【高考三模】云南省昆明市2015届高三复习适应性检测(三)数学文试卷 扫描版含答案

云南省昆明市2016届高三数学适应性检测试卷（三）文（含解析）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．设集合(){}{}30,20A x x x B x x =-<=-≤，则A B =I （ ） A ．(]0,2B ．()0,2C ．()0,3D ．[)2,3 【答案】A考点：集合的运算．2．设复数z 满足()12i z i +=+，则z =（ ） A 5B 3C ．2D ．1 【答案】C 【解析】 试题分析：因i ii i z 2212-==-+=,故2|2|||=-=i z ,故应选C. 考点：复数的运算及模的求法．3．设命题:0,0xp x xe ∀>>，则p ⌝为（ ）A ．0,0xx xe ∀≤≤ B ．0000,0x x x e∃≤≤ C ．0,0x x xe ∀>≤D ．0000,0x x x e ∃>≤【答案】D 【解析】试题分析：因命题P 是全称命题且是含一个量词的命题,故其否定为存在性命题,故应选D. 考点：全称命题与存在命题之间的关系及运用．4．从3名男生和2名女生中任意推选2名选手参加辩论赛，则推选的2名选手恰好是1男1女的概率是（ ）A ．15B ．25C ．35D ．45【答案】C 【解析】试题分析：从3名男生和2名女生中选两名共有10种可能,而一男一女的选法有6种,故由古典概率公式可得其概率为53106==p ,应选C. 考点：古典概型公式及运用．5．右边程序框图的算法思路源于我国古代数学著作《数书九章》，称为“秦九韶算法”．执行该程序框图，若输入2,5x n ==，则输出的v =（ ） A ．26B ．48C ．57D ．64【答案】A考点：算法流程图及识读．6．一个圆柱挖去一部分后，剩余部分的三视图如图所示，则剩余部分的表面积等于( ) A ．39πB ．48πC ．57πD ．63π【答案】B考点：三视图及圆柱圆锥的面积及运算．【易错点晴】本题考查的是三视图的阅读和理解及几何体的体积面积的计算的的问题.解答时要充分借助题设中提供的三视图中所给的图形信息和数据信息,先确定三视图所提供的几何体的形状,再根据几何体的形状特征选择所运用的几何体的体积和公式运算求解.如本题所提供的是一个圆柱挖去一同底的圆锥所剩几何体的表面积问题.求解时借助图中所提供的数据可以看出:圆柱圆锥的半径均为3,高为4,再运用直角三角形求出圆锥母线长为5,圆锥的侧面积是解答本题的关键.7．已知,x y 满足约束条件20,6,26,x x y x y -≥⎧⎪+≤⎨⎪-≤⎩则y x 的最大值是（ ）A ．2-B ．1-C ．12D ．2 【答案】D 【解析】试题分析：画出不等式组表示的平面区域,则yx表示几何意义是区域内包括边界上的动点),(y x M 点与原点连线的斜率,故其最大值为A O ,两点的连线的斜率,即2=k ,故应选D.M(x,y)A(2,4)2x-y=6x+y=6x=2Oyx考点：线性规划表示的区域及运用．【易错点晴】本题考查的是线性规划的知识在解题中的运用.本题设置的是在线性约束条件下平面区域内动点与坐标原点的连线的斜率的最大值的问题.求解时先在平面直角坐标系中准确作出不等式组所表示的线性区域,然后运用数形结合的方法探寻出动直线所经过的哪一个点, 能够取得最大值,结合所给的数据和方程组求出这点的坐标为)4,2(A ,从而使问题获得答案.8．已知函数()()()sin 0,0f x A x A ωϕω=+>>的图象与直线()0y b b A =<<相交，其中一个交点P 的横坐标为4，若与P 相邻的两个交点的横坐标为2，8，则()f x （ ） A ．在[]0,3上是减函数 B ．在[]3,0-上是减函数 C ．在[]0,π上是减函数D ．在[],0π-上是减函数【答案】B考点：函数()()()sin 0,0f x A x A ωϕω=+>>的图象及运用．9．设函数()2x f x e ax =+在()0,+∞上单调递增，则实数a 的取值范围为（ ） A ．[)1,-+∞B ．()1,-+∞C ．[)2,-+∞D ．()2,-+∞ 【答案】C 【解析】试题分析：因02)(2/≥+=a e x f x,故222-<-≥x e a ,应选C.考点：导数及运用．10．正三棱柱的底面边长为3，侧棱长为2，且三棱柱的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为（ ） A ．4πB ．8πC ．12πD ．16π 【答案】B考点：球的面积与简单几何体的关系．11．已知定义在R 上的函数()f x 是奇函数，且()f x 在(),0-∞上是减函数，()()()20,2f g x f x ==+，则不等式()0xg x ≤的解集是（ ）A ．(][),22,-∞-+∞UB ．[][)4,20,--+∞UC ．(][),42,-∞--+∞UD ．(][),40,-∞-+∞U【答案】C 【解析】试题分析：由于)2()(+=x f x g 是)(x f 向左平移2个单位得到,结合函数的图象可知当4-≤x 或2-≥x ，纵横坐标的积不大于0, 即应选C.考点：函数的图象与单调性、奇偶性的运用．【易错点晴】本题考查的是抽象函数的图象、单调性、奇偶性等性质的问题,解答时充分借助题设中提供的条件信息,进行合理的推理和运算,找出符合题设条件的函数的零点,从而依据不等式所反映的问题的特征,数形结合、合情推证,最后写出所给不等式的解集.解答本题的关键是借助图形中所提供的信息确定函数的零点,再将不等式()0xg x ≤进行分类与合理转化,最后写出其解集使其获解.12．已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点为F ，点,A B 在C 上，且点F 是AOB ∆的重心，则cos AFB ∠为（ ）A ．35-B ．78-C ．1112-D ．2325-【答案】D考点：抛物线方程及余弦定理的运用．【易错点晴】本题考查的是抛物线的几何性质,问题设置的目的是检测学生基础知识和基本方法掌握的程度及综合运用所学知识分析问题和解决问题的能力.问题中涉及到平面上三点构成的三角形的重心的概念,解答时要用到三角形的重心公式,这点可能是学生知识的一个盲点.其实运用向量很容易推得三点),(),,(),,(332211y x C y x B y x A 的重心的坐标为3,3321321y y y y x x x x ++=++=.求三角形的一个内角的余弦值这一信息为余弦定理的运用创造了条件,也为问题解答提供了方向,即要求三边的长,其中两边长的求解是运用了抛物线的定义.