带跳的广义随机Logistic方程平稳解的存在性和消亡性

用连续的随机噪声来描述．因此，本文考虑下列具有时滞与 Ｌéｖｙ跳的随机捕食者 －食饵模型
ｄｘ１（ｔБайду номын сангаас ＝ｘ１（ｔ）［ｂ１ －ｃ１１ｘ１（ｔ）－ｃ１２ｘ２（ｔ－τ１２）－ｃ１３ｘ３（ｔ－τ１３）］ｄｔ＋β１１ｘ１（ｔ）ｄＷ１１（ｔ）＋
∫
β１２ｘ２ １（ｔ）ｄＷ１２（ｔ）＋
ｘ１（ｔ－）γ１（ｕ）珟Ｎ（ｄｔ，ｄｕ），
响，也要考虑随机因素对种内竞争系数的影响，即
·
－ｃｉｉ→ －ｃｉｉ＋βｉ２Ｗｉ２（ｔ）（ｉ＝１，２，３），
其中，β２ｉｊ ＞０表示白噪声的强度，ｉ＝１，２，３，ｊ＝１，２．Ｗｉｊ（ｔ）（ｉ＝１，２，３，ｊ＝１，２）是完备的概率空间（Ω，Ｆ，Ｐ） 中相互独立的标准的布朗运动．此外种群也可能会受到一些突然的波动，例如：地震、海啸等，这些现象不能
食饵种群之间的种间竞争系数；ｃ１３和 ｃ２３是捕获系数；ｃ３１和 ｃ３２代表捕食者对食饵的转化率；以上参数均为正
常数．τｉｊ表示时滞，Ｗｉ１（ｔ）（ｉ＝１，２，３）是白噪声，β２ｉ１（ｉ＝１，２，３）是白噪声强度．然而模型（１）仅考虑了对参
数 ｂｉ的扰动，没有考虑对种内竞争系数的扰动．为此，本文不仅要考虑随机因素对自然增长率和死亡率的影
（山西大学 数学科学学院，山西 太原 ０３０００６）
摘要：研究了一类具有时滞与 Ｌéｖｙ跳的随机捕食者 －食饵模型．首先利用 Ｌｙａｐｕｎｏｖ方法和 Ｉｔｏ＾公 式，给出了模型全局正解的存在唯一性．然后根据切比雪夫不等式和指数鞅不等式以及 Ｂｏｒｅｌ－ Ｃａｎｔｅｌｌｉ引理等，得到了解的随机最终有界性以及灭绝性．最后，运用数值模拟验证了理论结果． 关键词：Ｌéｖｙ跳；时滞；捕食者 －食饵模型；灭绝 中图分类号：Ｏ２１１．６３ 文献标志码：Ａ 文章编号：１６７２－８５１３（２０１９）０５－０４７０－０５

E{ X (t + Δt )} → E{ X (t )}
或
m X (t + Δt ) → m X (t )
(3.2.10)
由此可以得出结论: 如果 X (t ) 均方连续，则其均值函数亦连续。(3.2.10)式也可以表示为
Δt →0
lim E{ X (t + Δt )} = E{ X (t )} = E{l ⋅ i ⋅ m X (t + Δt )}
(3.1.11)
假定系统是线性时不变的，由线性时不变的基本特性和两个基本定理可以看出，如果 X (t ) 是 严平稳的，则 Y (t ) 也是严平稳的。如果 X (t ) 是广义平稳的，则 Y (t ) 也是广义平稳的。
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3.2 随机过程的导数与积分
与确定性过程一样，导数和积分是随机过程的两种重要的运算，而导数和积分又是以极限为基 础的。因此，本节首先介绍随机变量极限的概念，进而引入导数和积分的概念。随机变量的极限有 几种，我们只讨论其中最常用的一种，即均方极限，因此，我们讨论的导数和积分都是均方意义下 的导数和积分。
3.2.3 随机过程的导数
有了随机过程极限与连续性的定义后，我们就可以引入导数的概念。 1 导数的定义 定义：设随机过程 X (t ) ，如果下列极限存在，
l ⋅i ⋅m
Δt →∞
X (t + Δt ) − X (t ) Δt dX (t ) , 即 dt
(3.2.12)
则称此极限为随机过程 X (t ) 的导数，记为 X ′(t ) 或
以上两个定理是线性变换的两个基本定理，它给出了随机过程经过线性变换后，输出的均值和 相关函数的计算方法。 从两个定理可知，对于线性变换，输出的均值和相关函数可以分别由输入的均值和相关函数确 定。推广而言，对于线性变换，输出的 k 阶矩可以由输入的相应阶矩来确定。如

带Poisson跳的随机种群扩散系统半隐式欧拉方法的数值解马东娟;张启敏【摘要】讨论了带Poisson跳的随机种群扩散系统,利用It公式、Burkholder-Davis-Gundy不等式、Gronwall引理及一些不等式,根据半隐式欧拉方法,证明了带Poisson跳的随机种群扩散系统数值解的收敛性.最后,通过数值算例对数值方法进行了说明.【期刊名称】《宁夏大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2010(031)003【总页数】6页(P207-212)【关键词】随机种群扩散系统;半隐式欧拉方法;Poisson跳;数值解【作者】马东娟;张启敏【作者单位】宁夏大学数学计算机学院,宁夏银川,750021;宁夏大学数学计算机学院,宁夏银川,750021【正文语种】中文【中图分类】O211.63近年来,随机微分方程在经济、金融、生态以及其他领域得到了广泛应用[1-3],尤其,随机种群扩散系统在生物学中也引起了许多学者的广泛关注.