高中数学第二章圆锥曲线与方程2.4.2抛物线的简单几何性质课后导练新人教B版选修2_1(含解析)

2.4.2 抛物线的简单几何性质课后导练基础达标1.已知直线y=kx-k 及抛物线y 2=2px(p ＞0)，则（ ）A.直线与抛物线有一个公共点B.直线与抛物线有两个公共点C.直线与抛物线有一个或两个公共点D.直线与抛物线可能没有公共点 答案：C2.抛物线x 2=-4y 的通径为AB ，O 为抛物线的顶点，则（ ）A.通径长为8，△AOB 的面积为4B.通径长为-4，△AOB 的面积为2C.通径长为4，△AOB 的面积为4D.通径长为4，△AOB 的面积为2 答案：D3.过点(0,-2)的直线与抛物线y 2=8x 交于A 、B 两点,若线段AB 中点的横坐标为2,则|AB|等于( )A.217B.17C.215D.15 答案：C4.等腰直角三角形AOB 内接于抛物线y 2=2px(p ＞0)，O 为抛物线的顶点，OA⊥OB，则△AOB的面积是（ ）A.8p 2B.4p 2C.2p 2D.p 2答案：B5.过抛物线y 2=8x 的焦点，作倾斜角为45°的直线,则被抛物线截得的弦长为( )A.8B.16C.32D.64 答案：B6.设抛物线y 2=8x 的准线与x 轴交于点Q,若过点Q 的直线l 与抛物线有公共点,则直线l 的斜率的取值范围是___________.答案：-1≤k≤17.已知点（x ，y ）在抛物线y 2=4x 上，则z=x 2+21y 2+3的最小值是__________________. 答案：3 8.28.抛物线y 2=4x 的弦AB 垂直于x 轴，若|AB|=43，则焦点到AB 的距离为_____________.9.已知抛物线y 2=6x ，过点P （4，1）引一弦，使它恰在点P 被平分，求这条弦所在的直线方程.解法一:设直线上任意一点坐标为(x,y)，弦的两个端点为P 1(x 1,y 1)、P 2（x 2,y 2）. ∵P 1、P 2在抛物线上，∴y 12=6x 1,y 22=6x 2.两式相减得（y 1+y 2）（y 1-y 2）=6（x 1-x 2）.①∵y 1+y 2=2,代入①得 k=1212x x y y --=3. ∴直线的方程为y-1=3(x-4),即3x-y-11=0.解法二:设所求方程为y-1=k(x-4).由方程组⎩⎨⎧+-==.14,62k kx y x y得ky 2-6y-24k+6=0.设弦的两端点P 1、P 2的坐标分别是(x 1,y 1)、（x 2,y 2），则y 1+y 2=k6. ∵Ｐ1Ｐ2的中点为(4，1), ∴k6=2.∴k=3. ∴所求直线方程为y-1=3(x-4)，即3x-y-11=0.10.设抛物线ｙ2＝２ｐｘ（ｐ＞0)的焦点为F ，经过点F 的直线交抛物线于A 、B 两点，点C在抛物线的准线上，且ＢＣ∥ｘ轴,证明直线AC 经过原点O.证明:∵抛物线的焦点为F （2p ,0), ∴经过点F 的直线AB 的方程可设为x=my+2p ， 代入抛物线方程，得y 2-2pmy-p 2=0.设A （x 1,y 1)，B(x 2,y 2),则y 1、y 2是该方程的两根，∴y 1y 2=-p 2.∵BC∥x 轴，且点C 在准线x=-2p 上， ∴点C 的坐标为（-2p ,y 2). ∴直线OC 的斜率为 k=111222x y y p p y ==-, 即k 也是直线OA 的斜率.∴直线AC 经过原点O.综合运用11.设抛物线y 2=2px(p ＞0)的焦点为F ，经过点F 的直线交抛物线于A 、B 两点，点C 在抛物线的准线上，且BC∥x 轴.求证：直线AC 经过原点O.证明:∵抛物线的焦点为F （2p ,0), ∴经过点F 的直线AB 的方程可设为x=my+2p ， 代入抛物线方程，得y 2-2pmy-p 2=0.设A （x 1,y 1)、B(x 2,y 2),则y 1、y 2是该方程的两根，∴y 1y 2=-p 2.∵BC∥x 轴，且点C 在准线x=-2p 上， ∴点C 的坐标为（-2p ,y 2). ∴直线OC 的斜率为k=111222x y y p p y ==-, 即k 也是直线OA 的斜率.∴直线AC 经过原点O.12.(2006上海高考，理20) 在平面直角坐标系xOy 中，直线l 与抛物线y 2=2x 相交于A 、B两点.（1）求证：“如果直线l 过点T （3，0），那么OA²OB=3”是真命题；（2）写出（1）中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由.解：（1）设l:x=ty+3,代入抛物线y 2=2x,消去x 得y 2-2ty-6=0.设A （x 1,y 1）,B(x 2,y 2),∴y 1+y 2=2t,y 1²y 2=-6,²=x 1x 2+y 1y 2=(ty 1+3)(ty 2+3)+y 1y 2=t 2y 1y 2+3t(y 1+y 2)+9+y 1y 2=-6t 2+3t ²2t+9-6=3. ∴OA ²OB =3,故为真命题. (2)①中命题的逆命题是：若OA ²OB =3，则直线l 过点（3,0）是假命题.