人教A版高中数学必修5：第二章数列 章末综合测验

b1
+ b1
+ + bn
=
2 1 2
+
2 23
++
2 n(n +1)
= 2[(1− 1) + (1 − 1) ++ (1 − 1 )]
2 23
n n+1
= 2(1− 1 ) = 2n . n+1 n+1
18.解：∵ Sn = −(n −16)2 +162 , 当 n = 16 时， S n 取得最大值162 .
Sm Sn
=
m2 n2
，其中 m, n N*, m
n，
则 am = （ ） an
A． m n
B． m −1 n −1
C． 2m −1 2n −1
D． m + 2 n +1
1 / 12
知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。--培根
5.等比数列 an 中， a2 + a5 + a11 = 2, a5 + a8 + a14 = 6, 则 a2 + a5 + a8 + a11 + a14 = （ ）
= q3
= 3, ∴ a2
=
2 31
，∴
a2
+ a5
+ a8
+ a11 + a14
=
242 .答案 C 31
6.解析
由已知得
100a1
+
100 2
99
2
=
100
，即
a1
= −98 ，
∴
a4
+

高中数学人教A 版必修5 第二章 数列单元检测(时间120分钟 满分150分)一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．等比数列{a n }的公比q ＝－14，a 1＝2，则数列{a n }是( )A ．递增数列B ．递减数列C ．常数数列D ．摆动数列2．若互不相等的实数a ，b ，c 成等差数列，a 是b ，c 的等比中项，且a ＋3b ＋c ＝10，则a 的值是( ) A ．1 B ．－1 C ．－3D ．－43．在数列{a n }中，a 1＝13，a n ＝(－1)n ·2a n －1(n ≥2)，则a 5等于( )A ．－163 B.163 C ．－83D.834．在等比数列{a n }中，已知前n 项和S n ＝5n ＋1＋a ，则a 的值为( )A ．－1B ．1C ．5D ．－55．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝⎩⎨⎧2a n ，n 为正奇数，a n ＋1，n 为正偶数，则254是该数列的( ) A ．第8项 B ．第10项 C ．第12项D ．第14项6．已知数列{a n }是等差数列，其前n 项和为S n ，若a 1a 2a 3＝15，且3S 1S 3＋15S 3S 5＋5S 5S1＝35，则a 2＝( )A ．2 B.12 C ．3 D.137．如果数列a 1，a 2－a 1，a 3－a 2，…，a n －a n －1，…是首项为1、公比为13的等比数列，那么a n ＝( ) A.32⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13n B.32⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13n －1 C.23⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13n D.23⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13n －1 8．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，a 1＝－2 014，S 2 0072 007－S 2 0052 005＝2，则S 2 016的值为( ) A ．－2 016 B ．2 016 C ．2 015D ．－2 015二、填空题(本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．把答案填在题中横线上)9．已知{a n }是等差数列，S n 为其前n 项和，n ∈N *.若a 3＝16，S 20＝20，则a 1＝________，d ＝________，S 10＝________.10．设数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2＝4，a n ＋1＝2S n ＋1，n ∈N *，则a 1＝________，S 5＝________.11．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝2 015－3n ，则使a n >0成立的最大正整数n 的值为________．12．某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植树的棵数是前一天的2倍，则需要的最少天数n (n ∈N *)等于________．13．已知数列{a n }满足a n ＋1－a n ＝2n (n ∈N *)，a 1＝3，则a n ＝________，a nn 的最小值为________．14．已知等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为A n ，B n ，且满足A n B n ＝2nn ＋3，则a 1＋a 2＋a 12b 2＋b 4＋b 9＝________.15．定义函数f (x )＝{x ·{x }}，其中{x }表示不小于x 的最小整数，如{1.2}＝2，{－2.6}＝－2.当x ∈(0，n ](n ∈N *)时，函数f (x )的值域记为A n ，记A n 中元素的个数为a n ，则a n ＝________，1a 1＋1a 2＋…＋1a 10＝________.三、解答题(本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)16．(14分)已知函数f (x )＝3xx ＋3，数列{x n }的通项由x n ＝f (x n －1)(n ≥2且x ∈N *)确定．(1)求证：⎩⎨⎧⎭⎬⎫1x n 是等差数列；(2)当x 1＝12时，求x 2 016.17．(15分)在△ABC 中，若lg sin A ，lg sin B ，lg sin C 成等差数列，且三个内角A ，B ，C 也成等差数列，试判断此三角形的形状．18．(15分)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a n <a n ＋1，且S 3＝2S 2＋1.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足b n ＝(2n －1)a n (n ∈N *)，求数列{b n }的前n 项和T n .19．(15分)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 10＝55，S 20＝210.(1)求数列{a n }的通项公式． (2)设b n ＝a na n ＋1，是否存在m ，k (k >m ≥2，m ，k ∈N *)使得b 1，b m ，b k 成等比数列？若存在，请说明理由．20．