因为,大部分随机种群扩散系统没有解析解,所以,对随机种群扩散系统数值解的研究得到了许多学者的重视并取得了一些结果.例如,文献[4-5]说明了解的存在性、惟一性及指数稳定性,文献[6-8]从不同角度讨论了随机种群扩散系统的数值解.本文讨论具有扩散项kdiv(P▽u)的随机种群扩散系统:式中t∈(0,T),r∈(0,A),x∈Γ.P(r,t,x)表示t时刻年龄为 r的种群在空间位置x上的种群密度;表示种群总物种数;β(r,t, x)表示种群的生育率;μ(r,t,x)表示种群的自然死亡率;div为散度算子;A为种群中物种的最大年龄,且对∀r≥A,有 P(r,t,x)=0.f(r,t,x,P)+表示外界环境的随机干扰,即种群的额外死亡率,如地震、海啸等.令(Ω,F,P)是一个完备的概率空间,其中{Ft}t≥0是一个滤波.W(t)是定义在完备概率空间(Ω,F,P)上的Wiener过程.是强度为λ的Poisson过程.本文中,扩散项kdiv(P▽u)与以往的随机项有所区别,具有一般性,是文献[6-8]的扩展.本文利用半隐式欧拉方法讨论了方程(1)的数值解,并证明了此数值解收敛于解析解.最后,通过数值算例对数值方法进行了说明.1 预备定义,其中是广义偏导数,O=(0,A)×T}.V是一个Sobolev空间,H=L2(O),使得V→H≡H1→V′.V′是V的对偶空间.用分别表示V,V′中的范数;〈·,·〉表示V,V′的对偶积;(·,·)表示H中的内积.B∈L(·,·)是M→H中的有界线性算子,且用表示 Hilbert-Schmidt范数.设(Ω,F,P)是一个完备的概率空间,{Ft}t≥0是其上的一个滤子且满足递增右连续,且F0包含所有的零测集.用C=C([0,T];H)表示从[0,T]到H上所有连续函数组成的空间,并定义其上的范数为令=Lp([0,T];H).对系统(1),对时间t离散的半隐式欧拉逼近迭代格式为式中α∈[0,1],Qn是 P(tn,r,x)的逼近,tn=nΔt, Δt=T/N≪1,ΔWn=W(tn+1)-W(tn),ΔNn=N(tn+1) -N(tn).对(2)的连续情形为式中IG表示集合 G上的特征函数,容易得到 Z1(tk)= Z2(tk-1)=Qk=Q(tk,r,x).引理1(It公式)[9] 如果f(t,x)∈C1,2([0,+∞]×R),若给定带跳随机微分方程:则有其中为了证明定理,做如下假设:i)(Lipschitz条件)存在一正常数 K使得对任意P1,P2∈C,有ii)μ(r,t,x),β(r,t,x)在Q中连续,且满足2 主要结论为了证明随机种群系统的数值解Qt收敛于解析解 Pt,假设系统的解存在并且惟一(仅就连续的情况进行讨论,离散的情况可以用相同的方法予以证明).定理1 如果条件i)～ii)成立,则有证明对方程(3),利用和公式得因为由假设和算子的性质知,存在和使得利用(6)式和,得因此,对任意的t1∈[0,T],有由Burkholder-Davis-Gundy不等式知,存在正数K1,K2使得同理得式中故最后,利用Gronwall引理,结论成立.定理2 如果条件成立,则对任意的t∈[0,T],有证明因为所以,对任意的t∈[0,T],存在 k使得对t∈[kΔt, (k+1)Δt],有由Burkholder-Davis-Gundy不等式知,存在正数K3,K4使得由假设条件及微分算子算子Δ是有界线性算子,得由定理1知存在常数使得相似地,可得定理3 如果假设成立,则对任意的t∈[0,T],有证明利用及 It公式得(r,t,x,Ps)-h(r,s,x,Z1)2d因此,对任意的t1∈[0,T],有由Burkholder-Davis-Gundy不等式知,存在正常数K5,K6使得因为由定理2得式中最后,利用Gronwall引理,结论成立.因此,由定理3可知,在假设条件下,具有扩散项kdiv(P▽u)的随机种群扩散系统(1)的半隐式欧拉方法数值解Qt收敛于解析解 Pt.3 数值算例利用上面所提到的理论方法,用Matlab软件求解如下带 Poisson跳的随机种群扩散系统的数值解:式中Bt是标准的布朗运动(M=R及W=1).H=L([0,1]×[0,1]),V=([0,1]×[0,1]),M=R, k(r,t,x)=r2,μ(r,t,x)=β(r,t,x)=x/r2,f(r,t,x,P)=-tx P,g(r,t,x,P)=h(r,t,x,P)=P,P(r,0,x) =xexp(-1/r).显然,f,g满足假设条件i)和ii),k(r,t,x), μ(r,t,x),β(r,t,x)满足假设条件iii).