高中数学第二章圆锥曲线与方程2.5直线与圆锥曲线课后导练新人教B版选修2_1

2.5直线与圆锥曲线一、选择题1．若不论k 为何值，直线y ＝k (x －2)＋b 与曲线x 2－y 2＝1总有公共点，则b 的取值范围是( )A ．(－3，3)B ．[－3，3]C ．(－2,2)D ．[－2,2][答案] B[解析] 由题意可知，直线所过的定点(2，b )应在双曲线上或内部，即y 2≤x 2－1，∴b 2≤3，∴－3≤b ≤ 3.2．过抛物线y 2＝4x 的焦点F 作倾斜角为π3的弦AB ，则|AB |的值为( ) A.837 B.163 C.83 D.1637 [答案] B[解析] 抛物线y 2＝4x 的焦点F 为(1,0)，过F 且倾斜角为π3的直线方程为y ＝3(x －1)，联立得方程组⎩⎨⎧y ＝3(x －1)y 2＝4x得关于x 的一元二次方程3x 2－10x ＋3＝0.①设交于A (x 1，y 1)B (x 2，y 2)两点．则x 1x 2是①的两根．有x 1＋x 2＝103.|AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋x 2＋p ＝103＋2＝163.故选B.3．已知过抛物线y 2＝6x 焦点的弦长为12，则此弦所在直线的倾斜角是( ) A.π6或5π6 B.π4或3π4 C.π3或2π3 D.π2[答案] B[解析] 由焦点弦长公式|AB |＝2p sin 2θ得 6sin 2θ＝12，∴sin θ＝22. ∴θ＝π4或34π.故选B. 4．(2009·山东烟台4月)已知抛物线y 2＝4x 上一点P (x 0，y 0)，若y 0∈[1,2]，则|PF |的范围是( )A.⎣⎡⎦⎤14，1B.⎣⎡⎦⎤54，2C ．[1,2]D ．[2,3][答案] B[解析] ∵y 0∈[1,2]，∴x 0∈⎣⎡⎦⎤14，1，由定义|PF |＝1＋x 0∈⎣⎡⎦⎤54，2.故选B.5．直线y ＝x ＋m 与椭圆x 24＋y 2＝1有两个不同的交点，则m 的范围是() A ．－5<m <5 B ．m <－5，或m > 5C ．m < 5D ．－5<m < 5[答案] D[解析] 将y ＝x ＋m 代入x 24＋y 2＝1，有5x 2＋8mx ＋4m 2－4＝0，Δ＝64m 2－80(m 2－1)>0，得m 2<5，∴－5<m < 5.6．直线y ＝x ＋1被椭圆x 24＋y 22＝1所截得的弦的中点坐标是( )A ．(23，43)B ．(43，73)C ．(－23，13D ．(－43，－13)[答案] C[解析] 设直线与椭圆交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．则⎩⎨⎧ x 214＋y 212＝1x 224＋y 222＝1，两式相减得14(x 1－x 2)(x 1＋x 2)＋12(y 1－y 2)(y 1＋y 2)＝0y 1－y 2x 1－x 2＝－14(x 1＋x 2)12(y 1＋y 2)＝k∴－x 02y 01，又y 0＝x 0＋1∴x 0＝－23，y 0＝13. 7．以双曲线y 2－x 23＝1的一个焦点为圆心，离心率为半径的圆的方程是( ) A ．(x －2)2＋y 2＝4B ．x 2＋(y －2)2＝2C ．(x －2)2＋y 2＝2D ．x 2＋(y －2)2＝4[答案] D[解析] 双曲线焦点在y 轴上，离心率e ＝2，∴圆心在y 轴上，半径R ＝2.故选D.8．(2009·浙江)过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右顶点A 作斜率为－1的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为B ，C .若AB →＝12BC →，则双曲线的离心率是( ) A.2 B.3 C.5 D.10 [答案] C[解析] 由已知，直线方程为x ＋y －a ＝0，两渐近线为x a ±y b＝0. 由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －a ＝0bx －ay ＝0得x B ＝a 2a ＋b . 