2016届高三摸底试卷--2015届云南省昆明市高三第二次高考调研测试数学(文)试题(扫描版)

高中数学学习材料唐玲出品云南省2016届高三第二次统一检测数学（文）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1. 已知集合{}{}21,2,|43S T x x x ==<-,则ST =（ ）A ．{}1B ．{}2C ．1D ．2 2. 函数()5cos 2f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象关于（ ） A ．原点对称 B ．y 轴对称C ．直线52x π=对称 D ．直线52x π=-对称 3. 已知i 为虚数单位，复数11z i=+在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 4. 已知平面向量a 与b 的夹角等于56π,如果4,3a b ==,那么2a b -=（ ） A ． 55 B ．9 C ． 91 D ．10 5. 设等差数列{}n a 的前n 项和为114,22,12n S S a ==-, 若30m a =, 则 m =（ ） A ．9 B ．10 C ．11 D ． 15 6. 若运行如图所示程序框图，则输出结果S 的值为（ ）A．37B．49C．920D．5117. 下图是一个空间几何体的三视图（注：正视图也称主视图，侧视图也称左视图）正视图、侧视图、俯视图都是等腰直角三角形，如果这三个等腰直角三角形的斜边长都为32,那么这个几何体的表面积为（）A．932B．272C．93272+D．27932+8. 甲、乙两名学生在5次数学考试中的成缋统计如下面的茎叶图所示，若x甲、x乙分别表示甲、乙两人的平均成绩，则下列结论,正确的是（）A ．x 甲>x 乙,乙比甲稳定B ．x 甲 >x 乙,甲比乙稳定C ．x 甲<x 乙,乙比甲稳定D ．x 甲<x 乙,甲比乙稳定9. 设12,F F 是椭圆E 的两个焦点，P 为椭圆E 上的点，以1PF 为直径的圆经过2F ,若1225tan 15PF F ∠=,则椭圆E 的离心率为（ ） A ．56 B ．55 C ．54 D ．5310. 已知体积为46的长方体的八个顶点都在球O 的球面上，在这个长方体经过同一个顶点的三个面中，如果有两个面的面积分别为23、43,那么球O 的体积等于（ ）A ．323π B ．1673π C ．332π D ．1172π11. 已知焦点在y 轴上的双曲线C 的中心是原点O ，离心率等于52，以双曲线C 的一个焦点为圆心，1为半径的圆与双曲线C 的渐近线相切，则双曲线C 的方程为（ ）A ．2214x y -= B ． 2214y x -= C ．2214x y -= D ． 221164y x -= 12. 设数列{}n a 的通项公式为2n a n bn =+，若数列{}n a 是单调递增数列，则实数b 的取值范围为（ ）A ．[)1,+∞B ．[)2,-+∞C ．()3,-+∞D ．9,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 函数()3sin cos f x x x =+的最小值为 ．14. 某工厂生产的A 、B 、C 三种不同型号的产品数量之比依次为2:3:5,为研究这三种产品的质量，现用分层抽样的方法从该工厂生产的A 、B 、C 三种产品中抽出样本容量为n 的样本，若样本中A 型产品有16件，则n 的值为 ．15.若,x y 满足约束条件326000x y x y -+>⎧⎪≤⎨⎪≥⎩,则2z x y =-的取值范围是 ．16. 已知()f x 的定义域为实数集()(),,3272R x R f x f x ∀∈+=-,若()0f x =恰有n 个不同实数根，且这n 个不同实数根之和等于75，则n = ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. （本小题满分12分ABC ∆的内角A 、B 、C 对的边分别为a 、b 、c ,()sin ,5sin 5sin m B A C =+ 与()5sin 6sin ,sin sin n B C C A =--垂直. （1）求sin A 的值；（2）若22a =,求ABC ∆的面积S 的最大值.18. （本小题满分12分）一个盒子中装有四张卡片，每张卡片上写有一个数字，数字分别是1,2,3,4,现从盒子中随机抽取卡片，每张卡片被抽到的概率相等.（1）若一次抽取三张卡片，求抽到的三张卡片上的数字之和大于7的概率；（2）若第一次抽一张卡片，放回后搅匀再抽取一张卡片，求两次抽取中至少有一次抽到写有数字3的卡片的概率.19. （本小题满分12分）如图，三棱柱111ABC A B C -中，D 为1AA 的中点,E 为BC 的中点. （1）求证：直线AE 平面1BDC ；（2）若三棱柱 111ABC A B C - 是正三棱柱，12,4AB AA ==,求C 到平面1BDC 的距离.20. （本小题满分12分）已知抛物线24x y = 的焦点为F ，准线为l ,经过l 上任意一点P 作抛物线24x y =的两条切线，切点分别为A 、B . （1）求证：PA PB ⊥； （2）求2AF FB PF -的值.21. （本小题满分12分）已知e 是自然对数的底数,()()()12ln ,13x F x e x x f x a x -=++=-+. （1）求曲线()y F x =在点()()1,1F 处的切线方程； （2）当4,1a x ≤≥时, 求证：()()F x f x ≥.请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. （本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图,ABC ∆是O 的内接三角形，BT 是 O 的切线，P 是线段AB 上一点,经过P 作BC 的平行直线与BT 交于E 点，与AC 交于F 点. （1）求证：PE PF PA PB =； （2）若142,cos 3AB EBA =∠=,求O 的面积.23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 在直用坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为33(49x t t y t =-⎧⎨=-⎩为参数〕.在以原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，圆心A 的极坐标为22,3π⎛⎫⎪⎝⎭，圆A 的半径为3. （1）直接写出直线l 的直角坐标方程，圆A 的极坐标方程； （2）设B 是线l 上的点，C 是圆A 上的点，求BC 的最小值. 24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知常数a 是实数，()()2,42f x x a f x a =+<-的解集为{}|40x x -<< . （1）求实数a 的值；（2）若 ()()2f x f x x m --≤+对任意实数x 都成立，求实数m 的取值范围.云南省2016届高三第二次统一检测数学（文）参考答案一、选择题（每小题5分，共60分）1-5.BADCB 6-10.DCADA 11-12.BC 二、填空题（每小题5分，共20分）13.2- 14.80 15.(]4,0- 16.15 三、解答题17.解：（1）()sin ,5sin 5sin m B A C =+与()5sin 6sin ,sin sin n B C C A =--垂直,2225sin 6sin sin 5sin 5sin 0m n B B C C A ∴=-+-=, 即2226sin sin sin sin sin 5B CB C A +-=.根据正弦定理得22265bcb c a +-=. 由余弦定理得2223cos 25b c a A bc +-==.18. 解：（1）设A 表示事件“抽取三张卡片上的数字之和大于7”,取三张卡片，三张卡片上的数字全部可能的结果是()()()()1,2,3,1,2,4,1,3,4,2,3,4.其中数字之和大于7的是()()1,3,4,2,3,4,所以()12P A =. （2）设B 表示事件“至少一次抽到写有数字3的卡片”，第一次抽1张，放回后再抽取一张卡片的基本结果有:()()()()()()()()()()()()()()()()1,1,1,2,1,3,1,4,2,1,2,2,2,3,2,43,1,3,2,3,3,3,4,4,1,4,2,4,3,4,4，共16个基本结果.事件B 包含的基本事件有()()()()()()()1,3,2,3,3,1,3,2,3,3,3,4,4,3,共7个基本结果. 所以所求事件的概率()716P B =. 19. 解：（1）解：（1）证明：设1BC 的中点为F ，连接,EF DF .则EF 是1BCC ∆中位线，根据已知得EF DA ,且 EF DA =.