因此,对任意(r,t,x)⊆(0,1)×(0,T)×(0,1),带Poisson跳的随机种群扩散系统(10)的数值解收敛于它的解析解.对于带Poisson跳的随机种群扩散系统(10)没有解析解,因此,利用半隐式欧拉方法给出其解析解,其中T=1,A=1,X=1/2,Δt=0.02,Δr=0.2.考虑到取不同的α得到不同的图,特别地,当α=0时,就得到欧拉方法的数值解(图1).图1 带Poisson跳随机种群扩散系统(10)半隐式欧拉方法的数值解参考文献:[1] 丁效华,马强.解随机森林发展方程的半隐式欧拉法的收敛性[J].黑龙江大学自然科学学报,2008,25: 719-730.[2] 张磊,张启敏.随机Navier-Stokes方程数值解的收敛性[J].应用数学,2008,21(3):504-509.[3] HUANG Chuangxia,HE Yigang,W ANG Hainu.Mean square exponential stability of stochastic recurrent neural networks with time-varying delays[J].Computers and Mathematics with Applications,2008,56:1773-1778.[4] ZHANG Qimin,HAN Chongzhao.Existence and uniqueness for a stochastic age-structured population system with diffusion[J].Science Direct,2008,32:2197-2206.[5] ZHANGQimin,LIU Wenan,NIE Zankan.Existence,uniqueness and exponential stabilityof stochastic age-dependent population[J].Appl Math Comput,2004,154:183-201.[6] ZHANG Qimin,HAN Chongzhao.Convergence of numerical solutions to stochastic age-structured population system with diffusion[J].Applied Mathematics and Computation,2006,07:156-163.[7] ZHANG Qimin.Exponential stability of numerical solutions to a stochastic age-structured population system with diffusion[J].Journal of Computational and Applied Mathematics,2008,220:22-33.[8] ZHANG Qimin,HAN Chongzhao.Numerical analysis for stochastic age-dependent population equations[J]. Appl Math Comput,2005,176:210-223.[9] GARDON A.The order of approximations for solutions of Itô-type stochastic differential equations with jumps[J].Stochastic Analysis and Applications, 2004,38:753-769.。

一类跳扩散过程不变测度的存在唯一性吴晔【摘要】给出一类跳扩散过程不变测度的存在性与唯一性,其中不变测度存在性的证明依据马氏过程的Lyapunov漂移条件与马氏半群的Feller连续性,而不变测度唯一性则利用耦合技巧与马氏半群的e-性质来得到.【期刊名称】《集美大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2013(018)001【总页数】5页(P65-69)【关键词】跳扩散过程;不变测度;Lyapunov漂移条件;耦合;e-性质【作者】吴晔【作者单位】福建江夏学院电子信息科学系,福建福州350108【正文语种】中文【中图分类】O213.20 引言近年来，以布朗运动和跳过程为基本模块的跳扩散过程引起人们极大的关注.跳扩散过程的定义:设Wt为d维标准布朗运动，N(dt，dz)为Rd上独立于Wt的Possion随机测度且具有特征测度μ(dz)．设˜N(dt，dz):=N(dt，dz)-dt×μ(dz)为补偿测度．