华东师大版初中数学九年级上册 第23章 图形的相似 23.1 成比例线段(第一课时)教案

教学设计课题：平行线分线段成比例科目：数学教学对象：九年级课时： 1课时教师：单位：一、教学内容分析本课是九年级数学第23章第一节第二课时，学生已学习成比例线段，掌握判断成比例线段的方法，而本节内容为后面相似三角形的证明提供了方法基础，具有重要意义。

二、学习目标1.理解并掌握“平行线分线段成比例”的基本事实。

2.会运用“平行线分线段成比例”来解决实际问题。

3.通过学习，进一步培养类比的数学思想.三、学习者特征分析九年级学生，已经接近中招考试，具备了一定能力，并有一定的空间想象能力，总结规律能力，结合本节认知过程，适宜动手操作并总结，能更好的掌握本节内容。

四、教学策略选择与设计本节课主要通过学生动手操作，理解本节课的重点。

由情景设置激发学生的兴趣，再到动手操作理解并掌握，然后运用到实践中去。

五、教学重点及难点重点：平行线分线段成比例定理难点：平行线截三角形相似六、教学过程教师活动学生活动设计意图导入用课件导入实际问题，让学生思考，学生思考了解学生的感知能力，引起学生的兴趣授课活动1.让学生提前准备好带格线的纸及尺子，并按要求划线，进行测量，并总结规律2.学生拿出老实准备的特殊动手操作，理解平行线分线段成比例定理，并会运用定理进行计算，结合前面所学合比性质，分比性质，等比性质进行更复杂的线段充分调动学生的积极性，并让学生参与进来，理解并掌握本节课的内容，并会运用定理解决实际问题，掌握该类计算。

计算，解决实际问题。

纸张再进行划线，测量，小组讨论，总结规律。

3.得出平行线分线段成比例定理后根据定理来进行计算。

4.变换平行线间线段的位置，让学生类比，从不同找相同，并能运用平行线分线段成比例来解决问题。

5.去平行线，掌握平行线截三角形相似等有关结论的依据。

6.回顾情景设置，解决实际问题，课堂总结。

七、教学评价设计1 利用动手操作让学生直观的理解该定理，代替想象，充分调动学生的积极性2 抓住该节重点，并充分体现了以学生为本的教学思想八、板书设计平行线分线段成例题示范习题讲解比例的几何语言。

§23.1.1成比例线段【教学目标】：1、了解比例的基本性质、线段的比、成比例的线段；2、会判断四条线段是否成比例。

3、利用比例的性质，能求出未知线段的长。

【教学重点】：成比例线段的判断和比例的基本性质。

【教学难点】：成比例线段的判断、比例的基本性质运用及比例式与等积式的互化。

【教学用具】： 多媒体 【教学过程】：一、复习引入出示龙潭沟和恐龙遗迹园各一角的两幅图片，问： 1、这每组中的两个图形有什么联系?（它们都是平面图形，它们的形状相同，大小不相同，是相似图形（板书）.）2、试举几组生活中相似图形的例子，并说明如何判断的？3、相似的两个图形有什么主要特征呢?为了探究相似图形的特征，本节课先学习成比例线段。

（板书：§23.1.1 成比例线段）二、设疑自探：1、师：同学们，当看到课题，大胆说出你想通过本节学到些什么？2、师倾听学生的设疑，并把与本节有关的且有价值的问题整理在黑板上。

（1）什么叫成比例线段？ （2）如何判定成比例线段？ （3）成比例线段有哪些性质？3、自探提示Ⅰ：若相邻格点的长度为1,由右格点图可知：=''=''CB BCB A AB ,，这样C B BCB A AB ''''与之间的关系为 . 4、学生直接解答。

三、解疑合探Ⅰ（全班合探）：1、分别提问某三组中的学困生，由另外某三组中的中等生补充、评价。

2、教师根据学生的回答情况重点点评以下内容： （1）线段的比值是一个没有单位的数值。

（2）线段的比是指两条线段之间的关系，而比例线段是指四条线段之间的关系。

（3）一般地,如果四条线段a,b,c,d 中，a 与b 的比等于c 与d 的比．即d cba=，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段．四、自探提示Ⅱ：请同学们结合教材第49页内容，解决以下问题（自探3分钟）：一）判断下列线段a.b.c.d 是否是成比例线段？ ① a ＝4，b ＝8，c ＝5，d ＝10； ②a=5,b=5,c=152,d=35二）结合例1说说如何判断四条线段成比例线段？大家请注意：在自学中，把不会的问题记下来，合探中我们共同解决。