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．） 13．若a 和b 是两个互相垂直的单位向量，则2+=a b ______． 5【解析】试题分析：因541)2(,0,1||||2=+=-=⋅==b a b a b a ,故5|2|=-b a .考点：向量的模与计算公式． 14．已知α为锐角，1cos 3α=，则sin 4πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭______． 【答案】246- 【解析】试题分析：因1cos 3α=,且α为锐角,故322sin =α,所以sin 4πα⎛⎫-=⎪⎝⎭246-. 考点：两角差的正弦公式．15．在ABC ∆中，,,A B C ∠∠∠所对的边的长分别是1,,1x x x +-，且2A C ∠=∠，则ABC ∆的周长为 ______． 【答案】15考点：正弦定理余弦定理．16．已知圆()()22:10C x a y a -+=>，过直线:2230l x y ++=上任意一点P 作圆C 的两条切线,PA PB ，切点分别为,A B ，若APB ∠为锐角，则a 的取值范围是______．【答案】1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭【解析】试题分析：由于圆心到直线的距离22|32|+=a d ,当APB ∠090=时,2=PC ,所以222|32|>+a ,即4|32|>+a ,注意到0>a ,故432>+a ,即21>a .考点：圆与直线的位置关系及运用．【易错点晴】本题考查的是圆与直线的位置关系的问题.解答时先求出圆心)0,(a C 到定直线:2230l x y ++=的距离22|32|+=a d ,再考虑为APB ∠直角的特殊情形,求出此时圆心)0,(a C 与动点P 的距离为定值2,这时的PC 是最小的,当由直角变小时, PC 会增大,由于22|32|+=a d 是动点与圆心连线中长度是最小的,因此只要圆心到直线的距离22|32|+=a d 也大于2即可,所以求得a 的范围是1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭. 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．（本小题满分12分）设n S 是数列{}n a 的前n 项和，且21n n S a =-． （Ⅰ）证明：数列{}n a 是等差数列； （Ⅱ）求数列{}n na 的前n 项和n T ．【答案】(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ) ()121nn T n =-+.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，12n n a -=，可得12n n na n -=⨯， 则01211222322n n T n -=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯，12321222322n n T n =⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯，所以2112222n nn T n --=+++⋅⋅⋅+-⨯，解得()121n n T n =-+．………………………………………………………………………………………12分考点：等差数列、等比数列的有关知识及运用． 18．（本小题满分12分）在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形，2,60,AB BAD PC BD =∠=︒⊥． （Ⅰ）证明：PB PD =；（Ⅱ）若平面PBD ⊥平面ABCD ，且90DPB ∠=︒，求点B 到平面PDC 的距离．【答案】(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ)2217.⊥，则BD PO又∵O是BD中点，∴PB PD=．……………………………………………………………………………………………………6分考点：空间线面的位置关系及等积法求距离的方法的运用．19．（本小题满分12分）PM2.5是指空气中直径小于或等于2.5微米的细颗粒物，它对人体健康和大气环境质量的影响很大．2012x=依次年2月，中国发布了《环境空气质量标准》，开始大力治理空气污染．用1,2,3,4,5表示2013年到2017年这五年的年份代号，用y表示每年3月份的PM2.5指数的平均值（单位：3/g mμ）．已知某市2013年到2016年每年3月份的PM2.5指数的平均值的折线图如下：（Ⅰ）根据折线图中的数据，完成下列表格：年份2013 2014 2015 2016 年份代号（x） 1 2 3 4PM2.5指数（y）（Ⅱ）建立y关于x的线性回归方程；（Ⅲ）在当前治理空气污染的力度下，预测该市2017年3月份的PM2.5指数的平均值．附：回归直线方程$$y bx a=+$中参数的最小二乘估计公式：()()()$121,ni iiniix x y yb a y bxx x==--==--∑∑$$．【答案】(Ⅰ)表格见解析；(Ⅱ)$9.6102y x=-+；（Ⅲ）354/g mμ.【解析】试题分析：(Ⅰ)借助题设中的折线图所提供的信息填写；(Ⅱ)先算出 2.5,78x y==，再依据题设条件求线性回归方程；(Ⅲ)运用线性回归方程进行分析估计.试题解析:（Ⅰ）年份2013 2014 2015 2016 年份代号（x） 1 2 3 4PM2.5指数（y）90 88 70 64 ……………………………………………………………………………………………………………………3分 （Ⅱ）2.5,78x y ==，………………………………………………………………………………………4分()()()21148,5nni i i i i x xy y x x==--=--=∑∑，………………………………………………………………6分$489.6,1025ba y bx -==-=-=$$，…………………………………………………………………………8分∴y 关于x 的线性回归方程为$9.6102y x =-+．…………………………………………………………9分（Ⅲ）2017年的年份代号为5，当5x =时，$9.6510254y =-⨯+=， ∴该市2017年3月份的PM2.5指数平均值的预测值为354/g m μ．