2020版江苏高考数学名师大讲坛一轮复习教程学案 第15课__函数的图象与简单变换(含解析)

第15讲导数中的极值点偏移问题（高阶拓展、竞赛适用）（8类核心考点精讲精练）1. 5年真题考点分布【命题规律】本节内容是新高考卷的载体内容，设题稳定，难度较大，分值为15-17分【备考策略】1能用导数解决函数的基本问题2能理解并掌握极值点偏移的含义3能结合极值点偏移的形式综合证明及求解【命题预测】极值点偏移问题在高考中很常见，此类问题以导数为背景考察学生运用函数与方程、数形结合、转换的思想解决函数问题的能力，层次性强，能力要求较高，需要综合复习1. 极值点偏移的含义众所周知，函数)(x f 满足定义域内任意自变量x 都有)2()(x m f x f -=，则函数)(x f 关于直线m x =对称；可以理解为函数)(x f 在对称轴两侧，函数值变化快慢相同，且若)(x f 为单峰函数，则mx =必为)(x f 的极值点. 如二次函数)(x f 的顶点就是极值点0x ，若c x f =)(的两根的中点为221x x +，则刚好有0212x x x =+，即极值点在两根的正中间，也就是极值点没有偏移.若相等变为不等，则为极值点偏移：若单峰函数)(x f 的极值点为m ，且函数)(x f 满足定义域内m x =左侧的任意自变量x 都有)2()(x m f x f ->或)2()(x m f x f -<，则函数)(x f 极值点m 左右侧变化快慢不同. 故单峰函数)(x f 定义域内任意不同的实数21,x x 满足)()(21x f x f =，则221x x +与极值点m 必有确定的大小关系：若221x x m +<，则称为极值点左偏；若221x x m +>，则称为极值点右偏.如函数xe xx g =)(的极值点10=x 刚好在方程c x g =)(的两根中点221x x +的左边，我们称之为极值点左偏.2. 极值点偏移问题的一般题设形式1. 若函数)(x f 存在两个零点21,x x 且21x x ≠，求证：0212x x x >+（0x 为函数)(x f 的极值点）；2. 若函数)(x f 中存在21,x x 且21x x ≠满足)()(21x f x f =，求证：0212x x x >+（0x 为函数)(x f 的极值点）；3. 若函数)(x f 存在两个零点21,x x 且21x x ≠，令2210x x x +=，求证：0)('0>x f ；4. 若函数)(x f 中存在21,x x 且21x x ≠满足)()(21x f x f =，令2210x x x +=，求证：0)('0>x f .3. 极值点偏移的判定定理对于可导函数)(x f y =，在区间),(b a 上只有一个极大（小）值点0x ，方程0)(=x f 的解分别为21,x x ，且b x x a <<<21，（1）若)2()(201x x f x f -<，则021)(2x x x ><+，即函数)(x f y =在区间),(21x x 上极（小）大值点0x 右（左）偏；（2）若)2()(201x x f x f ->，则021)(2x x x <>+，即函数)(x f y =在区间),(21x x 上极（小）大值点0x 右（左）偏.证明：（1）因为对于可导函数)(x f y =，在区间),(b a 上只有一个极大（小）值点0x ，则函数)(x f 的单调递增（减）区间为),(0x a ，单调递减（增）区间为),(0b x ，由于b x x a <<<21，有01x x <，且0202x x x <-，又)2()(201x x f x f -<，故2012)(x x x -><，所以021)(2x x x ><+，即函数极（小）大值点0x 右（左）偏；（2）证明略.左快右慢（极值点左偏221x x m +<⇔） 左慢右快（极值点右偏221x x m +>⇔）左快右慢（极值点左偏221x x m +<⇔） 左慢右快（极值点右偏221x x m +>⇔）4. 对数平均不等式5. 运用判定定理判定极值点偏移的方法1、方法概述：（1）求出函数)(x f 的极值点0x ；（2）构造一元差函数)()()(00x x f x x f x F --+=；（3）确定函数)(x F 的单调性；（4）结合0)0(=F ，判断)(x F 的符号，从而确定)(0x x f +、)(0x x f -的大小关系.1．（2022·全国·统考高考真题）已知函数()ln xf x x a x x e -=+-．(1)若()0f x ³，求a 的取值范围；(2)证明：若()f x 有两个零点12,x x ，则121x x <．1．（2021·全国·统考高考真题）已知函数()()1ln f x x x =-.（1）讨论()f x 的单调性；（2）设a ，b 为两个不相等的正数，且ln ln b a a b a b -=-，证明：112e a b<+<.1．（2022·全国·模拟预测）设函数()()ln f x x ax a =-∈R .(1)若3a =，求函数()f x 的最值；(2)若函数()()g x xf x x a =-+有两个不同的极值点，记作12,x x ，且12x x <，求证：12ln 2ln 3x x +>.1．（23-24高三上·江苏南通·阶段练习）已知函数()2ln ,R a xf x x a x=+∈.(1)当12a =-时，求函数()f x 的极值；(2)若()f x 有两个极值点12x x ，，求证：()()12124f x f x x x +>+.2．（2024·河北保定·二模）已知函数()ln ,()f x ax x x f x '=-为其导函数．(1)若()1f x ≤恒成立，求a 的取值范围；(2)若存在两个不同的正数12,x x ，使得()()12f x f x =，证明：0f '>．1．（22-23高二上·重庆沙坪坝·期末）已知函数()e -=x k f x x ．(1)若()f x 在()0,¥+上单调递增，求实数k 的取值范围；(2)若()()ln g x f x k x =-存在极小值，且极小值等于()2ln k -，求证：ln 2e k k +>．1．（2023·全国·模拟预测）已知函数()()221e 1e e e 2xf x x x x =---+．(1)求函数()f x 的单调区间与极值．(2)若()()()()123123f x f x f x x x x ==<<，求证：31e 12x x -<-．2．（23-24高三上·云南昆明·阶段练习）设a ，b 为函数()e xf x x m =×-（0m <）的两个零点．(1)求实数m 的取值范围；(2)证明：e e 1a b +<．1．（2024高三·全国·专题练习）已知函数()e x f x x a =-恰有两个零点12,x x ．(1)求a 的取值范围；(2)证明：122x x +<-．2．（2023·山西·模拟预测）已知函数()ln 1,f x x a =-∈R .(1)若()0f x ≤，求a 的取值范围；(2)若关于x 的方程()22e e axf x x =-有两个不同的正实根12,x x ，证明：12x x +>3．（2024·辽宁·模拟预测）已知函数()2e (0)xf x ax a =->．(1)当2e 4a =时，判断()f x 在区间()1,+¥内的单调性；(2)若()f x 有三个零点123,,x x x ，且123x x x <<．（i ）求a 的取值范围；（ii ）证明：1233x x x ++>.1．（2024高三·全国·专题练习）已知函数()()2ln R af x x x a x=+∈有两个零点()1212,x x x x <．(1)求实数a 的取值范围；(2)证明：121x x +>．2．（2024高三下·全国·专题练习）已知函数()22ln 1f x x x x =-+．(1)证明：()1f x <；(2)若120x x <<，且()()120f x f x +=，证明：122x x +>．3．