考虑下列Rd上的随机微分方程:其中，σ、b和∫c(·，z)2μ(dz)在Rd上连续，且对任意进一步，假设:1)对任意K〉0和任意存在常数LK〉0，使得存在常数C〉0，使得对任意在条件1)、2)下，随机微分方程 (1)存在唯一强解 (参见文献 [1-2])，过程Xt称之为跳扩散过程，它在实际中有广泛应用．式 (1)确定的跳扩散过程是一类强马氏过程，它的无穷小生成元作用在光滑函数上具有以下形式:这里，对任意x∈Rd，a(x)=σ(x)σ*(x)．由方程 (1)中系数的连续性可知，式 (2)为任意f∈C2b(Rd)均有意义．本文旨在给出跳扩散过程存在唯一不变测度的充分条件．设(Pt)t≥0为Xt对应的马氏半群，π为Pt的平稳概率测度，即对任意t〉0和A∈B(Rd)，∫P(t，x，A)π(dx)=π(A)．如果Xt具有唯一不变概率测度π，且对任意x∈Rd，当t→∞，转移概率P(t，x，·)全变差收敛于π，则跳扩散过程称为全变差定义下稳定[3]．跳扩散过程不变测度的存在性已经被许多学者所研究，但是其唯一测度性是个很困难的问题．常用于研究不变测度唯一性的方法是Doob-Khasminskii条件[4]，即证明半群Pt是强Feller且不可约的.目前，关于跳扩散过程强Feller性质和不可约性质的研究还很少，仅见文献 [5]关于扩散矩阵a(x)严格正定和特征测度μ(dz)满足某种条件时的讨论.为了证明跳扩散过程不变测度的唯一性，本文采用耦合方法并结合马氏过程e-性质．定理1 设Xt为方程的唯一强解，假设下列两个条件成立:1)存在常数κ〉0和η∈(1，2)，使得当充分大时，2)假设存在常数δ〉0，使得对任意x，y∈Rd且则过程Xt具有唯一的不变测度π且对任意x∈Rd，当T→∞时，Pt弱收敛于π．1 不变测度的存在性命题1 设Xt为方程 (1)的唯一强解，假设下列条件之一成立:1)存在κ〉0和η∈(1，2)，使得当充分大时，2)存在κ〉0和η∈(1，2)，使得当充分大时，则过程Xt存在不变测度．证明文献[3]的定理4.5指出，如果马氏过程xt是Cb(Rd)-Feller连续且满足下列的Foster-Lyapunov漂移条件:存在c，d〉0和紧函数f≥0，紧集C，使得对任意x∈Rd，则Xt具有不变测度．进一步根据文献[6]，可以选择紧函数f属于算子L的广义定义域˜D(L):={f:是关于Px的局部鞅}，其中Ft是Xt的自然信息域σ(Xs:s≤t)．根据文献[6-8]，有D(L)⊂(L)，其中:(L):={f∈C2b(Rd): 函数是局部有界}．由文献[9]知道，跳扩散过程X是Cb(Rd)-Feller连续．另外，设ρ∈C2(Rd)，使得当其中η ∈ (1，2);当时，时，有对任意记V(x)=ρ(x)2-η，则∂iV和∂ijV局部有界，并且V∈D(L)⊂D˜(L)．进一步，当时，其中式(6)利用条件首先，根据Taylor公式，有其中θ∈(0，2-η)．这样另外，对任意．这样同理，可以得到结合上述所有不等式，有对于其中最后一个不等式利用对任意当x充分大时，根据式 (3)，LV(x)≤-κ(2-η)/2．根据方程 (1)系数的连续性，利用中值定理得到，对任意紧集C，存在d〉0，使得supx∈CLV(x)≤d．这样，给出条件 (4)的成立性，从而证明命题1第一个结论．为验证命题1第二个结论，只需考虑不等式 (6)．根据中值定理，有这样也就是LV(x)≤I1+I2，这里I1和I2是指式 (6)最后等式的前两项，这样根据以上证明方法，有命题1证毕．2 不变测度的唯一性2.1 耦合过程的构造首先将式 (2)给出算子，写成 L:=L1+L2，其中对于扩散部分 L，使用起步走耦合(参见文献[10])．设对任意x，y∈Rd，C(x，y)=σ(x)σ(y)*．这样对应的2d×2d 扩散矩阵，漂移项为另一方面，L2的耦合算子定义如下:．这样是式(2)给出算子L 的耦合．根据文献 [8]，可以证明存在一耦合过程Zt:=(˜Xt，˜Yt)，使得当t≥T时并且过程Zt在T时刻之前对应的算子就是本文构造的算子，其中T是Zt的耦合时间，即引入一列辅助函数{hn}n≥1，其中对任意n≥1，hn∈C2(R)，当当(参见文献[6])．有命题2．命题2 对任意x，y∈Rd且其中2.2 不变概率测度的唯一性首先给出不变概率测度与Wasserstein度量的关系．给定一度量函数φ和两个概率测度P1，P2，则φ-Wasserstein度量定义如下:其中 P 表示所有的关于 P1，P2的耦合测度[11-12]．命题3 设马氏转移函数P(t，x，·)是Cb(Rd)-Feller连续且Foster-Lyapunov漂移条件式 (5)成立，假如存在δ，κ〉0，使得对任意有其中则存在唯一概率测度π，使得对任意x∈Rd，当T→∞时，弱收敛于π．