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －a ＝0bx ＋ay ＝0得x C ＝a 2a －b . ∵AB →＝12BC →，∴2(x B －x A )＝x C －x B ， ∴3x B ＝2x A ＋x C ，∴3a 2a ＋b ＝a 2a －b＋2a ，解得b ＝2a ， ∴c 2＝a 2＋b 2a 2＝5，∴e ＝ 5. 故选C.9．已知a >b >0，e 1与e 2分别为圆锥曲线x 2a 2＋y 2b 2＝1和x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率，则lg e 1＋lg e 2的值( )A ．一定是正值B ．一定是零C ．一定是负值D ．符号不确定[答案] C[解析] ∵e 1＝a 2－b 2a ，e 2＝a 2＋b 2a， ∴e 1e 2＝a 4－b 4a 2＝1－⎝⎛⎭⎫b 2a 22<1. ∴lg e 1＋lg e 2＝lg(e 1·e 2)<0.故选C.10．若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，则双曲线x 2a 2－y 2b 21的离心率为( ) A.54B.52C.32D.54[答案] B[解析] 椭圆离心率e ＝32，即c a ＝32⇒a 2－b 2a 2＝34，∴b 2a 2＝14，则1＋b 2a 2＝54. ∴双曲线的离心率为e ′＝52.故选B. 二、填空题 11．若抛物线y 2＝2px 的焦点与双曲线x 23－y 2＝1的右焦点重合，则p 的值等于______． [答案] 4[解析] 由已知F ⎝⎛⎭⎫p 2，0与F 2(2,0)重合， ∴p 2＝2，∴p ＝4. 12．点M (5,3)到抛物线x 2＝ay (a >0)的准线的距离为6，那么抛物线的方程是______．[答案] x 2＝12y[解析] ∵抛物线x 2＝ay (a >0)的准线方程为y ＝－a 4，∴a 4＋3＝6，∴a ＝12， ∴抛物线方程为x 2＝12y .13．双曲线x 2－y 2＝9被直线x －2y ＋1＝0截得的弦长为________．[答案] 4335 [解析] ⎩⎪⎨⎪⎧x 2－y 2＝9x －2y ＋1＝0，3y 2－4y －8＝0 y 1·y 2＝－83，y 1＋y 2＝43. l ＝1＋1k 2·(y 1＋y 2)2－4y 1·y 2＝5·169＋323＝4335. 14．(2008·全国Ⅰ)已知抛物线y ＝ax 2－1的焦点是坐标原点，则以抛物线与两坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为________．[答案] 2[解析] 把抛物线方程改写为x 2＝1a(y ＋1)得顶点(0，－1)，又原点为焦点， ∴1a＝4， ∴抛物线x 2＝4(y ＋1)与x 轴交于两点(2,0)，(－2,0)．∴所求面积为12×4×1＝2. 三、解答题15．直线l ：y ＝2x ＋1与抛物线y 2＝12x 交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，求线段AB 的长．[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋1，y 2＝12x ，得4x 2－8x ＋1＝0， 由韦达定理，得x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝14. ∴|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2] ＝(1＋22)(22－4×14)＝15. 16．过椭圆x 22＋y 2＝1的一个焦点F 作直线l 交椭圆于A ，B 两点，椭圆的中心为O ，当△AOB 的面积最大时，求直线l 的方程．[解析] 过椭圆焦点F (1,0)的直线l 垂直于x 轴时，可知此时△AOB 的面积等于22. 当l 不垂直x 轴时，可设直线l 的方程为y ＝k (x －1)．因为|OF |是定值1，所以△AOB 的面积可以用12×1×|y 1－y 2|(其中y 1，y 2是A ，B 的纵坐标)来计算． 将y ＝kx －k 代入x 22＋y 2＝1，消去x ，得(1＋2k 2)y 2＋2ky －k 2＝0. 