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云南省昆明市2015届高三复习质量检测（二）数学（理）试题（扫描版）
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阶段性测试题九(立体几何)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
满分150分。
考试时间120分钟。
第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．(2014·抚顺二中期中)已知a，b，c是三条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，下述命题中真命题的是()A．若a⊥c，b⊥c，则a∥b或a⊥bB．若α⊥β，β⊥γ，则α∥βC．若a⊂α，b⊂β，c⊂β，a⊥b，a⊥c，则α⊥βD．若a⊥α，b⊂β，a∥b，则α⊥β[答案] D[解析]由a⊥c，b⊥c知，a与b可平行可相交，也可异面，故A错；由直棱柱相邻两个侧面与底面都垂直知B错；当α∩β＝l，a⊥l，b∥c∥l时，可满足C的条件，故C错；∵a∥b，a⊥α，∴b⊥α，又b⊂β，∴α⊥β，∴D正确．2．(2014·康杰中学、临汾一中、忻州一中、长治二中四校联考)已知不重合的两条直线l，m和不重合的两个平面α，β，下列命题正确的是()A．l∥m，l∥β，则m∥βB．α∩β＝m，l⊂α，则l∥βC．α⊥β，l⊥α，则l∥βD．l⊥m，m⊥β，l⊥α，则α⊥β[答案] D[解析]l⊄β，l∥m，m⊂β时，l∥β，故A错；α∩β＝m，当l⊂α且l∥m时，l∥β，当l与m 相交时，l与β相交，故B错；α⊥β，当l⊂β，l与α和β的交线垂直，l⊥α时，但l∥β不成立，故C错；∵l⊥m，l⊥α，∴m⊂α或m∥α，又m⊥β，∴α⊥β，故D正确．3．(2014·山东省博兴二中质检)某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积值最大的是()A．8B．6 2C．8 2 D．10[答案] D[解析]由三视图知，该几何体直观图如图，其中△ABC为以B为直角的直角三角形，AB＝4，BC＝3，高P A＝4，∴S△ABC＝12×4×3＝6，S△P AB＝12×4×4＝8，S△PBC＝12PB·BC＝12×42×3＝62，S△P AC＝12AC·P A＝12×5×4＝10，故选D.4．(2014·河南淇县一中模拟)将正方体(如图(a)所示)截去两个三棱锥，得到图(b)所示的几何体，则该几何体的侧视图为()[答案] B[解析]在侧视图中，D1的射影为C1，A的射影为B，D的射影为C，AD1的射影BC1为实线(右下到左上)，B1C为虚线，故选B.5．(文)(2014·浙北名校联盟联考)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A ．4B ．8C ．4 3D ．8 3[答案] B[解析] 作出几何体的直观图如图，这是一个三棱锥P －ABC ，其中P 在底面射影为D 点，PD ＝23，AD ＝3，CD ＝1，E 为AC 的中点，BE ⊥AC ，BE ＝23，故几何体的体积V ＝13S △ABC ·PD ＝13×(12·AC ·BE )·PD ＝8，故选B.(理)(2014·康杰中学、临汾一中、忻州一中、长治二中四校联考)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 [答案] A[解析] 由三视图知，该几何体是一个三棱锥P －ABC ，其中底面△ABC 为直角三角形，∠A 为直角，顶点P 到A ，C 的距离相等，P 点在底面的射影D ，满足AC ∥BD ，且BD ＝12AC ＝1，PD ＝3，画出其直观图如图所示，其体积V ＝13S △ABC ·PD ＝13×(12×2×1)×3＝1.6．(2014·辽宁师大附中期中)已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A ．24＋6πB ．24＋4πC ．28＋6πD ．28＋4π [答案] A[解析] 由三视图知，该几何体为组合体，其上部为半球，半球的直径为22，下部为长方体，长、宽、高为2,2,3，其表面积为2×4×3 ＋12×4π·(222)2＋π·(222)2＝24＋6π，故选A.7．(2014·高州四中质量监测)已知某几何体的三视图如图所示，其中正视图中半圆的直径为2，则该几何体的体积为( )A ．24－π3B ．24－π2C ．24－32πD ．24－π[答案] C[解析] 由三视图知，该几何体是由长、宽、高分别为3、4、2的长方体内挖去一个底半径为1，高为3的半圆柱后剩余部分，其体积V ＝3×4×2－12(π×12×3)＝24－32π.8．(2014·山西曲沃中学期中)已知球的直径SC ＝4，A ，B 是该球球面上的两点，AB ＝2.∠ASC ＝∠BSC ＝45°，则棱锥S －ABC 的体积为( )A.33B.233C.433D.533[答案] C[解析] 设球心为O ，△ABO 所在平面截球O 得截面如图，∵OA ＝OB ＝AB ＝OS ＝OC ＝2，∠ASC ＝∠BSC ＝45°，∴SC ⊥平面ABO ，V S －ABC ＝V S －ABO ＋V C －ABO ＝2V S －ABO ＝2×13×(34×22)×2＝433，故选C.9．