∴四边形ADFE 是平行四边形,AE DF DF ∴⊂平面1,BDC AE ⊄平面1BDC ,∴直线AE 平面1BDC .（2）连接CD.三棱柱111ABC A B C - 是正三棱柱， 12,4AB AA ==,E 为BC 的中点,AE ∴为A 到平面1BC C 的距离, 即A 到平面1BCC 的距离等于3,D ∴到平面1BCC 的距离等于3.∴三棱柱1D BCC -的体积11143243323D BCC V -=⨯⨯⨯⨯=.由已知得22221125,22C B CB CC BD BA AD =+==+=,22111122C D AC A D =+=. 1BDC ∴∆是以1C B 为底的等腰三角形. 1BDC ∴∆的面积1221114152BDC C B C BC D S ∆-==.设点C 到平面1BDC 的距离为d ,则三棱锥1C BDC -的体积1111151543.,3333BDC C BDC C BDC D BCC S d d d V V V ∆---===∴=,解得554d =. ∴点C 到平面1BDC 的距离为455.20. 解：（1）证明：根据已知得l 的方程为1y =-.设()()()1122,1,,,,P a A x y B x y -,且22112211,44y x y x ==. 由214y x =得'2xy =,从而21111111111111,,,224PA PA y y k x k x y x x a x a ++==∴==--,化简得211240x ax --=.同理可得22212240.,x ax x x --=∴为方程2240x ax --=的根.()()121211222, 4.,1,1x x a x x PA PB x a y x a y ∴+==-=-+-+()()()()121211x a x a y y =--+++()()22212222212121211421481016444x x x x x x a x x a a a a ⎡⎤=-++++++=--+++++=⎣⎦, PA PB ∴⊥,即PA PB ⊥.（2）根据已知得()0,1F .()()()()()221212121122121212122,1,111164x x x x x x AF FB x y x y x x y y y y x x +-=---=--++-=--+-又由（1）知：222212122,4,4,4,0.x x a x x AF FB a PF a AF FB PF +==-∴=+=+∴-=.21. 解：（1）()112ln 2ln x x F x e x x e e x x --=++=++,()()()11'1,13,'14x F x e e F F x-∴=++==，()y F x ∴=在点()()1,1F 处的切线方程为()341y x -=-，即410x y --=.（2）设()()()H x F x f x =-,则()11'21x H x e a x -=++-.设()1121x h x e a x -=++-,则()()()112211'2.1,22,1,' 1.x x h x ex e h x h x xx--=-≥∴≥-≥-≥∴在[)1,+∞内单调递增,∴当1x ≥时,()()1h x h ≥. 即()'4H x a ≥-,4a ≤时,()'40H x a ∴≥-≥.∴当4a ≤时, ()H x 在[)1,+∞内单调递增. ∴当4a ≤,1x ≥时,()()1H x H ≥, 即()().F x f x ≥22. 解：（1）ABC ∆是O 的内接三角形，BT 是 O 的切线，B 为切点.CBT ∴∠ 是弦切角.A CBT ∴∠=∠,由已知得EF BC ..PEB CBT PEB A ∴∠=∠∴∠=∠.又,..PE PBEPB APF PEBPAF PE PF PA PB PA PF∠=∠∴∆∆∴=∴=. （2）延长BO 与O 交于D ,连接AD ,则BD 是O 的直径, 且90,BAD BT ∠=是 O 的切线,B 为为切点,.90.90.cos DB EB EBA ABD ABD EBA ABD ∴⊥∴∠+∠=∴∠=-∠∴∠=()cos 90sin EBA EBA -∠=∠,在Rt BAD ∆中,cos .cos AB AB ABD BD BD ABD∠=∴=∠. 根据已知和1cos 3EBA ∠=得22sin 3EBA ∠=.又342,426cos sin 22AB AB AB BD ABD EBA =∴===⨯=∠∠.O ∴的直径为6.O ∴的面积为9π.23. 解：（1）直线l 的坐标方程为43150x y --=,圆A 的极坐标方程为22cos 23sin 50ρρθρθ+--=.（2）圆心A 的直角坐标为()1,3,A A -直线l 的距离19335d +=,根据圆的几何意义得BC 的最小值等于43335d +-=.BC ∴的最小值为4335+. 24. 解：（1）由()42f x a <-得242x a a +<-.24242a x a a ∴-<+<-,即444x a -<<-. 由已知得440a -=,解得1,1a a =∴=.（2）由()()2f x f x x m --≤+得221x x x m +---≤,设()()4,22212,21,24,1x g x x x x x x g x x x -≤-⎧⎪=+---=-<≤∴⎨⎪-+>⎩的最大值为2.()()2f x f x x m --≤+对任意实数x 都成立,2m ∴≥.∴实数m 的取值范围[)2,+∞.。

2016年云南省高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知角α的终边经过点P（﹣3，4），则tan2α＝（）A．B．C．﹣D．﹣2．（5分）已知i为虚数单位，复数z＝在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（5分）已知是平面向量，如果||＝，||＝，（+2）⊥（2﹣），那么与的数量积等于（）A．﹣2B．﹣1C．2D．34．（5分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，S11＝22，a4＝﹣12，如果当n＝m时，S n最小，那么m的值为（）A．10B．9C．5D．45．（5分）若运行如图所示程序框图，则输出结果S的值为（）A．B．C．D．6．（5分）如图是一个空间几何体的三视图（注：正视图也称主视图，侧视图也称左视图），正视图、侧视图、俯视图都是等腰直角三角形，如果这三个等腰直角三角形的斜边长都为3，那么这个几何体的表面积为（）A．B．C．D．9+7．（5分）现在有10张奖券，8张2元的，2张5元的，某人从中随机无放回地抽取3张奖券，则此人得奖金额的数学期望为（）A．6B．C．D．98．（5分）设F1，F2是椭圆E的两个焦点，P为椭圆E上的点，以PF1为直径的圆经过F2，若tan∠PF1F2＝，则椭圆E的离心率为（）A．B．C．D．9．（5分）设（2x﹣1）5＝a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，则|a1|+|a3|+|a5|＝（）A．121B．122C．243D．24410．（5分）已知体积为4的长方体的八个顶点都在球O的球面上，在这个长方体经过一个顶点的三个面中，如果有两个面的面积分别为2、4，那么球O的体积等于（）A．B．C．D．11．（5分）已知焦点在y轴上的双曲线C的中心是原点O，离心率等于，以双曲线C 的一个焦点为圆心，1为半径的圆与双曲线C的渐近线相切，则双曲线C的方程为（）A．＝1B．y2﹣＝1C．﹣x2＝1D．﹣y2＝112．（5分）已知f（x）＝ln（+x）﹣+1，a＝f（），b＝f（），c＝﹣f （2﹣π），下列结论正确的是（）A．b＞a＞c B．c＞a＞b C．a＞b＞c D．c＞b＞a二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）某工厂生产的A、B、C三种不同型号的产品数量之比依次为2：3：5，为研究这三种产品的质量，现用分层抽样的方法从该工厂生产的A、B、C三种产品中抽出样本容量为n的样本，若样本中A型产品有16件，则n的值为．14．（5分）设数列{a n}的通项公式为a n＝n2+bn，若数列{a n}是单调递增数列，则实数b的取值范围为．15．（5分）若函数f（x）＝4sin5ax﹣4cos5ax的图象的相邻两条对称轴之间的距离为，则实数a的值为．16．（5分）已知实数x，y满足约束条件，那么x2+y2﹣10x﹣6y的最小值为．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）△ABC的内角A、B、C对的边分别为a、b、c，＝（sin B，5sin A+5sin C）与＝（5sin B﹣6sin C，sin C﹣sin A）垂直．（1）求sin A的值；（2）若a＝2，求△ABC的面积S的最大值．18．