设l:x=ty+b,代入抛物线y 2=2x,消去x 得y 2-2ty-2b=0.设A （x 1,y 1）,B(x 2,y 2),则y 1+y 2=2t,y 1²y 2=-2b. ∵OA ²OB =x 1x 2+y 1y 2=(ty 1+b)(ty 2+b)+y 1y 2=t 2y 1y 2+bt(y 1+y 2)+b 2+y 1y 2=-2bt 2+bt²2t+b 2-2b=b 2-2b,令b 2-2b=3,得b=3或b=-1.此时直线l 过点（3，0）或（-1，0）.故逆命题为假命题.拓展探究 13.已知椭圆C 1:3422y x +=1,抛物线C 2:(y-m)2=2px(p>0),且C 1、C 2的公共弦AB 过椭圆C 1的右焦点.(1)当AB⊥x 轴时,求m,p 的值,并判断抛物线C 2的焦点是否在直线AB 上;（2）若p=34且抛物线C 2的焦点在直线AB 上,求m 的值及直线AB 的方程. 答案：(1)解：当AB⊥x 轴时,点A 、B 关于x 轴对称. 所以m=0,直线AB 的方程为x=1,从而点A 的坐标为(1,23)或(1,-23). 因为点A 在抛物线上,所以49=2p,即p=89. 此时C 2的焦点坐标为(169,0),该焦点不在直线AB 上.（2）解法一:如右图，当C 2的焦点在AB 上时,由(1)知直线AB 的斜率存在,设直线AB 的方程为y=k(x-1). 由⎪⎩⎪⎨⎧=+-=.134),1(22y x x k y 消去y 得（3+4k 2)x 2-8k 2x+4k 2-12=0.① 设A 、B 的坐标分别为(x 1,y 1)、(x 2,y 2), 则x 1、x 2是方程①的两根,x 1+x 2=22438k k +. 因为AB 既是过C 1的右焦点的弦,又是过C 2的焦点的弦,所以|AB|=(2-21x 1)+(2-21x 2)=4-21(x 1+x 2), 且|AB|=(x 1+2p )+(x 2+2p ) =x 1+x 2+p=x 1+x 2+34. 从而x 1+x 2+34=4-21(x 1+x 2）， 所以x 1+x 2=916,即91643822=+k k . 解得k 2=6,即k=±6. 因为C 2的焦点F′(32,m)在直线y=k(x-1)上, 所以m=-31k,即m=36或m=-36.当m=3时,直线AB 的方程为y=-6(x-1); 当m=-36时,直线AB 的方程为y=6(x-1). 解法二:当C 2的焦点在AB 上时,由(1)知直线AB 的斜率存在,设直线AB 的方程为y=k(x-1). 由⎪⎩⎪⎨⎧-==-).1(,38)(2x k y x m y 消去y 得(kx-k-m)2=38x.① 因为C 2的焦点F′(32,m)在y=k(x-1)上, 所以m=k(32-1),即m=-31k. 代入①有(kx 32k -)2=38x, 即k 2x 2-34(k 2+2)x+942k =0.② 设A 、B 的坐标分别为(x 1,y 1)、(x 2,y 2),则x 1、x 2是方程②的两根,x 1+x 2=223)2(4k k +. 由⎪⎩⎪⎨⎧=+-=.134),1(22y x x k y 消去y 得(3+4k 2)x 2-8k 2x+4k 2-12=0.③ 由于x 1、x 2也是方程③的两根,所以x 1+x 2=22438k k +. 从而22224383)2(4kk k k +=+,解得k 2=6, 即k=±6.因为C 2的焦点F′(32,m)在直线y=k(x-1)上, 所以m=-31k, 即m=36或m=-36.当m=3时,直线AB 的方程为y=-6(x-1); 当m=-36时,直线AB 的方程为y=6(x-1). 解法三:设A 、B 的坐标分别为(x 1,y 1)、(x 2、y 2), 因为AB 既过C 1的右焦点F(1,0),又过C 2的焦点F′(32,m), 所以|AB|=(x 1+2p )+(x 2+2p )=x 1+x 2+p=(2-21x 1)+(2-21x 2), 即x 1+x 2=32（4-p)=916.① 由（1）知x 1≠x 2,于是直线AB 的斜率 k=13201212--=--m x x y y =-3m,② 且直线AB 的方程是y=-3m(x-1), 所以y 1+y 2=-3m(x 1+x 2-2)=32m .③ 又因为⎪⎩⎪⎨⎧=+=+.1243,124322222121y x y x , 所以3(x 1+x 2)+4(y 1+y 2)²1212x x y y --=0.④ 将①②③代入④得m 2=32,即m=36或m=-36. 当m=36时,直线AB 的方程为y=-6(x-1); 当m=-36时,直线AB 的方程为y=6(x-1).。