(15分)在数列{a n }中，a 1＝1,2a n a n ＋1＋a n ＋1－a n ＝0(n ∈N *)．(1)求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 为等差数列，并求{a n }的通项公式；(2)若ta n ＋1(a n －1)＋1≥0对任意n ≥2的整数恒成立，求实数t 的取值范围．高中数学人教A 版必修5 第二章 数列单元检测解析(时间120分钟 满分150分)一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．等比数列{a n }的公比q ＝－14，a 1＝2，则数列{a n }是( )A ．递增数列B ．递减数列C ．常数数列D ．摆动数列解析：选D 因为等比数列{a n }的公比为q ＝－14，a 1＝2，故a 2<0，a 3>0，…，所以数列{a n }是摆动数列．2．若互不相等的实数a ，b ，c 成等差数列，a 是b ，c 的等比中项，且a ＋3b ＋c ＝10，则a 的值是( ) A ．1 B ．－1 C ．－3D ．－4解析：选D由题意，得⎩⎨⎧2b ＝a ＋c ，a 2＝bc ，a ＋3b ＋c ＝10，解得a ＝－4，b ＝2，c ＝8.3．在数列{a n }中，a 1＝13，a n ＝(－1)n ·2a n －1(n ≥2)，则a 5等于( )A ．－163 B.163 C ．－83D.83解析：选B ∵a 1＝13，a n ＝(－1)n ·2a n －1， ∴a 2＝(－1)2×2×13＝23，a 3＝(－1)3×2×23＝－43， a 4＝(－1)4×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＝－83， a 5＝(－1)5×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－83＝163.4．在等比数列{a n }中，已知前n 项和S n ＝5n ＋1＋a ，则a 的值为( )A ．－1B ．1C ．5D ．－5解析：选D 因为S n ＝5n ＋1＋a ＝5×5n ＋a ，由等比数列的前n 项和S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝a 11－q －a 11－q ·q n，可知其常数项与q n 的系数互为相反数，所以a ＝－5. 5．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝⎩⎨⎧2a n ，n 为正奇数，a n ＋1，n 为正偶数，则254是该数列的( ) A ．第8项 B ．第10项 C ．第12项D ．第14项解析：选D 当n 为正奇数时，a n ＋1＝2a n ，则a 2＝2a 1＝2，当n 为正偶数时，a n ＋1＝a n ＋1，得a 3＝3，依次类推得a 4＝6，a 5＝7，a 6＝14，a 7＝15，…，归纳可得数列{a n }的通项公式a n ＝⎩⎨⎧2+1-12n ，n 为正奇数，2+12n －2，n 为正偶数，则2+12n －2＝254，n ＝14，故选D.6．已知数列{a n }是等差数列，其前n 项和为S n ，若a 1a 2a 3＝15，且3S 1S 3＋15S 3S 5＋5S 5S1＝35，则a 2＝( ) A ．2 B.12 C ．3 D.13解析：选C ∵S 1＝a 1，S 3＝3a 2，S 5＝5a 3，∴1a 1a 2＋1a 2a 3＋1a 1a 3＝35，∵a 1a 2a 3＝15，∴35＝a 315＋a 115＋a 215＝a 25，∴a 2＝3.故选C.7．如果数列a 1，a 2－a 1，a 3－a 2，…，a n －a n －1，…是首项为1、公比为13的等比数列，那么a n ＝( ) A.32⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13n B.32⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13n －1C.23⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13n D.23⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13n －1 解析：选A 由题知a 1＝1，q ＝13，则a n －a n －1＝1×⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1.设数列a 1，a 2－a 1，…，a n －a n －1的前n 项和为S n ， ∴S n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝a n . 又∵S n ＝1×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13n 1－13＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13n ， ∴a n ＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13n .8．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，a 1＝－2 014，S 2 0072 007－S 2 0052 005＝2，则S 2 016的值为( ) A ．－2 016 B ．2 016 C ．2 015D ．－2 015解析：选B 因为S n 为等差数列{a n }的前n 项和，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是等差数列．设数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的公差为d ′，则由S 2 0072 007－S 2 0052 005＝2，得2d ′＝2，解得d ′＝1，所以S 2 0162 016＝S 11＋2 015d ′＝a 1＋2 015d ′＝－2 014＋2 015＝1，所以S 2 016＝2 016. 二、填空题(本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．把答案填在题中横线上)9．已知{a n }是等差数列，S n 为其前n 项和，n ∈N *.若a 3＝16，S 20＝20，则a 1＝________，d ＝________，S 10＝________. 解析：由已知得，⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝16，20a 1＋20×(20－1)2×d ＝20，解得a 1＝20，d ＝－2，∴S 10＝10×20＋10×92×(－2)＝110. 答案：20 －2 11010．设数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2＝4，a n ＋1＝2S n ＋1，n ∈N *，则a 1＝________，S 5＝________.