（2024高三·全国·专题练习）设函数23115e ()e e (1),[0,)232x f x x x x =---+∈+¥．(1)判断函数()f x 的单调性；(2)若12x x ≠，且()()126e f x f x +=，求证：122x x +<．1．（23-24高二下·云南·期中）已知函数()23ln 4(0)f x x ax x a =+->.(1)当1a =时，讨论()f x 的单调性；(2)当12a =时，若方程()f x b =有三个不相等的实数根123,,x x x ，且123x x x <<，证明：314x x -<.1．（23-24高三上·河南·开学考试）()()2ln e 124x ax x f x b +=+-++有两个零点()1212,x x x x <．(1)0a =时，求b 的范围；(2)1b =-且54a <时，求证：21x x -<2．（23-24高三下·天津·阶段练习）已知函数2()24ln f x x ax x =-+．(1)讨论()f x 的单调区间；(2)已知[4,6]a ∈，设()f x 的两个极值点为()1212,l l l l <，且存在b ∈R ，使得()y f x =的图象与y b =有三个公共点()123123,,x x x x x x <<；①求证：1212x x l +>；②求证：31x x -<．1．（22-23高三上·云南·阶段练习）已知函数()1ln xf x ax+=，0a >．(1)若()1f x ≤，求a 的取值范围；(2)证明：若存在1x ，2x ，使得()()12f x f x =，则22122x x +>．2．（2024·全国·模拟预测）已知函数()()1ln af x x a x=--∈R ．(1)求()f x 的单调区间；(2)若()f x 有两个零点1x ，2x ，且12x x <，求证：212e x x a <-．3．（2024·全国·模拟预测）已知函数ln 1()xf x x+=，e ()=xg x x ．(1)若对任意的,(0,)m n ∈+¥都有()()f m t g n ≤≤，求实数t 的取值范围；(2)若12,(0,)x x ∈+¥且12x x ≠，121221ex x x x x x -=，证明：33122x x +>．1．（2023·广东广州·模拟预测）已知函数()2ln f x x ax =-.(1)讨论函数()f x 的单调性：(2)若12,x x 是方程()0f x =的两不等实根，求证：22122e x x +>；2．（22-23高二下·辽宁·期末）已知函数()ln 1x f x ax+=.(1)讨论()f x 的单调性；(2)若()()2112e e xxx x =（e 是自然对数的底数），且1>0x ，20x >，12x x ≠，证明：22122x x +>.3．（2023·山西·模拟预测）已知函数()ln xf x ax x=-.(1)若()1f x ≤-，求实数a 的取值范围；(2)若()f x 有2个不同的零点12,x x （12x x <），求证：221212235x x a+>.1．（2023高三·全国·专题练习）已知函数()e ln xf x x x a x=-+-.若()f x 有两个零点12,x x ，证明：121x x <.2．（2024·广东湛江·一模）已知函数()()1ln1ln e axf x x =+．(1)讨论()f x 的单调性；(2)若方程()1f x =有两个根1x ，2x ，求实数a 的取值范围，并证明：121x x >．3．（2024高三·全国·专题练习）已知函数21()ln (1),(R)2f x x ax a x a =+-+∈.(1)当1a =时，判断函数()y f x =的单调性；(2)若关于x 的方程21()2f x ax =有两个不同实根12,x x ，求实数a 的取值范围，并证明212e x x ×>.1．（23-24高三上·河南·阶段练习）已知函数21()(21)2ln (R)2f x ax a x x a =-++∈.(1)若()f x 有唯一极值，求a 的取值范围；(2)当0a ≤时，若12()()f x f x =，12x x ≠，求证：124x x <.2．（23-24高三上·四川遂宁·阶段练习）设()()211ln 2f x ax a x x =-++，a ∈R .(1)当2a =时，求()f x 的极值；(2)若0x ∀>有()0f x ≤恒成立，求a 的取值范围；(3)当0a <时，若()()12f x f x =，求证：121x x <.3．（2023·湖北武汉·模拟预测）已知()2sin f x x x x =-．(1)当1a =时，讨论函数()f x 的极值点个数；(2)若存在1x ，212(0)x x x <<，使12()()f x f x =，求证：12<x x a ．1．（2022高三·全国·专题练习）已知函数()e (0)xa f x x a =->有两个相异零点1x ､2x ，且12x x <，求证：12e x x a<.2．（福建省宁德市2021届高三三模数学试题）已知函数()()ln 1xf x ae x a R -=+-∈.（1）当a e ≤时，讨论函数()f x 的单调性：（2）若函数()f x 恰有两个极值点()1212,x x x x <，且122ln 3x x +≤，求21x x 的最大值.3．（22-23高三上·黑龙江哈尔滨·期末）已知函数()2f x ax =，()()1lng x x x =-.(1)若对于任意()0,x ∈+¥，都有()()f x g x <，求实数a 的取值范围；(2)若函数()y g x m =-有两个零点12,x x ，求证：12112x x +>.1．（22-23高二下·湖北·期末）已知函数()ln 1xa x f x e -=+-（a ∈R ）.（1）当a e ≤时，讨论函数()f x 的单调性；（2）若函数()f x 恰有两个极值点1x ，2x （12x x <），且()1221ln 221e e x x e +×+≤-，求21x x 的最大值.2．（21-22高二上·湖北武汉·期末）已知函数()()2ln f x e x x =-，其中 2.71828e =×××为自然对数的底数.（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若()12,0,1x x ∈，且()21121212ln ln 2ln ln x x x x ex x x x -=-，证明：1211221e e x x <+<+.6．（2023·湖北武汉·三模）已知函数()()11ln f x ax a x x=+-+，a ∈R ．(1)讨论函数()f x 的单调性；(2)若关于x 的方程()1e ln xf x x x x=-+有两个不相等的实数根1x 、2x ，（ⅰ）求实数a 的取值范围；（ⅱ）求证：122112e e 2x x a x x x x +>．1．（2023高三·全国·专题练习）已知函数()lnf x x x =的图像与直线y m =交于不同的两点()11,A x y ，()22,B x y ，求证：1221e x x <．2．（2023·江西·模拟预测）已知函数()e xm f x x=+．(1)讨论()f x 的单调性；(2)若12x x ≠，且()()122f x f x ==，证明：0e m <<，且122x x +<．3．（23-24高二下·广东东莞·阶段练习）已知函数()2ln f x x ax x x =+-的导函数为()f x '，若()f x '存在两个不同的零点12,x x .(1)求实数a 的取值范围；(2)证明：121x x +>.4．（23-24高三上·江苏连云港·阶段练习）已知函数()()()21ln 12f x x ax a x a =+-+∈R .(1)当1a =时，求函数()y f x =的零点个数.(2)若关于x 的方程()212f x ax =有两个不同实根12,x x ，求实数a 的取值范围并证明212x x e ×>.5．