新课标高考理科数学小题专项训练

2020年全国统一高考数学试卷(理科)(全国新课标II)一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

ð1.已知集合U＝{－2，－1，0，1，2，3}，A＝{－1，0，1}，B＝{1，2}，则(A∪B)＝UA.{－2，3}B.{－2，2，3}C.{－2，－1，0，3}D.{－2，－10，2，3}2.若α为第四象限角，则A.cos2α>0B.cos2α<0C.sin2α>0D.sin2α<03.在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压，为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作。

已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天新订单是1600份的概率为0.05。

志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天积压订单及当日订单配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者A.10名B.18名C.24名D.32名4.北京天坛的圆丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，己知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇形面形石板(不含天心石)A.3699块B.3474块C.3402块D.3339块5.若过点(2，1)的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线2x －y －3＝0的距离为6.数列{a n }中，a 1＝2，a m ＋n ＝a m a n ，若a k ＋1＋a k ＋2＋…＋a k ＋10＝215－25，则k ＝A.2B.3C.4D.57.右图是一个多面体的三视图，这个多面体某条棱的一个端点在正视图中对应的点为M ，在俯视图中对应的点为N ，则该端点在侧视图中对应的点为A.EB.FC.GD.H8.设O 为坐标原点，直线x ＝a 与双曲线C ：的两条渐近线分别交22221(0,0)x y a b a b-=>>于D ，E 两点。

高考理科数学试题及答案（考试时间：120分钟试卷满分：150分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.31ii+=+（） A ．12i + B ．12i - C ．2i + D ．2i -2. 设集合{}1,2,4A =，{}240x x x m B =-+=．若{}1AB =，则B =（）A ．{}1,3-B ．{}1,0C ．{}1,3D ．{}1,53. 我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（）A ．1盏B ．3盏C ．5盏D ．9盏4. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部 分所得，则该几何体的体积为（） A ．90π B ．63π C ．42π D ．36π5. 设x ，y 满足约束条件2330233030x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≥⎩，则2z x y =+的最小值是（）A ．15-B ．9-C ．1D ．96. 安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有（）A ．12种B ．18种C ．24种D ．36种7. 甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则（）A ．乙可以知道四人的成绩B ．丁可以知道四人的成绩C ．乙、丁可以知道对方的成绩D ．乙、丁可以知道自己的成绩8. 执行右面的程序框图，如果输入的1a =-，则输出的S =（）A ．2 B ．3 C ．4 D ．59. 若双曲线C:22221x y a b-=（0a >，0b >）的一条渐近线被圆()2224x y -+=所截得的弦长为2，则C 的 离心率为（）A ．2B ．3C ．2D ．2310. 若2x =-是函数21`()(1)x f x x ax e -=+-的极值点，则()f x 的极小值为（）A.1-B.32e --C.35e -D.111. 已知直三棱柱111C C AB -A B 中，C 120∠AB =，2AB =，1C CC 1B ==，则异面直线1AB与1C B 所成角的余弦值为（）A ．32 B ．155 C ．105D ．33 12. 已知ABC ∆是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC ⋅+的最小值是（）A.2-B.32-C. 43- D.1- 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

高三理科数学选择、填空训练题(1)一．选择题：本大题共12 小题，每小题 5 分。