解析：∵a n ＋1＝2S n ＋1，∴S n ＋1－S n ＝2S n ＋1， ∴S n ＋1＝3S n ＋1，∴S n ＋1＋12＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫S n ＋12，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n ＋12是公比为3的等比数列，∴S 2＋12S 1＋12＝3. 又S 2＝4，∴S 1＝1，∴a 1＝1， ∴S 5＋12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫S 1＋12×34＝32×34＝2432，∴S 5＝121. 答案：1 12111．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝2 015－3n ，则使a n >0成立的最大正整数n 的值为________．解析：由a n ＝2 015－3n >0，得n <2 0153＝67123， 又∵n ∈N *，∴n 的最大值为671. 答案：67112．某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植树的棵数是前一天的2倍，则需要的最少天数n (n ∈N *)等于________．解析：每天植树的棵数构成以2为首项，2为公比的等比数列，其前n 项和S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝2(1－2n )1－2＝2n ＋1－2.由2n ＋1－2≥100，得2n ＋1≥102.由于26＝64,27＝128，则n ＋1≥7，即n ≥6.答案：613．已知数列{a n }满足a n ＋1－a n ＝2n (n ∈N *)，a 1＝3，则a n ＝________，a nn 的最小值为________．解析：∵a n ＋1－a n ＝2n ， ∴a 2－a 1＝2×1， a 3－a 2＝2×2， a 4－a 3＝2×3， …a n －a n －1＝2(n －1)， 以上各式相加可得a n －a 1＝2[]1＋2＋3＋…＋(n －1)＝2×(n －1)(1＋n －1)2＝n 2－n ，∵a 1＝3，∴a n ＝n 2－n ＋3. ∴a n n ＝n ＋3n －1.∵f (x )＝x ＋3x 在(0，3)上单调递减，在(3，＋∞)上单调递增， 又a 11＝1＋31－1＝3，a 22＝2＋32－1＝52，所以a n n 的最小值为52. 答案：n 2－n ＋3 5214．已知等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为A n ，B n ，且满足A n B n ＝2nn ＋3，则a 1＋a 2＋a 12b 2＋b 4＋b 9＝________.解析：根据题意，由A n B n ＝2nn ＋3，可设：A n ＝2n 2，B n ＝n (n ＋3)，则：a 1＝A 1＝2, 当n ≥2时，a n ＝A n －A n －1＝4n －2，b 1＝B 1＝4，当n ≥2时，b n ＝B n －B n －1＝2n ＋2， ∴a 1＋a 2＋a 12b 2＋b 4＋b 9＝2＋6＋466＋10＋20＝5436＝32.答案：3215．定义函数f (x )＝{x ·{x }}，其中{x }表示不小于x 的最小整数，如{1.2}＝2，{－2.6}＝－2.当x ∈(0，n ](n ∈N *)时，函数f (x )的值域记为A n ，记A n 中元素的个数为a n ，则a n ＝________，1a 1＋1a 2＋…＋1a 10＝________.解析：当x ∈(0,1]时，{x }＝1，x {x }＝x ，则f (x )＝{x ·{x }}＝1，即A 1＝{1}，故a 1＝1；当x ∈(0,2]时，{x }＝1,2，x {x }＝x 或2x ，则f (x )＝{x ·{x }}＝1,3,4，即A 2＝{1,3,4}，故a 2＝3；当x ∈(0,3]时，{x }＝1,2,3，x {x }＝x 或2x 或3x ，则f (x )＝{x ·{x }}＝1,3,4,7,8,9，即A 3＝{1,3,4,7,8,9}，故a 3＝6；同理可得a 4＝10，注意到a n ＝n (n ＋1)2，所以1a 1＋1a 2＋…＋1a 10＝21×2＋22×3＋…＋210×11＝2011.答案：n (n ＋1)2 2011三、解答题(本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)16．(14分)已知函数f (x )＝3xx ＋3，数列{x n }的通项由x n ＝f (x n －1)(n ≥2且x ∈N *)确定．(1)求证：⎩⎨⎧⎭⎬⎫1x n 是等差数列；(2)当x 1＝12时，求x 2 016.解：(1)证明：∵x n ＝f (x n －1)＝3x n －1x n －1＋3(n ≥2且n ∈N *)，∴1x n ＝x n －1＋33x n －1＝13＋1x n －1，∴1x n－1x n －1＝13(n ≥2且n ∈N *)，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫1x n 是等差数列． (2)由(1)知1x n ＝1x 1＋(n －1)×13＝2＋n －13＝n ＋53. ∴1x 2 016＝2 016＋53＝2 0213. ∴x 2 016＝32 021.17．(15分)在△ABC 中，若lg sin A ，lg sin B ，lg sin C 成等差数列，且三个内角A ，B ，C 也成等差数列，试判断此三角形的形状．解：∵A ，B ，C 成等差数列，∴2B ＝A ＋C .又∵A ＋B ＋C ＝π，∴3B ＝π，即B ＝π3，A ＋C ＝23π.∵lg sin A ，lg sin B ，lg sin C 成等差数列，∴2lg sin B ＝lg sin A ＋lg sin C ，即sin 2B ＝sin A sin C .又∵B ＝π3，∴sin B ＝32.∴sin A sin C ＝sin 2B ＝34.又∵cos(A ＋C )＝cos A cos C －sin A sin C ，cos(A －C )＝cos A cos C ＋sin A sin C ，∴sin A sin C ＝－12[cos(A ＋C )－cos(A －C )]． ∴－12⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos 2π3－cos (A －C )＝34. ∴14＋12cos(A －C )＝34，∴cos(A －C )＝1.∵A －C ∈(－π，π)，∴A －C ＝0，即A ＝C ＝π3.∴A ＝B ＝C .∴△ABC 是等边三角形．18．(15分)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a n <a n ＋1，且S 3＝2S 2＋1.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足b n ＝(2n －1)a n (n ∈N *)，求数列{b n }的前n 项和T n . 