（12分）一个盒子里装有若干个均匀的红球和白球，每个球被取到的概率相等．若从盒子里随机取一个球，取到的球是红球的概率为，若一次从盒子里随机取两个球，取到的球至少有一个是白球的概率为．（1）该盒子里的红球、白球分别为多少个？（2）若一次从盒子中随机取出3个球，求取到的白球个数不少于红球个数的概率．19．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D为AA1的中点，E为BC的中点．（1）求证：直线AE∥平面BDC1；（2）若三棱柱ABC﹣A1B1C1是正三棱柱，AB＝2，AA1＝4，求平面BDC1与平面ABC所成二面角的正弦值．20．（12分）已知抛物线x2＝4y的焦点为F，准线为l，经过l上任意一点P作抛物线x2＝4y的两条切线，切点分别为A、B．（1）求证：以AB为直径的圆经过点P；（2）比较•与的大小．21．（12分）已知e是自然对数的底数，F（x）＝2e x﹣1+x+lnx，f（x）＝a（x﹣1）+3（1）设T（x）＝F（x）﹣f（x），当a＝1+2e﹣1时，求证：T（x）在（0，+∞）上单调递增；（2）若∀x≥1，F（x）≥f（x），求实数a的取值范围．选做题：请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，BT是⊙O的切线，P是线段AB上一点，过P作BC的平行直线与BT交于E点，与AC交于F点．（Ⅰ）求证：PE•PF＝P A•PB；（Ⅱ）若AB＝4，cos∠EBA＝，求⊙O的面积．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）．在以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，圆心A的极坐标为（2，），圆A的半径为3．（1）直接写出直线l的直角坐标方程，圆A的极坐标方程；（2）设B是线l上的点，C是圆A上的点，求|BC|的最小值．[选修4-5：不等式选讲]24．已知a为实常数，f（x）＝|x+2a|，f（x）＜4﹣2a的解集为{x|﹣4＜x＜0}．（1）求a的值；（2）若f（x）﹣f（﹣2x）≤x+m对任意实数x都成立，求实数m的取值范围．2016年云南省高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知角α的终边经过点P（﹣3，4），则tan2α＝（）A．B．C．﹣D．﹣【解答】解：∵角α的终边经过点P（﹣3，4），∴tanα＝＝﹣⇒tan2α＝＝＝．故选：A．2．（5分）已知i为虚数单位，复数z＝在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：∵z＝＝，∴复数z在复平面内对应的点的坐标为：（，），位于第四象限．故选：D．3．（5分）已知是平面向量，如果||＝，||＝，（+2）⊥（2﹣），那么与的数量积等于（）A．﹣2B．﹣1C．2D．3【解答】解：∵||＝，||＝，（+2）⊥（2﹣），∴（+2）⊥（2﹣）＝2+3﹣2＝2×6+3﹣2×3＝0，∴•＝﹣2，故选：A．4．（5分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，S11＝22，a4＝﹣12，如果当n＝m时，S n最小，那么m的值为（）A．10B．9C．5D．4【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵S11＝22，a4＝﹣12，∴11a1+d＝22，a1+3d＝﹣12，解得a1＝﹣33，d＝7．∴a n＝﹣33+7（n﹣1）＝7n﹣40，由a n≤0，解得n≤．∴当n＝5时，S n最小，故选：C．5．（5分）若运行如图所示程序框图，则输出结果S的值为（）A．B．C．D．【解答】解：模拟执行程序，可得S＝0，K＝1不满足条件K＞10，执行循环体，S＝，K＝3不满足条件K＞10，执行循环体，S＝+，K＝5不满足条件K＞10，执行循环体，S＝++，K＝7不满足条件K＞10，执行循环体，S＝+++，K＝9不满足条件K＞10，执行循环体，S＝++++，K＝11满足条件K＞10，退出循环，输出S＝++++＝（1﹣+…+﹣）＝＝．故选：D．6．（5分）如图是一个空间几何体的三视图（注：正视图也称主视图，侧视图也称左视图），正视图、侧视图、俯视图都是等腰直角三角形，如果这三个等腰直角三角形的斜边长都为3，那么这个几何体的表面积为（）A．B．C．D．9+【解答】解：由题意可知三视图复原的几何体是三棱锥，正方体的一个角，所以几何体的表面积为：3个等腰直角三角形与一个等边三角形的面积的和，即：3×+＝．故选：C．7．（5分）现在有10张奖券，8张2元的，2张5元的，某人从中随机无放回地抽取3张奖券，则此人得奖金额的数学期望为（）A．6B．C．D．9【解答】解：现有10张奖券，其中8张2元，2张5元，今某人随机无放回的抽取三张，则此人得奖金金额X的可能值为：6元，9元，12元，它们的概率分别为：P（X＝6）＝＝，P（X＝9）＝＝，P（X＝12）＝＝．此人得奖金金额的数学期望：6×+9×+12×＝元．故选：B．8．（5分）设F1，F2是椭圆E的两个焦点，P为椭圆E上的点，以PF1为直径的圆经过F2，若tan∠PF1F2＝，则椭圆E的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：如图，∵以PF1为直径的圆经过F2，∴PF2⊥F1F2，又tan∠PF1F2＝，∴，则，由|PF1|+|PF2|＝2a，得|PF1|＝，在Rt△PF2F1中，得，即，解得：或（舍）．∴椭圆E的离心率为．故选：D．9．（5分）设（2x﹣1）5＝a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，则|a1|+|a3|+|a5|＝（）A．121B．122C．243D．244【解答】解：（2x﹣1）5＝（2x）5﹣+﹣+﹣，则|a1|+|a3|+|a5|＝25++2＝32+80+10＝122．故选：B．10．（5分）已知体积为4的长方体的八个顶点都在球O的球面上，在这个长方体经过一个顶点的三个面中，如果有两个面的面积分别为2、4，那么球O的体积等于（）A．B．C．D．【解答】解：设长方体的长宽高分别为a，b，c，则由题意，abc＝4，ab＝2，bc＝4，∴a＝，b＝，c＝2，∴长方体的对角线长为＝4，∵长方体的对角线为球O的直径，∴球O的半径为2，∴球O的体积等于＝．故选：A．11．（5分）已知焦点在y轴上的双曲线C的中心是原点O，离心率等于，以双曲线C 的一个焦点为圆心，1为半径的圆与双曲线C的渐近线相切，则双曲线C的方程为（）A．＝1B．y2﹣＝1C．﹣x2＝1D．﹣y2＝1【解答】解：设双曲线的焦点为（0，c），渐近线方程为ax﹣by＝0，由于圆与双曲线的渐近线相切，则＝1，化简得，b＝1，因为＝，所以a＝2，所以双曲线的方程为﹣x2＝1．故选：C．12．（5分）已知f（x）＝ln（+x）﹣+1，a＝f（），b＝f（），c＝﹣f （2﹣π），下列结论正确的是（）A．b＞a＞c B．c＞a＞b C．a＞b＞c D．c＞b＞a【解答】解：又因为f（﹣x）＝ln（﹣x）﹣+1＝﹣[ln（+x）﹣+1]＝﹣f（x），所以f（x）为奇函数，易知x＞0时，f（x）为增函数，则函数f（x）为R上的增函数，c＝﹣f（2﹣π）＝f（π﹣2），因为≈0.366，π﹣2≈3.14﹣2＝1.14，≈0.32，所以π﹣2＞＞所以f（π﹣2）＞f（）＞f（），所以c＞a＞b，故选：B．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）某工厂生产的A、B、C三种不同型号的产品数量之比依次为2：3：5，为研究这三种产品的质量，现用分层抽样的方法从该工厂生产的A、B、C三种产品中抽出样本容量为n的样本，若样本中A型产品有16件，则n的值为80．【解答】解：某工厂生产的A、B、C三种不同型号产品的数量之比为2：3：5，分层抽样的方法抽取一个容量为n的样本，则A被抽的抽样比为：＝，A产品有16件，所以n＝＝80，故答案为：80．14．（5分）设数列{a n}的通项公式为a n＝n2+bn，若数列{a n}是单调递增数列，则实数b的取值范围为（﹣3，+∞）．【解答】解：∵数列{a n}是单调递增数列，∴∀n∈N*，a n+1＞a n，（n+1）2+b（n+1）＞n2+bn，化为：b＞﹣（2n+1），∵数列{﹣（2n+1）}是单调递减数列，∴n＝1，﹣（2n+1）取得最大值﹣3，∴b＞﹣3．即实数b的取值范围为（﹣3，+∞）．故答案为：（﹣3，+∞）．15．（5分）若函数f（x）＝4sin5ax﹣4cos5ax的图象的相邻两条对称轴之间的距离为，则实数a的值为±．【解答】解：∵函数f（x）＝4sin5ax﹣4cos5ax＝8（sin5ax﹣cos5ax）＝8sin（5ax﹣）的图象的相邻两条对称轴之间的距离为||＝，∴a＝±，故答案为：．16．（5分）已知实数x，y满足约束条件，那么x2+y2﹣10x﹣6y的最小值为．