在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（ 1）若复数z 满足iz 1 2i ，其中 i 为虚数单位，则在复平面上复数z 对应的点的坐标为（）（ A ）( 2, 1)（B）(2,1)（C）(2,1)（D）(2, 1)（ 2）已知全集U R ，集合A x 0 2x 1 ， B x log3 x 0 ，则A I C U B（）（ A）x x 0（B）x x 0（C）x 0 x 1（D）x x1（ 3）如图，在正方形ABCD 中，点 E 是 DC 的中点，点 F 是 BC 的一个三等分点，那么 EF ＝（）（ A ）1AB1AD（ B）23（ C）1 uuur1 uuur（ D）AB AD321 uuur1 uuurAB AD421 uuur2 uuurAB AD23（ 4）已知a n为等比数列， a4a7 2 ， a5a68 ，则 a1 a10（）（ A）7（ B）7（ C）5（ D）5（ 5）已知随机变量服从正态分布 N (1,1)，若 P(3) 0.977 ，则 P( 13)（）（ A）0.683（ B）0.853（ C）0.954（ D）0.977（ 6）已知双曲线x2y21(a0,b 0) 的一个焦点到一条渐近线的距离为2a2b2c （c为双曲线的半焦3距），则双曲线的离心率为（）（ A）7（ B）3 7（C）3 7（ D）3 7 327（ 7）设S n是等差数列{ a n}的前n项和，若a69S11＝（）a5，则S911（ A）1（ B）1（ C）2（D）1 2（ 8）如图给出了计算1 1 1 1 24 L L的值的程序框图，660其中①②分别是（）（ A ） i 30 ， n n 2 （ B ） i 30 ， n n 2 （ C ） i30 ， n n 2（ D ） i30 ， n n 1（ 9 ）已知函数 f ( x) sin( x )( 0,0) 的最小正周期是，将函数f (x) 图象向左平移个单位长度后所得的函数图象过点P(0,1) ，则函数3 f ( x) sin( x) （）（ A ）在区间 [, ] 6 3（ C ）在区间 [, ]3 6上单调递减 （B ）在区间上单调递减 （ D ）在区间[, ] 上单调递增 6 3[, ] 上单调递增 3 61 n（ 10） 若 x 6的展开式中含有常数项，则 n的最小值等于 （）x x（ A ） 3（ B ） 4 （ C ） 5 （ D ） 6（ 11）一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则这个几3何体的（）1 13正视图 （ A ）外接球的半径为（B ）表面积为73 13（ C ）体积为3（ D ）外接球的表面积为 4俯视图（ 12）已知定义在R 上的函数 y f ( x) 满足：函数 yf (x 1) 的图象关于直线 x 1 对称，且当x (,0),f (x) xf '( x)0 成立 ( f '( x) 是函数 f ( x) 的导函数 ), 若 a(sin 1) f (sin 1) ，22b (ln2) f (ln 2) ，c 2 f (log 211) ,则 a, b, c 的大小关系是（）4（ A ） a b c（ B ） b a c（ C ） c a b（ D ） a c b二．填空题：本大题共4小题，每小题5分。

一、典例分析，融合贯通典例【2018年全国1卷理科第16题】已知函数f(x)=2sinx+sin2x ,则f(x)的最小值是______. 解法一：引导：首先对函数进行求导，化简求得，从而确定出函数的单调区间，减区间为，增区间为，确定出函数的最小值点，从而求得代入求得函数的最小值.点评：该题考查的是有关应用导数研究函数的最小值问题，在求解的过程中，需要明确相关的函数的求导公式，需要明白导数的符号与函数的单调性的关系，确定出函数的单调增区间和单调减区间，进而求得函数的最小值点，从而求得相应的三角函数值，代入求得函数的最小值. 解法二：()=2sin +sin2=2sin (1+cos )f x x x x x22222()=4sin (1+cos )4(1-cos )(1+cos )f x x x x x ∴=4(3-3cos )(1+cos )(1+cos )(1+cos )3x x x x = 443-3cos +1+cos +1+cos +1+cos )34x x x x ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭44327324⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭ ()f x 易知是奇函数1cos = 332(),23sin =2x f x x ⎧⎪⎪∴≥-⎨⎪-⎪⎩当时可以取等号，33().2f x ∴-的最小值是 点评：另辟蹊径，联系均值不等式求最值（和定积最小）。

解法三：解法3：公式搭桥，函数领路，导数建功。

解法四：()=2sin +sin2f x x x ，tan 2xt R =∈令则22234182sin(1cos)(1)1112t ty x xt t t tt-=+=+=++++，31t2,t ttϕ=++令()4222221321t32,0t tt tt tϕμ+-'=+-==≥()令，原式得；(1)(31),μμμ+-=显然13μ=时，取tϕ()到极值经检验当3t=-时，tϕ()有最大值，则y有最小值得：min833.1()3yϕ==--解法4：替换消元，导数建功。

