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§6广义积分与函数

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§6 6 广义积分与函数
课 题：§6.6 广义积分
教学内容：两种广义积分的计算
教学目的：通过学习，使学生掌握两种广义积分的计算
教学重点：无穷去见上广义积分的计算
教学难点：无界函数广义积分的计算
教学过程：

一、无穷限的广义积分
定义1 设函数f(x)在区间[a )上连续 取b>a  如果极限
dxxfbab)(lim



存在 则称此极限为函数f(x)在无穷区间[a )上的广义积分 记作dxxfa)( 即

dxxfdxxfbaba)(lim)(

这时也称广义积分dxxfa)(收敛
如果上述极限不存在 函数f(x)在无穷区间[a )上的广义积分dxxfa)(就没有意义 此时
称广义积分dxxfa)(发散

类似地 设函数f(x)在区间( b ] 上连续 如果极限
dxxfbaa)(lim


(a

存在 则称此极限为函数f(x)在无穷区间( b ]上的广义积分 记作dxxfb)( 即
dxxfdxxfbaab)(lim)(

这时也称广义积分dxxfb)(收敛如果上述极限不存在 则称广义积分dxxfb)(发散
设函数f(x)在区间( )上连续 如果广义积分
dxxf)(0和dxxf)(
0



都收敛 则称上述两个广义积分的和为函数f(x)在无穷区间( )上的广义积分 记作
dxxf)(




 即

dxxfdxxfdxxf)()()(00
dxxfdxxfbbaa)(lim)(lim00

这时也称广义积分dxxf)(收敛
如果上式右端只要有一个广义积分发散 则称广义积分dxxf)(发散
定义1 连续函数f(x)在区间[a )上的广义积分定义为
dxxfdxxfbaba)(lim)(

在广义积分的定义式中 如果极限存在 则称此广义积分收敛否则称此广义积分发散
类似地 连续函数f(x)在区间( b]上和在区间( )上的广义积分定义为

dxxfdxxfbaab)(lim)(

dxxfdxxfdxxfbbaa)(lim)(lim)(00

广义积分的计算 如果F(x)是f(x)的原函数 则
b
a
bbabaxFdxxfdxxf)]([lim)(lim)(





)()(lim)()(limaFxFaFbFxb


可采用如下简记形式
)()(lim)]([)(aFxFxFdxxfxaa





类似地 )(lim)()]([)(xFbFxFdxxfxbb
)(lim)(lim)]([)(xFxFxFdxxfxx

例1 计算广义积分dxx211
解 ][arctan112xdxx
xxxxarctanlimarctanlim


)2 (

2

例2 计算广义积分0dttept (p是常数 且p>0)
解 000]1[][ptptpttdepdttedtte
0]11[dteptepptpt
02]11[ptpt
epte

p

222
11]11
[limppeptepptptt




提示 01limlimlimpttpttpttpeette
例3 讨论广义积分dxxpa1 (a>0) 的敛散性
解 当p1时 dxxpa1dxxa1 ][lnax
当p<1时 dxxpa1 1]11[apxp
当p>1时 1]11[11 1paxpdxxpappa
因此 当p>1时 此广义积分收敛 其值为11pap 当p1时 此广义积分发散
二、无界函数的广义积分
定义2 设函数f(x)在区间 (a b)上连续 而在点a的右邻域内无界 取t >a 如果极限

dxxfbtatlim

存在 则称此极限为函数f(x)在(a b]上的广义积分 仍然记作dxxfba)( 即
dxxfdxxfbtatba)(lim)(

这时也称广义积分dxxfba)(收敛
如果上述极限不存在 就称广义积分dxxfba)(发散
类似地 设函数f(x)在区间[a b]上连续 而在点b 的左邻域内无界 取t < b 如果极限
dxxftabt)(lim


存在 则称此极限为函数f(x)在[a b)上的广义积分 仍然记作dxxfba)( 即

dxxfdxxftabtba)(lim)(

这时也称广义积分dxxfba)(收敛 如果上述极限不存在 就称广义积分dxxfba)(发散
设函数f(x)在区间[a b]上除点c(adxxfca)(与dxxfbc)(