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，x2+y2﹣10x﹣6y＝（x﹣5）2+（y﹣3）2﹣34．其几何意义为定点M（5，3）到直线x+2y﹣4＝0的距离的平方减34．又M（5，3）到直线x+2y﹣4＝0的距离d＝．∴x2+y2﹣10x﹣6y的最小值为．故答案为：．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）△ABC的内角A、B、C对的边分别为a、b、c，＝（sin B，5sin A+5sin C）与＝（5sin B﹣6sin C，sin C﹣sin A）垂直．（1）求sin A的值；（2）若a＝2，求△ABC的面积S的最大值．【解答】解：（1）∵与垂直，∴，即．根据正弦定理得．由余弦定理得．∵A为三角形内角，∴sin A＝＝．（2）由（1）可得：b2+c2﹣a2＝，∴＝b2+c2﹣a2≥2bc﹣a2，又∵a＝2，∴bc≤10，∵△ABC的面积S＝bc sin A＝≤4，∴△ABC的面积S的最大值为4．18．（12分）一个盒子里装有若干个均匀的红球和白球，每个球被取到的概率相等．若从盒子里随机取一个球，取到的球是红球的概率为，若一次从盒子里随机取两个球，取到的球至少有一个是白球的概率为．（1）该盒子里的红球、白球分别为多少个？（2）若一次从盒子中随机取出3个球，求取到的白球个数不少于红球个数的概率．【解答】解：（1）设该盒子里有红球m个，有白球n个．根据题意得．解方程组得m＝4，n＝8．∴红球4个，白球8个．（2）设“从盒子中任取3个球，取到的白球个数不少于红球个数”为事件A，则．因此，从盒子中任取3个球，取到的白球个数不少于红球个数的概率为．19．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D为AA1的中点，E为BC的中点．（1）求证：直线AE∥平面BDC1；（2）若三棱柱ABC﹣A1B1C1是正三棱柱，AB＝2，AA1＝4，求平面BDC1与平面ABC所成二面角的正弦值．【解答】解：（1）证明：设BC1的中点为F，连接EF，DF．则EF是△BCC1中位线，根据已知得EF∥DA，且EF＝DA．∴四边形ADFE是平行四边形∴AE∥DF，∵DF⊂平面BDC1，AE⊄平面BDC1，∴直线AE∥平面BDC1．（2）建立如图所示的空间直角坐标系B﹣xyz，由已知得．∴．设平面BDC1的一个法向量为，则．∴，取z＝﹣1，解得．∴是平面BDC1的一个法向量．由已知易得是平面ABC的一个法向量．设平面BDC1和平面ABC所成二面角的大小为θ，则．∵0＜θ＜π，∴．∴平面BDC1和平面ABC所成二面角的正弦值为．20．（12分）已知抛物线x2＝4y的焦点为F，准线为l，经过l上任意一点P作抛物线x2＝4y的两条切线，切点分别为A、B．（1）求证：以AB为直径的圆经过点P；（2）比较•与的大小．【解答】解：（1）证明：根据已知得l的方程为y＝﹣1．设P（a，﹣1），A（x1，y1），B（x2，y2），且．由得，从而，∵，∴，化简得．同理可得．∴x1，x2为方程x2﹣2ax﹣4＝0的根．∴x1+x2＝2a，x1x2＝﹣4．∵＝（x1﹣a）（x2﹣a）+（y1+1）（y2+1）＝，∴，即P A⊥PB，∴以AB为直径的圆经过点P．（2）根据已知得F（0，1）．∵＝（﹣x1，1﹣y1）•（x2，y2﹣1）＝﹣x1x2﹣y1y2+（y1+y2）﹣1＝﹣1又由（1）知：x1+x2＝2a，x1x2＝﹣4，∴，∵，∴．21．（12分）已知e是自然对数的底数，F（x）＝2e x﹣1+x+lnx，f（x）＝a（x﹣1）+3（1）设T（x）＝F（x）﹣f（x），当a＝1+2e﹣1时，求证：T（x）在（0，+∞）上单调递增；（2）若∀x≥1，F（x）≥f（x），求实数a的取值范围．【解答】（1）证明：当a＝1+2e﹣1时，T（x）＝F（x）﹣f（x）＝2e x﹣1+x+lnx﹣（1+2e﹣1）（x﹣1）﹣3T′（x）＝2e x﹣1+1+﹣（1+2e﹣1））＝2e x﹣1+﹣2e﹣1，∵x＞0，∴T′（x）＞0，∴T（x）在（0，+∞）上单调递增；（2）解：若∀x≥1，F（x）≥f（x），则2e x﹣1+x+lnx≥a（x﹣1）+3，由H（x）＝2e x﹣1+x+lnx﹣a（x﹣1）﹣3，H′（x）＝2e x﹣1+1+﹣a，设h（x）＝2e x﹣1+1+﹣a，h′（x）＝2e x﹣1﹣，显然x≥1时，h′（x）＞0，h（x）递增，可得h（x）≥h（1）＝4﹣a，即H′（x）≥4﹣a，当a≤4时，H′（x）≥0，H（x）递增，可得H（x）≥H（1）＝0，即有∀x≥1，F（x）≥f（x）；当a＞4，∀x≥1，F（x）≥f（x），不恒成立，综上可得a≤4．选做题：请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，BT是⊙O的切线，P是线段AB上一点，过P作BC的平行直线与BT交于E点，与AC交于F点．（Ⅰ）求证：PE•PF＝P A•PB；（Ⅱ）若AB＝4，cos∠EBA＝，求⊙O的面积．【解答】（Ⅰ）证明：∵BT切⊙O于点B，∴∠EBA＝∠C，∵EF∥BC，∴∠AFP＝∠C，∠AFP＝∠EBP，∵∠APF＝∠EPB，∴△PF A∽△PBE，∴，∴P A•PB＝PE•PF；（Ⅱ）解：作直径AH，连接BH，∴∠ABH＝90°，∵BT切⊙O于点B，∴∠EBA＝∠AHB∵cos∠EBA＝，∴cos∠AHB＝，∵sin2∠AHB+cos2∠AHB＝1，又∠AHB为锐角，∴sin∠AHB＝．在Rt△ABH中，∵sin∠AHB＝，AB＝4，∴AH＝＝6，∴⊙O半径为3；∴⊙O的面积为：9π．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）．在以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，圆心A的极坐标为（2，），圆A的半径为3．（1）直接写出直线l的直角坐标方程，圆A的极坐标方程；（2）设B是线l上的点，C是圆A上的点，求|BC|的最小值．【解答】解：（1）直线l的坐标方程为4x﹣3y﹣15＝0，圆A的极坐标方程为．（2）圆心A的直角坐标为直线l的距离，根据圆的几何意义得|BC|的最小值等于．∴|BC|的最小值为．[选修4-5：不等式选讲]24．已知a为实常数，f（x）＝|x+2a|，f（x）＜4﹣2a的解集为{x|﹣4＜x＜0}．（1）求a的值；（2）若f（x）﹣f（﹣2x）≤x+m对任意实数x都成立，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）∵f（x）＝|x+2a|，f（x）＜4﹣2a，∴2a﹣4＜x+2a＜4﹣2a，∴﹣4＜x＜4﹣4a，∴4﹣4a＝0，解得：a＝1；（2）由（1）得：f（x）＝|x+2|，f（﹣2x）＝|﹣2x+2|，若f（x）﹣f（﹣2x）≤x+m对任意实数x都成立，即m≥|x+2|﹣2|x﹣1|﹣x，令h（x）＝|x+2|﹣2|x﹣1|﹣x＝，x≥1时，h（x）＝﹣2x+4≤2，﹣2＜x＜1时，h（x）∈（﹣4，2），x≤﹣2时，h（x）＝﹣4，∴h（x）的最大值是2，∴m≥2．。

2016届云南省高三第二次统一检测理数试题 含解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知角α的终边经过点()3,4P -,则tan 2α=（ ） A ．247 B ．83 C ．83- D ．247- 【答案】A考点：正切二倍角公式的运用. 2.已知i 为虚数单位，复数342iz i-=+在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 【答案】D 【解析】 试题分析：因51125)43)(2(ii i z -=--=,故对应的点在第四象限,应选D. 考点：复数的概念和运算.3.已知,a b是平面向量,如果()()6,3,22a b a b a b ==+⊥- ,那么a 与b 的数量积等于（ ）A ．2-B ．1-C ．2D ．32 【答案】A 【解析】试题分析：由题设可得0)2)(2(=-+b a b a ,即023222=-⋅+b b a a ,也即63-=⋅b a ,故2-=⋅b a ,应选A.考点：向量的乘法运算.4.已知等差数列{}n a 的前n 项和为114,22,12n S S a ==-,如果当n m =时,n S 最小，那么m 的值 为（ ）A ．10 B ．9 C ．5 D ．4【答案】C考点：等差数列的前n 项和的性质及运用.5.若运行如图所示程序框图，则输出结果S 的值为（ ）A ．37 B ．49 C ．920 D ．511【答案】D 【解析】试题分析：由算法流程图所提供的算法程序看出:当11=k 时已经结束运算程序,所这时输出的115)111915131311(21=-++-+-=S ,故应选D. 考点：算法流程图的识读和理解.6.