2020年全国高考新课标1卷理科数学试题一、选择题，本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．若z =1+i ，则|z 2–2z |=( )A ．0B ．1C 2D ．22．设集合A ={x |x 2–4≤0}，B ={x |2x +a ≤0}，且A ∩B ={x |–2≤x ≤1}，则a =( )A ．–4B ．–2C ．2D ．4 3．埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积 等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形 底边上的高与底面正方形的边长的比值为( )A ．514B ．512C ．514D ．5124．已知A 为抛物线C ：y 2=2px (p >0)上一点，点A 到C 的焦点的距离为12，到y 轴的距离为9，则p =( ) A ．2 B ．3 C ．6 D ．95．某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y 和温度x (单位：°C)的关系，在20个不同的温度条件下 进行种子发芽实验，由实验数据 (x i . y i )(i =1,2,···,20)得到散点图：由此散点图，在10°C 至40°C 之 间，下面四个回归方程类型中最 适宜作为发芽率y 和温度x 的回 归方程类型的是( )D A ．y=a+bx B ．y=a+bx 2 C ．y=a+be x D ．y=a+b ln x 6．函数f (x )=x 4-2x 3的图像在点(1, f (1))处的切线方程为( )A ．y=-2x -1B ．y=-2x +1C ．y=2x -3D ．y=2x +17．设函数f (x )=cos(ωx +6π)在[-π,π]的图像大致如下图，则f (x )的最小正周期为( )A ．109πB ．76πC ．43πD ．32π8．25()()x x y x y ++的展开式中x 3y 3的系数为( )A ．5B ．10C ．15D ．209．已知α∈(0,π)，且3cos2α-8cos α=5，则sin α= ( )A ．53B ．23C ．13D ．5910．已知A,B,C为球O的球面上的三个点，⊙O1为∆ABC的外接圆，若⊙O1的面积为4π，AB=BC=AC=OO1，则球O的表面积为( )A．64πB．48πC．36πD．32π11．已知⊙M：x2+y2-2x-2y-2=0，直线l：2x+y+2=0，P为l上的动点，过点P作⊙M的切线P A,PB，切点为A,B，当|PM|·|AB|最小时，直线AB的方程为( ) A．2x-y-1=0 B．2x+y-1=0 C．2x-y+1=0 D．2x+y+1=012．若2a+log2a=4b+2log4b，则( )A．a>2b B．a<2b C．a>b2D．a<b2二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在横线上．13．若x,y满足约束条件220,10,10,x yx yy+-≤⎧⎪--≥⎨⎪+≥⎩则z=x+7y的最大值为.14．设为a b，单位向量，且|+a b|=1，则|-a b|= .15．已知F为双曲线C：22221x ya b-=(a>0,b>0)的右焦点，A为C的右顶点，B为C上的点，且BF垂直于x轴. 若AB的斜率为3，则C的离心率为. 16．如图，在三棱锥P–ABC的平面展开图中，AC=1，AB=AD=3 AB⊥AC，AB⊥AD，∠CAE=30°，则cos∠FCB= .三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15 随机变量及其应用1.一个盒子中装有12个乒乓球,其中9个没有使用过的、3个已经使用过的,从盒中任取3个球来用,用完后装回盒中,此时盒中已经使用过的球个数X 是一个随机变量,则P (X=4)的值为( ).A .1220 B .2755 C .27220D .2155解析▶ “X=4”表示从盒中取了2个已经使用过的球,1个没有使用过的球,故P (X=4)=C 32C 91C 123=27220.答案▶ C2.已知离散型随机变量X 的分布列为X 1 2 3 P35310110则X 的数学期望E (X )=( ).A .32 B .2C .52D .3解析▶ 由数学期望公式可得E (X )=1×35+2×310+3×110=32. 答案▶ A3.已知随机变量X 服从正态分布N (0,82),若P (X>2)=0.023,则P (-2≤X ≤2)= .解析▶ 因为μ=0,所以P (X>2)=P (X<-2)=0.023,所以P (-2≤X ≤2)=1-2×0.023=0.954. 答案▶ 0.9544.若随机变量X~B (n ,p ),且E (X )=7,D (X )=6,则p= .解析▶ 因为随机变量X~B (n ,p ),且E (X )=7,D (X )=6,所以{nn =7,nn (1-n )=6,解得p=17.答案▶ 17能力1 ▶求离散型随机变量的分布列【例1】私家车的尾气排放是造成雾霾天气的重要因素之一,因此在生活中我们应该提倡低碳生活,少开私家车,尽量选择绿色出行方式,为预防雾霾出一份力.为此,很多城市实施了机动车尾号限行,我市某报社为了解市区公众对“车辆限行”的态度,随机抽查了50人,将调查结果进行整理后制成下表:年龄/岁[15,25)[25,35)[35,45)[45,55)[55,65)[65,75]频数510151055赞成人数469634(1)若从年龄在[15,25)和[25,35)这两组的被调查者中各随机选取2人进行追踪调查,求恰有2人不赞成的概率;(2)在(1)的条件下,令选中的4人中不赞成“车辆限行”的人数为ξ,求随机变量ξ的分布列.