（2024·云南·二模）已知常数0a >，函数221()2ln 2f x x ax a x =--.(1)若20,()4x f x a ∀>>-，求a 的取值范围;(2)若1x 、2x 是()f x 的零点，且12x x ≠，证明:124x x a +>.6．（22-23高二下·安徽·阶段练习）已知函数()()3213log 0,132a f x x x x a a =-+>≠．(1)若()f x 为定义域上的增函数，求a 的取值范围；(2)令e a =，设函数()()314ln 93g x f x x x x =--+，且()()120g x g x +=，求证：123x x +³+．7．（2023·山东日照·二模）已知函数()ln f x x a x =-．(1)若()1f x ³恒成立，求实数a 的值：(2)若1>0x ，20x >，1212e ln xx x x +>+，证明：12e 2x x +>．8．（2023·江西南昌·二模）已知函数()()ln f x x x a =-，()()f xg x a ax x=+-．(1)当1x ³时，()ln 2f x x --≥恒成立，求a 的取值范围．(2)若()g x 的两个相异零点为1x ，2x ，求证：212e x x >．9．（2023·浙江绍兴·模拟预测）已知函数()232ln x f x x a æö=-ç÷èø，a 为实数．(1)求函数()f x 的单调区间；(2)若函数()f x 在e x =处取得极值，()f x '是函数()f x 的导函数，且()()12f x f x ''=，12x x <，证明：122ex x <+<10．（2023·北京通州·三模）已知函数()ln (0)af x ax x a x=-->(1)已知f （x ）在点（1，f （1））处的切线方程为1y x =-，求实数a 的值；(2)已知f （x ）在定义域上是增函数，求实数a 的取值范围.(3)已知()()a g x f x x=+有两个零点1x ，2x ，求实数a 的取值范围并证明212e x x >.11．（22-23高三下·河北石家庄·阶段练习）已知函数()()2ln f x x x a a =-∈R .(1)求函数()f x 的单调区间；(2)若函数()f x 有两个零点1x 、2x ，证明121x x <+<.12．（2022高三·全国·专题练习）已知函数()2ln (R)2a f x x x x x a a =--+∈在其定义域内有两个不同的极值点.(1)求a 的取值范围；(2)记两个极值点为12,x x ，且12x x <. 若1l ³，证明：112e x x l l+<×.13．（2023·贵州毕节·模拟预测）已知函数()()()2ln 3,0f x x a x x a a =+-->.(1)当1x ³时，()0f x ³，求a 的取值范围.(2)若函数()f x 有两个极值点12,x x ，证明：12122e x x -+>.14．（23-24高三上·河南·阶段练习）已知函数()()()()2e xf x x ax a =--∈R ．(1)若2a =，讨论()f x 的单调性．(2)已知关于x 的方程()()3e 2xf x x ax =-+恰有2个不同的正实数根12,x x ．（i ）求a 的取值范围；（ii ）求证：124x x +>．15．（23-24高三上·天津和平·阶段练习）已知函数()232ln x f x x a æö=-ç÷èø，a 为实数．(1)当23a =时，求函数在1x =处的切线方程；(2)求函数()f x 的单调区间；(3)若函数()f x 在e x =处取得极值，()f x '是函数()f x 的导函数，且()()12f x f x ''=，12x x <，证明：122e x x <+<．16．（23-24高三上·重庆渝中·期中）已知函数()2ln ,R f x x x ax x a =-+∈．(1)若函数()f x 是减函数，求a 的取值范围；(2)若()f x 有两个零点12,x x ，且212x x >，证明：1228e x x >．17．（23-24高三上·江苏·阶段练习）已知函数()()21ln 02f x x x ax a =->.(1)若函数()f x 在定义域内为减函数,求实数a 的取值范围;(2)若函数()f x 有两个极值点()1212,x x x x <,证明：121x x a>.18．（2023·辽宁阜新·模拟预测）已知函数()e xf x ax=+(1)若2a =-时，求()f x 的最值；(2)若函数()()212g x f x x =-，且12,x x 为()g x 的两个极值点，证明：()()122g x g x +>19．（2024高三下·全国·专题练习）已知函数()()2ln 2g x x ax a x =-+-（R a ∈）．(1)求()g x 的单调区间；(2)若函数()()()212f x g x a x x =++-，()1212,0x x x x <<是函数()f x 的两个零点，证明：1202x x f +æö'<ç÷èø．20．（2023·山东泰安·二模）已知函数()1e ln xf x m x -=-，R m ∈.(1)当1m ³时，讨论方程()10f x -=解的个数；(2)当e m =时，()()2eln 2tx g x f x x +=+-有两个极值点1x ，2x ，且12x x <，若2e e 2t <<，证明：（i ）1223x x <+<；（ii ）()()1220g x g x +<.1．（全国·高考真题）已知函数2()(2)(1)x f x x e a x =-+-有两个零点.（Ⅰ）求a 的取值范围；（Ⅱ）设x 1，x 2是()f x 的两个零点，证明：122x x +<.2．（天津·高考真题）已知函数()()x f x xe x R -=∈（Ⅰ）求函数()f x 的单调区间和极值；（Ⅱ）已知函数()y g x =的图象与函数()y f x =的图象关于直线1x =对称，证明当1x >时，()()f x g x >（Ⅲ）如果12x x ≠，且12()()f x f x =，证明122x x +>。

____第14课__对__数__函__数____1. 理解对数函数的定义、图象和性质．2. 能用对数函数的性质比较两个对数的大小．3. 能用对数函数的图象和性质来解决简单的综合性问题.1. 阅读必修1第81～87页，完成以下任务：(1) 对数函数的概念是什么？通过第83页例1，掌握求对数函数定义域的方法． (2) 对数函数的图象和性质是怎样的？通过第83页例2，掌握比较对数大小的方法． (3) 通过第84～85页例3、例4，掌握对数函数图象的变换．2. 由重点题目第87页习题第8、14题进一步观察和探究对数函数的图象和性质.基础诊断1. 函数y ＝log 2(x －x 2)的定义域是__(0，1)__，值域是__(－∞，－2]__， 单调增区间是__⎝⎛⎭⎫0，12__． 解析：由题意得，x －x 2>0，解得0<x<1，故函数y ＝log 2(x －x 2)的定义域为(0，1)； 因为y ＝log 2(x －x 2)＝log 2⎣⎡⎦⎤－⎝⎛⎭⎫x －122＋14≤log 214＝－2， 所以函数的值域为(－∞，－2]；因为y ＝log 2t 是单调增函数，所以函数g(x)＝x －x 2的增区间即为原函数的增区间．因为g(x)＝x －x 2在⎝⎛⎭⎫0，12上单调递增，故原函数的单调增区间为⎝⎛⎭⎫0，12.2. 函数f(x)＝1－2log 6x 的定义域为．解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x>0，1－2log 6x ≥0，解得0<x ≤6，故函数f(x)的定义域为(0，6]．3. 若－1<log a 34<1，则实数a 的取值范围为__⎝⎛⎭⎫0，34∪⎝⎛⎭⎫43，＋∞__． 解析：由－1<log a 34<1得log a 1a <log a 34<log a a.