(文)(2014·陕西工大附中四模)如下图，某几何体的主视图与左视图都是边长为1的正方形，且体积为12，则该几何体的俯视图可以是( )[答案] C[解析] 若俯视图为A ，则该几何体是棱长为1的正方体，体积V ＝1；若俯视图为B ，则该几何体是底半径为12，高为1的圆柱，其体积V ＝π·(12)2·1＝π4；若俯视图为D ，则该几何体是底半径为1，高为1的圆柱的14，其体积V ＝14·π·12·1＝π4；若俯视图为C ，则该几何体是直三棱柱，底面直角三角形两直角边长为1，棱柱高为1，体积为V ＝(12×1×1)×1＝12，因此选C.(理)(2014·开滦二中期中)如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝1，AC ＝2，BC ＝3，D 、E 分别是AC 1和BB 1的中点，则直线DE 与平面BB 1C 1C 所成的角为( )A.π6B.π4C.π3D.π2[答案] A[解析] 取AC 中点F ，则DF 綊BE ，∴DE ∥BF ， ∴BF 与平面BB 1C 1C 所成的角为所求， ∵AB ＝1，BC ＝3，AC ＝2，∴AB ⊥BC ，又AB ⊥BB 1，∴AB ⊥平面BCC 1B 1，作GF ∥AB 交BC 于G ，则GF ⊥平面BCC 1B 1，∴∠FBG 为直线BF 与平面BCC 1B 1所成的角，由条件知BG ＝12BC ＝32，GF ＝12AB ＝12，∴tan ∠FBG ＝GF BG ＝33，∴∠FBG ＝π6.10．(2014·绵阳市南山中学检测)设m ，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，有下列四个命题：①若m ⊂β，α⊥β，则m ⊥α； ②若α∥β，m ⊂α，则m ∥β； ③若n ⊥α，n ⊥β，m ⊥α，则m ⊥β； ④若α⊥γ，β⊥γ，m ⊥α，则m ⊥β. 其中正确命题的序号是( ) A ．①③ B ．①② C ．③④ D ．②③[答案] D[解析] 由两个平面平行的性质知②正确；∵n ⊥α，n ⊥β，∴α∥β，又m ⊥α，∴m ⊥β，∴③正确，故选D.11．(文)(2014·云南景洪市一中期末)一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图与左视图均为半径是1的圆，则这个几何体的体积是( )A.4π3 B ．π C.2π3 D.π3[答案] B[解析] 由三视图知，这是一个半径为1的球，截去14，故其体积为V ＝34·(4π3·13)＝π.(理)(2014·吉林延边州质检)正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 为棱BB 1的中点(如图)，用过点A ，E ，C 1的平面截去该正方体的上半部分，则剩余几何体的左视图为( )[答案] C[解析] 由条件知AE ∥平面DD 1C 1C ，平面AEC 1与平面DD 1C 1C 相交，故交线与AE 平行，∵E 为BB 1的中点，故取DD 1的中点F ，∴AE 綊C 1F ，故截面为AEC 1F (如图1)，截去正方体的上半部分后，剩余部分几何体直观图如图2，故其左视图形状与直角梯形FD 1A 1A 相同，且C 1E 的射影为虚线，由于B 1E ＝12AA 1，故E 点射影在直角梯形下底的中点，故选C.12．(文)(2014·吉林省实验中学一模)已知正三棱锥P －ABC ，点P 、A 、B 、C 都在半径为3的球面上，若P A 、PB 、PC 两两互相垂直，则球心到截面ABC 的距离为( )A. 2B. 3C.33D.233[答案] C[解析] 由条件知，以P A 、PB 、PC 为三棱作长方体P ADB －CA 1D 1B 1，则该长方体内接于球，体对角线PD 1为球的直径，由于三棱锥P －ABC 为正三棱锥，∴AB ＝AC ＝BC ，∴P A ＝PB ＝PC ，设P A ＝a ，则3a ＝23，∴a ＝2.设球心到截面的距离为h ，则由V A －PBC ＝V P －ABC 得， 13(12×2×2)×2＝13×34×(22)2×(3－h )， ∴h ＝33. (理)(2014·成都七中模拟)平面四边形ABCD 中，AD ＝AB ＝2，CD ＝CB ＝5，且AD ⊥AB ，现将△ABD 沿着对角线BD 翻折成△A ′BD ，则在△A ′BD 折起至转到平面BCD 内的过程中，直线A ′C 与平面BCD 所成的最大角的正切值为( )A ．1 B.12 C.33D. 3[答案] C[解析] 如下图，OA ＝1，OC ＝2，在△ABD 绕直线BD 旋转过程中，OA 绕点O 旋转形成半圆，显然当A ′C 与圆相切时，直线A ′C 与平面BCD 所成角最大，最大角为30°，其正切值为33，选C.第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上．) 13.(2014·山西省太原五中月考)如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，底面为直角三角形，∠ACB ＝90°，AC ＝6，BC ＝CC 1＝2，P 是BC 1上一动点，则CP ＋P A 1的最小值为________．