浙教版九上 4.1比例线段(3) 教案
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第1页 共3页 4.1比例线段（3）
教学目标：
1.了解比例中项的概念。
2.会求已知线段的比例中项（了解与数的比例中项的区别）。
3.通过实例了解黄金分割。
4.利用黄金分割进行简单的计算和作图.
教学重点、难点：
教学重点：黄金分割的概念及其简单应用。
教学难点：例5的作图涉及到线段的倍分关系与和差关系，比较复杂，是本节教学的难点。
知识要点：
1.如果三个数a、b、c满足比例式ab ＝bc （或a:b＝b: c），则b叫做a，c的比例中项。
2. ab ＝bc <=>b2＝ac。
3.如图4-1-4,如果点P把线段AB分成两条线段AP和PB，使PBAP ＝APAB ,那么称线段AB被点P黄金分割，点P叫做线段AB的黄金分割点，线段AP与AB的比叫做黄金比.
重要方法：
1.判断b是a、c的比例中项，只要ab
＝bc 或b2＝ac成立。
2.记住线段AB被点P黄金分割原理；记住黄金比：5 －12 ≈0.618.
3.利用黄金分割原理解释自然界中的生活现象.
4.黄金三角形：顶角为36°的等腰三角形的底与腰的比等于黄金比；顶角为108°的等腰三角形的腰与底的比等于黄金比.（宽与长的比等于黄金比的矩形是黄金矩形）
教学过程：
一、创设情景，引入新课
感受匀称、协调之美
如：蒙娜丽莎像、芭蕾舞演员的演姿、上海东方明珠塔、五角星等，感受黄金分割图像之美。
二、合作学习，探索新知
1．线段的比例中项
（1）取一张长与宽之比为2 ∶1的长方形纸（怎么取？协作学习）
（2）将它（上述矩形）对折.请判断图4－4中的两张长方形纸的长与宽这4条线段是否成比例.如果成比例，请写出比例式.这个比例式有什么特别之处吗？（与同伴交流）
abcb图4-4
第2页 共3页 ab ＝2
1 ，bc ＝b2
2 b
＝2
1
∴ab ＝bc ，这个比例式的内项相同.
定义：一般地，如果三个数a、b、c满足比例式ab ＝bc （或a:b＝b: c），则b叫做a，c的比例中项.
ab ＝bc <=>b2＝ac。
做一做：
P1011、（1）1是不是112 和23 的比例中项；（2）112 和23 的比例中项是什么？
P1012、求线段a、b的比例中项.
（1）a＝3，b＝27； （2）a＝3 ，b＝33 ； （3）a＝5 －12 ，b＝5 ＋12
2．黄金分割
（1）五角星是我们常见的图形.在图4-4中,度量点C到点A,B的距离
ACAB 与BCAC 相等吗？
点C把线段AB分成两条线段AC和BC,如果BCAC ＝ACAB ，
那么称线段AB被点C黄金分割(golden section),
点C叫做线段AB的黄金分割点,AC与AB的比叫做黄金比.
问题：一条线段有几个黄金分割点？一颗五角星中有几个黄金分割点？
（2）求出黄金比的数值，如图4－1－4
设APAB ＝x，则PB＝AB－AP＝AB－AB•x.
由PBAP ＝APAB ，得AB－AB•x AB•x ＝AB•xAB ，即1－xx ＝x1
化简，得x2＋x－1＝0.
解得x1＝－1＋5
2 ，x2＝－1－5
2 （不合题意，舍去）
所以APAB ＝5 －12 ≈0.618
（3）黄金分割的深远意义
历史上，人们视黄金分割为“最美丽”的几何比率，广泛应用于建筑和雕刻中，如古代希腊的帕特农神庙、埃及金字塔、上海东方明珠塔等，一些长方形的画框，宽与长之比也设计成0.618，在自然界中也有很多例子，美丽的蝴蝶身长与双翅展开后的长度之比约为A C B
图4-5 ?相等吗与ACBCABACABP图4-1-4
第3页 共3页 0.618.许多美丽的形状都与0.618这个比值有关。
（4）尺规做线段的黄金分割点
例5，已知线段AB＝a，用直尺和圆规作出它的黄金分割点。
分析：线段a的黄金分割所得的较长线段长应是5 －12 a，
＝5
2 a－12 a，由于5
2 a是以a和12 a为直角边的斜边长
因此本题转化为作两条线段之差.
作法：
1.经过点B作BD⊥AB,使BD＝12 AB
2.连接AD,在AD上截取DE=DB.
3.在AB上截取AC=AE.
如图，点C就是线段a的黄金分割点
思考：1．如果设AB=1,那么BD,AD,AC,BC分别等于多少?
2．计算 ACAB 与BCAC 3．点C是线段AB的黄金分割点吗?
三、课堂小结
1.比例中项的概念，
2.线段的比例中项与数的比例中项的区别；
3.黄金分割，黄金分割点，黄金比的概念.
四、作业：见作业本
五、教后感 AEBCD