若0<a<1，则函数y ＝log a x 在(0，＋∞)上单调递减，所以1a >34>a ，解得0<a<34；若a>1，则函数y ＝log a x 在(0，＋∞)上单调递增，所以1a <34<a ，解得a>43. 综上，a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫0，34∪⎝⎛⎭⎫43，＋∞. 4. 已知a ∈R ，函数f (x )＝log 2⎝⎛⎭⎫1x ＋a ，若关于x 的方程f (x )＋log 2x 2＝0的解集中恰有一个元素，则a 的值为__－14或0__．解析：由题意得log 2⎝⎛⎭⎫1x ＋a ＋log 2x 2＝0，即log 2(ax 2＋x )＝0，即ax 2＋x －1＝0. 当a ＝0时，解得x ＝1，符合题意； 当a ≠0时，Δ＝1＋4a ＝0，解得a ＝－14.综上，a 的值为0或－14.范例导航考向❶ 含对数式的大小比较例1 比较下列各组数中两个值的大小： (1) log 23.4，log 28.5； (2) log 0.31.8，log 0.32.7；(3) log a 5.1，log a 5.9(a>0，且a ≠1)．解析：(1) 根据函数y ＝log 2x 单调递增可得log 23.4<log 28.5. (2) 根据函数y ＝log 0.3x 单调递减可得log 0.31.8>log 0.32.7. (3) 函数y ＝log a x 的单调性需分两种情况讨论： ①当0<a<1时，函数y ＝log a x 单调递减， 所以log a 5.1>log a 5.9；②当a>1时，函数y ＝log a x 单调递增， 所以log a 5.1<log a 5.9.比较下列各组数的大小． (1) log 323与log 565；(2) log 1.10.7与log 1.20.7；(3) 已知log 12b<log 12a<log 12c ，比较2a ，2b ，2c 的大小．解析：(1) 因为log 323<log 31＝0，log 565>log 51＝0，所以log 323<log 565.(2) 方法一：因为0<0.7<1，1.1<1.2，所以0>log 0.71.1>log 0.71.2， 所以1log 0.71.1<1log 0.71.2，由换底公式可得log 1.10.7<log 1.20.7.方法二：作出y ＝log 1.1x 与y ＝log 1.2x 的图象，如图所示，由两图象与直线x ＝0.7相交可知log 1.10.7<log 1.20.7.(3) 因为y ＝log 12x 为减函数，且log 12b<log 12a<log 12c ，所以b>a>c.考向❷ 对数函数的图象(变换)与性质例2 已知函数f(x)＝log a x(a>0且a ≠1)，若对于任意的x ∈⎣⎡⎦⎤13，2都有|f(x)|≤1成立，试求a 的取值范围．解析：因为f(x)＝log a x ，则y ＝|f(x)|的图象如图所示．由图可知，要使x ∈⎣⎡⎦⎤13，2时恒有|f(x)|≤1,只需|f ⎝⎛⎭⎫13|≤1，即－1≤log a 13≤1，即log a a －1≤log a13≤log a a. 当a>1时，a －1≤13≤a ，解得a ≥3；当0<a<1时，a －1≥13≥a ，解得0<a ≤13.综上所述，a 的取值范围是⎝⎛⎦⎤0，13∪[3，＋∞)．(1) 已知函数f(x)＝|lg x|，若0<a<b ，且f(a)＝f(b)，则a ＋2b 的取值范围为__(3，＋∞)__； 解析：画出函数f(x)＝|lg x|的图象如图所示．因为0<a<b ，f(a)＝f(b)，所以0<a<1，b>1，所以lg a<0，lg b>0.又因为f(a)＝f(b)，所以－lg a ＝lg b ，即ab ＝1，所以a ＋2b ＝a ＋2a ，易证μ＝a ＋2a 在区间(0，1)上单调递减，所以μ>3，即a ＋2b>3.(2) 已知函数f(x)＝log a |x|在(0，＋∞)上单调递增，则f(－2)__<__f(a ＋1)．(填“<”“＝”或“>”)解析：因为f(x)＝log a |x|在(0，＋∞)上单调递增，所以a>1，所以a ＋1>2.因为f(x)是偶函数，所以f(－2)＝f(2)<f(a ＋1).考向❸ 对数函数的图象与性质的综合运用例3 已知函数f(x)＝log a (x ＋1)－log a (1－x)，a>0且a ≠1. (1) 求f(x)的定义域；(2) 判断f(x)的奇偶性并予以证明；(3) 若a>1，求使f(x)>0的x 的解集． 解析：(1) 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，1－x>0，解得－1<x<1. 故所求函数f(x)的定义域为{x|－1<x<1}． (2) 由(1)知f(x)的定义域为{x|－1<x<1}，且f(－x)＝log a (－x ＋1)－log a (1＋x)＝－[log a (x ＋1)－log a (1－x)]＝－f(x)， 故f(x)为奇函数．(3) 因为当a>1时，f(x)在定义域{x|－1<x<1}上是增函数，所以由f(x)>0，得x ＋11－x >1，解得0<x<1，所以使f(x)>0的x 的解集是{x|0<x<1}．自测反馈1. 设a ＝log 3π，b ＝log 23，c ＝log 32，则a ，b ，c 的大小关系为__a>b>c__． 解析：a ＝log 3π>1，b ＝12log 23，则12<b<1，c ＝12log 32<12，所以a>b>c.2. 已知函数f(x)＝ln 1＋ax1＋2x(a ≠2)为奇函数，则实数a ＝__－2__．解析：依题意有f(－x)＋f(x)＝ln 1－ax 1－2x ＋ln 1＋ax 1＋2x ＝0，即1－ax 1－2x ·1＋ax1＋2x ＝1，故1－a 2x 2＝1－4x 2，所以a 2＝4.又a ≠2，故a ＝－2.3. 已知函数f(x)满足：当x ≥4时，f(x)＝⎝⎛⎭⎫12x；当x<4时，f(x)＝f(x ＋1)，则f(2＋log 23)的值为__124__．解析：因为1<log 23<2，所以3<2＋log 23<4，所以f(2＋log 23)＝f(3＋log 23)，因为4<3＋log 23<5，所以f(3＋log 23)＝⎝⎛⎭⎫123＋log 23＝⎝⎛⎭⎫123×⎝⎛⎭⎫12log 23＝18×2log 23－1＝18×13＝124. 4. 定义在R 上的偶函数f (x )在[0，＋∞)上单调递增，f ⎝⎛⎭⎫13＝0，则满足f ⎝⎛⎭⎫log 18x >0的x 的取值范围是__⎝⎛⎭⎫0，12∪(2，＋∞)__． 解析：由题意得，f (log 18x )>f ⎝⎛⎭⎫13，因为f (x )为R 上的偶函数且在[0，＋∞)上单调递增可得，log 18x >13或log 18x <－13，解得0<x <12或x >2，故x 的取值范围是⎝⎛⎭⎫0，12∪(2，＋∞)．1. 对数函数的底数与真数应满足的条件必须重视，对于含参数问题，一般都需分类讨论．2. 比较对数大小时，先与0比较分正负；正数与1比较，分大于1还是小于1.在给定条件下，求字母的取值范围是常见题型，要重视不等式知识及函数单调性在这类问题上的应用．3. 你还有哪些体悟，写下来：。

课时跟踪检测（十五） 导数与函数的极值、最值一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．(2019·昆山调研)已知函数f (x )的导函数f ′(x )＝x 2－x ，则使得f (x )取得极大值的x ＝________.解析：由f ′(x )＝x 2－x ＝0得到x ＝0或x ＝1，当x ＜0或x ＞1时，f ′(x )＞0.当0＜x ＜1时，f ′(x )＜0，所以当x ＝0时，f (x )取得极大值．答案：02．(2019·江都中学检测)函数f (x )＝x 3－3x －3在区间[－3，0]上的最大值和最小值分别为m ，n ，则m ＋n ＝________.