[答案]8＋2 6[解析] 由题意可知，△BCC 1为等腰直角三角形，∵AC ＝6，BC ＝CC 1＝2，∠ACB ＝90°，∴∠A 1B ＝10，BC 1＝2，∵A 1B 2＝A 1C 21＋BC 21，∴∠AC 1B 为直角，将△BCC 1与△A 1BC 1所在平面铺平如图，设A 1C 交BC 1于Q ，则当点P 与Q 重合时，CP ＋P A 1取到最小值，最小值为A 1C .A 1C ＝A 1C 21＋C 1C 2－2A 1C 1·C 1C cos135° ＝6＋2－2×6×2×(－22)＝8＋2 6.14．(文)(2014·抚顺市六校联合体期中)已知正四棱锥O －ABCD 的体积为322，底面边长为3，则以O 为球心，OA 为半径的球的表面积为________．[答案] 12π[解析] 由V ＝13Sh ＝13×(3)2·h ＝322知，h ＝322，设正方形ABCD 的中心为M ，则MA ＝62，∴OA 2＝OM 2＋MA 2＝(322)2＋(62)2＝3，∴S 球＝4π·OA 2＝12π.(理)(2014·抚顺二中期中)右图是一个空间几何体的三视图，如果主视图和左视图都是边长为2的正三角形，俯视图为正方形，那么该几何体的体积为________．[答案]433[解析] 由三视图知，几何体是正四棱锥，底面正方形边长为2，棱锥的斜高为2，故高h ＝22－12＝3，∴体积V ＝13×4×3＝433.15．(文)(2014·西安市长安中学期中)一个几何体的三视图如图所示，且其侧视图是一个等边三角形，则这个几何体的体积为________．[答案]3(8－π)6[解析] 根据三视图，该几何体是一个组合体，其中左侧是半个圆锥，右侧是底面为正方形的四棱锥，由于侧视图是一个边长为2的等边三角形，所以高为 3.所以其体积为V ＝13·(12π·12＋22)·3＝3(8＋π)6.(理)(2014·浙江台州中学期中)把边长为1的正方形ABCD 沿对角线BD 折起，形成三棱锥C －ABD ，它的主视图与俯视图如图所示，则二面角C －AB －D 的正切值为________．[答案] 2[解析] 三棱锥C －ABD 直观图如图，由主视图与俯视图知，平面CBD ⊥平面ABD ，CO ⊥平面ABD ，作OE ∥AD ，∵AD ⊥AB ，∴OE ⊥AB ，连结CE ，则CE ⊥AB ，∴∠CEO 为二面角C －AB －D 的平面角，在Rt △COE 中，OE ＝12AD ＝12，CO ＝22，∴tan ∠CEO ＝COOE＝ 2.16．(文)(2014·华安、连城、永安、漳平、泉港一中，龙海二中六校联考)点P 在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的面对角线BC 1上运动，则下列四个命题：①三棱锥A －D 1PC 的体积不变； ②A 1P ∥平面ACD 1； ③DP ⊥BC 1；④平面PDB 1⊥平面ACD 1. 其中正确的命题序号是________． [答案] ①②④[解析] ①VA －D 1PC ＝VP －AD 1C ，∵BC 1∥AD 1，AD 1⊂平面AD 1C ，∴BC 1∥平面AD 1C ，∴无论P 在BC 1上任何位置，P 到平面AD 1C 的距离为定值，∴三棱锥A －D 1PC 的体积不变，∴①正确；②∵A 1C 1∥AC ，BC 1∥AD 1，A 1C 1∩BC 1＝C 1，AC ∩AD 1＝A ，∴平面A 1BC 1∥平面AD 1C ，∵A 1P ⊂平面A 1BC 1，∴A 1P ∥平面ACD 1，∴②正确；③假设DP ⊥BC 1，∵DC ⊥平面BCC 1B 1，∴DC ⊥BC 1， ∴BC 1⊥平面ABCD ，与正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1矛盾， ∴③错误；④∵B 1B ⊥AC ，BD ⊥AC ，∴AC ⊥平面B 1BD ，∴AC ⊥B 1D ，同理可证AD 1⊥B 1D ，∴B 1D ⊥平面ACD 1，∵B 1D ⊂平面PDB 1，∴平面PDB 1⊥平面ACD 1，∴④正确．(理)(2014·成都七中模拟)已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，点M 是BC 1的中点，P 是BB 1一动点，则(AP ＋MP )2的最小值为________．[答案] 52[解析] 将平面ABB 1A 1展开到与平面CBB 1C 1共面，如下图，易知当A 、P 、M 三点共线时(AP ＋MP )2最小．AM 2＝AB 2＋BM 2－2AB ×BM cos135°＝12＋(22)2－2×1×22×(－22)＝52. 三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．) 17．(本小题满分12分)(2014·天津市六校联考)在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ⊥侧面BB 1C 1C ，已知BC ＝1，∠BCC 1＝π3，AB ＝CC 1＝2.(1)求证：BC 1⊥平面ABC ；(2)试在棱CC 1(不包含端点C ，C 1)上确定一点E 的位置，使得EA ⊥EB 1； (3)(理)在(2)的条件下，求AE 和平面ABC 1所成角正弦值的大小． [解析] (1)∵BC ＝1，∠BCC 1＝π3，CC 1＝2，∴BC 1＝3，∴BC 2＋BC 21＝CC 21，∴BC 1⊥BC ，∵AB ⊥侧面BB 1C 1C ，BC 1⊂平面BB 1C 1C ， ∴BC 1⊥AB 且BC ∩AB ＝B ， ∴BC 1⊥平面ABC .