……………………………………12分考点：折线图、线性回归方程及运用． 20．（本小题满分12分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为12，以该椭圆上的点和椭圆的两个焦点为顶点的三角形 的周长为6．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设过C 的左焦点F 的直线l 交C 于,A B 两点，是否存在常数λ，使AB FA FBλ=⋅u u u r u u u r u u u r恒成立？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．【答案】(Ⅰ) 22143x y +=；(Ⅱ)存在43λ=-使之成立.考点：直线的方程及椭圆的标准方程及向量的数量积公式的运用．【易错点晴】本题考查的是圆锥曲线中的典型代表曲线椭圆的标准方程及相关几何性质.求圆锥曲线的标准方程的常规方法是想方设法建立关于基本量c b a ,,的方程或方程组,通过解方程组解出b a ,,依据图形的位置写出其标准方程即可;直线与圆锥曲线的位置关系依靠联立直线与圆锥曲线的方程来实现的,通过对方程的研究,到达解决问题的目的.本题设置了过焦点的直线l 与椭圆的交点B A ,与焦点F 之间的一个数量关系进行分析和探究,有效地检测了学生运算求解能力和运用向量等知识去分析问题解决问题的能力. 21．（本小题满分12分） 已知函数()2ln 1a xf x b x =++在1x =处的切线方程为30x y +-=． （Ⅰ）求,a b 的值；（Ⅱ）证明：当0x >，且1x ≠ 时，()2ln 1xf x x >-． 【答案】(Ⅰ)1,2a b =-=；(Ⅱ)证明见解析.即当0x >，且1x ≠时，212ln 01x x x x x ⎛⎫--> ⎪-⎝⎭， 所以当0x >，且1x ≠时，()2ln 1xf x x >-．………………………………………………………………12分 考点：导数的几何意义及求导法则的运用,运用导数知识分析问题解决问题的能力． 【易错点晴】本题考查的是导数在研究函数的单调性和最值方面的运用的问题,这类问题的设置重在考查导数的工具作用.解答这类问题是,一要依据导数的几何意义,导函数在切点处的导函数值就切线的斜率;再一个就是切点既在切线上也在曲线上,这两点是解决曲线的切线这类问题所必须掌握的基本思路.本题的第二问设置的是不等式的证明问题,求解时先将不等式进行转化,再构造函数)(x g ,然后通过运用导数对函数)(x g 最值的分类研究,最后达到了证明不等式的目的.请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号.22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，F 为O e 上一点，点A 在直径BD 的延长线上，过点B 作O e 的切线交AE 的延长线于点C ，CE CB =．（Ⅰ）证明：2AE AD AB =⋅；（Ⅱ）若4,6AE CB ==，求O e 的半径．【答案】(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ)3.∴90CEO CEB OEB CBE OBE ∠=∠+∠=∠+∠=︒，考点：圆幂定理及运用．23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线C 的极坐标方程是2sin 8cos 0ρθθ-=，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系xOy ．在直角坐标系中，倾斜角为α的直线l 过点()2,0P ． （Ⅰ）写出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的参数方程； （Ⅱ）设点Q 和点G 的极坐标分别为()32,,2,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭，若直线l 经过点Q ，且与曲线C 相交于,A B 两点， 求GAB ∆的面积．【答案】(Ⅰ) 28y x =，2cos ,sin ,x t y t αα=+⎧⎨=⎩；(Ⅱ)216.【解析】试题分析：(Ⅰ)运用极坐标与直角坐标之间的关系求解；(Ⅱ)借助题设条件和直线的参数方程求弦AB ,再求点G 到AB 的距离,最后运用面积公式求解. 试题解析:（Ⅰ）曲线C 化为：22sin 8cos 0ρθρθ-=，再化为直角坐标方程为28y x =， 直线l 的参数方程为2cos ,sin ,x t y t αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数）．…………………………………………………………5分考点：极坐标方程参数方程和直角坐标之间的互化．24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数()315f x x x =+--+．（Ⅰ）求函数()f x 的值域；（Ⅱ）若函数()f x 的值域是[],m n ，且2222,a b m c d n +=+=，求ac bd +的取值范围．【答案】(Ⅰ)[]1,3；(Ⅱ)]3,3[-.考点：绝对值不等式与柯西不等式及运用．。

云南省师大附中2015届高考数学适应性月考卷文（扫描版）2015届高考适应性月考卷（四）文科数学参考答案第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案BCADBBCAADCA【解析】1．因为{41}M =-，，所以M N =I {1}，故选B ．2．221i 1iz =-+=-+-，故选C ．3．lg lg 010101010lg lg a b a b a b a b a b a b >>>>>>>当时，，则；当时，，无法得出，故选A ． 4．(1)(24)x =-∵，，，，且，a =b a b P 420x --=∴，2x =-，(12)10-⋅∴，，a =a b =，故选D ． 5．因为23112a a a ，，成等差数列，所以1233122a a a a +=⨯=，即2111a a q a q +=，所以210q q --=，解得152q +=或1502q -=<（舍去），故选B ． 6．150=0+2=2=21+2=4i S i =>⨯不成立，，；45022424412i S i =>=+==⨯+=不成立，，；1250426212630i S i =>=+==⨯+=不成立，，；3050628230868i S i =>=+==⨯+=不成立，，； 68508i S =>=成立，，故选B ．