角的概念的推广

1.1.1角的概念的推广编制单位：临朐实验中学编制人：刘慧敏刘清大审核人：李永亮编号：6【学习目标】1．认识角扩充的必要性，了解任意角的概念，与过去学习过的一些容易混淆的概念相区分；2．能用集合和数学符号表示终边相同的角，体会终边相同角的周期性；3．能用集合和数学符号表示象限角；4．能用集合和数学符号表示终边满足一定条件的角.【学习重点】形成任意角（正角、负角、零角）、终边相同的角、象限角的概念，掌握终边相同的角的表示方法和判定方法【学习难点】终边相同的角的概念、其符号表示、集合表示【知识链接】问题1：角是数学中最常见的基本图形之一，按图形组合的方式来看，角是由哪些基本的图形组成的呢？问题2：不加任何描述条件，两条共端点的射线组成几个角？这两个角之间有什么关系？它们的取值范围是多少？问题3：在图上我们如何区分这两个角？【情境导入】为了解决上述问题，我们看另一种定义方式.即，一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一位置所形成的图形叫做角.【课内探究】思考1：两种定义方式有什么异同之处？思考以下问题，填表（1）在旋转式定义方式下，一次旋转而得的角有几个？（2）两条射线一次组合产生的两个角，如何用旋转的方式表示？当旋转超过一周时，如何描述旋转量？角组合式旋转式边顶点个数范围【概念形成】显然，当我们用旋转的方式定义角时，原有的角的范围必须被扩充，思考2：我们用旋转变换的观点来扩充角的概念，即解决旋转变换的三个要素（旋转中心、旋转方向和旋转量）对角的概念有什么影响？在画图时，常用带箭头的弧来表示旋转的方向和旋转的绝对量.旋转生成的角，又常叫做转角.任意角的图示方法，按照逆时针方向旋转而成的角叫做正角；按照顺时针方向旋转而成的角叫做负角；当射线没有旋转时，叫做零角.在画图时，常用带箭头的弧来表示旋转的方向和旋转的绝对量.旋转生成的角，又常叫做转角.如图(课本图1－1)，射线OA 绕端点O 旋转到OB 的位置所成的角，记作∠AOB ，其中OA 叫做∠AOB 的始边，OB 叫做∠AOB 的终边.以OB 为始边，OA 为终边的角记作∠BOA.如图，射线OA 绕端点O 旋转到OB 的位置所成的角，记作∠AOB ，其中OA 叫做∠AOB 的始边，OB 叫做∠AOB 的终边.以OB 为始边，OA 为终边的角记作∠BOA.例：∠AOB ＝120°，∠BOA ＝－120°.【概念应用】一． 角的合成与运算『小结』各角和的旋转量等于各角旋转量的和.根据已有的定义，我们可以发现：如果把度数相同的角看成是一个角，那么角和实数之间可以形成一一对应的关系.于是，角的合成可以用实数运算来表示.练习1． 课本P7.练习A.5题2． 课本P6练习A.2题（3）二：终边相同的角思考3：以OX 轴为始边旋转30,接着再旋转360，则两个角终边-----------，继续旋转可得到无数个角，关系为--------------，如何表示？一般地，如果βα和是终边相同的角，那么我们记Z k k ∈︒⋅+=,360αβ当k ＝0时，两个角相同.如果我们固定角的始边，因其终边可以任意旋转，故而可以构成任意度数的角，而通过观察我们可以发现，这些角中有很多角的边是重合的.因此我们定义：1.定义 如果当角α与角β的始边重合时，它们的终边也重合，那么我们称角α与角β是终边相同的角.2.表示方法思考4：终边相同的角度数相等么？反之，度数相等的角终边相同么？思考5:终边相同的两个角的度数有什么关系？思考6：设βα和是终边相同的两个角，如何用符号语言表示其数量关系？总结：1.如何把终边相同的角的图形变换特性转化为数量关系形式的.从角的旋转式定义看，终边相同角的本质特征是：每旋转360°的整数倍后两角重合. α 旋转初值整数k 旋转次数360° 单位旋转量2.终边相同的角的集合形式：设α表示任意角，所有与α终边相同的角，包括α本身构成一个集合，这个集合可记为{}Z k k S ∈︒⋅+==,360|αββ.集合中的每一个元素都与α的终边相同，当k ＝0时，对应元素为α.【概念推广】从终边相同的角的符号表示方法推出符号表示终边满足一定条件的角的方法例如Z k k ∈︒⋅+=,180αβ，表示角α每次旋转180°，角β与角α的终边关于原点对称. Z k k ∈︒⋅+=,90αβ表示角α每次旋转90°，角β与角α的终边关于坐标轴对称.※角α与角－α的终边关于x 轴对称等.三．符号表示终边满足一定条件的角『思考』比较与角α终边相同的角的集合，你能发现什么？『小结』在Z k k ∈︒⋅+=,360αβ中，α表示旋转初值，整数k 表示旋转次数，360°表示单位旋转量.改变这些常数，表示不同的旋转过程.例如Z k k ∈︒⋅+=,180αβ，表示角α每次旋转180°，角β与角α的终边关于原点对称.思考：类似地请你自己做一些探究.结论Z k k ∈︒⋅+=,90αβ表示角α每次旋转90°，角β与角α的终边关于坐标轴对称. ※角α与角－α的终边关于x 轴对称等.今后我们通常在平面直角坐标系中讨论角五．象限角的概念.平面内任意一个角都可以通过移动，使角的顶点和平面直角坐标系的原点重合，角的始边和x 轴的正半轴重合，这时，角的终边在第几象限，就把这个角叫做第几象限的角.二、典例剖析例1：射线OA 绕端点O 顺时针旋转80 到OB 位置，接着逆时针旋转250到OC 位置，然后再顺时针旋转270到OD 位置，求AOD ∠的大小。