(2)E 为C 1C 的中点．连接BE ，∵BC ＝CE ＝1，∠BCC 1＝π3，等边△BEC 中，∠BEC ＝π3，同理：B 1C 1＝C 1E ＝1，∠B 1C 1E ＝2π3，∴∠B 1EC 1＝π6，∴∠BEB 1＝π2，∴EB 1⊥EB ，∵AB ⊥侧面BB 1C 1C ，EB 1⊂平面BB 1C 1C ， ∴EB 1⊥AB 且EB ∩AB ＝B ，∴B 1E ⊥平面ABE ，EA ⊂平面ABE ，∴EA ⊥EB 1. (3)∵AB ⊥侧面BB 1C 1C ，AB ⊂平面ABC 1， ∵平面BCC 1B 1⊥平面ABC 1，过E 作BC 1的垂线交BC 1于F ，则EF ⊥平面ABC 1， 连接AF ，则∠EAF 为所求， ∵BC ⊥BC 1，EF ⊥BC 1，∴BC ∥EF ， ∵E 为C 1C 的中点，∴F 为C 1B 的中点，∴EF ＝12，由(2)知AE ＝5，∴sin ∠EAF ＝125＝510.18．(本小题满分12分)(文)(2014·长沙市重点中学月考)如图所示，圆柱的高为2，底面半径为7，AE 、DF是圆柱的两条母线，过AD 作圆柱的截面交下底面于BC ，四边形ABCD 是正方形．(1)求证BC ⊥BE ；(2)求四棱锥E －ABCD 的体积． [解析] (1)∵AE 是圆柱的母线，∴AE ⊥底面EBC ，又BC ⊂底面EBC ，∴AE ⊥BC ， 又∵截面ABCD 是正方形，所以BC ⊥AB ， 又AB ∩AE ＝A ，∴BC ⊥平面ABE ， 又BE ⊂平面ABE ，∴BC ⊥BE .(2)∵母线AE ⊥底面EBC ，∴AE 是三棱锥A －BCE 的高， 由(1)知BC ⊥平面ABE ，BC ⊂平面ABCD ， ∴平面ABCD ⊥平面ABE ， 过E 作EO ⊥AB ，交AB 于O ，又∵平面ABCD ∩平面ABE ＝AB ，EO ⊂平面ABE ， ∴EO ⊥平面ABCD ，即EO 就是四棱锥E －ABCD 的高， 设正方形ABCD 的边长为x ，则AB ＝BC ＝x ， BE ＝AB 2－AE 2＝x 2－4，又∵BC ⊥BE ，∴EC 为直径，即EC ＝27， 在Rt △BEC 中，EC 2＝BE 2＋BC 2， 即(27)2＝x 2＋x 2－4，∴x ＝4， ∴S 四边形ABCD ＝4×4＝16，OE ＝AE ·BE AB ＝2×42－44＝3，∴V E －ABCD ＝13·OE ·S 四边形ABCD ＝13×3×16＝1633.(理)(2014·湖南长沙实验中学、沙城一中联考)在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧面ABB 1A 1，ACC 1A 1均为正方形，∠BAC ＝90°，点D 是棱B 1C 1的中点．(1)求证：A 1D ⊥平面BB 1C 1C ； (2)求证：AB 1∥平面A 1DC ； (3)求二面角D －A 1C －A 的余弦值．[解析] (1)证明：因为侧面ABB 1A 1，ACC 1A 1均为正方形， 所以AA 1⊥AC ，AA 1⊥AB ，所以AA 1⊥平面ABC ， 所以AA 1⊥平面A 1B 1C 1.因为A 1D ⊂平面A 1B 1C 1，所以AA 1⊥A 1D ， 又因为CC 1∥AA 1，所以CC 1⊥A 1D ， 又因为A 1B 1＝A 1C 1，D 为B 1C 1中点， 所以A 1D ⊥B 1C 1. 因为CC 1∩B 1C 1＝C 1， 所以A 1D ⊥平面BB 1C 1C .(2)证明：连结AC 1，交A 1C 于点O ，连结OD ， 因为ACC 1A 1为正方形，所以O 为AC 1中点， 又D 为B 1C 1中点，所以OD 为△AB 1C 1中位线， 所以AB 1∥OD ，因为OD ⊂平面A 1DC ，AB 1⊄平面A 1DC ， 所以AB 1∥平面A 1DC .(3)因为侧面ABB 1A 1，ACC 1A 1均为正方形，∠BAC ＝90°，所以AB ，AC ，AA 1两两互相垂直，如图所示建立直角坐标系A －xyz . 设AB ＝1，则C (0,1,0)，B (1,0,0)，A 1(0,0,1)，D (12，12，1)．A 1D →＝(12，12，0)，A 1C →＝(0,1，－1)，设平面A 1DC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则有 ⎩⎪⎨⎪⎧n ·A 1D →＝0，n ·A 1C →＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝0，y －z ＝0，取x ＝1，得n ＝(1，－1，－1)．又因为AB ⊥平面ACC 1A 1，所以平面ACC 1A 1的法向量为AB →＝(1,0,0)， 设二面角D －A 1C －A 的平面角为θ，则θ＝π－〈n ，AB →〉， ∴cos θ＝cos(π－〈n ，AB →〉) ＝－n ·AB →|n |·|AB →|＝－13＝－33，所以，二面角D －A 1C －A 的余弦值为－33. 19．(本小题满分12分)(文)(2014·黄石二中检测)如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1＝AC ＝2AB ＝2，且BC 1⊥A 1C .