7．作出不等式组表示的区域如图1阴影部分所示， 由图可知，(00)z ax by a b =+>>，过点(11)A ，时 取最大值，所以4a b +=，故选C ．8．∵△OFM 的外接圆与抛物线C 的准线相切，∴△OFM 的外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径，∵圆面积为9π，∴圆的半径为3，322aa a +==∴，∴，故选A ．9．由三视图还原出几何图形如图2所示，其中正视图由SBC 面看入，SD ABCD AB ⊥平面，与DC 平行，2433AB DC AD SD ====，，，， 11(24)33932V =⨯⨯+⨯⨯=，故选A ．10．如图3所示，把三棱柱补形为四棱柱1111ABDC A B D C -，连接1BD ，则11BD AC ∥，则11A BD ∠就是异面直线1A B 与1AC 所成的角，设AB a =，在11A BD △中，1A B a =，13BD a =，112A D a =，116sin 3A BD ∠=∴，故选D ．11．2()323f x x tx '=-+∵，由于()f x 在区间[14]，上单调递减，则有()0f x '≤在[14]，上恒成立，即23230x tx -+≤，也即312t x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭≥在[14]，上恒成立，因为312y x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在[14]，上单调递增，所以31514248t ⎛⎫+= ⎪⎝⎭≥，故选C ．12．由题意1()()0(1)a f ax af x ax ax x ax x+=-+-<≥，即222210a x a ax --<，易知0a <，222210a x a -->，22112a a +<，1a <-∴，故选A ．第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）题号 13 14 15 16 答案19- 11241289【解析】图3图2图113．21cos(π2)cos2(12sin )9ααα-=-=--=-．14．先后抛掷两次骰子，共有36个基本事件，其中点数之和为4的事件有(13)(22)(31)，，，，，共3个，所以出现向上的点数之和为4的概率是313612=．15．∵函数(1)y f x =-的图象关于点(10)，对称，()f x ∴是R 上的奇函数，(2)()f x f x +=-，(4)(2)()f x f x f x +=-+=∴，故()f x 的周期为4，(2013)(50341)(1)4f f f =⨯+==∴，(2012)(2014)(2012)(20122)f f f f +=++∴(2012)(2012)0f f =-=， (2012)(2013)(2014)4f f f ++=∴． 16．由12a =，21n n a a =+，21n n a n a +=-，得2211n n a a n ++=+，123459899()()()223501276a a a a a a a +++++++=++++=L L ∴，10050251263111(1)2(12)14(1)13(1)12(1)13a a a a a a a =+=++=+-=-+=-+=--=∵， 121001276131289a a a +++=+=L ∴．三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由正弦定理，得sin sin 3sin cos C A A C ，因为sin 0A ≠，解得tan 303C C C π∈π=，又(，)，∴．…………………………（5分）（Ⅱ）由sin sin()3sin 2C B A A +-=，得sin()sin()3sin 2B A B A A ++-=， 整理，得sin cos 3sin cos B A A A =．因为2A π≠，cos 0A ≠，则sin 3sin B A =，3b a =． …………………………（8分）由余弦定理，得2222cos c a b ab C =+-， 解得13a b ==，．133sin 2ABC S ab C ==△． 所以，ABC △33． …………………………………………………（12分）18．（本小题满分12分）（Ⅰ）证明：由题条件知，PQ AD BQ AD PQ BQ Q ⊥⊥=I ，，，所以AD PQB ⊥平面，AD PAD PQB PAD ⊂⊥∵平面，∴平面平面． …………………………………（4分） （Ⅱ）解：如图4所示，PA PD Q AD PQ AD =⊥∵，为中点，∴．PAD ABCD PAD ABCD AD ⊥=I ∵平面平面，平面平面， PQ ABCD ⊥∴平面． …………………………（7分）设PA =PD =AD =2a ，则3PQ a =，23BCQ S a =△，23123223333M BCQ a V a a -===， 1a =∴，Q PAB P QAB V V --=，设点Q 到平面PAB 的距离为h ， 26PA AB PB ===∵， 165111333232h =⨯⨯∴ 15h =∴，即点Q 到平面PAB 15． …………………………………（12分） 19．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）8585x x ==乙甲∵，，2231.650s s ==乙甲，，22s s <乙甲，所以选甲合适．………（5分） （Ⅱ）①因为基本事件的总数25n =个，而满足条件3x y -≤的事件有(8280)，，(8285)，，(8280)，，(8285)，，(7980)，，(9595)，，(8790)，，(8785)，共8个，8()25P A =∴． ……………………………………………………………………（8分） 图4②考试有5次，任取2次，基本事件共10个：(8295)，和(8275)，，(8295)，和(7980)，，(8295)，和(9590)，，(8295)，和(8785)，，(8275)，和(7980)，，(8275)，和(9590)，，(8275)，和(8785)，，(7980)，和(9590)，，(7980)，和(8785)，，(9590)，和(8785)，，其中符合条件的事件共有6个，则5次考试，任取2次，恰有一次考试两人“水平相当”的概率63105P ==．