由根与系数的关系可得(y 1－y 2)2＝8k 4＋8k 2(2k 2＋1)2＝2－2(2k 2－1)2<2. 可以看出|y 1－y 2|<2，此时△AOB 的面积小于22，所以直线l 的方程为x ＝1或x ＝－1. 17．(2010·湖北文，20)已知一条曲线C 在y 轴右边，C 上每一点到点F (1,0)的距离减去它到y 轴距离的差都是1.(1)求曲线C 的方程；(2)是否存在正数m ，对于过点M (m,0)且与曲线C 有两个交点A ，B 的任一直线，都有FA →·FB →<0？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由．[分析] 本小题主要考查直线与抛物线的位置关系，抛物线的性质等基础知识，同时考查推理运算的能力．[解析] (1)设P (x ，y )是曲线C 上任意一点，那么点P (x ，y )满足：(x －1)2＋y 2－x ＝1(x >0)化简得y 2＝4x (x >0)(2)设过点M (m,0)(m >0)的直线l 与曲线C 的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．设l 的方程为x ＝ty ＋m ，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ty ＋m y 2＝4x 得y 2－4ty －4m ＝0，此时Δ＝16(t 2＋m )>0.于是⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝4t y 1·y 2＝－4m ① 又FA →＝(x 1－1，y 1)，FB →＝(x 2－1，y 2)FA →·FB →<0⇔(x 1－1)(x 2－1)＋y 1y 2＝x 1·x 2－(x 1＋x 2)＋1＋y 1y 2<0②又x ＝y 24，于是不等式②等价于y 214·y 224＋y 1y 2－(y 214＋y 224)＋1<0⇔(y 1y 2)26＋y 1y 2－14[(y 1＋y 2)2－2y 1y 2]＋1<0③由①式，不等式③等价于m 2－6m ＋1<4t 2④对任意实数t,4t 2的最小值为0，所以不等式④对于一切t 成立等价于m 2－6m ＋1<0， 即3－22<m <3＋2 2由此可知，存在正数m ，对于过点M (m,0)且与曲线C 有两个交点A ，B 的任意一直线，都有FA →·FB →<0，且m 的取值范围是(3－22，3＋22)．18．已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为(2,0)，右顶点为(3，0)，(O 为原点)(1)求双曲线C 的方程．(2)若直线l 1：y ＝kx ＋2与双曲线恒有两个不同的交点A 和B ，且OA →·OB →>2，求k 的取值范围．[解析] (1)设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)． 由已知得a ＝3，c ＝2，再由a 2＋b 2＝22，得b 2＝1.所以双曲线C 的方程为x 23－y 2＝1. (2)将y ＝kx ＋2代入x 23－y 2＝1得 (1－3k 2)x 2－62kx －9＝0.由直线l 与双曲线交于不同的两点得⎩⎨⎧1－3k 2≠0Δ＝(－62k )2＋36(1－3k 2)＝36(1－k 2)>0，即k 2≠13且k 2<1.① 设A (x A ，y A )、B (x B ，y B )，则x A ＋x B ＝62k 1－3k 2，x A x B ＝－91－3k 2， 由OA →·OB →>2得x A x B ＋y A y B >2，而x A x B ＋y A y B ＝x A x B ＋(kx A ＋2)(kx B ＋2)＝(k 2＋1)x A x B ＋2k (x A ＋x B )＋2 ＝(k 2＋1)·－91－3k 2＋2k ·62k 1－3k 2＋2＝3k 2＋73k 2－1. 于是3k 2＋73k 2－1>2，即－3k 2＋93k 2－1>0. 解此不等式得13<k 2<3.② 由①②得13<k 2<1. 故k 的取值范围为(－1，－33)∪(33，1)．。

是 ( 3, 3) .