(1)求证：平面ABC 1⊥平面A 1ACC 1；(2)设D 是A 1C 1的中点，判断并证明在线段BB 1上是否存在点E ，使DE ∥平面ABC 1；若存在，求三棱锥E －ABC 1的体积．[解析] (1)证明：在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，有A 1A ⊥平面ABC .∴A 1A ⊥AC ，又A 1A ＝AC ，∴A 1C ⊥AC 1.又BC 1⊥A 1C ，∴A 1C ⊥平面ABC 1，∵A 1C ⊂平面A 1ACC 1，∴平面ABC 1⊥平面A 1ACC 1.(2)存在，E 为BB 1的中点．取A 1A 的中点F ，连EF ，FD ，当E 为B 1B 的中点时，EF ∥AB ，DF ∥AC 1， ∴平面EFD ∥平面ABC 1，则有ED ∥平面ABC 1. 当E 为BB 1的中点时，V E －ABC 1＝V C1－ABE＝13×2×12×1×1＝13. (理)(2014·保定市八校联考)如图，在底面是直角梯形的四棱锥P －ABCD 中，∠DAB ＝90°，P A ⊥平面ABCD ，P A ＝AB ＝BC ＝3，梯形上底AD ＝1.(1)求证：BC ⊥平面P AB ；(2)在PC 上是否存在一点E ，使得DE ∥平面P AB ？若存在，请找出；若不存在，说明理由； (3)求平面PCD 与平面P AB 所成锐二面角的正切值． [解析] (1)证明：∵BC ∥AD 且∠DAB ＝90°，∴BC ⊥AB ，又P A ⊥平面ABCD ，∴BC ⊥P A ， 而P A ∩AB ＝A ，∴BC ⊥平面P AB .(2)延长BA 、CD 相交于Q 点，假若在PC 上存在点E ，满足DE ∥平面P AB ，则由平面PCQ 经过DE 与平面P AB 相交于PQ 知DE ∥PQ ，∵AD ∥BC 且AD ＝1，BC ＝3， ∴PE CP ＝QD CQ ＝AD BC ＝13， 故E 为CP 的三等分点，PE ＝12CE .(3)过A 作AH ⊥PQ ，垂足为H ，连DH ， 由(1)及AD ∥BC 知：AD ⊥平面P AQ ， ∴AD ⊥PQ ，又AH ⊥PQ ， ∴PQ ⊥平面HAD ，∴PQ ⊥HD .∴∠AHD 是平面PCD 与平面PBA 所成的二面角的平面角． 易知AQ ＝32，PQ ＝352，∴AH ＝AQ ·P A PQ ＝355，∴tan ∠AHD ＝AD AH ＝53，所以平面PCD 与平面P AB 所成二面角的正切值为53. 20．(本小题满分12分)(文)(2014·北京朝阳区期末)如图，在三棱锥P －ABC 中，平面P AC ⊥平面ABC ，P A ⊥AC ，AB ⊥BC .设D 、E 分别为P A 、AC 中点．(1)求证：DE∥平面PBC；(2)求证：BC⊥平面P AB；(3)试问在线段AB上是否存在点F，使得过三点D，E，F的平面内的任一条直线都与平面PBC 平行？若存在，指出点F的位置并证明；若不存在，请说明理由．[解析](1)证明：因为点E是AC中点，点D为P A的中点，所以DE∥PC.又因为DE⊄平面PBC，PC⊂平面PBC，所以DE∥平面PBC.(2)证明：因为平面P AC⊥平面ABC，平面P AC∩平面ABC＝AC，又P A⊂平面P AC，P A⊥AC，所以P A⊥平面ABC.所以P A⊥BC.又因为AB⊥BC，且P A∩AB＝A，所以BC⊥平面P AB.(3)当点F是线段AB中点时，过点D，E，F的平面内的任一条直线都与平面PBC平行．取AB中点F，连EF，DF.由(1)可知DE∥平面PBC.因为点E是AC中点，点F为AB的中点，所以EF∥BC.又因为EF⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，所以EF∥平面PBC.又因为DE∩EF＝E，所以平面DEF∥平面PBC，所以平面DEF内的任一条直线都与平面PBC平行．故当点F是线段AB中点时，过点D，E，F所在平面内的任一条直线都与平面PBC平行．(理)(2014·山东省博兴二中质检)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD＝60°，Q 为AD 的中点．(1)若P A ＝PD ，求证：平面PQB ⊥平面P AD ；(2)设点M 在线段PC 上，PM MC ＝12，求证：P A ∥平面MQB ；(3)在(2)的条件下，若平面P AD ⊥平面ABCD ，且P A ＝PD ＝AD ＝2，求二面角M －BQ －C 的大小．[解析] (1)连接BD ，∵四边形ABCD 为菱形，∠BAD ＝60°，∴△ABD 为正三角形， 又Q 为AD 中点，∴AD ⊥BQ .∵P A ＝PD ，Q 为AD 的中点，AD ⊥PQ ， 又BQ ∩PQ ＝Q ，∴AD ⊥平面PQB ，∵AD ⊂平面P AD ， ∴平面PQB ⊥平面P AD . (2)连接AC 交BQ 于点N ，由AQ ∥BC 可得，△ANQ ∽△CNB ，∴AQ BC ＝AN NC ＝12.又PM MC ＝12，∴PM MC ＝ANNC.∴P A ∥MN . ∵MN ⊂平面MQB ，P A ⊄平面MQB ，∴P A ∥平面MQB . (3)∵P A ＝PD ＝AD ＝2，Q 为AD 的中点，∴PQ ⊥AD . 又平面P AD ⊥平面ABCD ，∴PQ ⊥平面ABCD .