中考第一轮复习第24讲与圆有关的计算

第24讲 与圆有关的计算 ,知识清单梳理) 弧长与扇形面积计算 圆的半径为r，弧长为l，圆心角为n°，扇形的面积为S扇，则有如下公式：l＝__nπr180__，S扇＝__nπr2360

＝12lr__．

圆柱和圆锥 1．如图①，设圆柱的高为h，底面半径为r.则有：S圆柱侧＝__2πrh__，S圆柱全＝__2πrh＋2πr2__，V圆柱＝__πr2h__．

2．如图②，设圆锥的母线长为l，底面半径为r，高为h，则有：S圆锥侧＝__πrl__，S圆锥全＝__πrl＋πr2__，V圆锥＝__13πr2h__．

阴影部分的面积计算 求不规则图形的面积，一般采用__割补法__．

,云南省近五年高频考点题型示例)

弧长与扇形面积的计算 【例1】(2019云南中考)已知扇形的圆心角为45°，半径长为12，则该扇形的弧长为( ) A.3π4 B．2π C．3π D．12π

【解析】本题考查了弧长的计算，直接利用弧长公式l＝nπr180进行计算，即该扇形的弧长为l＝45π×12180＝3π.

【答案】C

1．(2019云南中考)若扇形的面积为3π，圆心角为60°，则该扇形的半径为( D ) A．3 B．9 C．23 D．32 2．(2019云南中考)已知扇形的圆心角为120°，半径为3 cm，则该扇形的面积为__3π__ cm2.(结果保留π)

3．(2019大理等八地州联考)已知扇形的面积为2π，半径为3，则该扇形的弧长为__43π__．(结果保留π) 4．(2019玉溪中考)如图，在小正方形的边长都为1的方格纸中，△ABO的顶点都在小正方形的格点上，将△ABO绕点O按顺时针方向旋转90°得到△A1B1O，则点A运动的路径长为__5π__． (第4题图) (第5题图) 5．(2019官渡一模)如图，已知小正方形方格的边长为1 cm，点O，A，B分别是格点，以O为圆心，OA长为半径作扇形OAB，则AB︵的长为__2π__ cm.(结果保留π和根号) 圆柱的有关计算 【例2】(2019云南中考)如果圆柱的侧面展开图是相邻两边长分别为6，16π的长方形，那么这个圆柱的体积等于________． 【解析】本题考查圆柱的侧面展开图及圆柱体积的计算．因为题干中未明确指出圆柱的高是6还是16π，故分两种情况讨论．设圆柱底面圆的半径为r，①当圆柱的高为6时，则圆柱底面圆的周长为2πr＝16π，解得r＝8，所以圆柱的体积为πr2×6＝384π；②当圆柱的高为16π时，则圆柱底面圆的周长

为2πr＝6，解得r＝3π，所以圆柱的体积为π3π2×16π＝144. 【答案】384π或144

6．(2019玉溪中考)如图，是一个有盖子的圆柱体水杯，底面周长为6π cm，高为18 cm，若盖子与杯体的重合部分忽略不计，则制作10个这样的水杯至少需要的材料是( D ) A．108π cm2 B．1 080π cm2 C．126π cm2 D．1 260π cm2

圆锥的有关计算

【例3】(2019昆明中考)如图，从直径为4 cm的圆形纸片中，剪出一个圆心角为90°的扇形OAB，且点O，A，B在圆周上，把它围成一个圆锥，则圆锥的底面圆的半径是________cm. 【解析】连接AB，找到AB的中点C.∵∠AOB＝90°，∴AB是⊙C的直径．∵OA＝OB，AB＝4 cm，∴

OA＝OB＝22 cm.lAB︵＝nπr180＝90π×22180＝2π cm，圆锥的底面周长就是扇形的弧长，∴设圆锥底面圆

的半径为x，可列方程2π＝2πx，解得x＝22 ，∴圆锥底面圆的半径为22 cm. 【答案】22 7．(2019云南中考)正如我们小学学过的圆锥体积公式V＝13πr2h(π表示圆周率，r表示圆锥的底面半径，h表示圆锥的高)一样，许多几何量的计算都要用到π.祖冲之是世界上第一个把π计算到小数点后7位的中国古代科学家，创造了当时世界上的最高水平，差不多过了1 000年，才有人把π计算得更精确．在辉煌成就的背后，我们来看看祖冲之付出了多少．现在的研究表明，仅仅就计算来讲，他至少要对9位数字反复进行130次以上的各种运算，包括开方在内．即使今天我们用纸笔来算，也绝不是一件轻松的事情，何况那时候没有现在的纸笔，数学计算不是用现在的阿拉伯数字，而是用算筹(小竹棍或小竹片)进行的，这需要怎样的细心和毅力啊！他这种严谨治学的态度，不怕复杂计算的毅力，值得我们学习． 下面我们就来通过计算解决问题：已知圆锥的侧面展开图是个半圆，若该圆锥的体积等于93π，则这个圆锥的高等于( D ) A．53π B．53 C．33π D．33