解析▶(1)由表知,年龄在[15,25)内的有5人,不赞成的有1人,年龄在[25,35)内的有10人,不赞成的有4人,则恰有2人不赞成的概率为P=C41C52·C41·C61C102+C42C52·C42C102=410×2445+610×645=2275.(2)ξ的所有可能取值为0,1,2,3.P(ξ=0)=C42C52·C62C102=610×1545=15,P(ξ=1)=C41C52·C62C102+C42C52·C41·C61C102=410×1545+610×2445=3475,P(ξ=2)=2275,P(ξ=3)=C41C52·C42C102=410×645=475,∴ξ的分布列是ξ 0 1 2 3 P153475 2275475离散型随机变量分布列的求解步骤(1)明取值:明确随机变量的可能取值有哪些,且每一个取值所表示的意义. (2)求概率:要弄清楚随机变量的概率类型,利用相关公式求出变量所对应的概率. (3)画表格:按规范要求写出分布列.(4)做检验:利用分布列的性质检验分布列是否正确.已知2件次品和3件正品混放在一起,现需要通过检测将其区分,每次随机检测一件产品,检测后不放回,直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束.(1)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率;(2)已知每检测一件产品需要费用100元,设X 表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用(单位:元),求X 的分布列.解析▶ (1)记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件A ,则P (A )=A 21A 31A 52=310.(2)X 的可能取值为200,300,400.P (X=200)=A 22A 52=110,P (X=300)=A 33+C 21C 31A 22A 53=310,P (X=400)=1-P (X=200)-P (X=300) =1-110-310=35.故X 的分布列为X 200 300 400 P11031035能力2 ▶ 相互独立事件同时发生的概率【例2】 某企业有甲、乙两个研发小组,他们研发新产品成功的概率分别为23和35.现安排甲组研发新产品A ,乙组研发新产品B ,设甲、乙两组的研发相互独立.(1)求至少有一种新产品研发成功的概率.(2)若新产品A 研发成功,预计企业可获利润120万元;若新产品B 研发成功,预计企业可获利润100万元.求该企业可获利润的分布列.解析▶ 记E={甲组研发新产品成功},F={乙组研发新产品成功},由题设知P (E )=23,P (n )=13,P (F )=35,P (n )=25,且事件E 与F ,n 与F ,E 与n ,n 与n 都相互独立.(1)记H={至少有一种新产品研发成功},则n =nn , 于是P (n )=P (n )P (n )=13×25=215, 故所求的概率P (H )=1-P (n )=1-215=1315.(2)设企业可获利润为X (万元),则X 的可能取值为0,100,120,220, 因为P (X=0)=P (nn )=13×25=215,P (X=100)=P (n F )=13×35=15, P (X=120)=P (E n )=23×25=415, P (X=220)=P (EF )=23×35=25.故所求的分布列为X 0 100 120 220 P21515 41525(1)求解该类问题在于正确分析所求事件的构成,将其转化为彼此互斥事件的和或相互独立事件的积,然后利用相关公式进行计算.(2)求相互独立事件同时发生的概率的主要方法①利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解.②正面计算较烦琐(如求用“至少”表述的事件的概率)或难以入手时,可从其对立事件入手计算.某中学篮球体育测试要求学生完成“立定投篮”和“三步上篮”两项测试,“立定投篮”与“三步上篮”各有2次投篮机会,先进行“立定投篮”测试,如果合格才有机会进行“三步上篮”测试,为了节约时间,每项只需且必须投中一次即为合格.小明同学“立定投篮”的命中率为12,“三步上篮”的命中率为34,假设小明不放弃任何一次投篮机会且每次投篮是否命中互不影响.(1)求小明同学两项测试合格的概率;(2)设测试过程中小明投篮的次数为ξ,求ξ的分布列.解析▶ 设小明第i 次“立定投篮”命中为事件A i (i=1,2),第j 次“三步上篮”命中为事件B j (j=1,2),依题意有P (A i )=12(i=1,2),P (B j )=34(j=1,2),“小明同学两项测试合格”为事件C. (1)P (n )=P (n 1n 2)+P (n 1A 2n 1n 2)+P (A 1n 1n 2)=P (n 1)P (n 2)+P (n 1)P (A 2)P (n 1)P (n 2)+P (A 1)P (n 1)P (n 2) =(1−12)2+(1−12)×12×(1−34)2+12×(1−34)2=1964. ∴P (C )=1-1964=4564.