解析：∵f ′(x )＝3x 2－3＝3(x ＋1)(x －1)， ∴当－3≤x ＜－1时，f ′(x )＞0； 当－1＜x ≤0时，f ′(x )＜0.∴f (x )在[－3，－1)上是增函数，在(－1,0]上是减函数． ∴当x ＝－1时，f (x )取得最大值f (－1)＝－1，即m ＝－1. ∵f (－3)＝－21＜f (0)＝－3，∴当x ＝－3时，f (x )取得最小值f (－3)＝－21， 即n ＝－21. 故m ＋n ＝－22. 答案：－223．(2018·启东中学测试)已知函数f (x )＝3x 3－9x ＋a 有两个零点，则a ＝________. 解析：f ′(x )＝9x 2－9，由f ′(x )＞0，得x ＞1或x ＜－1；由f ′(x )＜0，得－1＜x ＜1，所以f (x )在(－∞，－1)和(1，＋∞)上单调递增，在(－1,1)上单调递减，所以f (x )的极大值为f (－1)＝a ＋6，极小值为f (1)＝a －6，要满足题意，则需f (－1)＝0或f (1)＝0，解得a ＝±6.答案：±64．(2018·太仓高级中学期末)函数f (x )＝x ＋1x的极大值是________．解析：易知f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，f ′(x )＝1－1x 2，令1－1x2＝0，可得x ＝－1或x ＝1，当x ∈(－∞，－1)时，f ′(x )＞0，函数f (x )是增函数；当x ∈(－1,0)时，f ′(x )＜0，函数f (x )是减函数；当x ∈(0,1)时，f ′(x )＜0，函数f (x )是减函数；当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )＞0，函数f (x )是增函数，所以当x ＝－1时，函数f (x )取得极大值－2. 答案：－25．(2018·南通期末)已知函数f (x )＝x 3－x 2＋a 在[0,1]上恰好有两个零点，则实数a 的取值范围是________．解析：f ′(x )＝x (3x －2)，令f ′(x )＞0，解得23＜x ≤1；令f ′(x )＜0，解得0＜x ＜23，故f (x )在⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，23上单调递减，在⎝ ⎛⎦⎥⎤23，1上单调递增． 若f (x )在[0,1]上恰好有两个零点，则⎩⎪⎨⎪⎧f ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＜0，f ，解得0≤a ＜427.答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，427 6．若函数f (x )＝13x 3－⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋b 2x 2＋2bx 在区间[－3,1]上不是单调函数，则函数f (x )在R上的极小值为________．解析：f ′(x )＝x 2－(2＋b )x ＋2b ＝(x －b )(x －2)，因为函数f (x )在区间[－3,1]上不是单调函数，所以－3＜b ＜1，则由f ′(x )＞0，得x ＜b 或x ＞2，由f ′(x )＜0，得b ＜x ＜2，所以函数f (x )的极小值为f (2)＝2b －43.答案：2b －43二保高考，全练题型做到高考达标1．若x ＝1是函数f (x )＝ax 3－ax 2－x ＋1的极值点，则f (x )的极小值为________． 解析：f ′(x )＝3ax 2－2ax －1，若x ＝1是f (x )的极值点，则f ′(1)＝3a －2a －1＝0， 解得a ＝1，故f (x )＝x 3－x 2－x ＋1，f ′(x )＝3x 2－2x －1＝(3x ＋1)(x －1)，由f ′(x )＞0，解得x ＞1或x ＜－13；由f ′(x )＜0，解得－13＜x ＜1，所以f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－13上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，1上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，故f (x )极小值＝f (1)＝0. 答案：02．设直线x ＝t 与函数h (x )＝x 2，g (x )＝ln x 的图象分别交于点M ，N ，则当MN 最小时t ＝________.解析：由已知条件可得MN ＝t 2－ln t ， 设f (t )＝t 2－ln t (t ＞0)，则f ′(t )＝2t －1t，令f ′(t )＝0，得t ＝22， 当0＜t ＜22时，f ′(t )＜0，当t ＞22时，f ′(t )＞0， 所以当t ＝22时，f (t )取得最小值． 答案：223．(2018·东台安丰中学期中)已知函数f (x )＝lg ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋ax－2，若对任意x ∈[2，＋∞)，不等式f (x )＞0恒成立，则a 的取值范围是________．解析：若对任意x ∈[2，＋∞)，不等式f (x )＞0恒成立，则lg ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋a x－2＞0＝lg 1，∴x ＋a x－2＞1，即a ＞3x －x 2恒成立． 令y ＝3x －x 2，其对称轴为x ＝32，∴y ＝3x －x 2在[2，＋∞)上单调递减， ∴y max ＝6－4＝2，∴a ＞2. 答案：(2，＋∞)4．(2019·南京学情调研)已知函数f (x )＝13x 3＋x 2－2ax ＋1，若函数f (x )在(1,2)上有极值，则实数a 的取值范围为________．解析：因为函数f (x )在(1,2)上有极值，则需函数f (x ) 在(1,2)上有极值点． 法一：令f ′(x )＝x 2＋2x －2a ＝0，得x 1＝－1－1＋2a ，x 2＝－1＋1＋2a ，因为x 1∉(1,2)，因此则需1＜x 2＜2，即1＜－1＋1＋2a ＜2，即4＜1＋2a ＜9，所以32＜a ＜4，故实数a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，4. 法二：f ′(x )＝x 2＋2x －2a 的图象是开口向上的抛物线，且对称轴为x ＝－1，则f ′(x )在(1,2)上是单调递增函数，因此⎩⎪⎨⎪⎧f＝3－2a ＜0，f ＝8－2a ＞0，解得32＜a ＜4，故实数a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，4. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫32，4 5．(2019·海门实验中学测试)已知函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx 的图象如图所示，则x 21＋x 22＝________.解析：由图象可知f (x )的图象过点(1,0)与(2,0)，x 1，x 2是函数f (x )的极值点，因此1＋b ＋c ＝0,8＋4b ＋2c ＝0，解得b ＝－3，c ＝2，所以f (x )＝x 3－3x 2＋2x ，所以f ′(x )＝3x2－6x ＋2.因为x 1，x 2是方程f ′(x )＝3x 2－6x ＋2＝0的两根，因此x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝23，所以x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝4－43＝83.