （4）1AA ，AD ，AB ；师生活动：学生观察图，自己写出答案，教师给出答案．预设的答案：（1）共线向量；（2）不共线向量，但是共面向量；（3）共面向量；（4）不共面向量.设计意图：充分体会空间向量的方向和模的大小，强化概念理解．问题4:回忆平面向量的加法运算，思考如何定义空间向量的加法，并尝试总结空间向量加法运算与平面向量加法运算有何不同？ 师生活动：学生根据平面向量的加法运算给出空间向量的加法运算．教师讲解：我们知道,给定两个平面向量,a b ,在该平面内任取一点A ,作,==AB a BC b ,作出向量AC ,则AC 是向量,a b 的和(也称AC 为向量,a b 的和向量).向量,a b 的和向量记作+a b ,因此+=AB BC AC .当平面向量,a b 不共线时,,a b ,+a b 正好能构成一个三角形,如图1-1-4所示,因此这种求两向量和的作图方法也常称为向量加法的三角形法则.因为空间中的任意两个向量都共面，所以空间中两个向量的和，除了A 点可以在空间中任意选定之外，其他的与平面情形完全一样.特别地，向量加法的三角形法则和平行四边形法则在空间中也成立.空间向量的加法也可用平行四边形法则:任意给定两个不共线的向量,a b ,在空间中任取一点A ,作,==AB a AC b ,以AB ,AC 为邻边作个平行四边形ABDC ,作出向量AD ,则=+AD AB AC .问题5：如图1-1-5所示的长方体1111-ABCD A BC D 中，求下列向量的和．（1）111+AA B C (2)1++AB AD AA师生活动：学生根据空间向量的加法运算进行计算．预设的答案：（1）1111111+=+=AA BC AA AD AD (2)111++=+=AB AD AA AC AA AC设计意图：通过具体实例加强对平行四边形法则或者三角形法则的理解和应用．问题6：向量加法的运算法则(1)交换律 a ＋b ＝b ＋a ；(2)结合律 (a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )．它们在空间中是否成立呢？尝试证明结合律．预设的答案：如图可知，两个运算法则均成立.如图1-1-6，其中，,,===AB a BC b CO c ，而且，a ,=+=+AC AB BC bb ,=+=+BO BC COc 所以，(a )c,=+=++AO AC CO b(b ),=+=++AO AB BO a c 因此，()()++=++a b c a b c设计意图：通过对空间向量的加法交换律、结合律的推理论证,让学生知晓平面向量的加法交换律、结合律在空间依然成立,进一步培养学生的逻辑推理能力,促使学生提升数形结合的能力,发展几何直观和空间想象能力,使学生增强运用几何直观和空间想象思考问题的意识,进一步形成数学直观,能在具体的情境中感悟事物的本质.三、初步应用例 1 如图1-1-7中所示是一个平行六面体1111-ABCD A BC D ，化简1++DA DC DD师生活动：学生自行解答，由老师指定学生回答．预设的答案：因为底面ABCD 是一个平行四边形，所以,+=DA DC DB 又因为11=DD BB ,因此，111++=+=DA DC DD DB BB DB设计意图：例1旨在说明,三个不共面的向量的和,等于以这三个向量为邻边的平行六面体中,与这三个向量有共同始点的体对角线所表示的向量.问题7：结合平面向量的差向量概念，能否给出空间向量的差向量的概念及空间向量减法的法则？师生活动：学生先回顾平面向量的减法法则，总结给出空间向量的减法法则．预设的答案：在空间中任取一点O,作,==OA a OB b,作出向量BA,则向量BA就是向量,a b的差(也称BA为向量,a b的差向量),即-=OA OB BA,当,a b不共线时,向量,a b ,-a b正好能构成一个三角形,因此这种求两向量差的作图方法称为向量减法的三角形法则.设计意图：通过类比平面向量的减法法则得出空间向量减法法则，加强学生逻辑推理素养，并进一步认识空间向量的减法运算.问题8：结合平面向量的相反向量概念，能否给出空间向量相反向量的概念？师生活动：学生先回顾平面向量的相反向量，总结给出空间向量相反向量的概念．预设的答案：同平面中的情形一样,给定一个空间向量,我们把与这个向量方向相反、大小相等的向量称为它的相反向量,向量a的相反向量记作-a.因此AB的相反向量是-AB,而且-AB=BA.