解：(1)设等比数列{a n }的公比为q ，由a n <a n ＋1，得q >1，又a 1＝1，则a 2＝q ，a 3＝q 2，因为S 3＝2S 2＋1，所以a 1＋a 2＋a 3＝2(a 1＋a 2)＋1，则1＋q ＋q 2＝2(1＋q )＋1，即q 2－q －2＝0，解得q ＝2或q ＝－1(舍去)， 所以数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －1(n ∈N *)．(2)由(1)知，b n ＝(2n －1)·a n ＝(2n －1)·2n －1(n ∈N *)，则T n ＝1×20＋3×21＋5×22＋…＋(2n －1)×2n －1， 2T n ＝1×21＋3×22＋5×23＋…＋(2n －3)×2n －1＋(2n －1)×2n ，两式相减，得－T n ＝1＋2×21＋2×22＋…＋2×2n －1－(2n －1)×2n ， 即－T n ＝1＋22＋23＋24＋…＋2n －(2n －1)×2n ，化简得T n ＝(2n －3)×2n ＋3.19．(15分)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 10＝55，S 20＝210.(1)求数列{a n }的通项公式．(2)设b n ＝a n a n ＋1，是否存在m ，k (k >m ≥2，m ，k ∈N *)使得b 1，b m ，b k 成等比数列？若存在，请说明理由．解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，则S n ＝na 1＋n (n －1)2d .由已知，得⎩⎪⎨⎪⎧ 10a 1＋10×92d ＝55，20a 1＋20×192d ＝210，即⎩⎨⎧ 2a 1＋9d ＝11，2a 1＋19d ＝21，解得⎩⎨⎧a 1＝1，d ＝1. 所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝n (n ∈N *)．(2)假设存在m ，k (k >m ≥2，m ，k ∈N *)使得b 1，b m ，b k 成等比数列，则b 2m ＝b 1b k .因为b n ＝a n a n ＋1＝n n ＋1，所以b 1＝12，b m ＝m m ＋1，b k ＝k k ＋1， 所以⎝ ⎛⎭⎪⎫m m ＋12＝12×k k ＋1. 整理，得k ＝2m 2－m 2＋2m ＋1. 以下给出求m ，k 的方法：因为k >0，所以－m 2＋2m ＋1>0，解得1－2<m <1＋ 2.因为m ≥2，m ∈N *，所以m ＝2，此时k ＝8.故存在m ＝2，k ＝8使得b 1，b m ，b k 成等比数列．20．(15分)在数列{a n }中，a 1＝1,2a n a n ＋1＋a n ＋1－a n ＝0(n ∈N *)．(1)求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 为等差数列，并求{a n }的通项公式； (2)若ta n ＋1(a n －1)＋1≥0对任意n ≥2的整数恒成立，求实数t 的取值范围．解：(1)证明：由 2a n a n －1＋a n －a n －1＝0(n ≥2)，得1a n －1a n －1＝2(n ≥2)． 又1a 1＝1，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是首项为1，公差为2等差数列， ∴1a n＝1＋2(n －1)＝2n －1，即a n ＝12n －1. (2)法一：∵ta n ＋1(a n －1)＋1≥0对任意n ≥2的整数恒成立，即t ×12n ＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－1＋1≥0恒成立， ∴t ≤4n 2－12(n －1)对任意n ≥2的整数恒成立． 设c n ＝4n 2－12(n －1)(n ≥2)，则 c n ＋1c n ＝2n 2＋n －32n 2－n ＝2n 2－n ＋2n －32n 2－n ＝1＋2n －32n 2－n >1， ∴当n ≥2时，{c n }为递增数列，∴c n ≥c 2＝152，∴t 的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，152. 法二：∵ta n ＋1(a n －1)＋1≥0对任意n ≥2的整数恒成立，即t ×12n ＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－1＋1≥0恒成立， ∴t ≤4n 2－12(n －1)对任意n ≥2的整数恒成立． 令n －1＝m ，∴t ≤4m 2＋8m ＋32m ＝2m ＋32m ＋4，令f (m )＝2m ＋32m ＋4，∵2m ≥2，m ∈N *，f (m )在⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞单调递增， ∴t ≤f (m )min ＝f (1)＝152，∴t 的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，152.。

【步步高】2021-2021学年高中数学 第二章 数列章末检测〔A 〕新人教A 版必修5创 作人：历恰面 日 期： 2020年1月1日一、选择题(本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分)1．{a n }是首项为1，公差为3的等差数列，假如a n ＝2 011，那么序号n 等于( ) A ．667 B ．668 C ．669 D ．671 答案 D解析 由2 011＝1＋3(n －1)解得n ＝671.2．等差数列{a n }中，a 7＋a 9＝16，a 4＝1，那么a 12的值是( ) A ．15 B ．30 C ．31 D ．64 答案 A解析 在等差数列{a n }中，a 7＋a 9＝a 4＋a 12， ∴a 12＝16－1＝15.3．等比数列{a n }中，a 2＝9，a 5＝243，那么{a n }的前4项和为( ) A ．81 B ．120 C ．168 D ．192 答案 B解析 由a 5＝a 2q 3得q ＝3. ∴a 1＝a 2q＝3，S 4＝a 11－q 41－q ＝31－341－3＝120.4．等差数列{a n }中，a 1＋a 2＋a 3＝－24，a 18＋a 19＋a 20＝78，那么此数列前20项和等于( )A ．160B ．180C ．200D ．220 答案 B解析 ∵(a 1＋a 2＋a 3)＋(a 18＋a 19＋a 20) ＝(a 1＋a 20)＋(a 2＋a 19)＋(a 3＋a 18) ＝3(a 1＋a 20)＝－24＋78＝54， ∴a 1＋a 20＝18. ∴S 20＝20a 1＋a 202＝180.5．数列{a n }中，a n ＝3n －7 (n ∈N ＋)，数列{b n }满足b 1＝13，b n －1＝27b n (n ≥2且n ∈N ＋)，假设a n ＋log k b n 为常数，那么满足条件的k 值( )A ．唯一存在，且为13 B ．唯一存在，且为3C ．存在且不唯一D ．