都收敛 则定义
dxxfdxxfdxxfbccaba)()()(

否则 就称广义积分dxxfba)(发散

瑕点 如果函数f(x)在点a的任一邻域内都无界 那么点a称为函数f(x)的瑕点 也称为无界
间断点。
定义2 设函数f(x)在区间(a b]上连续 点a为f(x)的瑕点 函数f(x)在(a b]上的广义积分定
义为

dxxfdxxfbtatba)(lim)(

在广义积分的定义式中 如果极限存在 则称此广义积分收敛否则称此广义积分发散
类似地函数f(x)在[a b] (b为瑕点)上的广义积分定义为

dxxfdxxftabtba)(lim)(

函数f(x)在[a c)∪(c b] (c为瑕点)上的广义积分定义为
dxxfdxxfdxxfbhchtactba)(lim)(lim)(

广义积分的计算
如果F(x)为f(x)的原函数 则有

b
t
atbtatbaxFdxxfdxxf)]([lim)(lim)(




)(lim)()(lim)(xFbFtFbFaxat

可采用如下简记形式
)(lim)()]([)(xFbFxFdxxfaxbaba

类似地 有
)()(lim)]([)(aFxFxFdxxfbxbaba


当a为瑕点时)(lim)()]([)(xFbFxFdxxfaxbaba
当b为瑕点时)()(lim)]([)(aFxFxFdxxfbxbaba
当c (acb )为瑕点时
)](lim)([)]()(lim[)()()(xFbFaFxFdxxfdxxfdxxfcxcxbccaba

例4 计算广义积分adxxa0221
解 因为221limxaax 所以点a为被积函数的瑕点
aaaxdxxa
0
0
22

][arcsin1

20arcsinlima

x

ax

例5 讨论广义积分1121dxx的收敛性
解 函数21x在区间[1 1]上除x0外连续 且201limxx
由于1)1(lim]1[100 1012xxdxxx
即广义积分0121dxx发散 所以广义积分1121dxx发散
例6 讨论广义积分baqaxdx)(的敛散性
解 当q1时 bababaqaxaxdxaxdx )][ln()(
当q1时 baqbaqaxqaxdx 1])(11[)(
当q1时 qbaqbaqabqaxqaxdx1 1)(11])(11[)(
因此 当q<1时 此广义积分收敛 其值为qabq1)(11 当q1时 此广义积分发散

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广义积分敛散性的判别

广义积分敛散性的判别


比较判别法
比较判别法是一种通过比较被积函数与已知收敛或发散的函数来判定广义积分敛散性的方法。如果被 积函数小于已知收敛的函数，则该广义积分收敛；如果被积函数大于已知发散的函数，则该广义积分 发散。
应用比较判别法时，需要选择合适的已知函数作为比较对象，以便准确判断被积函数的敛散性。
拉贝判别法
拉贝判别法是一种通过判断被积函数 的单调性和无界性来判定广义积分敛 散性的方法。如果被积函数在积分区 间上单调递减且无界，则该广义积分 收敛；如果被积函数在积分区间上单 调递增或无界，则该广义积分发散。
VS
应用拉贝判别法时，需要准确判断被 积函数的单调性和无界性，以便准确 判断该广义积分的敛散性。
06
广义积分的计算方法
分部积分法
总结词
分部积分法是一种通过将积分拆分为两个或 更多部分来简化积分的方法。
详细描述
分部积分法是将一个积分转换为两个或更多 个积分的和或差，以便更容易地计算每个积 分。这种方法通常用于处理难以直接积分的 函数。
柯西准则
如果存在某个正数$T$，使得在区间$(-infty, T]$和$[T, +infty)$上，函数$f(x)$均收敛，则函数$f(x)$的广义积 分收敛。
04
广义积分的应用
在物理中的应用
描述连续介质性质
01
广义积分可以用来描述连续介质在时间和空间上的性质，例如
温度分布、电荷密度等。
解决物理问题
换元积分法
总结词
换元积分法是一种通过引入新的变量来简化积分的方法。
详细描述
换元积分法是通过引入新的变量来简化积分的计算。这种方法通常用于处理具有复杂或 难以处理的边界条件的积分。通过引入新的变量，可以将原始积分转换为更易于处理的
6-6 广义积分与伽玛函数

6-6 广义积分与伽玛函数

微积分 六⑤
x1
dx
C .
1 0
x 2x 1
3
x 1
2
dx
D . e x 1 dx
0
1
1
20/32
1. 设f(x)在(a,b]连续，x=a 为瑕点(即 xlim f ( x ) ) a