跟踪训练1：教材P7页第5题例2.写出与下列各角终边相同的角的集合S ，并在0°～360°内找出与它们终边相同的角.（1）°150 （2）°650 （3）°95015'例3．写出与下列各角终边相同的角的集合S ，并在360720β-≤<°内找出与它们终边相同的角.（1）60 （2）21- （3）36314'跟踪训练2：教材P7第4题，第6题例4.已知，角α＝45°，角β的终边与角α的终边关于原点对称，写出角β的集合S. 跟踪训练3：写出终边在x 轴上的角的集合。

三、小结反思1、 任意角的概念2、 角的合成与运算3、 终边相同的角的表示方法4、 终边满足一定条件的角的表示方法象限角的概念与表示方法【当堂检测】1.在直角坐标系中，判断下列各语句的真假：（1）第一象限的角一定是锐角； （2）终边相同的角一定相等；（3）相同的角，终边一定相同； （4）小于90的角一定是锐角；（5）象限角为钝角的终边在第二象限。

（6）终边在直线y x =上的象限角表示为36060k k Z +∈2.写出终边在y 轴上的角的集合；【课后巩固】一．选择题：1.在0°～360°与30-终边相同的角是（ ）.30A .210B .300C .330D2. 下列各角中是第二象限角的有------个（ ）（1）125 （2）195 （3）200- （4）179A.1B.2C.3D.43.与457-的角终边相同的角是（ ）A. {}360457,k k Z αα=⋅+∈ B . {}36097,k k Z αα=⋅+∈ C. {}360263,k k Z αα=⋅+∈ D.{}360263,k k Z αα=⋅-∈ 4.集合{}{}90A B A B ===小于的角，锐角，则A. {}锐角B. {}90小于的角C.{}090到的角D.以上都不对 二：填空题5. 与91-的角终边关于x 轴对称的角的集合是-------------------6.若1690α=，角θ与α终边相同，且360360β-≤<，则θ=-------------------7.写出终边落在y =上角的集合。

答案与提示：问题1答案：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角.问题2答案：两个，和为360°，0°～360°（大于等于0°且小于360°）问题3答案：标示、添加描述条件等思考1答案：思考1答案：任意角的概念按照逆时针方向旋转而成的角叫做正角；按照顺时针方向旋转而成的角叫做负角；（1） 当射线没有旋转时，叫做零角. 旋转方向：旋转变换的方向分为逆时针和顺时针两种，这是一对意义相反的量，根据以往的经验，我们可以把一对意义相反的量用正负数来表示，那么质疑一中提到的问题就可以解决了；（2） 旋转量：当旋转超过一周时，旋转量即超过360°，角度的绝对值可大于360°.这样质疑二中的问题就可以解决了；（3） 旋转中心：作为角的顶点.在画图时，常用带箭头的弧来表示旋转的方向和旋转的绝对量.旋转生成的角，又常叫做转角.『思考』比较与角α终边相同的角的集合，你能发现什么？『小结』在Z k k ∈︒⋅+=,360αβ中，α表示旋转初值，整数k 表示旋转次数，360°表示单位旋转量.改变这些常数，表示不同的旋转过程.例如Z k k ∈︒⋅+=,180αβ，表示角α每次旋转180°，角β与角α的终边关于原点对称例1答案100-跟踪训练1。

2。

见教师用书例4．{}Z k k S ∈︒⋅+︒==,18045|ββ跟踪训练3见教材P5页例三。

课后巩固答案：1.D2.C3.C4.A5. {}36091,k k Z αα=⋅+∈6.110250-或7. {}18060,k k Z αα=⋅+∈。