以Q 为坐标原点，分别以QA 、QB 、QP 所在的直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则各点坐标为A (1,0,0)，B (0，3，0)，P (0,0，3)．设平面MQB 的法向量n ＝(x ，y ，z )，可得⎩⎪⎨⎪⎧ n ·QB →＝0，n ·MN →＝0.∵P A ∥MN ，∴⎩⎪⎨⎪⎧n ·QB →＝0，n ·P A →＝0.∴⎩⎨⎧3y ＝0，x －3z ＝0，取z ＝1，得n ＝(3，0,1)． 取平面ABCD 的法向量m ＝(0,0,1)． cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m ||n |＝12.故二面角M －BQ －C 的大小为60°.21．(本小题满分12分)(文)如图，E 是以AB 为直径的半圆弧上异于A ，B 的点，矩形ABCD 所在平面垂直于该半圆所在的平面，且AB ＝2AD ＝2.(1)求证：EA ⊥EC ；(2)设平面ECD 与半圆弧的另一个交点为F . ①求证：EF ∥AB ；②若EF ＝1，求三棱锥E －ADF 的体积．[解析] (1)∵E 是半圆上异于A ，B 的点，∴AE ⊥EB ， 又∵平面ABCD ⊥平面ABE ，且CB ⊥AB ， 由面面垂直性质定理得CB ⊥平面ABE ， 又AE ⊂平面ABE ，∴CB ⊥AE ， ∵BC ∩BE ＝B ，∴AE ⊥平面CBE ， 又EC ⊂平面CBE ，∴AE ⊥EC .(2)①由CD ∥AB ，得CD ∥平面ABE ， 又∵平面CDE ∩平面ABE ＝EF ， ∴根据线面平行的性质定理得CD ∥EF ， 又CD ∥AB ，∴EF ∥AB .②V E －ADF ＝V D －AEF ＝13×12×1×32×1＝312.(理)(2014·浙江台州中学期中)如图，在Rt △ABC 中，AB ＝BC ＝4，点E 在线段AB 上，过点E作EF ∥BC 交AC 于点F ，将△AEF 沿EF 折起到△PEF 的位置(折起后的点A 记作点P )，使得∠PEB ＝60°.(1)求证：EF ⊥PB .(2)试问：当点E 在线段AB 上移动时，二面角P －FC －B 的平面角的余弦值是否为定值？若是，求出定值，若不是，说明理由．[解析] (1)在Rt △ABC 中，∵EF ∥BC ，∴EF ⊥AB ， ∴EF ⊥EB ，EF ⊥EP ，又∵EB ∩EP ＝E ，∴EF ⊥平面PEB . 又∵PB ⊂平面PEB ，∴EF ⊥PB .(2)解法一：∵EF ⊥平面PEB ，EF ⊂平面BCFE ，∴平面PEB ⊥平面BCFE ，过P 作PQ ⊥BE 于点Q ，垂足为Q ，则PQ ⊥平面BCFE ，过Q 作QH ⊥FC ，垂足为H .则∠PHQ 即为所求二面角的平面角．设PE ＝x ，则EQ ＝12x ，PQ ＝32x ，QH ＝(PE ＋EQ )sin π4＝324x ，故tan ∠PHQ ＝PQ QH ＝63，cos ∠PHQ ＝155，即二面角P －FC －B 的平面角的余弦值为定值155. 解法二：在平面PEB 内，经P 点作PD ⊥BE 于D ， 由(1)知EF ⊥平面PEB ，∴EF ⊥PD .∴PD ⊥平面BCFE .在平面PEB 内过点B 作直线BH ∥PD ，则BH ⊥平面BCFE .以B 点为坐标原点，BC →，BE →，BH →的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系．设PE ＝x (0＜x ＜4)又∵AB ＝BC ＝4，∴BE ＝4－x ，EF ＝x ， 在Rt △PED 中，∠PED ＝60°，∴PD ＝32x ，DE ＝12x ， ∴BD ＝4－x －12x ＝4－32x ，∴C (4,0,0)，F (x,4－x,0)，P (0,4－32x ，32x )．从而CF →＝(x －4,4－x,0)，CP →＝(－4,4－32x ，32x )．设n 1＝(x 0，y 0，z 0)是平面PCF 的一个法向量，则 n 1·CF →＝0，n 1·CP →＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0(x －4)＋y 0(4－x )＝0，－4x 0＋(4－32x )y 0＋32xz 0＝0，∴⎩⎨⎧x 0－y 0＝0，3x 0－z 0＝0， 取y 0＝1，得，n 1＝(1,1，3)．又平面BCF 的一个法向量为n 2＝(0,0,1)． 设二面角P －FC －B 的平面角为α，则 cos α＝|cos 〈n 1，n 2〉|＝155. 因此当点E 在线段AB 上移动时，二面角P －FC －B 的平面角的余弦值为定值155. 22．(本小题满分14分)(文)(2014·广东执信中学期中)某个实心零部件的形状是如图所示的几何体，其下部是底面均是正方形，侧面是全等的等腰梯形的四棱台A 1B 1C 1D 1－ABCD ，上部是一个底面与四棱台的上底面重合，侧面是全等的矩形的四棱柱ABCD －A 2B 2C 2D 2.(1)证明：直线B 1D 1⊥平面ACC 2A 2；(2)现需要对该零部件表面进行防腐处理．已知AB ＝10，A 1B 1＝20，AA 2＝30，AA 1＝13(单位：cm)，每平方厘米的加工处理费为0.20元，需加工处理费多少元？[解析] (1)∵四棱柱ABCD －A 2B 2C 2D 2的侧面是全等的矩形， ∴AA 2⊥AB ，AA 2⊥AD ，又∵AB ∩AD ＝A ， ∴AA 2⊥平面ABCD .