(2)依题意知ξ=2,3,4,P (ξ=2)=P (A 1B 1)+P (n 1n 2)=P (A 1)P (B 1)+P (n 1)P (n 2)=58, P (ξ=3)=P (A 1n 1B 2)+P (n 1A 2B 1)+P (A 1n 1n 2)=P (A 1)P (n 1)P (B 2)+P (n 1)P (A 2)P (B 1)+P (A 1)P (n 1)P (n 2)=516, P (ξ=4)=P (n 1A 2n 1)=P (n 1)P (A 2)P (n 1)=116.故投篮的次数ξ的分布列为ξ 2 3 4 P58516116能力3 ▶ 独立重复试验与二项分布【例3】 某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况,随机抽取该流水线上的40件产品作为样本,然后称出它们的质量(单位:克),质量的分组区间为(490,495],(495,500],…,(510,515].由此得到样本的频率分布直方图(如下图).(1)根据频率分布直方图,求质量超过505克的产品数量;(2)在上述抽取的40件产品中任取2件,设X 为质量超过505克的产品数量,求X 的分布列;(3)用样本估计总体,从该流水线上任取2件产品,设Y 为质量超过505克的产品数量,求Y 的分布列.解析▶ (1)质量超过505克的产品的频率为5×0.05+5×0.01=0.3, 故质量超过505克的产品数量为40×0.3=12(件).(2)质量超过505克的产品数量为12件,则质量未超过505克的产品数量为28件. 由题意知X 的取值为0,1,2,X 服从超几何分布. ∴P (X=0)=C 282C 402=63130,P (X=1)=C 121C 281C 402=2865,P (X=2)=C 122C 402=11130,∴X 的分布列为X 0 1 2 P63130286511130(3)根据样本估计总体的思想,取一件产品,该产品的质量超过505克的概率为1240=310.从流水线上任取2件产品互不影响,该问题可看成2次独立重复试验,质量超过505克的件数Y 的可能取值为0,1,2,且Y~B (2,310),P (Y=k )=C 2n (1−310)2−n(310)n,∴P (Y=0)=C 20·(710)2=49100, P (Y=1)=C 21·310·710=2150,P (Y=2)=C 22·(310)2=9100.∴Y 的分布列为Y 0 1 2 P4910021509100利用独立重复试验概率公式可以简化求概率的过程,但需要注意检查该概率模型是否满足公式P (X=k )=C n n p k(1-p )n-k的三个条件:(1)在一次试验中某事件A 发生的概率是一个常数p ;(2)n 次试验不仅是在完全相同的情况下进行的重复试验,而且各次试验的结果是相互独立的;(3)该公式表示n 次试验中事件A 恰好发生了k 次的概率.为了解一种植物果实的情况,随机抽取一批该植物果实样本测量重量(单位:克),按照[27.5,32.5),[32.5,37.5),[37.5,42.5),[42.5,47.5),[47.5,52.5]分为5组,其频率分布直方图如图所示.(1)求图中a 的值.(2)估计这种植物果实重量的平均数n 和方差s 2(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表).(3)已知这种植物果实重量不低于32.5克的为优质果实,用样本估计总体.若从这种植物果实中随机抽取3个,其中优质果实的个数为X ,求X 的分布列和数学期望E (X ).解析▶ (1)组距d=5,由5×(0.02+0.04+0.075+a+0.015)=1得a=0.05. (2)各组中点值和相应的频率依次为中点值 30 35404550频率0.1 0.2 0.375 0.25 0.075n =30×0.1+35×0.2+40×0.375+45×0.25+50×0.075=40,s 2=(-10)2×0.1+(-5)2×0.2+02×0.375+52×0.25+102×0.075=28.75.(3)由已知,这种植物果实的优质率p=0.9,且X~B (3,0.9), 故P (X=k )=C 3n ·0.9k·(1-0.9)3-k(k=0,1,2,3),X 的分布列为X 0123P0.001 0.027 0.243 0.729∴E (X )=np=2.7.能力4 ▶ 正态分布【例4】 (1)已知随机变量ξ服从正态分布N (2,σ2),且P (ξ<4)=0.8,则P (0<ξ<4)=( ).A .0.6B .0.4C .0.3D .0.2(2)在如图所示的正方形中随机投掷10000个点,则落入阴影部分(曲线C 为正态分布N (-1,1)的密度曲线的一部分)的点的个数的估计值为( ).附:若X~N (μ,σ2),则P (μ-σ<X<μ+σ)=0.6826,P (μ-2σ<X<μ+2σ)=0.9544. A .1193 B .1359 C .2718 D .3413解析▶ (1)∵随机变量ξ服从正态分布N (2,σ2),μ=2,∴对称轴为x=2,∵P (ξ<4)=0.8,∴P (ξ≥4)=P (ξ≤0)=0.2, ∴P (0<ξ<4)=0.6.(2)对于正态分布N (-1,1),μ=-1,σ=1,正态曲线关于直线x=-1对称, 故题图中阴影部分的面积为12×[P (-3<X<1)-P (-2<X<0)]=12×[P (μ-2σ<X<μ+2σ)-P (μ-σ<X<μ+σ)]=12×(0.9544-0.6826)=0.1359,∴点落入题图中阴影部分的概率P=0.13591=0.1359,故投入10000个点,落入阴影部分的个数约为10000×0.1359=1359.