证明根据文献 [3]，式 (5)给出这里f，C，c，d分别为式 (5)中的函数，集合，常数．由于f是紧函数且过程是Cb-Feller连续，文献[3]表明不变测度存在性．根据文献 [13]，知道对任意是胎紧的．根据文献 [14]，只需证明Pt具有 e-性质．由文献 [13]知表示度量ρ的 Lipschitz连续函数，且Lρ(f)为 Lipschitz常数．根据式 (7)，对任意f∈Lipb，ρ(Rd)且从而给出半群的e-性质．2.3 定理1的证明从命题1的证明过程可知，过程Xt是Cb(Rd)-Feller连续且Foster-Lyapunov漂移条件 (5)成立，从而过程具有不变概率测度．根据命题3，只要证明式(7)．采用2.1节中耦合算子和耦合过程，那么这样只要证明，存在常数c〉0，使得对任意δ〉0且x，y∈Rd满足根据文献[8]定理2.1和命题2的证明可以得到该结论．[参考文献][1]APPLEBAUM D.Lévy processes and stochasticcalculus[M].Cambridge:Cambridge University Press，2004.[2]SITU R.Theory of stochastic differential equations with jumps and applications[M].New York:Springer，2005.[3]MEYN S，TWEEDIE R L.Stability of Markovian processes III:Foster-Lyapunov criteria for continuous-time processes[J].Adv Appl Probab，1993，25(3):518-548.[4]SANDRA CERRAI.Second order PDE's in finite and infinite dimension:a probabilistic approach[M].New York:Springer，2001.[5]KWON Y，LEE C.Strong Feller property and irreducibility of diffusions with jumps [J].Stoch Stoch Rep，1999，67(1/2):147-157.[6]WANG J.Criteria for ergodicity of Lévy type operators in dimension one [J].Stoch Proc Appl，2008，118(10):1909-1928.[7]MASUDA H.Ergodicity and exponential β-mixing bound for multidimensional diffusions with jump [J].Stoch Proc Appl，2007，117(1):36-56.[8]WANG J.Stability of Markov processes generated by Lévy type operators[J].Chinese Ann Math Ser A，2011，32(1):33-50.[9]WANG J.Regularity of semigroups generated by Lévy type operators via coupling [J].Stoch Proc Appl，2010，120(9):1680-1700.[10]CHEN M F，LI S F.Coupling methods for multidimensional diffusion processes[J].Ann Probab，1989，17(1):151-177.[11]席福宝，毛炳蔚.带跳扩散过程的依全变差稳定性 [J].北京理工大学学报，2005，25(7):655-658.[12]毛炳蔚，王昕，王福伟.局部李氏与局部线性增长条件下带跳扩散过程的依全变差稳定性 [J].佳木斯大学学报:自然科学版，2008，26(2):276-278.[13]CHEN M F.From markov chains to non-equilibrium particlesystems[M].2nd ed.Singapore:World Scientific，2004.[14]KOMOROWSKI T，PESZAT S，SZEREK T.On ergodicity of some Markov processes [J].Ann Probab，2009，38(4):1401-1443.。