答案：836．(2019·扬州调研)已知函数f (x )＝ln x －mx(m ＜0)在区间[1，e]上取得最小值4，则m ＝________.解析：f ′(x )＝1x ＋m x 2＝x ＋mx2.令f ′(x )＝0，得x ＝－m ，且当x ＜－m 时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减，当x ＞－m 时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增．若－m ≤1，即－1≤m ＜0时，f (x )min ＝f (1)＝－m ≤1，不可能等于4；若1＜－m ≤e，即－e≤m ＜－1时，f (x )min ＝f (－m )＝ln(－m )＋1，令ln(－m )＋1＝4，得m ＝－e 3∉[－e ，－1)；若－m ＞e ，即m ＜－e 时，f (x )min ＝f (e)＝1－m e ，令1－me ＝4，得m ＝－3e ，符合题意．综上所述，m ＝－3e. 答案：－3e7．(2018·海安高级中学期末)已知三次函数f (x )在x ＝0处取得极值0，在x ＝1处取得极值1，若存在两个不同实数x 1，x 2∈(k ，k ＋1)，使得f (x 1)＋f (x 2)＝0，则实数k 的取值范围是________．解析：设三次函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d ，则f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c .∵f (x )在x ＝0处取得极值0，在x ＝1处取得极值1.∴⎩⎪⎨⎪⎧f ＝c ＝0，f ＝3a ＋2b ＋c ＝0，f ＝d ＝0，f＝a ＋b ＋c ＋d ＝1⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝3，c ＝d ＝0.∴f (x )＝－2x 3＋3x 2，f ′(x )＝－6x 2＋6x ，由f ′(x )＞0，得0＜x ＜1；由f ′(x )＜0，得x ＞1或x ＜0， ∴函数f (x )在(－∞，0)，(1，＋∞)上单调递减，在(0,1)上单调递增，且f (0)＝0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝0，作出函数f (x )的图象如图所示． 结合图象可得k ＜32＜k ＋1，∴实数k 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32 8．已知y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y ＝x －1，且f ′(x )＝ln x ＋1，则函数f (x )的最小值为________．解析：因为f ′(x )＝ln x ＋1，设f (x )＝x ln x ＋C ，又因为f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y ＝x －1，故切点为(1,0)，又切点在曲线f (x )＝x ln x ＋C 上，故C ＝0，f (x )＝x lnx ，令f ′(x )＝ln x ＋1＞0，解得x ＞1e ，令f ′(x )＜0，解得0＜x ＜1e，所以f (x )在区间⎝⎛⎭⎪⎫0，1e上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞上单调递增，故当x ＝1e 时，函数f (x )取得最小值，所以f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝－1e .答案：－1e9．(2018·南京、盐城二模)已知函数f (x )＝x (e x－2)，g (x )＝x －ln x ＋k ，k ∈R ，e 为自然对数的底数．记函数F (x )＝f (x )＋g (x )．(1)求函数y ＝f (x )＋2x 的极小值；(2)若F (x )＞0的解集为(0，＋∞)，求k 的取值范围． 解：(1)y ＝f (x )＋2x ＝x e x，由y ′＝(1＋x )e x＝0，得x ＝－1. 当x 变化时，y ′，y 的变化情况如下表：所以当x ＝－1时，y 取得极小值－e .(2)F (x )＝f (x )＋g (x )＝x e x－x －ln x ＋k ，F ′(x )＝(x ＋1)⎝⎛⎭⎪⎫e x－1x ，设h (x )＝e x －1x (x ＞0)，则h ′(x )＝e x＋1x2＞0恒成立，所以函数h (x )在(0，＋∞)上单调递增．又h ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝e －2＜0，h (1)＝e －1＞0，且h (x )的图象在(0，＋∞)上不间断， 因此h (x )在(0，＋∞)上存在唯一的零点x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1且e 0x＝1x 0.当x ∈(0，x 0)时，h (x )＜0，即F ′(x )＜0；当x ∈(x 0，＋∞)时，h (x )＞0，即F ′(x )＞0，所以F (x )在(0，x 0)上单调递减，在(x 0，＋∞)上单调递增， 故当x ＝x 0时，函数F (x )取极小值，也是最小值，为F (x 0)＝x 0ex －x 0－ln x 0＋k ＝1－x 0－ln1ex ＋k ＝1＋k .因为F (x )＞0的解集为(0，＋∞)， 所以1＋k ＞0，即k ＞－1. 故k 的取值范围是(－1，＋∞)．10．(2019·启东高三联考)已知函数f (x )＝axln x－x ，其中a ＞0，函数f (x )的导数为f ′(x )．(1)求函数f (x )在区间(1，e]上的值域；(2)若函数f (x )在(1，＋∞)上为单调减函数，求实数a 的最大值；(3)若存在x 1，x 2∈[e ，e 2]，使f (x 1)≤f ′(x 2)＋1成立，求实数a 的取值范围． 解：(1)由已知，得f ′(x )＝ax －x2－1，因为x ∈(1，e]，a ＞0，所以f ′(x )＜0， 所以函数f (x )在(1，e]上为单调减函数， 所以f (x )min ＝f (e)＝a e －e ，所以函数f (x )在区间(1，e]上的值域为[a e －e ，＋∞)．(2)因为函数f (x )在(1，＋∞)上为单调减函数， 所以f ′(x )＝ax －x2－1≤0在(1，＋∞)上恒成立，只需f ′(x )max ≤0， 又因为a ＞0，f ′(x )＝－a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1ln x －122＋a 4－1，所以当1ln x ＝12，即x ＝e 2时，f ′(x )max ＝a 4－1≤0， 所以a ≤4，故实数a 的最大值为4.(3)“存在x 1，x 2∈[e ，e 2]，使f (x 1)≤f ′(x 2)＋1成立”等价于“当x 1，x 2∈[e ，e 2]时，f (x 1)min ≤f ′(x 2)max ＋1”．由(2)知，当x ∈[e ，e 2]时，f ′(x )max ＋1＝a4，所以原问题又等价于“当x ∈[e ，e 2]时，f (x )min ≤a4”．①当0＜a ≤4时，由(1)知f ′(x )max ＝a4－1≤0，f (x )在[e ，e 2]上为单调减函数，则f (x )min ＝f (e 2)＝a e 22－e 2≤a4，所以0＜a ≤4e22e 2－1.