“画图〞是解题的首要环节.
y
O
x
判断直线与曲线位置关系的操作程序 把直线方程代入曲线方程
得到一元一次方程
得到一元二次方程
直线与双曲线的渐进线
计算判别式
或抛物线的对称轴平行 >0 =0 <0
相交〔一个交点〕 相交 相切 相离
特别注意：
直线与双曲线(抛物线)的位置关系中：
一解不一定相切，相交不一定 两解，两解不一定同支.
例1.过点P
4
3
2
1
-6
-4
-2
-1-2-32 Nhomakorabea4
2.直线L:y=kx+1与椭圆C: x2 y2 1 5m
恒有公共点,则实数m的取值范围是 ( D )
(A) (0,1) (B) [1, + )
(C) (5,+ )
(D)[1,5) (5,)
3.假设直线L:y=ax+1与双曲线: 3x2-y2=1的左、 右两支各有一个公共点,那么实数a的取值范围
复习: 直线与椭圆的位置关系及判断方法
相离
相切
判断方法
〔1〕联立方程组 〔2〕消去一个未知数
〔3〕 ∆<0
∆=0
相交 ∆>0
直线与双曲线的位置关系及交点个数：
Y
相交:两个交点
相切:一个交点
O
X 相离:0个交点
相交:一个交点
Y
O
X
直线与抛物线位置关系种类
1、相离
2、相切
3、相交〔一个交点，两个交点〕
2m mn
x0
x1 x2 2
n m
n
,
y0

• 试问当m取何值时，直线与椭圆C:
• (1)有两个不重合的公共点
• (2)有且只有一个公共点
• (3)没有公共点
•
x2 ห้องสมุดไป่ตู้2 1 42
规律总结：
•将直线与椭圆方程联立，形成 含有某一未知数的一元二次方 程，看判别式的正负来确定位 置关系。
稳固练习1：
• 点A(0,2)和抛物线C:
y2 6x
稳固练习4
• 椭圆
x2 y2 ，1 弦AB中点为M(3，1) 36 9
• 求弦AB所在直线的方程。
解 ： 可 知 AB直 线 斜 率 存 在 ， 设程其为方 y 1 k(x 3),代 入 椭 圆
方程x2 y2 1中，消去 y得 36 9
(14k2)x2 (24k2 8k)x36k2 24k 320
稳固练习2
• 抛物线
y2 的8弦x AB过它的焦点，直线AB斜率为2
• 求弦AB的长。
稳固练习3
• (2021辽宁〕设椭圆 C:ax22by22 1(ab的右0)焦点为F，过F
• 的直线L与椭圆相交于A,B两点，直线的倾斜角为 60，0 AF2FB
• 〔1〕求椭圆c的离心率；
• (2)如果 AB 15，求椭圆c的方程。 4
直线与圆锥曲线
教学目标：
•1.理解直线与圆锥曲线位置关 系的判定。 •2掌握直线和圆锥曲线相交时 弦长计算，会处理弦的中点及 与之相关问题。
知识回忆：
•1两点间距离公式 •2直线点斜式方程 •3直线和圆位置关系有几种？ 如何判断？
题型一 直线与圆锥曲线位置关系判定
• 例1 直线 •
l:y,2x椭圆m C:
• 求过点A且与抛物线C相切的直线l的方程。

2.1.1 曲线与方程的概念课后导练基础达标1.曲线y=x1与xy=2的交点是（ ） A.（1，1） B.（2，2）C.直角坐标系内的任意一点D.不存在答案：D2.下面各对方程中，表示相同曲线的一对方程是( )A.y=x 与y=2xB.(x-1)2+(y+2)2=0与(x-1)(y+2)=0 C.y=x1与xy=1 D.y=lgx 2与y=2lgx 答案：C3.“曲线C 上的点的坐标都是方程f(x,y)=0的解”是“曲线C 的方程是f(x,y)=0”的_________条件（ ）A.充分B.必要C.充要D.既不充分又不必要答案：B4.