下图是一个空间几何体的三视图（注：正视图也称主视图，侧视图也称左视图）正视图、侧视 图、俯视图都是等腰直角三角形，如果这三个等腰直角三角形的斜边长都为32,那么这个几何体的表面积为（ ）A ．932 B ．272 C ．93272+ D ．27932+ 【答案】C 【解析】试题分析：由三视图所提供的图形信息和数据信息可知该几何体是一个棱长均为3的正三棱锥,故其表面积为23927)23(43332132+=⨯+⨯⨯⨯=S ,故应选C. 考点：三视图的识读和理解.7.现在有10张奖券，8张2元的，2张5元的，某人从中随机无放回地抽取3张奖券,则此人得奖 金额的数学期望为（ ） A ．6 B ．395 C ．415D ．9 【答案】B考点：概率和数学期望的计算.8.设12,F F 是椭圆E 的两个焦点，P 为椭圆E 上的点，以1PF 为直径的圆经过2F ,若1225tan 15PF F ∠=,则椭圆E 的离心率为（ ） A ．56 B ．55 C ．54 D ．53【答案】D考点：椭圆的几何性质及运用.【易错点晴】椭圆是圆锥曲线的重要代表曲线之一,也高考和各级各类考试的重要内容和考点.解答本题时要充分利用题设中提供的有关信息,运用椭圆的几何性质和题设中的条件将问题转化为求点|||,|21PF PF 的值的问题.解答时充分运用题设条件1225tan 15PF F ∠=和勾股定理,通过解直角三角形求得)2(1552||2c PF ⨯=,)2(1557|1|2c PF ⨯=,然后运用椭圆的定义建立方程求得离心率35=e .借助椭圆的定义建立方程是解答好本题的关键.9.设()5234501234521x a a x a x a x a x a x -=+++++,则135a a a ++=（ ）A ．121B ．122C ．243D ．244【答案】B 【解析】试题分析：令等式中的1=x 可得1543210=+++++a a a a a a ；再令等式中的1-=x 可得另因5543210)3(-=-+-+-a a a a a a ,以上两式两边相减可得2431)(2531+=++a a a ,即122531=++a a a ,也即135a a a ++=122,故应选B.考点：二项式定理及运用.10.已知体积为46的长方体的八个顶点都在球O 的球面上，在这个长方体经过同一个顶点的三 个面中，如果有两个面的面积分别为23、43,那么球O 的体积等于（ ）A ．323π B ．1673π C ．332π D ．1172π【答案】A 【解析】试题分析：设这两个面的边长分别为c b a ,,,则不妨设64,34,32===abc bc ab ,则22,6,2===c b a ,则该长方体的外接球的直径4862=++=d ,故球的体积为ππ3322343=⨯=V ,应选A. 考点：球与几何体的外接和体积的计算.11.已知焦点在y 轴上的双曲线C 的中心是原点O ，离心率等于52，以双曲线C 的一个焦点为圆 心，1为半径的圆与双曲线C 的渐近线相切，则双曲线C 的方程为（ ）A ．221164y x -=B ．2214x y -=C ．2214y x -=D ．2214x y -=【答案】C考点：双曲线的几何性质及运用.【易错点晴】双曲线是圆锥曲线的重要代表曲线之一,也高考和各级各类考试的重要内容和考点.解答本题时要充分利用题设中提供的有关信息,运用双曲线的几何性质和题设中的条件运用点到直线的距离公式先求出1=b .再借助题设中的离心率25=a c 求出b a ,的值.求解时巧妙地运用设t a tc 2,5==,然后运用1==t b 求出2=a .12.已知()()()22ln 3ln 5ln11,,,22135x f x x x a f b f c f π⎛⎫⎛⎫=++-+===-- ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭, 下列结 论正确的是（ ）A ．b a c >>B ．c a b >>C ．a b c >>D ．c b a >> 【答案】B考点：函数的单调性和奇偶性等基本性质的综合运用.【易错点晴】本题设置的是一道运用函数的单调性比较函数值的大小的问题.解答时要先搞清函数的奇偶性和单调性.因为1122)1ln()(2++--+=--x x x x f ,所以2222()()ln[(1)]21x f x f x x x --+=+--+ 222220202112x x x⋅+-+=+-=++,即)()(x f x f -=-.也即函数)(x f 是奇函数.从而可得)2(-=πf c ,这为比较c b a ,,作支撑.还有55ln ,33ln 的大小比较问题.可先考虑5ln 3,3ln 5的大小关系问题,再进行比较c b a ,,的大小.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）13.某工厂生产的A 、B 、C 三种不同型号的产品数量之比依次为2:3:5,为研究这三种产品的质 量，现用分层抽样的方法从该工厂生产的A 、B 、C 三种产品中抽出样本容量为n 的样本，若样本中A 型产品有16件，则n 的值为 ． 【答案】80 【解析】 试题分析：因165322=⨯++n ,故80=n ,应填80.考点：分层抽样的方法和计算．14.设数列{}n a 的通项公式为2n a n bn =+，若数列{}n a 是单调递增数列,则实数b 的取值范围为 ． 【答案】()3,-+∞ 【解析】试题分析：因该函数的对称轴为2b n -=,结合二次函数的图象可知当232<-b ,即3->b 时,单调递增,应填()3,-+∞.考点：数列的单调性等有关知识的综合运用．【易错点晴】数列是高中数学中的重要内容之一,也高考和各级各类考试的重要内容和考点.解答本题时要充分利用题设中提供的有关信息,借助二次函数的对称轴进行数形结合,合理准确地建立不等式是解答好本题的关键.求解时很多学生可能会出现将对称轴2b n -=放在1的左边而得12≤-b,而得2-≥b 的答案.这是极其容易出现的错误之一.15. 若函数()4sin 543cos5f x ax ax =-的图象的相邻两条对称轴之间的距离为3π,则实数a 的值为 ． 【答案】35±考点：三角函数的图象和性质．16.已知实数,x y 满足约束条件4200x y x y ≤-⎧⎪≥⎨⎪≥⎩,那么22106x y x y +--的最小值为 ．【答案】1215- 【解析】试题分析：因34)3()5(6102222--+-=--+y x y x y x ,令22)3()5(-+-=y x d ,则该式表示定点)3,5(A 与区域内动点),(y x P 的连线段的距离,故其最小值是点)3,5(A 到直线042=-+y x 的距离57min =d ,所以22106x y x y +--的最小值是512134)57(342min2-=-=-d,应填1215-.dA(5,3)x+2y=4Oyx考点：线性规划的有关知识和运用．【易错点晴】本题考查的是线性规划的有关知识及综合运用.解答时先依据题设条件画出不等式组4200x y x y ≤-⎧⎪≥⎨⎪≥⎩表示的平面区域如图, 借助题设条件搞清楚22)3()5(-+-=y x d 的几何意义是动点),(y x P 与定点)3,5(A 的距离的最小值问题.通过观察可以看出其最小值是点)3,5(A 到直线042=-+y x 的距离57min =d ,所以22106x y x y+--的最小值是512134)57(342min 2-=-=-d . 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分12分）ABC ∆的内角A 、B 、C 对的边分别为a 、b 、c ,()sin ,5sin 5sin m B A C =+与()5sin 6sin ,sin sin n B C C A =--垂直.（1）求sin A 的值；（2）若22a =,求ABC ∆的面积S 的最大值. 【答案】(1)54；(2)4.试题解析：（1）()sin ,5sin 5sin m B A C =+ 与()5sin 6sin ,sin sin n B C C A =--垂直,2225sin 6sin sin 5sin 5sin 0m n B B C C A ∴=-+-= , 即2226sin sin sin cos cos 5B CB C A +-=.根据正弦定理得22265bcb c a +-=. 由余弦定理得2223cos 25b c a A bc +-==.A 是ABC ∆的内角,24sin 1cos 5A A ∴=-=. （2）由（1）知22265bc b c a +-=.2222625bcb c a bc a ∴=+-≥-.又22,10.a bc ABC =∴≤∆ 的面积sin 24,25bc A bcS ABC ==≤∴∆的面积S 最大值为4. 考点：向量的数量积公式正弦定理余弦定理等有关知识的综合运用．18.（本小题满分12分）―个盒子里装有若干个均匀的红球和白球,每个球被取到的概率相等.