不一定存在 答案 B 解析 依题意，b n ＝b 1·⎝ ⎛⎭⎪⎫127n －1＝13·⎝ ⎛⎭⎪⎫133n －3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫133n －2，∴a n ＋log k b n ＝3n －7＋log k ⎝ ⎛⎭⎪⎫133n －2＝3n －7＋(3n －2)log k 13＝⎝⎛⎭⎪⎫3＋3log k 13n －7－2log k 13， ∵a n ＋log k b n 是常数，∴3＋3log k 13＝0，即log k 3＝1，∴k ＝3.6．等比数列{a n }中，a 2，a 6是方程x 2－34x ＋64＝0的两根，那么a 4等于( ) A ．8 B ．－8 C ．±8 D ．以上都不对答案 A解析 ∵a 2＋a 6＝34，a 2·a 6＝64，∴a 24＝64， ∵a 2>0，a 6>0，∴a 4＝a 2q 2>0，∴a 4＝8.7．假设{a n }是等比数列，其公比是q ，且－a 5，a 4，a 6成等差数列，那么q 等于( ) A ．1或者2 B ．1或者－2 C ．－1或者2 D ．－1或者－2 答案 C解析 依题意有2a 4＝a 6－a 5， 即2a 4＝a 4q 2－a 4q ，而a 4≠0， ∴q 2－q －2＝0，(q －2)(q ＋1)＝0. ∴q ＝－1或者q ＝2.8．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，假设S 10∶S 5＝1∶2，那么S 15∶S 5等于( ) A ．3∶4 B ．2∶3 C ．1∶2 D ．1∶3 答案 A解析 显然等比数列{a n }的公比q ≠1，那么由S 10S 5＝1－q 101－q 5＝1＋q 5＝12⇒q 5＝－12，故S 15S 5＝1－q 151－q 5＝1－q531－q5＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－1231－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝34.9．等差数列{a n }的公差d ≠0且a 1，a 3，a 9成等比数列，那么a 1＋a 3＋a 9a 2＋a 4＋a 10等于( )A.1514 B.1213 C.1316 D.1516答案 C解析 因为a 23＝a 1·a 9，所以(a 1＋2d )2＝a 1·(a 1＋8d )．所以a 1＝d . 所以a 1＋a 3＋a 9a 2＋a 4＋a 10＝3a 1＋10d 3a 1＋13d ＝1316.10．{a n }为等差数列，a 1＋a 3＋a 5＝105，a 2＋a 4＋a 6＝99，以S n 表示{a n }的前n 项和，那么使得S n 到达最大值的n 是( )A ．21B ．20C ．19D ．18 答案 B解析 ∵(a 2－a 1)＋(a 4－a 3)＋(a 6－a 5)＝3d ， ∴99－105＝3d .∴d ＝－2.又∵a 1＋a 3＋a 5＝3a 1＋6d ＝105，∴a 1＝39. ∴S n ＝na 1＋n n －12d ＝－n 2＋40n ＝－(n －20)2＋400.∴当n ＝20时，S n 有最大值．11．设{a n }是任意等比数列，它的前n 项和，前2n 项和与前3n 项和分别为X ，Y ，Z ，那么以下等式中恒成立的是( )A ．X ＋Z ＝2YB ．Y (Y －X )＝Z (Z －X )C ．Y 2＝XZ D ．Y (Y －X )＝X (Z －X ) 答案 D解析 由题意知S n ＝X ，S 2n ＝Y ，S 3n ＝Z . 又∵{a n }是等比数列，∴S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 为等比数列， 即X ，Y －X ，Z －Y 为等比数列， ∴(Y －X )2＝X ·(Z －Y )， 即Y 2－2XY ＋X 2＝ZX －XY ， ∴Y 2－XY ＝ZX －X 2， 即Y (Y －X )＝X (Z －X )．12．数列1，12，21，13，22，31，14，23，32，41，…，那么56是数列中的( )A ．第48项B ．第49项C ．第50项D ．第51项 答案 C解析 将数列分为第1组一个，第2组二个，…，第n 组n 个，即⎝ ⎛⎭⎪⎫11，⎝ ⎛⎭⎪⎫12，21，⎝ ⎛⎭⎪⎫13，22，31，…，⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ，2n －1，…，n 1，那么第n 组中每个数分子分母的和为n ＋1，那么56为第10组中的第5个，其项数为(1＋2＋3＋…＋9)＋5＝50.二、填空题(本大题一一共4小题，每一小题4分，一共16分) 13.2－1与2＋1的等比中项是________． 答案 ±114．在等差数列{a n }中，首项为23，公差是整数，从第七项开场为负项，那么公差为______．答案 －4解析 由⎩⎪⎨⎪⎧a 6＝23＋5d ≥0a 7＝23＋6d <0，解得－235≤d <－236，∵d ∈Z ，∴d ＝－4.15．“嫦娥奔月，举国欢庆〞，据科学计算，运载“神六〞的“HY 二号〞系列HY ，在点火第一秒钟通过的路程为2 km ，以后每秒钟通过的路程都增加2 km ，在到达离地面240 km 的高度时，HY 与飞船别离，那么这一过程大约需要的时间是是________秒．答案 15解析 设每一秒钟通过的路程依次为a 1，a 2，a 3，…，a n ，那么数列{a n }是首项a 1＝2，公差d ＝2的等差数列，由求和公式得na 1＋n n －1d2＝240，即2n ＋n (n －1)＝240，解得n ＝15.16．等比数列{a n }的公比为q ，其前n 项的积为T n ，并且满足条件a 1>1，a 99a 100－1>0，a 99－1a 100－1<0.给出以下结论：①0<q <1；②a 99a 101－1<0；③T 100的值是T n 中最大的；④使T n >1成立的最大自然数n 等于198.其中正确的结论是________．(填写上所有正确的序号)答案 ①②④解析 ①中，⎩⎪⎨⎪⎧a 99－1a 100－1<0a 99a 100>1a 1>1⇒⎩⎪⎨⎪⎧a 99>10<a 100<1⇒q ＝a 100a 99∈(0,1)，∴①正确． ②中，⎩⎪⎨⎪⎧ a 99a 101＝a 21000<a 100<1⇒a 99a 101<1，∴②正确．③中，⎩⎪⎨⎪⎧T 100＝T 99a 1000<a 100<1⇒T 100<T 99，∴③错误．④中，T 198＝a 1a 2…a 198 ＝(a 1a 198)(a 2a 197)…(a 99a 100) ＝(a 99a 100)99>1，T 199＝a 1a 2…a 198a 199＝(a 1a 199)…(a 99a 101)·a 100＝a 199100<1，∴④正确．三、解答题(本大题一一共6小题，一共74分) 17．(12分){a n }为等差数列，且a 3＝－6，a 6＝0. (1)求{a n }的通项公式；(2)假设等比数列{b n }满足b 1＝－8，b 2＝a 1＋a 2＋a 3，求{b n }的前n 项和公式． 解 (1)设等差数列{a n }的公差为d . 