…（12分）20．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）设椭圆的焦距为2c ，，234c a ⎛⎫= ⎪⎝⎭∴，所以2234a c =，又点0)是抛物线的焦点，23c =∴．所以椭圆C 的方程为2214x y +=． ……………………………………………（4分）（Ⅱ）因为ON OA OB =+u u u r u u u r u u u r，所以四边形OANB 为平行四边形， 当直线l 的斜率不存在时，显然不符合题意；当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为3y kx =+，l 与椭圆交于11()A x y ，，22()B x y ，两点，由22223(14)2432014y kx k x kx x y =+⎧⎪⇒+++=⎨+=⎪⎩，． 由222(24)128(14)02k k k ∆=-+>⇒>．12122224321414k x x x x k k +=-=++，． ……………………………………………（7分） 12121322OAB S OD x x x x =-=-△∵，1223||OANB OABS S x x ==-=Y △∴== …………………………………………（9分）令22k t -=，则22k t =+(0)t >由上式知，2OANB S ===Y ∴，当且仅当9t =，即2174k =时取等号，k =∴当时，平行四边形OANB 的面积最大值为2． 此时直线l 的方程为3y =+． ……………………………………………（12分）21．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）因为1ln ()x f x x +=，则2ln ()(0)xf x x x'=->， …………………（1分）当01x <<时，()0f x '>；当1x >时，()0f x '<． 所以()f x 在(01)，上单调递增，在(1)+∞，上单调递减．所以()f x 在1x =处取得极大值． …………………………………………………（3分）因为()f x 在区间13a a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，（其中0a >）上存在极值，所以1,11,3a a <⎧⎪⎨+>⎪⎩解得213a <<． …………………………………………………………………（6分）（Ⅱ）不等式3+()1k k f x x +≥，即3(1)(1ln )x x k k x+++≥．设(1)(1ln )()x x g x x ++=，则2ln ()x xg x x-'=． 令()ln h x x x =-，则1()1h x x'=-．因为1x ≥，所以()0h x '≥，则()h x 在[1)+∞，上单调递增． …………………（9分） 所以()h x 的最小值为(1)10h =>，从而()0g x '>，故()g x 在[1)+∞，上单调递增，所以()g x 的最小值为(1)2g =，所以32k k +≤，2(1)(2)0k k k -++≤．解得1k ≤． ………………………………………………………………………（12分） 22．（本小题满分10分）【选修4−1：几何证明选讲】 证明：（Ⅰ）如图5，连接BE ，则BE EC ⊥，又D 是BC 的中点，所以DE BD =．又OE OB OD OD ==，，所以ODE ODB △≌△， 所以90OBD OED ∠=∠=︒． 故D E O B ，，，四点共圆． …………………………………………………………（5分） （Ⅱ）如图5，延长DO 交圆于点H ，2()DE DM DH DM DO OH DM DO =⋅=⋅+=⋅+∵DM OH ⋅， 21122DE DM AC DM AB ⎛⎫⎛⎫=⋅+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴，即22DE DM AC DM AB =⋅+⋅，,2BCDE DC ==∵ ∴22DC DM AC DM AB =⋅+⋅． ……………………………（10分）23．（本小题满分10分）【选修4−4：坐标系与参数方程】解：（Ⅰ）半圆C 的普通方程为22(1)1x y -+=(01)y ≤≤，又cos sin x y ρθρθ==，，所以半圆C 的极坐标方程是2cos 02ρθθπ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，，． …………………………（5分）（Ⅱ）设11()ρθ，为点P 的极坐标，则有1112cos ,,3ρθθ=⎧⎪⎨π=⎪⎩ 解得111,,3ρθ=⎧⎪π⎨=⎪⎩ 设22()ρθ，为点Q 的极坐标，则有2222(sin 3)53,,3ρθθθ⎧+=⎪⎨π=⎪⎩解得225,,3ρθ=⎧⎪π⎨=⎪⎩ 由于12θθ=，所以124PQ ρρ=-=，所以PQ 的长为4． …………………（10分）24．（本小题满分10分）【选修4−5：不等式选讲】证明：（Ⅰ）因为a b c ，，为正实数，由均值不等式可得33333331111113a b c a b c ++⋅⋅≥3331113a b c abc++≥，所以3331113abc abc a b ++++≥，而33223abc abc abc abc +⋅≥， 所以33311123abc a b c+++≥当且仅当63a b c ===时，取等号． ……………………………………………（5分）（Ⅱ）3311113A B C ABCABC++≥39π3A B C =++≥，πππ9A B C++∴≥， 图5当且仅当π3A B C ===时，取等号． ………………………………………………（10分）。