阴影部分面积的计算 【例4】(2019昭通中考)如图所示为某公园为迎接“中国——南亚博览会”设置的一休闲区．∠AOB＝90°，弧AB的半径OA长6 m，C是OA的中点，点D在弧AB上，CD∥OB，则图中休闲区(阴影部分)的面积是( )

A．(10π－923)m2 B．(π－923)m2

C．(6π－923)m2 D．(6π－93)m2

【解析】连接OD，∵AB︵的半径OA的长是6 m，C是OA的中点，∴OC＝12OA＝3 m．∵∠AOB＝90°，CD∥OB，∴CD⊥OA.在Rt△OCD中，CD＝OD2－OC2＝33 m．∵sin∠DOC＝DCDO＝32，∴∠DOC＝60°，∴S阴影＝S扇形AOD－S△DOC＝60π×62360－12×3×33＝6π－923m2. 【答案】C

8．如图，在△ABC中，AB＝AC，AB＝8，BC＝12，分别以AB，AC为直径作半圆，则图中阴影部分的面积是( D ) A．64π－127 B．16π－32 C．16π－247 D．16π－127

(第8题图) (第9题图) 9．(2019云南中考)如图，边长为4的正方形ABCD外切于⊙O，切点分别为E，F，G，H.则图中阴影部分的面积为__4＋2π__. 10．(2019云南中考)如图，AB为⊙O的直径，C是⊙O上一点，过点C的直线交AB的延长线于点D，AE⊥DC，垂足为点E，点F是AE与⊙O的交点，AC平分∠BAE. (1)求证：DE是⊙O的切线； (2)若AE＝6，∠D＝30°，求图中阴影部分的面积． 解：(1)连接OC. ∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA.

又∵AC平分∠BAE， ∴∠OAC＝∠CAE， ∴∠OCA＝∠CAE， ∴OC∥AE，∴∠OCD＝∠E. 又∵AE⊥DC，∴∠E＝90°， ∴∠OCD＝90°，∴OC⊥DC. ∵点C在⊙O上，OC为⊙O的半径， ∴DE是⊙O的切线； (2)在Rt△AED中，∵∠D＝30°，AE＝6， ∴AD＝2AE＝12. 在Rt△OCD中，∵∠D＝30°， ∴DO＝2OC＝DB＋OB＝DB＋OC， ∴DB＝OB＝OC＝OA，即3OB＝12， ∴OB＝OC＝4，DO＝8， ∴CD＝DO2－OC2＝82－42＝43，

∴S△OCD＝CD·OC2＝43×42＝83. 又∵∠D＝30°，∠OCD＝90°，∴∠DOC＝60°， ∴S扇形OBC＝nπr2360＝60πOC2360＝16×π×42＝8π3，

∵S阴影＝S△OCD－S扇形OBC，∴S阴影＝83－8π3， ∴阴影部分的面积为83－8π3. ,近五年遗漏考点及社会热点与创新题) 1．遗漏考点 求曲面上最短距离 【例1】如图，底面半径为1，母线长为4的圆锥，一只小蚂蚁若从A点出发，绕侧面一周又回到A点，它爬行的最短路线长是( ) A．2π B．42 C．43 D．5 【解析】由题意知，底面圆的直径为2，

故底面周长等于2π.设圆锥的侧面展开后的扇形圆心角为n°，根据底面周长等于展开后扇形的弧长得，2π＝4πn180，解得n＝90°，所以展开图中扇形的圆心角为90°.根据勾股定理求得到点A的最短的路线长是：42＋42＝32＝42. 【答案】B 2．创新题 【例2】已知Rt△ABC的一条直角边AB＝12 cm，另一条直角边BC＝5 cm，则以AB为轴旋转一周，所得到的圆锥的表面积是( )

A．90π cm2 B．209π cm2 C．155π cm2 D．65π cm2 【解析】在Rt△ABC中，AC＝AB2＋BC2＝13 cm.以AB为轴旋转所得圆锥底面半径为5 cm，母线长为13 cm.故圆锥的表面积＝S侧＋S底＝πrl＋πr2＝π×5×13＋π×52＝90π(cm2)． 【答案】A 【例3】如图，已知∠AOB＝30°，在射线OA上取点O1，以O1为圆心的圆与OB相切；在射线O1A上取点O2，以O2为圆心，O2O1为半径的圆与OB相切；在射线O2A上取点O3，以O3为圆心，O3O2为半径的圆与OB相切；……；在射线O9A

上取点O10，以O10为圆心，O10O9为半径的圆与OB相切．若⊙O的半径为1，则⊙O10的半径长是________． 【解析】根据切线的性质和30°角所对直角边等于斜边的一半，可知OO1＝2，然后同样可知O1O2＝2，O2O3＝2×2＝22，……On－1On＝2n－1，因此可得⊙O10的半径长为210－1＝29＝512. 【答案】512

,课内重难点真题精练及解题方法总结) 1.(2019郴州中考)已知圆锥的母线长为5 cm，高为4 cm，则该圆锥的侧面积为__15π__cm2.(结果保留π)．