因为a 3＝－6，a 6＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝－6，a 1＋5d ＝0.解得a 1＝－10，d ＝2.所以a n ＝－10＋(n －1)×2＝2n －12. (2)设等比数列{b n }的公比为q . 因为b 2＝a 1＋a 2＋a 3＝－24，b 1＝－8， 所以－8q ＝－24，q ＝3.所以数列{b n }的前n 项和公式为S n ＝b 11－q n 1－q＝4(1－3n)．18．(12分)等差数列{a n }中，a 3a 7＝－16，a 4＋a 6＝0，求{a n }的前n 项和S n . 解 设{a n }的公差为d ，那么⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d a 1＋6d ＝－16，a 1＋3d ＋a 1＋5d ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧a 21＋8da 1＋12d 2＝－16，a 1＝－4d .解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－8，d ＝2，或者⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝8，d ＝－2.因此S n ＝－8n ＋n (n －1)＝n (n －9)， 或者S n ＝8n －n (n －1)＝－n (n －9)．19．(12分)数列{log 2(a n －1)} (n ∈N *)为等差数列，且a 1＝3，a 3＝9. (1)求数列{a n }的通项公式； (2)证明：1a 2－a 1＋1a 3－a 2＋…＋1a n ＋1－a n<1. (1)解 设等差数列{log 2(a n －1)}的公差为d . 由a 1＝3，a 3＝9，得log 2(9－1)＝log 2(3－1)＋2d ，那么d ＝1. 所以log 2(a n －1)＝1＋(n －1)×1＝n ， 即a n ＝2n＋1. (2)证明 因为1a n ＋1－a n ＝12n ＋1－2n ＝12n ，所以1a 2－a 1＋1a 3－a 2＋…＋1a n ＋1－a n＝121＋122＋123＋…＋12n＝12－12n ×121－12＝1－12n <1.20．(12分)在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋2n. (1)设b n ＝a n2n －1.证明：数列{b n }是等差数列；(2)求数列{a n }的前n 项和． (1)证明 由a n ＋1＝2a n ＋2n， 得b n ＋1＝a n ＋12n＝2a n ＋2n2n＝a n2n －1＋1＝b n ＋1. ∴b n ＋1－b n ＝1，又b 1＝a 1＝1.∴{b n }是首项为1，公差为1的等差数列． (2)解 由(1)知，b n ＝n ，a n2n －1＝b n ＝n .∴a n ＝n ·2n －1.∴S n ＝1＋2·21＋3·22＋…＋n ·2n －1两边乘以2得：2S n ＝1·21＋2·22＋…＋(n －1)·2n －1＋n ·2n，两式相减得：－S n ＝1＋21＋22＋…＋2n －1－n ·2n＝2n－1－n ·2n＝(1－n )2n －1， ∴S n ＝(n －1)·2n＋1.21．(12分)数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，a n ＋1＝12S n (n ＝1,2,3，…)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)当b n ＝log 32(3a n ＋1)时，求证：数列{1b n b n ＋1}的前n 项和T n ＝n1＋n .(1)解 由⎩⎪⎨⎪⎧a n ＋1＝12S n，a n＝12Sn －1(n ≥2)，得a n ＋1＝32a n (n ≥2)．∴数列{a n }是以a 2为首项，以32为公比的等比数列．又a 2＝12S 1＝12a 1＝12，∴a n ＝a 2×(32)n －2(n ≥2)．∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1， n ＝1，12×32n －2， n ≥2.(2)证明 b n ＝log 32(3a n ＋1)＝log 32[32×(32)n －1]＝n .∴1b n b n ＋1＝1n1＋n ＝1n －11＋n . ∴T n ＝1b 1b 2＋1b 2b 3＋1b 3b 4＋…＋1b n b n ＋1＝(11－12)＋(12－13)＋(13－14)＋…＋(1n －11＋n ) ＝1－11＋n ＝n 1＋n.22．(14分)数列{a n }的各项均为正数，对任意n ∈N *，它的前n 项和S n 满足S n ＝16(a n ＋1)(a n ＋2)，并且a 2，a 4，a 9成等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式； (2)设b n ＝(－1)n ＋1a n a n ＋1，T n 为数列{b n }的前n 项和，求T 2n .解 (1)∵对任意n ∈N *，有S n ＝16(a n ＋1)(a n ＋2)， ①∴当n ＝1时，有S 1＝a 1＝16(a 1＋1)(a 1＋2)，解得a 1＝1或者2.当n ≥2时，有S n －1＝16(a n －1＋1)(a n －1＋2)． ②①－②并整理得(a n ＋a n －1)(a n －a n －1－3)＝0.而数列{a n }的各项均为正数，∴a n －a n －1＝3. 当a 1＝1时，a n ＝1＋3(n －1)＝3n －2， 此时a 24＝a 2a 9成立；当a 1＝2时，a n ＝2＋3(n －1)＝3n －1， 此时a 24＝a 2a 9不成立，舍去． ∴a n ＝3n －2，n ∈N *. (2)T 2n ＝b 1＋b 2＋…＋b 2n＝a 1a 2－a 2a 3＋a 3a 4－a 4a 5＋…－a 2n a 2n ＋1＝a 2(a 1－a 3)＋a 4(a 3－a 5)＋…＋a 2n (a 2n －1－a 2n ＋1) ＝－6a 2－6a 4－…－6a 2n ＝－6(a 2＋a 4＋…＋a 2n ) ＝－6×n 4＋6n －22＝－18n 2－6n .创 作人：历恰面 日 期： 2020年1月1日。