追问：相反向量的性质有哪些？师生活动：学生空间向量相反向量的概念给出相反向量的性质，教师总结．预设的答案：（1）零向量的始点与终点相同,所以-=0；（2）--=（）a a；（3）()();+-=-+a a a a（4）若向量,a b互为相反向量，则0,,+==-=-a b a b b a设计意图：通过相反向量的概念及性质的学习，点通向量减法和加法之间的关系，融汇知识点，使学生更加方便理解概念.问题9：结合平面向量的数乘向量，能否给出空间向量数乘向量？师生活动：学生先回顾平面向量的相反向量，总结给出空间向量相反向量的概念．预设的答案：实数λ与空间向量a的乘积仍然是一个向量，记作λa，称为向量的数乘运算．（1）当λ≠0或a ≠0时，λa 的模是|λ||a|，且有①当λ>0时，λa 与向量a 方向相同；②当λ<0时，λa 与向量a 方向相反；（2）当λ=0或a=0时，λa=0.（3）空间向量的数乘运算满足分配律与结合律：分配律：λ(a ＋b )＝λa ＋λb ，结合律：λ(μa )＝(λμ)a .设计意图：通过数乘向量的概念及性质的学习，清楚数乘向量的几何意义是把向量a 沿着a 的方向或a 的反方向扩大或缩小．例2 ：设AB 是空间中的任意一条线段，O 是空间中任意一点，求证：M 为线段中点的充要条件是1()2=+OM OA OB 师生活动：学生根据所学知识自己证明，教师根据学生所做情况给出讲解．预设的答案：因为M 为AB 中点⇔=AM MB ,1()2⇔-=-⇔=+OM OA OB OM OM OA OB ,所以结论成立．例3：如图1-1-10所示，三棱锥A -BCD 中，O 为CD 的中点，化简1()2+-AB BC DB ，并在图中作出表示化简结果的向量.师生活动：学生根据所学知识自己证明，教师根据学生所做情况给出讲解．预设的答案： 1()21=()2+-++=+=AB BC DB AB BC BD AB BOAO四、归纳小结，布置作业问题10：（1）什么是空间向量？空间向量的模？向量的始点和终点？（2）什么是零向量、单位向量？（3）什么是相等向量？相反向量？（4）什么是数乘向量？师生活动：学生尝试总结，老师适当补充.预设的答案：（1）在空间，把具有大小和方向的量叫做空间向量，向量的大小叫做向量的长度或模．空间向量及其模的表示方法空间向量用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的模．如图，a 的起点是A ，终点是B ，则a 也可记作AB →，其模记为|a |或|AB →|.（2）规定长度为0的向量叫零向量，记为0，模为1的向量叫单位向量．（3）方向相同且模相等的向量称为相等向量，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量；与向量a 长度相等而方向相反的向量，称为a 的相反向量记为－a ．（4）实数λ与空间向量a 的乘积仍然是一个向量，记作λa ，称为向量的数乘运算． 设计意图：通过梳理本节课的内容，能让学生更加明确空间向量的概念的有关知识． 布置作业：教科书第11页练习A 2, 5题．五、目标检测设计1.如图所示，在正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，下列各式中运算的结果为向量AC 1→的共有( )①(＋BC →)＋CC 1→；②(AA 1→＋A 1D 1→)＋D 1C 1→；③(AB →＋BB 1→)＋B 1C 1→；④(AA 1→＋A 1B 1→)＋B 1C 1→．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个设计意图：考查学生对空间向量的加法运算．2.化简：(1)12(a ＋2b －3c )＋5⎝⎛⎭⎫23a －12b ＋23c ＝________； (2)(AB →－CD →)－(AC →－BD →)＝________．设计意图：考查学生对空间向量线性运算简单应用．3．下列说法中正确的是 ( )A ．若|a |＝|b |，则a ，b 的长度相同，方向相同或相反B ．若向量a 是向量b 的相反向量，则|a |＝|b |C ．空间向量的减法满足结合律D ．在四边形ABCD 中，一定有AB →＋AD →＝AC →设计意图：考查学生对向量概念的理解．参考答案：1．D [根据空间向量的加法法则以及正方体的性质逐一进行判断：①(AB →＋BC →)＋CC 1→＝AC →＋CC 1→＝AC 1→．