答案▶ (1)A (2)B(1)利用3σ原则求概率问题时,要注意把给出的区间或范围与正态变量的μ,σ进行对比联系,确定它们属于(μ-σ,μ+σ),(μ-2σ,μ+2σ),(μ-3σ,μ+3σ)中的哪一个.(2)利用正态分布密度曲线的对称性研究相关概率问题,涉及的知识主要是正态曲线关于直线x=μ对称,及曲线与x 轴之间的面积为1.注意下面两个结论的活用:①P (X<a )=1-P (X ≥a );②P (X<μ-σ)=P (X ≥μ+σ).已知某批零件的长度误差X (单位:毫米)服从正态分布N (0,32),从中随机取一件,其长度误差落在区间(3,6)内的概率为( ).(附:若随机变量ξ服从正态分布N (μ,σ2),则P (μ-σ<ξ<μ+σ)=0.6826,P (μ-2σ<ξ<μ+2σ)=0.9544)A .0.0456B .0.1359C .0.2718D .0.3174解析▶ 依题意知,X~N (0,32),其中μ=0,σ=3.∴P (-3<X<3)=0.6826,P (-6<X<6)=0.9544.因此P (3<X<6)=12[P (-6<X<6)-P (-3<X<3)]=12×(0.9544-0.6826)=0.1359.答案▶ B能力5 ▶ 离散型随机变量的均值与方差【例5】 为迎接2022年北京冬奥会,推广滑雪运动,某滑雪场开展滑雪促销活动.该滑雪场的收费标准如下:滑雪时间不超过1小时免费,超过1小时的部分每小时收费标准为40元(不足1小时的部分按1小时计算).有甲、乙两人相互独立地来该滑雪场滑雪,设甲、乙不超过1小时离开的概率分别为14,16;1小时以上且不超过2小时离开的概率分别为12,23;两人滑雪时间都不会超过3小时.(1)求甲、乙两人所付滑雪费用相同的概率;(2)设甲、乙两人所付的滑雪费用之和为随机变量ξ(单位:元),求ξ的分布列与数学期望E (ξ),方差D (ξ).解析▶ (1)两人所付费用相同,相同的费用可能为0元,40元,80元,两人都付0元的概率为P 1=14×16=124, 两人都付40元的概率为P 2=12×23=13,两人都付80元的概率为P 3=(1−14-12)×(1−16-23)=14×16=124, 则两人所付费用相同的概率为P=P 1+P 2+P 3=124+13+124=512. (2)由题设知ξ可能取值为0,40,80,120,160,则P (ξ=0)=14×16=124; P (ξ=40)=14×23+12×16=14; P (ξ=80)=14×16+12×23+14×16=512; P (ξ=120)=12×16+14×23=14; P (ξ=160)=14×16=124.故ξ的分布列为ξ 0 40 80 120 160 P1241451214124E (ξ)=0×124+40×14+80×512+120×14+160×124=80.D (ξ)=(0-80)2×124+(40-80)2×14+(80-80)2×512+(120-80)2×14+(160-80)2×124=40003.(1)求离散型随机变量的均值与方差的关键是确定随机变量的所有可能值,写出随机变量的分布列,正确运用均值、方差公式进行计算.(2)注意E (aX+b )=aE (X )+b ,D (aX+b )=a 2D (X )的应用.某投资公司在2019年年初准备将1000万元投资到“低碳”项目上,现有两个项目供选择.项目一:新能源汽车.据市场调研,投资到该项目上,到年底可能获利30%,也可能亏损15%,且这两种情况发生的概率分别为79和29.项目二:通信设备.据市场调研,投资到该项目上,到年底可能获利50%,可能亏损30%,也可能不赔不赚,且这三种情况发生的概率分别为35,13和115.针对以上两个投资项目,请你为投资公司选择一个合理的项目,并说明理由. 解析▶ 若按“项目一”投资,设获利为X 1万元,则X 1的分布列为X 1 300 -150P79 29∴E (X 1)=300×79+(-150)×29=200(万元).若按“项目二”投资,设获利为X 2万元, 则X 2的分布列为X 2 500 -3000 P3513115∴E (X 2)=500×35+(-300)×13+0×115=200(万元).D (X 1)=(300-200)2×79+(-150-200)2×29=35000,D (X 2)=(500-200)2×35+(-300-200)2×13+(0-200)2×115=140000. ∴E (X 1)=E (X 2),D (X 1)<D (X 2),这说明虽然项目一、项目二获利相等,但项目一更稳妥. 综上所述,建议该投资公司选择项目一投资.一、选择题1.打靶时,甲每打10次可中靶8次,乙每打10次可中靶7次,若两人同时射击一个目标,则他们同时中靶的概率是( ).A .1425 B .1225 C .34 D .35解析▶ 因为甲每打10次可中靶8次,乙每打10次可中靶7次,所以P (甲)=45,P (乙)=710,所以他们都中靶的概率是45×710=1425.答案▶ A2.若随机变量X 的分布列为X -2 -1 0 1 2 3P 0.1 0.2 0.2 0.3 0.1 0.1则当P (X<a )=0.8时,实数a 的取值范围是( ). A .(-∞,2] B .[1,2] C .(1,2] D .(1,2)解析▶ 由随机变量X 的分布列知P (X<-1)=0.1,P (X<0)=0.3,P (X<1)=0.5,P (X<2)=0.8,则当P (X<a )=0.8时,实数a 的取值范围是(1,2].答案▶ C3.