章末综合检测(二)(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．数列3，5，9，17，33，…的通项公式a n 等于( ) A ．2n B ．2n ＋1 C ．2n －1D ．2n ＋1解析：选B.由于3＝2＋1，5＝22＋1，9＝23＋1，…，所以通项公式是a n ＝2n ＋1，故选B. 2．在等差数列{a n }中，a 2＝1，a 4＝5，则{a n }的前5项和S 5＝( ) A ．7 B ．15 C ．20D ．25解析：选B.由于{a n }为等差数列，所以a 2＋a 4＝2a 3＝1＋5＝6，所以a 3＝3.所以S 5＝5（a 1＋a 5）2＝5×2a 32＝5a 3＝5×3＝15.3．已知实数－1，x ，y ，z ，－2成等比数列，则xyz 等于( ) A ．－4 B ．±4 C ．－ 2 2D ．±2 2解析：选C.由于xz ＝(－1)×(－2)＝2，y 2＝2， 所以y ＝－2(y ＝2不合题意，舍去)， 所以xyz ＝－2 2.4．若数列{a n }是等比数列，则下面四个数列中肯定为等比数列的有( ) ①{ca n }(c 为常数)；②{a n ＋a n ＋1}；③{a n ·a n ＋1}；④{a 3n }．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析：选B.若{a n }为等比数列，则当c ＝0时，{ca n }不是等比数列，①不是等比数列；若{a n }是公比q ＝－1的等比数列，则a n ＋a n ＋1＝0，{a n ＋a n ＋1}不是等比数列，②不是等比数列；由等比数列的定义可知③④为等比数列．5．在正项等比数列{a n }中，a 1，a 99是方程x 2－10x ＋16＝0的两个根，则a 40a 50a 60的值为( ) A ．32 B ． 256 C ．±64D ．64解析：选D.由于a 1，a 99是方程x 2－10x ＋16＝0的两个根，所以a 1a 99＝16，又a 40a 60＝a 1a 99＝a 250，{a n }是正项等比数列，所以a 50＝4，所以a 40a 50a 60＝a 350＝64.6．在等比数列{a n }中，a 7·a 11＝6，a 4＋a 14＝5，则a 20a 10＝( )A.23B.32C.23或32D ．－23或－32解析：选C.在等比数列{a n }中，a 7·a 11＝a 4·a 14＝6，①又a 4＋a 14＝5.②由①②组成方程组，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝2，a 14＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝3，a 14＝2，所以a 20a 10＝a 14a 4＝32或23.7．公差不为零的等差数列{a n }中，2a 3－a 27＋2a 11＝0，数列{b n }是等比数列，且b 7＝a 7，则b 6b 8＝( ) A ．2 B ．4 C ．8D ．16解析：选D.由于{a n }为等差数列，由2a 3－a 27＋2a 11＝0，得4a 7－a 27＝0，所以a 7＝4，所以b 7＝a 7＝4.由于{b n }是等比数列，所以b 6b 8＝b 27＝42＝16. 8．(2022·石家庄质检)已知等差数列{a n }满足a 2＝3，S n －S n －3＝51(n >3)，S n ＝100，则n 的值为( ) A ．8 B ．9 C ．10D ．11解析：选C.由于等差数列{a n }满足a 2＝3，S n －S n －3＝51(n >3)，所以a n ＋a n －1＋a n －2＝51，即3a n －1＝51. 所以a n －1＝17(n ≥2)，由于S n ＝100，所以100＝（3＋17）n2，所以n ＝10.故选C.9．已知等比数列{a n }中，a 1＋a 3＝3，a 3＋a 5＝12，则a 5＋a 7等于( ) A ．24 B ．±24 C ．48D ．±48解析：选C.设等比数列{a n }的公比为q ，则a 3＋a 5＝a 1q 2＋a 3q 2＝(a 1＋a 3)q 2＝12，所以q 2＝123＝4，所以a 5＋a 7＝a 3q 2＋a 5q 2＝(a 3＋a 5)q 2＝12×4＝48.10．数列{a n }满足a 1＝1，a n ＝a n －1a n －1＋1(n ≥2)，则a 5的值为( )A.13B.14C.15D.16解析：选C.依题意a n >0且n ≥2时，1a n ＝1＋1a n －1，即1a n －1a n －1＝1， 所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以1为首项，1为公差的等差数列．所以1a 5＝1＋(5－1)×1＝5，所以a 5＝15.故选C.11．两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，且S n T n ＝7n ＋2n ＋3，则a 2＋a 20b 7＋b 15＝( )A.94 B.378C.7914D.14924解析：选D.由于{a n }，{b n }是等差数列， 所以a 2＋a 20＝2a 11，b 7＋b 15＝2b 11，所以a 2＋a 20b 7＋b 15＝2a 112b 11＝a 1＋a 21b 1＋b 21＝21（a 1＋a 21）221（b 1＋b 21）2＝S 21T 21＝7×21＋221＋3＝14924.12．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则下列肯定成立的是( ) A ．若a 3>0，则a 2 015<0 B ．若a 4>0，则a 2 016<0 C ．若a 3>0，则S 2 015>0 D ．若a 4>0，则S 2 016>0解析：选C.不妨设{a n }的通项公式为a n ＝a 1q n －1(q ≠0)，明显A ，B 是不成立的，由于q 2 012>0，所以若a 3>0，则a 2 015＝a 3q 2 012>0，若a 4>0，则a 2 016＝a 4q 2 012>0.对于C 选项，若a 3>0，则a 1＝a 3q2>0，由于1－q 与1－q 2 015同号，所以S 2 015＝a 1（1－q 2 015）1－q>0，选项C 是正确的，故选C.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，S n ＝n 2－1，则a 2 016＝________． 解析：a 2 016＝S 2 016－S 2 015＝(2 0162－1)－(2 0152－1)＝4 031. 答案：4 03114．已知{a n }是递增的等比数列，a 2＝2，a 4－a 3＝4，则此数列的公比q ＝________．解析：设{a n }的公比为q ，则a 4＝a 2·q 2，a 3＝a 2q .a 4－a 3＝a 2q 2－a 2q ＝4，又已知a 2＝2，得q 2－q －2＝0，解得q ＝2或q ＝－1.又由于{a n }为递增数列，则q ＝2.答案：215．等比数列{a n }中，若a 7＋a 8＋a 9＋a 10＝158，a 8·a 9＝－98，则1a 7＋1a 8＋1a 9＋1a 10＝________．解析：由于a 7a 10＝a 8a 9，所以1a 7＋1a 8＋1a 9＋1a 10＝a 7＋a 10a 7a 10＋a 8＋a 9a 8a 9＝a 7＋a 10＋a 8＋a 9a 8a 9＝－53.答案：－5316．(2021·高考全国卷Ⅱ)设S n 是数列{a n }的前n 项和，且a 1＝－1，a n ＋1＝S n S n ＋1，则S n ＝________． 解析：由于 a n ＋1＝S n ＋1－S n ，a n ＋1＝S n S n ＋1， 所以S n ＋1－S n ＝S n S n ＋1.由于 S n ≠0，所以1S n －1S n ＋1＝1，即1S n ＋1－1S n＝－1.又1S 1＝－1，所以{1S n }是首项为－1，公差为－1的等差数列． 