若从 盒子里随机取一个球,取到的球是红球的概率为13,若一次从盒子里随机取两个球，取到的球至少有一个 是白球的概率为1011. （1）该盒子里的红球、白球分别为多少个？（2）若一次从盒子中随机取出3个球，求取到的白球个数不少于红球个数的概率. 【答案】(1) 红球4个,白球8个；(2)4255.考点：排列数组合数概率等有关知识的综合运用．19.（本小题满分12分）如图，三棱柱111ABC A B C -中，D 为1AA 的中点,E 为BC 的中点. （1）求证：直线AE 平面1BDC ；（2）若三棱柱 111ABC A B C - 是正三棱柱， 12,4AB AA ==,求平面1BDC 与平面ABC 所成二面角的 正弦值.【答案】(1)证明见解析；(2)255.（2）建立如图所示的空间直角坐标系B xyz -,由已知得()()()10,0,0,0,2,2,3,1,4B D C . ()()10,2,2,3,1,4BD BC ∴== .设平面1BDC 的一个法向量为(),,n x y z = ,则1,n BD n BC ⊥⊥ . 220340y z x y z +=⎧⎪∴⎨++=⎪⎩,取1z =-,解得31x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩.()3,1,1n ∴=- 是平面1BDC 的一个法向量. 由已知易得()0,0,1m = 是平面ABC 的一个法向量. 设平面1BDC 和平面ABC 所成二面角的大小为θ,则525cos .0,sin 55m n m nθθπθ==<<∴= . ∴平面1BDC 和平面ABC 所成二面角的正弦值为255. 考点：空间直线与平面的位置关系和空间向量的数量积公式等有关知识的综合运用．20.（本小题满分12分）已知抛物线24x y = 的焦点为F ，准线为l ,经过l 上任意一点P 作抛物 线24x y =的两条切线，切点分别为A 、B .（1）求证：以AB 为直径的圆经过点P ； （2）比较AF FB 与 2PF 的大小 .【答案】(1)证明见解析；(2)AF FB 与 2PF 相等.()()22212222212121211421481016444x x x x x x a x x a a a a ⎡⎤=-++++++=--+++++=⎣⎦, PA PB ∴⊥ ,即PA PB ⊥,∴以AB 为直径的圆经过点P .（2）根据已知得()0,1F .()()()()()221212121122121212122,1,111164x x x x x x AF FB x y x y x x y y y y x x +-=---=--++-=--+- 又由（1）知：222212122,4,4,4,x x a x x AF FB a PF a AF FB PF +==-∴=+=+∴= .考点：直线与抛物线的位置关系等有关知识的综合运用．【易错点晴】本题是一道考查直线与抛物线的位置关系的综合性问题.解答本题的第一问的证明垂直问题时,直接依据题设条件将点B A P ,,的坐标设出来,然后运用点B A P ,,与抛物线的关系,将问题转化为证明BP AP ⊥的问题,进行合理推证,进而获证.第二问的求解过程中,先将向量AF 与BF 的数量积算出来,再用B A ,的坐标表示算得42+=⋅a BF AF ,最后求得422+=a PF ,从而推得,进而推证得2PF BF AF =⋅.从而使得问题获解.21.（本小题满分12分）已知e 是自然对数的底数,()()()12ln ,13x F x e x x f x a x -=++=-+.（1）设()()()T x F x f x =-,当112a e -=+时, 求证：()T x 在()0,+∞上单调递增；（2）若()()1,x F x f x ∀≥≥,求实数a 的取值范围.【答案】(1)证明见解析；(2)(],4-∞.考点：导数在研究函数的单调性和极值等方面的有关知识的综合运用．【易错点晴】导数是研究函数的单调性和极值最值问题的重要而有效的工具.本题就是以含参数a 的两个函数解析式为背景,考查的是导数知识在研究函数单调性和极值等方面的综合运用和分析问题解决问题的能力.本题的第一问是推证函数()()()T x F x f x =-在()0,+∞上单调递增；第二问中借助导数,运用导数求在不等式()()1,x F x f x ∀≥≥恒成立的前提下实数a 的取值范围.求解借助导数与函数单调性的关系,运用分类整合的数学思想进行分类推证,进而求得实数a 的取值范围,从而使得问题简捷巧妙获解.请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图,ABC ∆是O 的内接三角形，BT 是 O 的切线，P 是线段AB 上一点,经过P 作BC 的平行直线与BT 交于E 点，与AC 交于F 点.（1）求证：PE PF PA PB = ；（2）若142,cos 3AB EBA =∠=,求O 的面积.【答案】(1)证明见解析；(2) 9π.考点：圆幂定理等有关知识的综合运用．23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直用坐标系xOy中，直线l的参数方程为33(49x tty t=-⎧⎨=-⎩为参数〕.在以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，圆心A的极坐标为22,3π⎛⎫⎪⎝⎭，圆A的半径为3.（1）直接写出直线l的直角坐标方程，圆A的极坐标方程；（2）设B是线l上的点，C是圆A上的点，求BC的最小值.【答案】(1)22cos 23sin 50ρρθρθ+--=；(2)4335+.考点：极坐标、参数方程和圆的几何性质等有关知识的综合运用．24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知常数a 是实数，()()2,42f x x a f x a =+<-的解集为{}|40x x -<< .（1）求实数a 的值；（2）若 ()()2f x f x x m --≤+对任意实数x 都成立，求实数m 的取值范围.【答案】(1)1=a ；(2)[)2,+∞.【解析】试题分析：(1)借助题设条件运用绝对值不等式的几何意义求解；(2)借助题设条件运用分类整合的思想分类讨论进行求解.试题解析：（1）由()42f x a <-得242x a a +<-.24242a x a a ∴-<+<-,即444x a -<<-.考点：绝对值不等式的有关性质的综合运用．。

2015年云南省昆明市高考数学二模试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）设集合A＝{x|x2﹣3x﹣4＜0}，B＝{x|x＞1}，则A∩B＝（）A．（1，4）B．（﹣1，1）C．（1，+∞）D．（﹣1，+∞）2．（5分）已知z＝，则|z|+z＝（）A．1+i B．1﹣i C．i D．﹣i3．（5分）已知α为第二象限角，sinα＝，则tan（）＝（）A．﹣3B．﹣1C．﹣D．14．（5分）如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm），图中粗线的是某零件的三视图，则该零件的体积（单位：cm3）（）A．40﹣5πB．40﹣C．40﹣D．40﹣5．（5分）已知双曲线C：x2﹣＝1，则C的顶点到其渐近线的距离等于（）A．B．1C．D．6．（5分）执行如图的程序框图，若输入x＝1，则输出的S＝（）A．21B．37C．57D．627．（5分）若将函数y＝sin（ωx+）（ω＞0）的图象向左平移个单位后，得到的图象关于直线x＝对称，则ω的最小值为（）A．B．1C．2D．8．（5分）给出下列四个命题：①∃m∈R，使f（x）＝（m﹣1）是幂函数②∀x∈R，e x﹣1＞0③∃α，β∈R，使cos（α+β）＝cosα+cosβ④∀φ∈R，函数f（x）＝cos（x+φ）都不是奇函数其中真命题的个数是（）A．0B．1C．2D．39．（5分）设曲线y＝x2及直线y＝1所围成的封闭图形区域D，不等式组所确定的区域为E，在区域E内随机取一点，该点恰好在区域D内的概率为（）A．B．C．D．10．（5分）在△ABC中，BC边上的垂直平分线与BC，AC分别交于点D，M，若＝6，且||＝2．则||＝（）A．B．C．4D．211．（5分）设三次函数f（x）＝ax3+bx2+cx+1的导函数为f′（x）＝3ax（x﹣2），若a＞，则函数y＝f（x）的零点个数为（）A．0B．1C．2D．312．（5分）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若AB边上的高为，且a2+b2＝2ab，则C＝（）A．B．C．D．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）若二项式（﹣）n的展开式的第三项是常数项，则n＝．14．（5分）四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，且P A⊥平面ABCD，P A＝AB，则直线PB与直线AC所成角的大小为．