“以方程f(x,y)=0的解为坐标的点都是曲线C 上的点”是“曲线C 的方程是f(x,y)=0”的___________条件（ ）A.充分B.必要C.充要D.既不充分又不必要答案：B5.已知0≤α<2π,点P (cosα,sinα)在曲线(x-2)2+y 2=3上,则α的值为( ) A.3π B.35π C.3π或35π D.3π或6π 答案：C6.曲线x 2-xy-y 2-3x+4y-4=0与x 轴的交点坐标是_____________.答案：（4，0）和（-1，0）7.方程(x+y-1)(x-y+2)=0表示_______________________.答案：两条直线x+y-1=0和x-y+2=08.判断点P(-4，3)、Q(-32，-4)、R(5，25)是否在方程ｘ2＋ｙ2＝２５（ｘ≤0）所表示的曲线上.答案：点P 在曲线x 2+y 2=25(x≤0)上，点Q 、R 都不在曲线x 2+y 2=25(x≤0)上.综合运用9.点M 到x 轴的距离是它到y 轴距离的2倍，则点M 的轨迹方程是__________________. 答案：2x+y=0或2x-y=010.设A 、B 两点的坐标是(-a ，0)、(a ，0)，若动点M 满足ｋＭＡ·ｋＭＢ＝-１，则动点M 的轨迹方程是____________________.答案：x 2+y 2=a 2（x≠±a）11.已知点M 到点F(0，1)和直线l:y=-1的距离相等，求点M 的轨迹方程.解析:设点M的坐标为(x，y)，点M的轨迹就是集合P=｛Ｍ｜｜ＭＦ｜＝｜ＭＱ｜｝，其中Q 是点M到直线y=-1的垂线的垂足.由两点间距离公式及点到直线的距离公式得22)1(-+yx＝｜y+1｜，将上式两边平方得x2+(y-1)2=(y+1)2，化简得y=41x2.①下面证明方程①是所求轨迹的方程.(1)由求方程的过程可知，曲线上的点的坐标都是方程①的解；(2)设点M1的坐标(x1，y1)是方程①的解，那么y1=41x12，即x12＋（ｙ1-１）2＝（ｙ1＋１）2，=-+2121)1(yx｜y1+1｜，｜Ｍ1Ｆ｜＝｜Ｍ1Ｑ1｜.其中Q1是点M1到直线y=-1的垂线的垂足,因此点M1是曲线上的点.由(1)(2)可知，方程①是所求轨迹的方程，图形如下图所示.12.已知点P(x0，ｙ0）在曲线ｆ（ｘ，ｙ）＝0上，P也在曲线g(x，y)=0上.求证：P在曲线f(x，y)+λｇ（ｘ，ｙ）＝0上(λ∈R）.证明:∵点P在曲线f(x，y)=0上也在曲线g(x，y)=0上，∴f（x0，y0）＝0，ｇ（x0，y0）＝0.∴f（x0，y0）＋λｇ（x0，y0）＝0＋λ·0＝0,即P点在曲线f(x，y)＋λｇ（x，y）＝0上.13.求方程(x+y-1)2--yx =0的曲线.解析:把方程（ｘ＋ｙ－１）2--yx＝0写成⎩⎨⎧≥--=-+2,01yxyx或x-y-2=0.由⎩⎨⎧≥--=-+2,01yxyx,得⎪⎩⎪⎨⎧≥=-+23,01xyx∴⎩⎨⎧≥--=-+2,01yxyx表示射线x+y-1=0(x≥23).∴方程(x+y-1)2--yx=0的曲线是射线x+y-1=0(x≥23)和直线x-y-2=0.拓展探究14.判断过点P（0，-1）且与x轴平行的直线l是否是方程|y|=1所表示的曲线.解析：如右图，过点P且平行于x轴的直线l的方程为y=-1.因此，直线l上的点都满足方程|y|=1，即直线l上的点都在方程|y|=1所表示的曲线上.然而，以方程|y|=1的解为坐标的点不全在直线l上.这是因为方程|y|=1表示两条直线y=1和y=-1.所以|y|=1不是直线l的方程，l也不是方程|y|=1所表示的曲线.。