所以1S n ＝－1＋(n －1)×(－1)＝－n ，所以S n ＝－1n .答案：－1n三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)成等差数列的三个数的和等于18，并且这三个数分别加上1，3，17后就成了等比数列，求这三个数排成的等差数列．解：设这三个数为a －d ，a ，a ＋d ，则⎩⎪⎨⎪⎧（a －d ）＋a ＋（a ＋d ）＝18，（a －d ＋1）（a ＋d ＋17）＝（a ＋3）2， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝6，d ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝6，d ＝－20.所以这个数列为2，6，10或26，6，－14.18．(本小题满分12分)(2021·高考四川卷)设数列{a n }(n ＝1，2，3，…)的前n 项和S n 满足S n ＝2a n －a 1，且a 1，a 2＋1，a 3成等差数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项和为T n ，求T n .解：(1)由已知S n ＝2a n －a 1，有 a n ＝S n －S n －1＝2a n －2a n －1(n ≥2)， 即a n ＝2a n －1(n ≥2)． 从而a 2＝2a 1，a 3＝2a 2＝4a 1.又由于a 1，a 2＋1，a 3成等差数列，即a 1＋a 3＝2(a 2＋1)，所以a 1＋4a 1＝2(2a 1＋1)，解得a 1＝2.所以数列{a n }是首项为2，公比为2的等比数列，故a n ＝2n . (2)由(1)得1a n ＝12n ，所以T n ＝12＋122＋…＋12n ＝12⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫12n 1－12＝1－12n .19．(本小题满分12分)已知{a n }是首项为19，公差为－2的等差数列，S n 为{a n }的前n 项和． (1)求通项公式a n 及S n .(2)设{b n －a n }是首项为1，公比为3的等比数列，求数列{b n }的通项公式及前n 项和T n . 解：(1)由于{a n }是首项为a 1＝19，公差为d ＝－2的等差数列， 所以a n ＝19－2(n －1)＝21－2n ， S n ＝19n ＋12n (n －1)×(－2)＝20n －n 2.(2)由题意得b n －a n ＝3n －1，即b n ＝a n ＋3n －1，所以b n ＝3n －1－2n ＋21，T n ＝S n ＋(1＋3＋…＋3n －1) ＝－n 2＋20n ＋3n －12.20．(本小题满分12分)已知S n 是数列{a n }的前n 项和，且a 1＝2，当n ≥2时，有S n ＝3S n －1＋2. (1)求证：{S n ＋1}是等比数列； (2)求数列{a n }的通项公式． 解：(1)证明：由于S n ＝3S n －1＋2， 所以S n ＋1＝3S n －1＋2＋1， 所以S n ＋1S n －1＋1＝3.又由于S 1＋1＝a 1＋1＝3，所以{S n ＋1}是以3为首项，3为公比的等比数列．(2)由(1)得S n ＋1＝3×3n －1＝3n ，所以S n ＝3n －1.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(3n －1)－(3n －1－1)＝2·3n －1.又当n ＝1时，a 1＝2也满足a n ＝2·3n －1， 所以数列{a n }的通项公式为a n ＝2·3n －1.21．(本小题满分12分)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2n ，数列{b n }满足b 1＝－1，b n ＋1＝b n ＋(2n －1)(n ＝1，2，3，…)．(1)求数列{a n }的通项公式a n ； (2)求数列{b n }的通项公式b n ；(3)若c n ＝a n ·b n n ，求数列{c n }的前n 项和T n .解：(1)由于S n ＝2n ，所以S n －1＝2n －1(n ≥2)． 所以a n ＝S n －S n －1＝2n －2n －1＝2n －1(n ≥2)． 当n ＝1时，21－1＝1≠S 1＝a 1＝2，所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，2n －1，n ≥2.(2)由于b n ＋1＝b n ＋(2n －1)， 所以b 2－b 1＝1， b 3－b 2＝3， b 4－b 3＝5，…， b n －b n －1＝2n －3， 以上各式相加得：b n －b 1＝1＋3＋5＋…＋(2n －3)＝（n －1）（1＋2n －3）2＝(n －1)2.由于b 1＝－1，所以b n ＝n 2－2n .(3)由题意得c n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－2，n ＝1，（n －2）×2n －1，n ≥2.当n ＝1时，T n ＝－2，当n ≥2时，T n ＝－2＋0×21＋1×22＋2×23＋…＋(n －2)×2n －1，所以2T n ＝－4＋0×22＋1×23＋2×24＋…＋ (n －2)×2n ， 所以－T n＝2＋22＋23＋…＋2n －1－(n －2)×2n＝2（1－2n －1）1－2－(n －2)×2n＝2n －2－(n －2)×2n ＝－2－(n －3)×2n ， 所以T n ＝2＋(n －3)×2n .① 当n ＝1时，满足①式， 所以T n ＝2＋(n －3)×2n .22．(本小题满分12分)甲、乙两超市同时开业，第一年的全年销售额为a 万元，由于经营方式不同，甲超市前n 年的总销售额为a 2(n 2－n ＋2)万元，乙超市第n 年的销售额比前一年销售额多a ⎝⎛⎭⎫23n －1万元．(1)求甲、乙两超市第n 年销售额的表达式；(2)若其中某一超市的年销售额不足另一超市的年销售额的50%，则该超市将被另一超市收购，推断哪一超市有可能被收购？假如有这种状况，将会消灭在第几年？解：(1)设甲、乙两超市第n 年的销售额分别为a n ，b n . 则有a 1＝a ，当n ≥2时，a n ＝a 2(n 2－n ＋2)－a2[(n －1)2－(n －1)＋2]＝(n －1)a ，所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，n ＝1，（n －1）a ，n ≥2.b n ＝b 1＋(b 2－b 1)＋(b 3－b 2)＋…＋(b n －b n －1) ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3－2⎝⎛⎭⎫23n －1a (n ∈N *)． (2)易知b n ＜3a ，所以乙超市将被甲超市收购， 由b n ＜12a n ，得⎣⎢⎡⎦⎥⎤3－2⎝⎛⎭⎫23n －1a ＜12(n －1)a . 所以n ＋4⎝⎛⎭⎫23n －1＞7，所以n ≥7，即第7年乙超市的年销售额不足甲超市的一半，乙超市将被甲超市收购．。