15．（5分）已知f（x）对任意的x∈R，都有f（x﹣1）＝f（x+1），当x∈（﹣2，0]时，f（x）＝x+1，则当2＜x≤4时，的最大值为．16．（5分）已知点A（0，1），直线l：y＝kx+m与圆O：x2+y2＝1交于B，C两点，△ABC 与△OBC的面积分别为S1，S2，若S1≥2S2，且∠BAC＝60°，则m的取值范围是．三、解答题（共8小题，满分70分）17．（12分）已知数列{a n}满足a1＝0，a n+1＝a n+（1）证明数列{a n+}是等差数列，并求数列{a n}的通项公式；（2）设数列{}的前n项和为S n，证明S n．18．（12分）如图，在直三角形ABC﹣A1B1C1中，M为AB1的中点，△CMB1为等边三角形（1）证明：AC⊥平面BCC1B1（2）设二面角B﹣CA﹣M的大小为60°，AB1＝8，求点C1到平面CMB1的距离．19．（12分）为了解一种植物的生长情况，抽取一批该植物样本测量高度（单位：cm），其频率分布直方图如图所示（1）求该植物样本高度的平均数和样本方差s2（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）（2）假设该植物的高度Z服从正态分布N（μ，a2），其中μ近似为平均数，a2近似为样本方差s2，利用该正态分布求P（64.5＜Z＜96）附：≈10.5，若Z～N（μ，a2），则P（μ﹣ɛ＜Z＜μ+ɛ）＝0.6826，P（μ﹣2ɛ＜Z＜μ+2ɛ）＝0.9544．20．（12分）设椭圆C：经过点（，），离心率为（1）求C的方程（2）设直线l与C相切于点T，且交两坐标轴的正半轴于A，B两点，求|AB|的最小值及此时点T的坐标．21．（12分）已知函数f（x）＝ax+lnx（1）讨论函数f（x）的单调性（2）设函数g（x）＝ax2，若存在x0∈（1，+∞），使得g（x0）＜f（x0），求a的取值范围（3）证明ln1.1＜0.11．22．（10分）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，D是AC上一点，以AD为直径作⊙O交AB 于点G（1）证明：B、C、D、G四点共圆（2）过点C作⊙O的切线CP，切点为P，连接OP，作PH⊥AD于H，若CH＝，OH ＝，求CD•CA的值．23．在直角坐标系xOy中，曲线C：（t为参数），以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为（p∈R），l与C相交于A，B两点（1）写出直线l的参数方程和曲线C的普通方程（2）设线段AB的中点为M，求点M的极坐标．24．已知函数f（x）＝|x+1|+2|x﹣1|﹣a（1）若a＝1，求不等式f（x）＞x+2的解集（2）若不等式f（x）≤a（x+2）的解集为非空集合，求a的取值范围．2015年云南省昆明市高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）设集合A＝{x|x2﹣3x﹣4＜0}，B＝{x|x＞1}，则A∩B＝（）A．（1，4）B．（﹣1，1）C．（1，+∞）D．（﹣1，+∞）【解答】解：∵集合A＝{x|x2﹣3x﹣4＜0}＝（﹣1，4），B＝{x|x＞1}＝（1，+∞），∴A∩B＝（1，4），故选：A．2．（5分）已知z＝，则|z|+z＝（）A．1+i B．1﹣i C．i D．﹣i【解答】解：z＝＝＝＝i，则|z|+z＝1+i．故选：A．3．（5分）已知α为第二象限角，sinα＝，则tan（）＝（）A．﹣3B．﹣1C．﹣D．1【解答】解：已知α为第二象限角，sinα＝，则cosα＝﹣，∴tanα＝＝﹣2，∴tan（）＝＝＝﹣，故选：C．4．（5分）如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm），图中粗线的是某零件的三视图，则该零件的体积（单位：cm3）（）A．40﹣5πB．40﹣C．40﹣D．40﹣【解答】解：由已知中的三视图，可得：该几何体是一个以主视图为底面的柱体，柱体的底面是一个长宽分别为2和4的矩形，挖去一个半径为1的半圆，故底面面积S＝2×4﹣×π×12＝8﹣，柱体的高h＝5，故柱体的体积V＝Sh＝40﹣，故选：B．5．（5分）已知双曲线C：x2﹣＝1，则C的顶点到其渐近线的距离等于（）A．B．1C．D．【解答】解：双曲线C：x2﹣＝1的顶点坐标（1，0），其渐近线方程为y＝±x，所以所求的距离为＝．故选：C．6．（5分）执行如图的程序框图，若输入x＝1，则输出的S＝（）A．21B．37C．57D．62【解答】解：模拟执行程序框图，可得x＝1，S＝0不满足条件x＞2，t＝3，S＝3，不满足条件x＞3，x＝2不满足条件x＞2，t＝9，S＝12，不满足条件x＞3，x＝3满足条件x＞2，t＝9，S＝21，不满足条件x＞3，x＝4满足条件x＞2，t＝16，S＝37，满足条件x＞3，退出循环，输出S的值为37．故选：B．7．（5分）若将函数y＝sin（ωx+）（ω＞0）的图象向左平移个单位后，得到的图象关于直线x＝对称，则ω的最小值为（）A．B．1C．2D．【解答】解：将函数y＝sin（ωx+）（ω＞0）的图象向左平移个单位后，得到函数y＝sin[ω（x+）+]＝sin（ωx++）的图象．再根据得到的图象关于直线x＝对称，可得ω•++＝kπ+，即ω＝3k+，k∈z，则ω的最小值为，故选：A．8．（5分）给出下列四个命题：①∃m∈R，使f（x）＝（m﹣1）是幂函数②∀x∈R，e x﹣1＞0③∃α，β∈R，使cos（α+β）＝cosα+cosβ④∀φ∈R，函数f（x）＝cos（x+φ）都不是奇函数其中真命题的个数是（）A．0B．1C．2D．3【解答】解：①令m﹣1＝1，解得m＝2，∴f（x）＝x﹣1是幂函数，因此∃m∈R，使f（x）＝（m﹣1）是幂函数，正确；②∀x∈R，e x﹣1＞0，正确；③取α＝60°，β＝﹣60°，则cos（α+β）＝cosα+cosβ成立，正确；④取φ＝（k∈Z），则函数f（x）＝cos（x+φ）＝±sin x是奇函数，因此不正确．故其中真命题的个数是3．故选：D．9．（5分）设曲线y＝x2及直线y＝1所围成的封闭图形区域D，不等式组所确定的区域为E，在区域E内随机取一点，该点恰好在区域D内的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：联立曲线y＝x2及直线y＝1，解得x＝±1，∴曲线y＝x2与直线y＝x围成的封闭图形的面积为S＝＝（）＝．不等式组所确定的区域的面积为2，∴在区域E内随机取一点，该点恰好在区域D内的概率为＝，故选：D．10．（5分）在△ABC中，BC边上的垂直平分线与BC，AC分别交于点D，M，若＝6，且||＝2．则||＝（）A．B．C．4D．2【解答】解：如图，DM⊥BC，∴；∴＝＝；∵；∴．故选：C．11．（5分）设三次函数f（x）＝ax3+bx2+cx+1的导函数为f′（x）＝3ax（x﹣2），若a＞，则函数y＝f（x）的零点个数为（）A．0B．1C．2D．3【解答】解：∵f（x）＝ax3+bx2+cx+1，∴f′（x）＝3ax2+2bx+c又∵f′（x）＝3ax（x﹣2）＝3ax2﹣6ax，∴2b＝﹣6a，c＝0，即b＝﹣3a，c＝0，则f（x）＝ax3﹣3ax2+1，∵a＞，∴﹣4a+1＜0，∴f（2）＝8a﹣12a+1＜0，又f（0）＝1＞0，当x变化时，f′（x）与f（x）的变化如下表所示：画出示意图如右图，故选：D．12．（5分）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若AB边上的高为，且a2+b2＝2ab，则C＝（）A．B．C．D．【解答】解：∵AB边上的高为，且a2+b2＝2ab，∴S△ABC＝ab sin C＝c×，可得：sin C＝，c2＝2ab sin C，∵由余弦定理可得：cos C＝＝＝﹣sin C．∴可得：sin C+cos C＝，两边平方即有：1+sin2C＝2，解得：sin2C＝1，∵0＜C＜π，0＜2C＜2π，∴2C＝，解得：C＝．故选：B．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）若二项式（﹣）n的展开式的第三项是常数项，则n＝8．【解答】解：由题意可得T3＝•（﹣2）2•为常数，故有n﹣8＝0，求得n＝8，故答案为：8．14．（5分）四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，且P A⊥平面ABCD，P A＝AB，则直线PB与直线AC所成角的大小为．【解答】解：如图所示，将图形补成正方体，连接AE，CE，则PB∥EC，所以∠ACE是直线PB与直线AC所成角，因为AC＝AE＝CE，所以∠ACE＝．故答案为：．15．（5分）已知f（x）对任意的x∈R，都有f（x﹣1）＝f（x+1），当x∈（﹣2，0]时，f（x）＝x+1，则当2＜x≤4时，的最大值为．