若 lim a f ( x ) dx 极限存在，则称瑕积分 a f ( x ) dx 0
2
x
f (x)
1 0

2 e
f (1 ) f ( 0 )
0
f (1 )

1 1
e dt 0
2 e 1 e 1
t
f (0) 3 e

e dt e
t
t
1 0

1 e
1
1
原式
微积分 六⑤
1
5/32
4 .已 知 [ f ( x ) f ( x )] sin xdx 5 , f ( ) 2, 求 f ( 0 ) .
(1 )

ln x d x ;
1
( 2)

xe
0
x
dx;
解： (1 )

1
ln x d x lim
t 1
t

t 1
t
ln x d x
1

t 1
ln x d x x ln x
t 1

t ln t x
lim
t
x t ln t t 1

b
b
收敛，记为 a f ( x ) dx lim a f ( x ) dx 0
-广义积分

-广义积分


例1 解
计算

0
xe
x2
d x.

0
xe
x2
d x lim
A

A 0
xe
x2
dx
令 u x2
1 A2 u lim e d u A 2 0 1 lim (e u ) A 2
A2 0
能否将这里的书 写方式简化？
1 A2 1 lim ( e ) A 2 2 1 . 2
我们将运用极限的方法来完成这个工作.
一、无穷积分 —— 无穷区间上的广义积分
1. 无穷积分的概念
设函数 f ( x) 在 [a, ) 上有定义 .
A R , A a , 且 f ( x) R( [a, A] ) . 记

a
f ( x) d x lim
A

A a
0

0
cos x d x sin x
x
lim sin x sin 0 ,
由于 lim sin x 不存在，故原积分
x 0
cos x d x 发散 .
例5 解
dx a x p (a 0) 的敛散性， 其中P 为任意常数. 讨论 P－积分

当 P 1 时:
其它类型的无穷 积分的情形类似 于此.
f ( x) d x .
c

f ( x) d x f ( x) d x [ f ( x) g ( x)] d x u ( x)v( x) d x u ( x)v( x)
c
f ( x) d x
cR.

a
f ( x) d x
一元函数的广义积分与广义积分的计算

一元函数的广义积分与广义积分的计算

一元函数的广义积分与广义积分的计算广义积分是微积分中的重要概念，用于求解一元函数在无界区间或在某些特殊点处的积分。

广义积分的计算方法有多种，包括换元法、分部积分法、特殊方法等。

本文将介绍一元函数的广义积分的概念及其计算方法。

一、广义积分的概念广义积分在数学中的定义是一种通过极限的概念来求解无界或非连续函数的积分。

一元函数f(x)在[a, +∞)或在(a, b]上的广义积分计算如下：∫[a,+∞) f(x)dx = lim R→+∞ ∫[a,R] f(x)dx∫(a,b] f(x)dx = limε→0 ∫[a+ε,b] f(x)dx其中，lim表示极限，[a,b]表示闭区间，(a,b]表示半闭半开区间，ε表示趋于0的正数。

二、广义积分的计算方法1. 换元法换元法是一种常用的广义积分计算方法。

通过变量代换，将原函数转化为一个容易求解的形式。

例如，对于∫[1,+∞) 1/x^2 dx，可以进行变量代换令u = 1/x，dx = -du/u^2，得到新的积分∫[0,1] u^-2 du。

此时，原函数变为∫[0,1] 1/u^2 du，这是一个容易求解的函数，直接计算即可得到结果。

2. 分部积分法分部积分法可用于计算一元函数在无界区间的广义积分。

根据分部积分公式，∫u dv = uv - ∫v du，可以将原函数进行分解，再利用分部积分法逐步求解。

例如，对于∫[0,+∞) x e^(-x) dx，可以将原函数分解为u = x，dv =e^(-x) dx，然后利用分部积分法计算得到∫[0,+∞) x e^(-x) dx = [-xe^(-x)] [0,+∞) + ∫[0,+∞) e^(-x) dx。

最后，利用幂函数的求解公式，计算得到结果。

3. 特殊方法对于一些特殊的函数，可以利用特殊方法来计算广义积分，例如对称性、奇偶性、周期性等。

通过观察函数的特点，可以得到简化计算的方法。

例如，对于∫[-∞,+∞) x^2 e^(-x^2) dx，该函数具有偶对称性，可以将积分区间变为[0,+∞)再乘以2即可。