连接BD ，∵BD ⊂平面ABCD ，∴AA 2⊥BD . ∵底面ABCD 是正方形，∴AC ⊥BD . ∵AA 2∩AC ＝A ，∴BD ⊥平面ACC 2A 2， 根据棱台的定义可知，BD 与B 1D 1共面．又已知平面ABCD ∥平面A 1B 1C 1D 1，且平面BB 1D 1D ∩平面ABCD ＝BD ， 平面BB 1D 1D ∩平面A 1B 1C 1D 1＝B 1D 1，∴B 1D 1∥BD . ∴B 1D 1⊥平面ACC 2A 2.(2)∵四棱柱ABCD －A 2B 2C 2D 2的底面是正方形，侧面是全等的矩形， ∴S 1＝S 四棱柱上底面＋S 四棱柱侧面＝(A 2B 2)2＋4AB ·AA 2＝102＋4×10×30＝1300(cm 2)． 又∵四棱台A 1B 1C 1D 1－ABCD 的上、下底面均是正方形，侧面是全等的等腰梯形， 等腰梯形的高h ′＝132－(20－102)2＝12.所以S 2＝S 四棱台下底面＋S 四棱台侧面 ＝(A 1B 1)2＋4×12(AB ＋A 1B 1)h ′＝202＋4×12(10＋20)×12＝1120(cm 2)．于是该实心零部件的表面积为S ＝S 1＋S 2＝1300＋1120＝2420(cm 2)， 故所需加工处理费为0.2S ＝0.2×2420＝484(元)．(理)(2014·西安市长安中学期中)如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为直角梯形，AD ∥BC ，∠ADC ＝90°，平面P AD ⊥底面ABCD ，Q 为AD 的中点，M 是棱PC 上的点，P A ＝PD ＝2，BC ＝12AD ＝1，CD ＝ 3.(1)求证：平面PQB ⊥平面P AD ；(2)若M 为棱PC 的中点，求异面直线AP 与BM 所成角的余弦值． [解析] (1)∵BC ＝12AD ，Q 为AD 的中点，∴BC ＝DQ ，又∵AD ∥BC ，∴BC ∥DQ ，∴四边形BCDQ 为平行四边形，∴CD ∥BQ ， ∵∠ADC ＝90°，∴∠AQB ＝90°，即QB ⊥AD ，又∵平面P AD ⊥平面ABCD ，且平面P AD ∩平面ABCD ＝AD ，∴BQ ⊥平面P AD ，又BQ ⊂平面PQB ，∴平面PQB ⊥平面P AD . (2)解法1：∵P A ＝PD ，Q 为AD 的中点，∴PQ ⊥AD .∵平面P AD ⊥平面ABCD ，且平面P AD ∩平面ABCD ＝AD ，∴PQ ⊥平面ABCD . 如图，以Q 为原点建立空间直角坐标系．则Q (0,0,0)，A (1,0,0)，P (0,0，3)，B (0，3，0)，C (－1，3，0)， ∵M 是PC 中点，∴M (－12，32，32)，∴AP →＝(－1,0，3)，BM →＝(－12，－32，32)，设异面直线AP 与BM 所成角为θ，则cos θ＝|cos 〈AP →，BM →〉|＝AP →·BM →|AP →|·|BM →|＝277，∴异面直线AP 与BM 所成角的余弦值为277.解法2：连接AC 交BQ 于点O ，连接OM ，则OM ∥P A ， 所以∠BMO 就是异面直线AP 与BM 所成的角．OM ＝12P A ＝1，BO ＝12BQ ＝32，由(1)知BQ ⊥平面P AD ，所以BQ ⊥P A ，∴BQ ⊥OM ， ∴BM ＝BO 2＋OM 2＝(32)2＋12＝72， ∴cos ∠BMO ＝OM BM ＝172＝277.。
正态分布（填空题：一般）1、某班有名同学，一次数学考试的成绩服从正态分布，已知，估计该班学生数学成绩在分以上的有人；2、若随机变量服从正态分布，，，设，且则__________.3、在某项测试中，测量结果服从正态分布，若，则__________．4、在我校2017年高二某大型考试中，理科数学成绩，统计结果显示.假设我校参加此次考试的理科同学共有2000人，那么估计此次考试中我校成绩高于120分的人数是___________.5、已知正态总体落在区间上的概率是，则相应的正态曲线在__________时，达到最高点．6、若，，，则_____.7、某班有45名学生，一次考试的成绩ξ(ξ∈N)近似服从正态分布N(100,102)，已知P(90≤ξ≤100)＝0.3，估计该班数学成绩在110分以上的人数为__________．8、已知正态分布总体落在区间（0.2，+∞）的概率为0.5，那么相应的正态曲线f（x）在x= ______时达到最高点．9、设随机变量，且，，则__________．10、设随机变量ξ～N（4，9），若P（ξ＞c+3）=P（ξ＜c﹣3），则c=-__________11、设随机变量服从正态分布，若，则_________12、在某次联考数学测试中，学生成绩服从正态分布，若在内的概率为0.6，则落在内的概率为__________．13、商场经营的某种袋装大米质量（单位：kg）服从正态分布N(10，0.12)，任取一袋大米，质量不足9.8kg的概率为________．（精确到0.0001）注：P(μ－σ＜x≤μ＋σ)＝0.6826，P(μ－2σ＜x≤μ＋2σ)＝0.9544，P(μ－3σ＜x≤μ＋3σ)＝0.9974．14、已知随机变量服从正态分布，且方程有实数解得概率为，若，则__________．