【解答】解：∵f（x）对任意的x∈R，都有f（x﹣1）＝f（x+1），∴函数f（x）是以2为周期的周期函数，又∵当x∈（﹣2，0]时，f（x）＝x+1，∴函数f（x）的图象如下图所示：表示函数f（x）图象上的点与原点连线的斜率，故当2＜x≤4时，的最大值为，故答案为：16．（5分）已知点A（0，1），直线l：y＝kx+m与圆O：x2+y2＝1交于B，C两点，△ABC 与△OBC的面积分别为S1，S2，若S1≥2S2，且∠BAC＝60°，则m的取值范围是[﹣1，﹣]．【解答】解：设圆心O、点A到直线的距离分别为d，d′，则d＝，d′＝，∴＝＝≥2，∴﹣1≤m≤①．根据∠BAC＝60°，可得BC对的圆心角∠BOC＝120°，且BC＝．∴S△OBC＝•OB•OC•sin∠BOC＝×1××sin120°＝，∴S1≥，∴S1＝BC•d′＝•≥，∴|m﹣1|≥，∴|m﹣1|≥1，解得m≥2或m≤0 ②．再根据△OBC为等腰三角形，BOC＝120°，且BC＝．∴圆心到直线的距离d＝＝，∴m≤﹣或m≥③．结合①②③可得﹣1≤m≤﹣，故答案为：[﹣1，﹣]．三、解答题（共8小题，满分70分）17．（12分）已知数列{a n}满足a1＝0，a n+1＝a n+（1）证明数列{a n+}是等差数列，并求数列{a n}的通项公式；（2）设数列{}的前n项和为S n，证明S n．【解答】证明：（1）∵a n+1＝a n+，∴＝1，∴数列{a n+}是等差数列，首项为1，公差为1；∴＝1+（n﹣1）＝n，∴．（2）∵，∴＝1﹣，∴数列{}的前n项和为S n＝n﹣，∵，∴S n＜+…+＝＝．∴∀n∈N*，S n．18．（12分）如图，在直三角形ABC﹣A1B1C1中，M为AB1的中点，△CMB1为等边三角形（1）证明：AC⊥平面BCC1B1（2）设二面角B﹣CA﹣M的大小为60°，AB1＝8，求点C1到平面CMB1的距离．【解答】（1）证明：由直三棱柱ABC﹣A1B1C1的性质知AC⊥C1C，∵M为AB1的中点，△CMB1为等边三角形，∴MA＝MB1＝MC，∴AC⊥CB1，又∵B1C∩C1C＝C，∴AC⊥平面BCC1B1；（2）解：由（1）知AC⊥平面BB1C1C，∴BC⊥AC，BC1⊥AC，∴二面角B﹣CA﹣M的平面角为∠BCB1，即∠BCB1＝60°，在Rt△ACB1中，∵AB1＝8，∴CM＝CB1＝4，又∵∠BCB1＝60°，∴BC＝2，BB1＝，过C1作C1N⊥CB1交CB1于N，∵AC⊥平面BB1C1C，且C1N⊥CB1，∴C1N即为点C1到平面CMB1的距离，在Rt△CB1C1中，CC1•C1B1＝B1C•C1N，∴C1N＝＝＝．19．（12分）为了解一种植物的生长情况，抽取一批该植物样本测量高度（单位：cm），其频率分布直方图如图所示（1）求该植物样本高度的平均数和样本方差s2（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）（2）假设该植物的高度Z服从正态分布N（μ，a2），其中μ近似为平均数，a2近似为样本方差s2，利用该正态分布求P（64.5＜Z＜96）附：≈10.5，若Z～N（μ，a2），则P（μ﹣ɛ＜Z＜μ+ɛ）＝0.6826，P（μ﹣2ɛ＜Z＜μ+2ɛ）＝0.9544．【解答】解：（1）根据频率分布直方图，得；该植物样本高度的平均数是＝55×0.1+65×0.2+75×0.35+85×0.3+95×0.05＝75，方差是s2＝（55﹣75）2×0.1+（65﹣75）2×0.2+（75﹣75）2×0.35+（85﹣75）2×0.3+（95﹣75）2×0.05＝110；（2）由（1）知，Z～N（75，110），从而P（64.5＜Z＜75）＝×P（75﹣10.5＜Z＜75+10.5）＝×0.6826＝0.3413，P（75＜Z＜96）＝×P（75﹣2×10.5＜Z＜75+2×10.5）＝×0.9544＝0.4772；∴P（64.5＜Z＜96）＝P（64.5＜Z＜75）+P（75＜Z＜96）＝0.3413+0.4772＝0.8185．20．（12分）设椭圆C：经过点（，），离心率为（1）求C的方程（2）设直线l与C相切于点T，且交两坐标轴的正半轴于A，B两点，求|AB|的最小值及此时点T的坐标．【解答】解：（1）根据已知条件得：；∴解得a＝2，b＝1；∴椭圆C的方程为；（2）设直线l的方程为，m，n＞0；∴由方程组得：（m2+4n2）y2﹣2m2ny+n2（m2﹣4）＝0；直线l与C相切；∴△＝4m4n2﹣4n2（m2+4n2）（m2﹣4）＝0；化简得m2+4n2﹣m2n2＝0；∵m＞2；∴；∴＝；当且仅当时取“＝”，即；∴，即|AB|的最小值为3；此时由方程组解得切点T（）．21．（12分）已知函数f（x）＝ax+lnx（1）讨论函数f（x）的单调性（2）设函数g（x）＝ax2，若存在x0∈（1，+∞），使得g（x0）＜f（x0），求a的取值范围（3）证明ln1.1＜0.11．【解答】解：（1）函数f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）＝a+．当a＞0时，f′（x）＞0，f（x）在定义域上单调递增，当a＜0时，由f′（x）＝0，解得x＝，当x时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，当x∈（，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；（2）设h（x）＝g（x）﹣f（x）＝ax2﹣ax﹣lnx，当a＝0时，h（x）＝﹣lnx，对于任意的x∈（1，+∞），均有h（x）＝﹣lnx＜0，即g（x）＜f（x）在（1，+∞）上恒成立，当a≠0时，h′（x）＝2ax﹣a﹣＝，令F（x）＝2ax2﹣ax﹣1，当a＜0，x＞1时，F（x）＜0，则h′（x）＜0，所以f（x）在（1，+∞）上是减函数，对任意的x∈（1，+∞），均有h（x）＜h（1）＝0，即g（x）＜f（x）在（1，+∞）上恒成立．当a＞0时，由2ax2﹣ax﹣1＝0，解得或，当x＞x1时，F（x）＞0，当x2＜x＜x1时，F（x）＜0．若a≥1，则，当x＞1≥x1时，h′（x）＞0，h（x）在（1，+∞）上单调递增，h（x）＞h（1）＝0，此时，g（x）＞f（x）恒成立，不符合题意；若0＜a＜1，则x2＜1＜x1，当x∈（1，x1）时，h′（x）＜0，所以h（x）在（1，x1）上单调递减，h（x）＜h（1）＝0，即存在x0∈（1，x1），有g（x0）＜f（x0）成立．综上所述，a的取值范围为（﹣∞，1）；（3）根据（2）的讨论，当a≥1时，h（x）＞0在（1+∞）上恒成立，令a＝1，x＝1.1，得1.12﹣1.1﹣ln1.1＞0，即得ln1.1＜0.11．22．（10分）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，D是AC上一点，以AD为直径作⊙O交AB 于点G（1）证明：B、C、D、G四点共圆（2）过点C作⊙O的切线CP，切点为P，连接OP，作PH⊥AD于H，若CH＝，OH ＝，求CD•CA的值．【解答】（1）证明：∵AD是直径，∴∠AGD＝90°，∵∠BCA＝90°，∴∠AGD＝∠BCA，∴B、C、D、G四点共圆（2）解：∵CP是⊙O的切线，CDA是⊙O的割线，∴CP2＝CD•CA，∵∠CPO＝90°，PH⊥AD，∴CP2＝CH•CO，∵CH＝，OH＝，∴CO＝5，∴CP2＝CH•CO＝16，∴CD•CA＝16．23．在直角坐标系xOy中，曲线C：（t为参数），以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为（p∈R），l与C相交于A，B两点（1）写出直线l的参数方程和曲线C的普通方程（2）设线段AB的中点为M，求点M的极坐标．【解答】解：（Ⅰ）由题意得，直线l的直角坐标方程是y＝x，则直线l的参数方程为（t为参数），由得，曲线C的普通方程是y＝x2﹣6；（Ⅱ）将代入y＝x2﹣6得，，则△＝12+4×24＝108＞0，t1+t2＝2，所以，即中点M所对应的参数为，所以点M的直角坐标是（，），则点M的极坐标（，）．24．已知函数f（x）＝|x+1|+2|x﹣1|﹣a（1）若a＝1，求不等式f（x）＞x+2的解集（2）若不等式f（x）≤a（x+2）的解集为非空集合，求a的取值范围．【解答】解：（1）当a＝1时，f（x）＝|x+1|+2|x﹣1|﹣1，不等式f（x）＞x+2，即|x+1|+2|x ﹣1|＞x+3．∴①或②或③．解①求得x＜﹣1，解②求得﹣1≤x＜0，解③求得x＞2，综上可得，原不等式的解集为{x|x＜0，或x＞2}．（2）由题意可得f（x）≤a（x+2）有解，化简f（x）≤a（x+2）可得|x+1|+2|x﹣1|≤a（x+3）．设g（x）＝|x+1|+2|x﹣1|＝，由于直线y＝a（x+3）经过定点P（﹣3，0），如图：由题意可得f（x）的图象有一部分位于直线线y＝a（x+3）的下方．由于P A的斜率K P A＝＝，直线BC的斜率K BC＝﹣3，故a的范围为（﹣∞，﹣3）∪（，+∞）．。