②当a ＞4时，f ′(x )＝－a ⎝⎛⎭⎪⎫1ln x －122＋a 4－1在[e ，e 2]上为单调增函数，且值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，a 4－1， 所以存在唯一x 0∈(e ，e 2)，使f ′(x )＝0，且满足： 当x ∈(e ，x 0)时，使f ′(x )＜0，f (x )在(e ，x 0)上单调递减； 当x ∈(x 0，e 2)时，使f ′(x )＞0，f (x )在(x 0，e 2)上单调递增， 所以f (x )min ＝f (x 0)＝ax 0ln x 0－x 0≤a4，x 0∈(e ，e 2)．注意到y ＝xln x －14，y ′＝ln x －1x 2＞0，故y ＝x ln x －14在(e ，e 2)上递增且恒正， 所以a ≤x 0x 0ln x 0－14＜e2e －14＝4e24e －1＜4，与a ＞4矛盾．⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫或a ≤x 0x 0ln x 0－14＜x 0x 02－14＝4x 02x 0－1＝2＋22x 0－1＜2＋22e －1＜4，与a ＞4矛盾. 综上所述，实数a 的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤0，4e 22e 2－1.三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．(2019·盐城中学测试)设函数f (x )＝3sin πx m，若存在f (x )的极值点x 0满足x 20＋[f (x 0)]2＜m 2，则实数m 的取值范围是________________．解析：由题意可知f (x 0)＝±3，则πx 0m ＝k π＋π2，k ∈Z ，即x 0＝2k ＋12m ，k ∈Z ，再由x 20＋[f (x 0)]2＜m 2，可得当m 2最小时，|x 0|最小，而|x 0|最小为12|m |，所以m 2＞14m 2＋3，即m 2＞4，解得m ＜－2或m ＞2，故m 的取值范围为(－∞，－2)∪(2，＋∞)．答案：(－∞，－2)∪(2，＋∞)2．(2018·徐州高三期中)如图，有一块半圆形空地，开发商计划建一个矩形游泳池ABCD 及其矩形附属设施EFGH ，并将剩余空地进行绿化，园林局要求绿化面积应最大化．其中半圆的圆心为O ，半径为R ，AB 在直径上，点C ，D ，G ，H 在圆周上，E ，F 在边CD 上，且∠BOG ＝π3，设 ∠BOC ＝θ.(1)记游泳池及其附属设施的占地面积为f (θ)，求f (θ)的表达式； (2)怎样设计才能符合园林局的要求？解：(1)由题意得AB ＝2R cos θ，BC ＝R sin θ，连结OH ，易得△HOG 为等边三角形， 所以HG ＝R ，EH ＝32R －R sin θ， 所以f (θ)＝S 矩形ABCD ＋S 矩形EFGH ＝2R cos θ·R sin θ＋R ⎝⎛⎭⎪⎫32R －R sin θ ＝R 2⎝⎛⎭⎪⎫2sin θcos θ－sin θ＋32，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π3.(2)要符合园林局的要求，只要f (θ)最小即可，由(1)知，f ′(θ)＝R 2(2cos 2θ－2sin 2θ－cos θ)＝R 2(4cos 2θ－cos θ－2)，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π3. 令f ′(θ)＝0，即4cos 2θ－cos θ－2＝0， 解得cos θ＝1＋338或cos θ＝1－338(舍去)，令cos θ0＝1＋338，θ0∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π3，当θ∈(0，θ0)时，f ′(θ)＜0，f (θ)是单调减函数；当θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫θ0，π3时，f ′(θ)＞0，f (θ)是单调增函数， 所以当θ＝θ0时，f (θ)取得最小值．答：当θ满足cos θ＝1＋338时，符合园林局的要求．。

考点 10 函数的图像1、为了得到函数y＝lg x＋3y＝lg x 的图象上所有的点向__ __( 填“左”或“右”)10的图象，只需把函数平移 ___个单位长度，再向__( 填“上”或“下” ) 平移 ___个单位长度．【答案】左 3 下 1x＋ 3【解析】因为 y＝lg10 ＝lg(x＋3)－lg10＝lg(x＋3)－1，所以只需把函数y＝lg x的图象上所有的点向左平移 3 个单位长度，再向下平移 1 个单位长度．2、已知 y＝ f(x)与y＝g(x)的图象如图，则函数f(x)＝f(x)g(x)的图象可以是____． ( 填序号 )①②③④【答案】①【解析】根据f(x) 和 g(x) 的图象，可得g(x) 在 x＝0 处无意义，所以函数f(x) ＝ f(x)g(x)在x＝0处无意义；因为 f(x)与g(x)都为奇函数，所以函数f(x) ＝ f(x)g(x)是偶函数，故排除④；当x 取很小的正数时，f(x)<0，g(x)>0，所以f(x)g(x)<0，故①符合要求．3、已知偶函数f(x)(x∈ R)满足f (－4)＝ f (1)＝0，且在区间[0，3]和(3，＋∞)上分别单调递减和单调递增，则不等式xf ( x)<0的解集为___．【答案】 (1，4) ∪ (－1，0)∪( －∞，－ 4)【解析】因为定义在R上的偶函数 f ( x)满足 f (－4)＝f (1)＝0，所以函数 f ( x)的图象关于 y 轴对称，且 f (4) ＝ f (1)＝ f (－1)＝ f (－4)＝0，则由函数在区间[0 ， 3] 和 (3 ，＋∞ ) 上分别单调递减和单调递增，不等式xf (x)<0 ，可得x>0，或x<0，解得 1< <4 或－1<<0或x<－ 4，故所求不等式的解集为(1 ，4) ∪f （ x）<0 f （ x）>0，x x( －1，0) ∪( －∞，－ 4) ．4、已知图 1 是函数 y＝ f(x) 的图象，则图 2 中的图象对应的函数可能是___． ( 填序号 )图1图2① y ＝ f(|x|) ； ② y ＝ |f(x)| ；③ y ＝ f( －|x|) ； ④ y ＝－ f( － |x|) ． 【答案】③【解析】由图 2 可知，对应的函数为偶函数，所以②错误，且当 x>0 时，对应的是 f(－ x) ，显然①④不正确，故填③ .5、将函数 y ＝ f(x) 的图象上所有点的横坐标变为原来的1x 轴方向向左平移 2( 纵坐标不变 ) ，再将此图象沿3个单位长度，所得图象对应的函数为 ____．【答案】 y ＝ f(3x ＋6)1【解析】函数 y ＝ f(x) 的图象所有点的横坐标变为原来的 3( 纵坐标不变 ) ，得到的函数为y ＝ f(3x) ，再将此图象沿 x 轴方向向左平移 2 个单位长度得到函数为y ＝ f[3(x ＋ 2)] ＝f(3x ＋ 6) ，故所得图象对应的函数为 y＝ f(3x＋6)．6、 若 0<a<1，则函数 y ＝ log a (x ＋ 5) 不经过第 __ __ 象限． 【答案】一【解析】函数 log a (x ＋ 5) 的图象可以看作函数 y ＝log a x 的图象向左平移 5 个单位长度得到的，由 0<a<1，知函数 y ＝ log a x 的图象过第一、四象限且单调递减，与 x 轴交于点 (1 ， 0) ，故函数 y ＝ log a (x ＋ 5) 的图象也 单调递减，且过点 ( － 4， 0) ，由此图象特征知，函数 y ＝log a (x ＋ 5) 的图象不经过第一象限．7、若函数 y ＝ log 2(x ＋ 1) 的图象与 y ＝ f(x) 的图象关于直线 x ＝ 1 对称，则函数 f(x)的表达式是 __ __ ．【答案】 y ＝ log 2(3 － x)【解析】因为与 y ＝ f(x) 的图象关于直线 x ＝1 对称的函数为 y ＝ f(2 － x) ．