15、若随机变量服从正态分布，，，设，且，在平面直角坐标系中，若圆上有四个点到直线的距离为1，则实数的取值范围是__________．16、某地区数学考试的成绩服从正态分布，正态分布密度函数为，其密度曲线如图所示，则成绩位于区间的概率是__________．（结果保留3为有效数字）本题用到参考数据如下：，.17、若随机变量，且，则展开式中项的系数是__________．18、若随机变量服从正态分布，，，设，且，在平面直角坐标系中，若圆上有四个点到直线的距离为1，则实数的取值范围是__________．19、若随机变量，且，则展开式中项的系数是__________．20、某厂生产的零件尺寸服从正态分布N(25,0.032)，为使该厂生产的产品有95%以上的合格率，则该厂生产的零件尺寸允许值的范围为________．21、在某项测量中，测量结果ξ～N(1，σ2)，若ξ在(0,2)内取值的概率为0.8，则ξ在(－∞，2]内取值的概率为________．22、在我校2015届高三11月月考中理科数学成绩（），统计结果显示，假设我校参加此次考试有780人，那么试估计此次考试中，我校成绩高于120分的有人．23、设随机变量服从正态分布，则函数不存在零点的概率为________．24、已知随机变量ξ服从正态分布N（0，σ2），若，则．25、某校在一次测试中约有600人参加考试，数学考试的成绩（，试卷满分150分），统计结果显示数学考试成绩在80分到120分之间的人数约为总人数的，则此次测试中数学考试成绩不低于120的学生约有___________人．26、已知随机变量，，若，，则__________．27、在某市日前进行的2009年高三第二次模拟考中，参加考试的2000名理科学生的数学成绩在90—110分的人数为800人，统计结果显示，理科学生的数学成绩服从正态分布，则2000名理科学生的数学成绩不低于110分的人数是28、设随机变量，则______.29、已知随机变量服从正态分布. 若，则等于．30、已知随机变量服从正态分布，，则．31、设随机变量服从正态分布，若，则．32、设随机变量服从正态分布，若，则的值为 .33、已知正态分布密度曲线,且,则方差为 .34、已知正态分布密度曲线,且,则方差为 .35、商场经营的某种袋装大米质量（单位：kg）服从正态分布，任取一袋大米，质量不足9.8kg的概率为 .（精确到0.0001）36、设X～N(0,1)．①P(－ε＜X＜0)＝P(0＜X＜ε)；②P(X＜0)＝0.5；③已知P(－1＜X＜1)＝0.6826，则P(X＜－1)＝0.1587；④已知P(－2＜X＜2)＝0.9544，则P(X＜2)＝0.9772；⑤已知P(－3＜X＜3)＝0.9974，则P(X＜3)＝0.9987.其中正确的有________(只填序号)．37、已知随机变量X服从正态分布N(2，σ2)，且P(X<4)＝0.8，则P(0<X<2)＝________．38、已知正态分布总体落在区间(－∞，0.3)的概率为0.5，那么相应的正态曲线φμ，σ(x)在x＝________时达到最高点．39、设，且总体密度曲线的函数表达式为：，x∈R求的值。
浙江省重点中学协作体2015届高三第二次适应性测试数学（理科）试题（word 版本） 2015.01本试题卷分选择题和非选择题两部分．全卷共4页，选择题部分1至2页，非选择题部分3至4页．满分150分，考试时间120分钟．请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上．选择题部分（共50分）注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸上．2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
不能答在试题卷上．参考公式：球的表面积公式 棱柱的体积公式 24S R π= V Sh=球的体积公式 其中S 表示棱柱的底面积，h 表示棱柱的高334R V π= 棱台的体积公式其中R 表示球的半径 )(312211S S S S h V ++=棱锥的体积公式 其中S 1、S 2分别表示棱台的上、下底面积，13V Sh = h 表示棱台的高其中S 表示棱锥的底面积，h 表示棱锥的高 如果事件,A B 互斥，那么()()()P A B P A P B +=+一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知{}|2,P x x k x N =<<∈，若集合P 中恰有3个元素，则（ ▲ ）。
A ．56x <<B ．56x ≤<C ．56x <≤D ．56x ≤≤ 2．设2()lg()1f x a x=+-是奇函数，则使()0f x <的x 的取值范围是（ ▲ ）。
A ．(1,0)-B ．(0,1)C ．(,0)-∞D ．(,0)(1,)-∞+∞ 3．一个几何体的三视图及其尺寸(单位：cm )如图所示，则 该几何体的侧面积为（ ▲ ）2cm 。
A ．50B ．60C ．70D ．80俯视图（第3题图）4．在空间给出下面四个命题(其中m 、n 为不同的两条直线,a 、b 为不同的两个平面)①m ^a ,n //a Þm n ^ ②m //n ,n //a Þm //a ③m //n ,n b ^,m //a Þa b ^ ④m n A =,m //a ,m //b ,n //a ,n //b Þa //b其中正确的命题个数有（ ▲ ）。
