9 强度理论

2
x y 2 a 0 2
x y x y 2
x y
2
) x
2
2
例题1: 已知:单元体各侧面应力 x=60MPa,
求: (1) = - 450斜截面上的应力,(2)主应力和主平面
dA
y

x y
2
sin 2 xy cos2
y
yx
应力圆
y
1 R 2

x
y

2
4 2 xy
x
yx xy x
y
R c

x y
2
2
x
xy
x´
dA
yx
y´
y
x y 1 2 2 2

40

x y
2 0.431MPa
sin( 80 ) xy cos(80 )

C
C

C
例题3：已知梁上的M、Q，试用单元体表示截面上1、2、
3、4点的应力状态。
1
2 0
2
1点 2点
1 2 0 3
3Q ＝ 2A
M x Wz
2 xy
x y
2 20.6 0.69 60 0
17.2
x y
2 (
6.4MPa
2 34.4
max(min)
x
17.20
x y
2
) xy
2
2
x
66.4MPa
60 0 60 0 2 ( ) 20.6 2 2 2 66.4(6.4) MPa

六、例题： 例题1、薄壁容器，厚度 δ<< 平均直径D，在容器中贮满
水，水结冰后，将容器涨破，而冰不碎，解释原因。
解：⑴、水结冰时，发生膨胀，容器将受到内压作用，其单 元体的应力状态为二向拉应力状态。
15
p
李禄昌
p
1
p
1
2
1
由纵向截面上的静力平衡条件
Y 0 2 l p D l 0
轴向拉伸时
1 s , 2 3 0 ud 1 2 s2
6E
11
李禄昌
3、强度条件：
1 s 2 1 1 2 2 2 2 22 2 s uf (21 3 3 ) (3 ) u 1 2( 2 6 f 2) 3 11 E n 2 6E s
1
b
n
4、存在问题：⑴、该理论只考虑σ1 ，而没有考虑σ2 、σ3的 影响。⑵、当σ1＜0，即没有拉应力的应力状态时，它不能对 材料的压缩破坏作出合理解释。⑶、 σ1必须是拉应力。
4
李禄昌 试验证明，这一理论与铸铁、岩石、砼、陶瓷、玻璃等脆 性材料的拉断试验结果相符，这些材料在轴向拉伸时的断裂 破坏发生于拉应力最大的横截面上。 脆性材料的扭转破坏，也是沿拉应力最大的斜面发生断裂， 这些都与最大拉应力理论相符。
x
x
得主应力
1 =14.5 103 F ( MPa) 2 0 3 1.8 10 F ( MPa)
3
19
李禄昌
⑶、对于钢材，利用第三强度理论强度条件：
r 3 1 3 [ ]
代入有关参数得：
[ ] F 9.8 KN 3 16.3 10

四种强度理论的破坏标志、基本假设内容、建立的强度条件公式以及适用的范围。

一、四大强度理论基本内容介绍：1、最大拉应力理论（第一强度理论）：这一理论认为引起材料脆性断裂破坏的因素是最大拉应力，无论什么应力状态，只要构件内一点处的最大拉应力σ1达到单向应力状态下的极限应力σb，材料就要发生脆性断裂。

于是危险点处于复杂应力状态的构件发生脆性断裂破坏的条件是：σ1=σb。

σb/s=[σ]所以按第一强度理论建立的强度条件为：σ1≤[σ]。

2、最大伸长线应变理论（第二强度理论）：这一理论认为最大伸长线应变是引起断裂的主要因素，无论什么应力状态，只要最大伸长线应变ε1达到单向应力状态下的极限值εu，材料就要发生脆性断裂破坏。

εu=σb/E；ε1=σb/E。

由广义虎克定律得：ε1=[σ1-u(σ2+σ3)]/E所以σ1-u(σ2+σ3)=σb。

按第二强度理论建立的强度条件为：σ1-u(σ2+σ3)≤[σ]。

3、最大切应力理论（第三强度理论）：这一理论认为最大切应力是引起屈服的主要因素，无论什么应力状态，只要最大切应力τmax达到单向应力状态下的极限切应力τ0，材料就要发生屈服破坏。

依轴向拉伸斜截面上的应力公式可知τ0=σs/2（σs——横截面上的正应力）由公式得：τmax=τ1s=（σ1-σ3）/2。

所以破坏条件改写为σ1-σ3=σs。

按第三强度理论的强度条件为：σ1-σ3≤[σ]。

4、形状改变比能理论（第四强度理论）：这一理论认为形状改变比能是引起材料屈服破坏的主要因素，无论什么应力状态，只要构件内一点处的形状改变比能达到单向应力状态下的极限值，材料就要发生屈服破坏。

二、四大强度理论适用的范围1、各种强度理论的适用范围及其应用第一理论的应用和局限1、应用材料无裂纹脆性断裂失效形势（脆性材料二向或三向受拉状态；最大压应力值不超过最大拉应力值或超过不多）。

2、局限没考虑σ2、σ3对材料的破坏影响，对无拉应力的应力状态无法应用。

l yx yy
m m
zxn zy n
0 0
xzl yz m zz n 0
56
2. 主平面、主应力、应力不变量
系数行列式展开
3
I1
2
I2
I3
0
有三个实根 分别作用于三个相互垂直平面上 此三个平面上无剪切应力
57
2. 主平面、主应力、应力不变量
应力不变量
I1 1 2 3 xx yy zz
位置； 4. 对于无缺陷材料，计算服役寿命=裂纹形成寿命+裂
纹扩展寿命；对于有缺陷材料，用断裂力学方法计 算裂纹扩展寿命。
29
1.5 本课程的内容、任务与要求
• 学会读书； • 培养分析问题、解决问题的能力； • 难点讲解，自学为主。
30
参考文献
1. 王德俊，何雪浤．现代机械强度理论及应用， 北京：科学出版社，2003
完全弹性假设
无初应力假设
小变形假设
弹性力学的基本研究方法
• 三个基本方程
– 微单元体受力的平衡微分方程 – 微单元体变形的几何方程 – 应力与应变关系的物理方程
• 两个边界条件
– 力的边界条件：静力等效的圣维南原理 – 几何边界条件：几何连续的变形协调方程
36
平衡方程
y
yx
yx
y
dy
Fx 0
59
3. 主剪应力、主剪应力平面
用主平面坐标作为研究的基础。 设主应力的方向分别为x、y、z方向，则任
一斜平面的正应力和切应力分别为：
1l 2 2m2 3n2
12l 2
2 2
m
2
2 3
n
2
1l 2
2m2