又因为函数 y ＝log (x ＋ 1) 的图2象与 y ＝f(x) 的图象关于直线x ＝ 1 对称，所以 f(2－ x) ＝ log 2(x ＋ 1) ，设 t ＝2－ x ，则 x ＝ 2－ t ，所以 f(t)＝ log 2(2 －t ＋ 1) ＝ log (3 － t) ，故函数 f(x) 的表达式是 f(x)＝ log (3 －x) ．22x 2＋ x ， x<0， 8、 已知函数 f(x) ＝－ x 2，x ≥0， 若 f(f(a))≤2，则实数 a 的取值范围是 ____．【答案】 ( －∞，2]【解析】当 a ≥0 时， f(a)＝－ a 2≤0，故 f(f(a))＝f( － a 2) ＝a 4－ a 2≤2，解得 0≤a ≤2；当－ 1<a<0 时，2＋1)<0 ，则 f(f(a))22222 22f(a) ＝ a ＋a ＝ a(a ＝ f(a ＋ a) ＝ (a ＋ a) ＋ (a ＋a) ≤2，即 (a ＋ a) ＋ (a ＋ a) －2≤0，所21＋ 5 －1＋ 5 ，所以－ 1<a<0；当 a ≤－ 1 时， f(a) 2＋1) ≥0，以－ 2≤a ＋a ≤1，解得－ 2 ≤a ≤ 2 ＝ a ＋ a ＝a(a则 f(f(a)) ＝ f(a 2＋ a) ＝－ (a 2＋a) 2≤2，得 a ∈ R ，所以 a ≤－ 1.a9、设函数 f ( x ) ＝ | x | x ＋ bx ＋ c ，则下列命题中正确命题的序号有________．( 请将你认为正确的命题序号都填上 )①当 b >0 时，函数 f ( x ) 在 R 上是单调增函数；②当 b <0 时，函数 f ( x ) 在 R 上有最小值；③函数 f ( x ) 的图象关于点 (0 ， c ) 对称；④方程 f ( x ) ＝ 0 可能有三个实数根．【答案】①③④x 2＋ bx ＋ c ，x ≥0，【解析】 f ( x ) ＝－x 2 结合图象可知①正确， ②不正确， 对于③， 因为 | | x ＋ bx 是奇函数，＋ bx ＋ c ，x <0，x其图象关于原点 (0,0) 对称，所以 f ( x ) 的图象关于点 (0 ，c ) 对称，③正确；当 c ＝ 0，b <0 时 f ( x ) ＝ 0 有三个实数根，故④正确．10、已知函数 f ( x ) ＝ | x －a | x ＋ b ( a ，b ∈ R)，给出下列命题：(1) 当 a ＝0 时， f ( x ) 的图象关于点 (0 ，b ) 成中心对称；(2) 当 x >a 时， f ( x ) 是递增函数；a 2(3) 当 0≤x ≤ a 时， f ( x ) 的最大值为＋b .4其中正确的序号是 ________．【答案】 (1)(3)【解析】当a ＝ 0 时， f ( x ) ＝ | x | ＋ ，因为函数 ＝ | x | 是奇函数，所以 y ＝ | x | 的图象关于点 (0,0) 对称，x b y x x所以 f ( x ) 的图象关于点 (0 ， b ) 成中心对称，故 (1) 正确；当 x >a 时， f ( x ) ＝ x 2－ ax ＋b ，其单调性不确定，a2a 2aa 2故 (2) 错误；当 0≤ x ≤ a 时， f ( x ) ＝－ ( x － 2) ＋ 4 ＋ b ，所以当 x ＝ 2时， f ( x ) 的最大值为 4 ＋ b ，故(3)正确．13答案：3xx ＝ 1 的实根个数是 ________． 11、关于 x 的方程 e ln 【答案】 1x11 x【解析】由 e ln x ＝1( x >0) 得 ln x ＝ e x ( x >0) ，即 ln x ＝ ( e ) ( x >0) ．令 y 1＝ ln x ( x >0) ，1 xy 2＝ ( e ) ( x >0) ，在同一直角坐标系内绘出函数y 1， y 2 的图象，图象如图所示．根据图象可知两函数只有一个交点，所以原方程实根的个数为1.x3【答案】向上平移3 个单位x【解析】 g ( x ) ＝ log 2 8＝log 2 x － 3＝f ( x ) － 3，因此只需将函数 g ( x ) 的图象向上平移 3 个单位即可得到函数f ( x ) ＝ log 2 x 的图象．13、已知函数 f ( x ) ＝2x ＋， ( ) ＝log 2 ＋ ， ( ) ＝ x 3＋ x 的零点依次为 a ， ， 则 ， ， c 由小到大的顺xg xx x h xb ca b序是 ________．【答案】 a <c <b【解析】因为函数 f ( x ) ＝ 2x ＋ x 的零点在 ( － 1,0) 上，函数 g ( x ) ＝ log 2x ＋x 的零点在 (0,1) 上，函数 h ( x ) ＝x 3＋ x 的零点为 0，所以 < < .a c b14、已知函数设，且函数 的图象经过四个象限，则实数 的取值范围为 ______.【答案】【解析】当 x ≤0时， f(x)-g(x)=|x+3\-kx-1,须使 f(x)-g(x) 过第三象限，所以 f(-3)-g(-3)<0,解之得 k ＜ .当 x ＞ 0 时， f(x)-g(x)=,因为，所以须使 f(x)-g(x)过第四象限，必须综合得 -9 ＜k ＜ .15、定义在 R 上的偶函数 f （ x ），且对任意实数 x 都有 f （ x+2）＝ f （ x ），当 x ∈ [0 ， 1] 时， f （ x ）＝ x 2， 若在区间 [ ﹣ 3， 3] 内，函数 g （ x ）＝ f （ x ）﹣ kx ﹣ 3k 有 6 个零点，则实数k 的取值范围为 __．【答案】【解析】由定义在 R 上的偶函数 f （ x ），且对任意实数 x 都有 f （x+2）＝ f （x ），当 x ∈ [0 ， 1] 时， f （ x ）＝ x 2，可得函数 f （ x ）在区间 [ ﹣3， 3] 的图象如图所示，在区间[ ﹣ 3， 3] 内，函数 g （ x ）＝ f （ x ）﹣ kx ﹣ 3k 有 6个零点，等价于 y＝f （ x）的图象与直线y＝ k（x+3）在区间 [ ﹣ 3， 3] 内有 6 个交点，又y＝ k（ x+3）过定点（﹣ 3，0），观察图象可知实数k 的取值范围为：，16、已知函数 f ( x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，．若f(a)＜4＋f(－a)，则实数a 的取值范围是_____．【答案】【解析】∵ f ( x)为奇函数，∴∴f ( a)＜4＋ f (－a)可转化为 f ( a)＜2作出的图象，如图：由图易知： a＜ 217、已知函数. 若函数存在5个零点，则实数的取值范围为_________. 【答案】【解析】先作出函数y=2f(x)的图像如图所示( 图中黑色的曲线) ，当 a=1 时，函数y=|2f(x)-1|的图像如图所示（图中红色的曲线），它与直线y=1 只有四个交点，即函数存在 4 个零点，不合题意.当 1＜ a＜3 时，函数y=|2f(x)-a|的图像如图所示（图中红色的曲线），它与直线y=1 有 5 个交点，即函数存在 5 个零点，符合题意.当 a=3 时，函数y=|2f(x)-3|的图像如图所示（图中红色的曲线），它与直线y=1 有 6 个交点，即函数存在 6 个零点，不符合题意.所以实数 a 的取值范围为.故答案为：18、对于任意实数，定义设函数，，则函数的最大值是 ________.【答案】 1【解析】∵ x＞ 0，∴ f （ x） =﹣ x+3＜ 3， g（ x）=log 2x∈ R，分别作出函数f （ x） =﹣ 3+x 和 g（ x） =log 2x的图象，结合函数 f （ x）=﹣ 3+x 和 g（ x） =log 2x 的图象可知，h （ x ） =min{f （ x ），g （ x ） } 的图象，在这两个函数的交点处函数h （ x ） =min{f （ x ），g （ x ） } 的最大值．解方程组得 ，∴函数 h （x ） =min{f （ x ）， g （ x ） } 的最大值是 1．故答案为： 1．19、函数 的递增区间是 ___________．【答案】【解析】当 时，，开口向下，对称轴为 ，所以递增区间是 ，当时，，开口向上，对称轴是 ，所以在定义域内无递增区间。