从装有3个白球、4个红球的箱子中,随机取出了3个球,恰好是2个白球、1个红球的概率是( ). A .435 B .635C .1235 D .36343解析▶ 如果将白球视为合格品,红球视为不合格品,那么这是一个超几何分布问题,故所求概率为P=C 32C 41C 73=1235.答案▶ C4.已知离散型随机变量X 的分布列为X 1 3 5 P0.5m0.2则其方差D (X )=( ). A .1 B .0.6 C .2.44 D .2.4解析▶ 由0.5+m+0.2=1得m=0.3,∴E (X )=1×0.5+3×0.3+5×0.2=2.4,∴D (X )=(1-2.4)2×0.5+(3-2.4)2×0.3+(5-2.4)2×0.2=2.44.答案▶ C5.某地区空气质量监测资料表明,一天的空气质量为优良的概率是0.75,连续两天为优良的概率是0.6,已知某天的空气质量为优良,则随后一天的空气质量为优良的概率是( ). A .0.8 B .0.75 C .0.6 D .0.45解析▶ 记事件A 表示“一天的空气质量为优良”,事件B 表示“随后一天的空气质量为优良”,则P (A )=0.75,P (AB )=0.6. 由条件概率,得P (B|A )=n (nn )n (n )=0.60.75=0.8. 答案▶ A6.已知随机变量X 服从二项分布B (n ,p ),且E (X )=2.4,D (X )=1.44,则n ,p 的值为( ). A .n=4,p=0.6 B .n=6,p=0.4 C .n=8,p=0.3 D .n=24,p=0.1解析▶ 由X~B (n ,p )及E (X )=np ,D (X )=np ·(1-p )得2.4=np ,且1.44=np (1-p ),解得n=6,p=0.4.故选B .答案▶ B7.设随机变量X 服从正态分布N (1,σ2),则函数f (x )=x 2+2x+X 不存在零点的概率为( ). A .14B .13C .12D .23解析▶ ∵函数f (x )=x 2+2x+X 不存在零点,∴Δ=4-4X<0,∴X>1.∵X~N (1,σ2),∴P (X>1)=12,故选C .答案▶ C8.某居民小区有两个相互独立的安全防范系统A 和B,系统A 和系统B 在任意时刻发生故障的概率分别为18和p ,若在任意时刻恰有一个系统不发生故障的概率为940,则p=( ).A .110B .215 C .16 D .15解析▶ 由题意得18(1-p )+(1−18)p=940,∴p=215,故选B .答案▶ B9.甲、乙两人进行乒乓球比赛,约定每局胜者得1分,负者得0分,比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止.设甲在每局中获胜的概率为23,乙在每局中获胜的概率为13,且各局胜负相互独立,则比赛停止时已打局数X 的期望E (X )为( ). A .24181B .26681C .27481D .670243解析▶ 依题意,知X 的所有可能值为2,4,6,设每两局比赛为一轮,则该轮结束时比赛停止的概率为(23)2+(13)2=59.若该轮结束时比赛还将继续,则甲、乙在该轮中必是各得一分,此时,该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响.从而有P (X=2)=59,P (X=4)=49×59=2081,P (X=6)=(49)2=1681,故E (X )=2×59+4×2081+6×1681=26681. 答案▶ B 二、填空题10.若随机变量X~N (μ,σ2),且P (X>5)=P (X<-1)=0.2,则P (2<X<5)= .解析▶ ∵P (X>5)=P (X<-1),∴μ=5−12=2,∴P (2<X<5)=12P (-1<X<5)=12×(1-0.2-0.2)=0.3.答案▶ 0.311.已知随机变量ξ的分布列为ξ 1 2 3P12xy若E (ξ)=158,则D (ξ)= .解析▶ 由分布列性质,得x+y=12. 又E (ξ)=158,得2x+3y=118,可得{n =18,n =38.D (ξ)=(1−158)2×12+(2−158)2×18+(3−158)2×38=5564.答案▶556412.一个质地均匀小正方体的六个面中,三个面上标有数字0、两个面上标有数字1、一个面上标有数字2.将这个小正方体抛掷2次,则向上的数之积X 的数学期望是 .解析▶ 随机变量X 的取值为0,1,2,4,则P (X=0)=34,P (X=1)=19,P (X=2)=19,P (X=4)=136,因此E (X )=49.答案▶ 4913.某大厦的一部电梯从底层出发后只能在第18,19,20层停靠.若该电梯在底层有5个乘客,且每位乘客在这三层中任一层下电梯的概率均为13,用X 表示这5位乘客在第20层下电梯的人数,则P (X=4)= .解析▶ 考察一位乘客是否在第20层下电梯为一次试验,这是5次独立重复试验,故X~B (5,13),即P (X=k )=C 5n (13)n×(23)5−n,k=0,1,2,3,4,5.故P (X=4)=C 54(13)4×(23)1=10243. 答案▶10243三、解答题14.雾霾天气对人体健康有伤害,应对雾霾污染、改善空气质量的首要任务是控制PM2.5.我们要从压减燃煤、严格控车、调整产业、强化管理、联防联控、依法治理等方面采取重大举措,聚焦重点领域,严格指标考核.某省环保部门为加强环境执法监管,派遣四个不同的专家组对A ,B ,C 三个城市进行治霾落实情况抽查.(1)若每个专家组随机选取一个城市,四个专家组选取的城市可以相同,也可以不同,求恰有一个城市没有专家组选取的概率.