云南师大附中2015届高考适应性月考卷（三）文科数学参考答案第Ⅰ卷（选择题，共60分）【解析】1．分别取1212x y ==，，，，计算可得{101}Q =-，，，故选B.2．由题知2230m m +-=且10m -≠，所以3m =-，故选B.3．A 中否命题应为“若21x ≠，则1x ≠”；B 中否定应为“210x x x ∀∈+-，≥R ”；C 中原命题为真命题，故逆否命题为真命题；易知D 正确，故选D ．4．(10)(12)(12)(34)b a c +=+=+=，，，，，λλλλ，又()b a c +⊥λ，()0b a c ∴+⋅=λ，即(12)(34)3380+⋅=++=，，λλλλ，解得311=-λ，故选A. 5．πππ()sin 2sin 2cos21232g x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故选A. 6．由题意可知输出结果为1234105S =-+-+-⋅⋅⋅+=，故选C.7．由题意可得121212()3m n mx n y x y z x x x y y y m n m n ++=++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+==++，故221n m ==，故选C.8．该几何体下方是一个长方体，上方是一个圆柱被切掉一部分，体积为442π3V =⨯⨯+⨯ 1π2324π2+⨯⨯=+，故选D. 9． 123221213112132a a a ==-=-=-=--+，，，452121*********a a =-==-=+-，， 推理得{}n a 是周期为4的数列，2015312a a ∴==-，故选B ．12．2222222()log 2log ()log log ()log ()x f x x x c x x c x c =-+=-+=+，由()1f x ≤，得22log ()x x c + 1≤，即22()x x c +≤，所以222(41)20x c x c +-+≥在(0)x ∈+∞，上恒成立.设22()2(41)2g x x c x c =+-+，因为2(0)20g c =>，所以若对称轴41022c x -=-⨯≤，则此时满足条件，解得14c ≥．若对称轴41022c x -=->⨯，即14c <，则此时应满足条件22(41)4220c c ∆=--⨯⨯≤，解得18c ≥，所以1184c <≤．综上，满足条件的c 的取值范围是18c ≥，即18⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，，故选D.第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）题号13 14 15 16 答案15 36 203⎛⎫ ⎪⎝⎭， 248 【解析】13．设A ={3人中至少有1名女生}，B ={3人都是男生}，则A B 、为对立事件，1()1()5P B P A ∴=-=. 14．由4652a a a ⋅=，得2552a a =，即52a =，所以54b =，19959()9362b b S b +===. 15．()f x 的图象关于直线1x =对称，所以1,()21,x x f x x x ⎧=⎨-<⎩，≥，12,2(2)122,2x x f x x x ⎧⎪⎪=⎨⎪-<⎪⎩，≥，如右图可知不等式(2)()f x f x <的解集为203x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭. 16．因为AD AB =且O 为BD 中点，所以AO BD ⊥，因为平面ABD ⊥平面BCD ，由面面垂直的性质定理可得AO ⊥平面BCD ，即PO ⊥平面COQ ．因为BC DC ==2BD =，所以BCD △为直角三角形，则111222BOC BCD S S ==⨯△△12=，令(01)AP CQ x x ==<<，则11(1)33P OQC QOC BOC V S PO AP -⎫=⋅=-⎪⎭△△21(1)2x x x +-⎫=⋅-=⎪⎭，当且仅当1x x =-，即12x =时取“=”. 三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.（本小题满分12分）【注：本题题干第一行中“且sin 2m n C ⋅=-”改为“且sin 2m n C ⋅=”，改后答案如下：】 解：（Ⅰ）sin()2cos sin sin cos cos sin sin()m n A B A B A B A B A B ⋅=-+=+=+，…………………………………………………………………………………（2分）在ABC △中，π0πA B C C +=-<<，，所以sin()sin A B C +=，……………………（4分）又sin 2m n C ⋅=，所以sin sin 22sin cos C C C C ==，所以1cos 2C =，即π3C =． ……………………………………………………………………………………（6分）（Ⅱ）sin sin 2sin A B C +=，由正弦定理得2c a b =+，………………………………（7分）1sin 2ABC S ab C =△，得4ab =，……………………………………………（9分）由余弦定理得22222222cos ()3412c a b ab C a b ab a b ab c =+-=+-=+-=-，得2c =．………………………………………………………………………………（12分）18.（本小题满分12分）解：（Ⅰ）当7x =时，由茎叶图可知，乙组同学去图书馆学习的次数是7,8,9,12, 所以平均数为7891294x +++==. ……………………………………………………（3分）方差为2222217[(79)(89)(99)(129)]42s =-+-+-+-=．………………………………（6分）19.（本小题满分12分）（Ⅰ）证明：BEC △为正三角形，F 为BC 的中点，EF BC ∴⊥. //EF AB ，AB BC ∴⊥. 又AB BD AB ⊥∴⊥，平面BCD ，………………………………………………………（3分）AB CD ∴⊥，又AD CD AB AD A ⊥=，，CD ∴⊥平面ABD . ………………………………………………………………………（6分）（Ⅱ）解：设点C 到平面DEF 的距离为h ，105253AC BE BC AB EF =∴==∴==，，在Rt BDC △中，F 为BC 的中点，1522DF BC ∴==，12EFD S DF EF ∴=⋅=△，……………………………………………………………（8分）13C EFD EFD V S h -∴=⋅=△，在Rt BCD △中，35CD BC ==，， 4BD ∴=， 132DFC DBC S S ∴==△△，13E DFC DFC V S EF -∴=⋅△，………………………………（10分）125E DFC C EFD V V h --=∴=，，∴点C 到平面DEF 的距离为125.………………………（12分）20.（本小题满分12分）解：（Ⅰ）设双曲线G 的渐近线方程为y kx == 所以12k =±，即双曲线G 的渐近线方程为12y x =±. 设双曲线G 的方程为224x y m -=，(,),(,)A A B B A x y B x y . 