②(AA 1→＋A 1D 1→)＋D 1C 1→＝AD 1→＋D 1C 1→＝AC 1→．③(AB →＋BB 1→)＋B 1C 1→＝AB 1→＋B 1C 1→＝AC 1→．④(AA 1→＋A 1B 1→)＋B 1C 1→＝AB 1→＋B 1C 1→＝AC 1→．所以，所给4个式子的运算结果都是AC 1→．]2．(1)236a －32b ＋116c (2)0 [(1)原式＝12a ＋b －32c ＋103a －52b ＋103c ＝236a －32b ＋116c ． (2)原式＝AB →－AC →－CD →＋BD →＝CB →＋BD →－CD →＝CD →－CD →＝0．]3．B [|a |＝|b |，说明a 与b 模长相等，但方向不确定．对于a 的相反向量b ＝－a ，故|a |＝|b |，从而B 正确．只定义加法具有结合律，减法不具有结合律；一般的四边形不具有AB→＋AD→＝AC→，只有平行四边形才能成立．故A、C、D均不正确．]。

aC'B'A'D'DABC 课 题：空间向量及其线性运算 教学目标：1．运用类比方法，经历向量及其运算由平面向空间推广的过程； 2．了解空间向量的概念，掌握空间向量的线性运算及其性质； 3．理解空间向量共线的充要条件教学重点：空间向量的概念、空间向量的线性运算及其性质； 教学难点：空间向量的线性运算及其性质。

教学过程： 一、创设情景1、蚂蚁爬行的问题引入为什么要研究空间向量.2、平面向量的概念及其运算法则； 二、建构数学1．空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量 注：⑴空间的一个平移就是一个向量⑵向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量 ⑶空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示 2．空间向量的运算定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘向量运算如下（如图）b a AB OA OB+=+=b a OB OA BA-=-= )(R a OP ∈=λλ运算律：⑴加法交换律：a b b a+=+⑵加法结合律：)()(c b a c b a++=++⑶数乘分配律：b a b aλλλ+=+)(3．平行六面体：平行四边形ABCD 平移向量a到D C B A ''''的轨迹所形成的几何体，叫做平行六面体，并记作：ABCD －D C B A ''''，它的六个面都是平行四边形，每个面的边叫做平行六面体的棱。

4．共线向量与平面向量一样，如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量．a 平行于b 记作b a //．当我们说向量a 、b 共线（或a //b ）时，表示a 、b的有向线段所在的直线可能是同一直线，也可能是平行直线． 5．共线向量定理：共线向量定理：空间任意两个向量a 、b （b ≠0 ），a //b的充要条件是存在实数λ，C B AOb b baaA / B使a＝λb .三、数学运用1、例1 如图，在三棱柱111C B A ABC -中，M 是1BB 的中点， 化简下列各式，并在图中标出化简得到的向量： （1）1BA CB +; （2）121AA CB AC ++; （3）CB AC AA --1解：（1）11CA BA CB =+ （2）AM AA CB AC =++121（3）11BA CB AC AA =--2、如图，在长方体///B D CA OADB -中，1,2,4,3======OK OJ OI OC OB OA ，点E,F 分别是//,B D DB 的中点，设k OK j OJ i OI ===,,,试用向量k j i ,,表示OE 和OF解：j i OE 423+=k j i OF 2423++=3、课堂练习已知空间四边形ABCD ，连结,AC BD ，设,M G 分别是,BC CD 的中点，化简下列各表达式，并标出化简结果向量： （1）AB BC CD ++；（2）1()2AB BD BC ++； （3）1()2AG AB AC -+．四、回顾总结空间向量的定义与运算法则 五、布置作业72页 练习2,3《数学之友》选T3.1空间向量及其线性运算BCDMGA。