(2)若每一个城市都要由四个专家组分别对抽查情况进行评价,每个专家组给每一个城市评价为优的概率均为12,若四个专家组均评价为优则检查通过不用复检,否则需进行复检.设需进行复检的城市的个数为X ,求X 的分布列和期望.解析▶ (1)随机选取,共有34=81种不同方法,恰有一个城市没有专家组选取的有C 32C A (4122C +42)=42种不同方法,故恰有一个城市没有专家组选取的概率为4281=1427.(2)设事件A 为“城市需复检”, 则P (A )=1-(12)4=1516,由题意知X 的所有可能取值为0,1,2,3, 则P (X=0)=C 30×(116)3=14096,P (X=1)=C 31×(116)2×1516=454096,P (X=2)=C 32×116×(1516)2=6754096,P (X=3)=C 33×(1516)3=33754096.所以X 的分布列为X 0 1 2 3 P14096454096 675409633754096因为X~B (3,1516),所以E (X )=3×1516=4516.15.某手机卖场对市民进行国产手机认可度调查,随机抽取100名市民,按年龄(单位:岁)进行统计的频数分布表和频率分布直方图如下:分组/岁 频数 [25,30) x [30,35) y [35,40) 35 [40,45) 30 [45,50] 10 合计 100(1)求频率分布表中x ,y 的值,并补全频率分布直方图;(2)在抽取的这100名市民中,按年龄进行分层抽样,抽取20人参加国产手机用户体验问卷调查,现从这20人中随机选取2人各赠送精美礼品一份,设这2名市民中年龄在[35,40)内的人数为X ,求X 的分布列.解析▶ (1)由题意知,年龄在[25,30)内的频率为0.01×5=0.05, 故x=100×0.05=5.因为年龄在[30,35)内的频率为1-(0.01+0.07+0.06+0.02)×5=1-0.8=0.2, 所以y=100×0.2=20,且[30,35)这组对应的频率组距=0.25=0.04.补全频率分布直方图如图所示.(2)因为年龄按从小到大的各层人数之间的比为5∶20∶35∶30∶10=1∶4∶7∶6∶2,且共抽取20人,所以抽取的20人中,年龄在[35,40)内的人数为7. 由题意知,X 可取0,1,2, 则P (X=0)=C 132C 202=78190,P (X=1)=C 131C 71C 202=91190,P (X=2)=C 72C 202=21190.故X 的分布列为X 0 1 2 P78190911902119016.某企业有甲、乙两个分厂生产某种产品,按规定该产品的某项质量指标值落在[45,75)的为优质品.从两个分厂生产的产品中各随机抽取500件,测量这些产品的该项质量指标值,结果如下表:指标值分组[25,35) [35,45) [45,55) [55,65) [65,75) [75,85) [85,95]甲厂频数 10 40 115 165 120 45 5 乙厂频数 5 60 110 160 90 70 5(1)根据以上统计数据完成下面2×2列联表,并回答是否有99%的把握认为两个分厂生产的产品的质量有差异.甲厂 乙厂 合计 优质品 760 非优质品 240 合计5005001000(2)求优质品率较高的分厂的500件产品质量指标值的样本平均数n (同一组中的数据用该组区间的中点值作代表).(3)经计算,甲分厂的500件产品质量指标值的样本方差n 12=142,乙分厂的500件产品质量指标值的样本方差n 22=162,可认为优质品率较高的分厂的产品质量指标值X 服从正态分布N (μ,σ2),其中μ近似为样本平均数n ,σ2近似为样本方差s 2.由优质品率较高的分厂的抽样数据,能否认为该分厂生产的产品中,质量指标值不低于71.92的产品至少占全部产品的18%? 附注:P (K 2≥k 0) 0.050.010 0.001 k 03.8416.63510.828参考数据:√142≈11.92,√162≈12.73. 参考公式:K2=n (nn -nn )2(n +n )(n +n )(n +n )(n +n ),其中n=a+b+c+d.若X~N (μ,σ2),则P (μ-σ<X<μ+σ)=0.6826,P (μ-2σ<X<μ+2σ)=0.9544,P (μ-3σ<X<μ+3σ)=0.9974.解析▶ (1)由以上统计数据填写2×2列联表甲厂 乙厂 合计 优质品 400 360 760 非优质品 100 140 240 合计5005001000K 2的观测值k=1000×(400×140−100×360)2500×500×760×240≈8.772>6.635,所以有99%的把握认为两个分厂生产的零件的质量有差异. (2)甲分厂优质品率=400500=0.8,乙分厂优质品率=360500=0.72, 所以甲分厂优质品率高.甲分厂的500件产品质量指标值的样本平均数n =1500×(30×10+40×40+50×115+60×165+70×120+80×45+90×5)=60.(3)由(2)知μ=60,σ2=142,甲分厂的产品的质量指标值X 服从正态分布X~N (60,142), 又σ=√142≈11.92,则P (60-11.92<X<60+11.92)=P (48.08<X<71.92)=0.6826,P (X ≥71.92)=1−n (48.08<n <71.92)2=1−0.68262=0.1587<0.18,故不能认为甲分厂生产的产品中,质量指标值不低于71.92的产品至少占全部产品的18%.。