由221(4),44,y x x y m ⎧=+⎪⎨⎪-=⎩得2381640x x m ---=， 则816433A B A B m x x x x ++==-，.(*) ……………………………………………………（3分） 因为2PA PB PC ⋅=，P A B C ，，，共线且P 在线段AB 上， 所以2()()()P A B P P C x x x x x x --=-，整理得：4()320A B A B x x x x +++=，将(*)代入上式可解得：28m =. 所以双曲线G 的方程为221287x y -=．……………………………………………………（6分）（Ⅱ）由题可设椭圆S的方程为：2221(28x y a a+=>，弦的两个端点分别为11()M x y ，，22()N x y ，，MN 的中点为00()Q x y ，， 由22112222221,281,28x y a x y a ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得121212122()()()()028x x x x y y y y a -+-++=，……………………………（8分） 因为1212012012422y y x x x y y y x x -=-+=+=-，，，所以0024028x y a-=，…………………（9分）所以S 中垂直于l 的平行弦的中点的轨迹为直线24028x y a -=截在椭圆S 内的部分. 又这个轨迹恰好是G 的渐近线截在S 内的部分，所以211122a =，所以256a =， 椭圆S 的方程为2212856x y +=．…………………………………………………………（12分）21.（本小题满分12分）解：（Ⅰ）2()32f x x ax b '=++，于是，根据题设有2(1)320,(1)110,f a b f a b a '=++=⎧⎨=+++=⎩解得4,11a b =⎧⎨=-⎩或3,3.a b =-⎧⎨=⎩…………………………………………………………………（2分）当4,11a b =⎧⎨=-⎩时，2()3811f x x x '=+-，641320∆=+>，所以函数有极值点； 当3,3a b =-⎧⎨=⎩时，2()3(1)0f x x '=-≥，所以函数无极值点. ……………………………（5分）所以11b =-. ……………………………………………………………………………（6分）（Ⅱ）由题意知，2()320f x x ax b '=++≥对任意的[4)a ∈-+∞，， [02]x ∈，都成立，所以2()230F a xa x b =++≥对任意的[4)a ∈-+∞，，[02]x ∈，都成立.因为0x ≥，所以()F a 在[4)a ∈-+∞，上为单调递增函数或为常数函数，①当()F a 为常数函数时，()0F a b =≥；②当()F a 为单调递增函数时，2min ()(4)830F a F x x b =-=-++≥，即2max (38)b x x -+≥对任意[02]x ∈，都成立，………………………………………（10分） 又2241616383333x x x ⎛⎫-+=--+ ⎪⎝⎭≤，所以当43x =时，2max 16(38)3x x -+=，所以163b ≥. 所以b 的最小值为163. …………………………………………………………………（12分） 22.（本小题满分10分）【选修4−1：几何证明选讲】（Ⅰ）证明：PA 为圆O 的切线，PAB ACP ∴∠=∠，4101210480.AD AE AB AC ∴⋅=⋅==……………………………………………（10分）23.（本小题满分10分）【选修4−4：坐标系与参数方程】解：（Ⅰ）点D 的直角坐标为(23)--，，由题意可设A 的坐标为(2cos sin )，αα，则AD 的中点M的坐标为11cos sin 2⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，αα， 所以M 的轨迹E的参数方程为1cos ,1sin ,2x y =-+⎧⎪⎨=⎪⎩αα（为参数）， 消去可得E的普通方程为22(1)4(1x y ++=.…………………………………（4分）（Ⅱ）椭圆C 的普通方程为2214x y +=，化为极坐标方程得2223sin 4+=ρρθ，变形得ρ．由OA OB ⊥可设12π()2A B ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，，，ρθρθ， 所以2211OA OB +222212π13sin 1113sin 244⎛⎫++ ⎪+⎝⎭=+=+θθρρ 2223sin 3cos 544++==θθ（定值）． ……………………………………………………（7分）1212AOB S ===△ρρ， 易知当sin 20=θ时，max ()1AOB S =△.……………………………………………………（10分）24.（本小题满分10分）【选修4−5：不等式选讲】解：（Ⅰ）因为4(4)()4x x a x x a a -+----=-≥，因为4a <，所以当且仅当4a x ≤≤时等号成立， 故431a a -=∴=，．……………………………………………………………………（5分）（Ⅱ）当1a =时，若1()()g x f x m=+的定义域为R ， 则()0f x m +≠恒成立，即()0f x m +=在R 上无解， 又()441(4)(1)3f x x x a x x x x =-+-=-+----=≥，当且仅当14x ≤≤时，取等号．∴>-．………………………………………………………………………………（10 m3分）。

2024-2025学年云南省昆明市高三第三次联考数学检测试卷本试卷共19题.全卷满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡的非答题区域均无效.3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 下列说法错误的是（ ）A. 若随机变量，则当较小时，对应的正态曲线“瘦高”，随机变量X 的分()2,X N μσ~σ布比较集中B. 在做回归分析时，可以用决定系数刻画模型的回归效果，若越大，则说明模型拟合2R 2R 的效果越好C. 在一元线性回归模型中，如果相关系数，表明两个变量的相关程度很强0.98r =D. 对于一组数据，，…，，若所有数据均变成原来的2倍，则变为原来的2倍1x 2x n x 2s 2. 若的展开式中第2项与第8项的系数相等，则展开式中系数最大的项为（ 1nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭）A. 第3项B. 第4项C. 第5项D. 第6项3. 函数的部分图象大致为（）()()e1cos e 1xx x f x +=-A.B.C.D.4. 已知长方体的体积为，且，则长方体外1111ABCD A B C D -1612AA =1111ABCD A B C D -接球体积的最小值为（）A.D. 25π6π125π5. 在平面内，设是直线的法向量（直线的法向量：直线的方向向量为，若向量，n l l a n a ⊥则向量叫做直线l 的法向量），是平面内的两个定点，，，若动点P 满n,M N M l ∈N l ∉足.则动点P 的轨迹为（）PM n PN n⋅=A. 圆B. 椭圆C. 双曲线D. 抛物线6. 已知，，，是方程的两个根，则（α()0,πβ∈tan αtan β240x -+=αβ+=）A. B. C. D. 或π32π34π3π32π37. 已知曲线的方程为，若经过点Γ()()222222220xy x y x y x y ++++--=的直线l 与曲线有四个交点，则直线l 的斜率的取值范围是（）()4,2A --ΓA. B. 711,,12322⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭177,,172323⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ C. D. 7,123⎛⎫ ⎪⎝⎭1,17⎛⎫- ⎪⎝⎭8. 将1，2，3，4，5，6，7这七个数随机地排成一个数列、记第i 项为，若()1,2,,7i a i =⋅⋅⋅，，，则这样的数列共有（ ）123a a a <<345a a a >>567a a a <<A. 70个B. 71个C. 80个D. 81个二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 已知复数z 不为0，其共轭复数为，下列说法正确的是（ ）z A.22z z=B. 复平面内，z 与所对应的点关于实轴对称z C. ，与都是实数z z +z z -z z ⋅D. 若，则z 在复平面内所对应的点的轨迹为圆1zz =10. 已知的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，，.若三角形有两解，ABC V 8b =45C =︒则边c 的取值可以是（ ）A. 5B. 6C. 7D. 811. 已知双曲线，过原点的直线AC ，BD 分别交双曲线于A ，C 和B ，D 四点2213y x -=（A ，B ，C ，D 四点逆时针排列），且两直线斜率之积为，则的可能值为（13-tan AOB ∠）A.D.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 已知数列是公差不为0的等差数列，现从中随机删除两项，得到{}()16,n a n n *≤≤∈N 一个新的数列.这两组数据的极差相同的概率为______.13. 若函数在处有极小值，则______.()()2f x x x a =+1x =-a =14. 已知函数，为的零点，为()()sin f x x ωϕ=+0ω>π2ϕ≤π8x =-()f x π8x =图象的对称轴，且在上不单调，则的最小值为______.()f x ()f x ππ,186⎛⎫⎪⎝⎭ω四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. 体育运动是强身健体的重要途径，随着“中国儿童青少年体育健康促进行动方案（2020-2030）”的发布，体育运动受到各地中小学的高度重视，众多青少年的体质健康得到很大的改善.我们把每周体育锻炼时间超过8小时的学生称为“运动达人”，为了了解“运动达人”与性别是否有关系，我们对随机抽取的80名学生的性别进行了统计，其中女生与男生的人数之比为，男生中“运动达人”占，女生中“运动达人”占.1:31234（1）根据所给数据完成下面的列联表，并判断能否有90％的把握认为“运动达人”与性22⨯别有关？女生男生合计运动达人非运动达人合计（2）现从抽取的“运动达人”中，按性别采用分层抽样抽取3人参加体育知识闯关比赛，已知其中男、女生独立闯关成功的概率分别为与，在恰有两人闯关成功的条件下，求有女生3423闯关成功的概率.附：，.()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++n a b c d =+++()2P K k≥0.1000.0500.0250.010k2.7063.8415.0246.63516. 已知数列满足，，数列满足.{}n a 12a =()()12n n n a n a a n +⎧⎪=⎨+⎪⎩为奇数为偶数{}n b 21n n b a -=（1）求，的值；2b 3b （2）证明：数列是等差数列；{}n b （3）求数列的前项和.{}n a 2n 2n S 17. 如图，在四棱锥中，平面平面，是等边三角形，四P ABCD -PAD ⊥ABCD PAD △边形是梯形，且，，，点是ABCD //AB CD 2AD BD ==12DC AB ==G 的重心，与交于点.PAD △AC BDM （1）证明：平面；//GM PCD （2）求平面与平面的夹角的余弦值.PBC PAD 18. 已知F 为抛物线的焦点，点M 在抛物线C 上，O 为坐标原点，()2:20C x py p =>的外接圆与抛物线C 的准线相切，且该圆面积为.OFM △9π4（1）求抛物线C 的方程；（2）设，B 是抛物线C 上异于A 的一点，直线AB 与直线交于点P ，过点()2,1A 2y x =-P 作x 轴的垂线交抛物线C 于点N ，求点F 到直线的距离的取值范围.BN d 19. 已知函数，.()23ln f x x x a x=-+a ∈R （1）当时，求函数在区间上的最小值；1a =()f x []1,2x ∈（2）若函数在区间上单调递减，求a 的取值范围；()f x []1,2（3）若函数的图象上存在两点，，且，使得()g x ()11,A x y ()22,B x y 12x x <，则称为“拉格朗日中值函数”，并称线段的中()()1212122g x g x x x g x x -+⎛⎫'=⎪-⎝⎭()y g x =AB 点为函数的一个“拉格朗日平均值点”.试判断函数是否为“拉格朗日中值函数”，若是，()f x 判断函数的“拉格朗日平均值点”的个数；若不是，说明理由.()f x。