【学习课题】24.2.1 成比例线段【学习课型】新授课【学习课时】1课时【学习目标】1.掌握成比例线段的概念及其性质；2.会求两条线段的比及判断四条线段是否成比例。

【重难点预测】重点：线段的比和成比例线段，以及比例线段的基本性质；难点：探索比例的性质。

【课内探究案】一．知识梳理1.两条线段的比：如果用同一长度单位量得两条线段a 、b 的长度分别为m ，n ，则m ∶n 就是线段a ，b 的比，记作a ∶b ＝m ∶n 或a mb n 。

2. 对于四条线段a 、b 、c 、d ，如果d cb a （或a ∶b ＝c ∶d ），那么，这四条线段叫做，简称比例线段，也称这四条线段成比例．（注意，a 、b 、c 、d 必须按顺序写出）。

特别的，若c bb a ，则称b 为a 、c 的比例中项。

3.比例的基本性质：（1）如果d cb a ，那么．（2）如果ad ＝bc （a 、b 、c 、d 都不等于0），那么．更比定理：如果d cb a （a 、c 都不等于0），那么○1，○2，○3。

二．典型例题例练1．(1)已知M 为线段AB 上一点,AM=2cm ，MB=4cm,求AM ：BM ；(2)已知M 为线段AB 上一点，AM ：MB=3：5，且AB=16cm ，求线段AM 、BM 的长度。

例练 2. 判断下列线段a 、b 、c 、d 是否是成比例线段：（1）a ＝4，b ＝6，c ＝5，d ＝10；（2）a ＝4cm ，b ＝2cm ，c ＝1cm ，d ＝3cm ．（精讲点拨：方法1：统一单位后，从小到大排列，若第一与第二，第三与第四条线段数量的比相等，则这四条线段成比例。

方法2：统一单位后，从小到大排列，若第一与第四、第二与第三条线段数量的积相等，则这四条线段成比例。

）例练 3. 若x 是8和4的比例中项，则x 的值为例练 4. 若两地的实际距离为200km ，那么这两地在比例尺为1:2000 000的地图上的距离是例练5. 已知23b a，那么b b a、b a a各等于多少？例练6. x:y:z=1:2:3，且2x+y-3z=-15，则x 的值为。

第23章 图形的相似23．1 成比例线段23．1.1 成比例线段1．了解成比例线段的意义,会判断四条线段是否成比例．2．会利用比例的性质,求出未知线段的长．重点成比例线段的定义；比例的基本性质及直接运用．难点比例的基本性质的灵活运用,探索比例的其他性质．一、情境引入教师多媒体展示两幅相似的图片,提问：1．这两个图形有什么联系？它们都是平面图形,它们的形状相同,大小不相同,是相似图形．2．这两个图形是相似图形,为什么有些图形是相似的,而有的图形看起来相像又不会相似呢？相似的两个图形有什么主要特征呢？为了探究相似图形的特征,本节课先学习线段的成比例．二、探究新知(1)回忆什么叫两个数的比,怎样度量线段的长度,怎样比较两条线段的大小．如果选用同一个长度单位量得两条线段AB,CD 的长度分别是m,n,那么就说这两条线段的比AB∶CD＝m ∶n,或写成AB CD ＝m n,其中,线段AB,CD 分别叫做这两个线段比的前项和后项． 如果把m n 表示成比值k,则AB CD＝k 或AB ＝k·CD. 注意：在量线段时要选用同一个长度单位．(2)做一做量出数学书的长和宽(精确到0.1 cm ),并求出长和宽的比．改用m 作单位,则长为0.211 m ,宽为0.148 m ,长与宽的比为0.211∶0.148＝211∶148. 只要是选用同一单位测量线段,不管采用什么单位,它们的比值不变．(3)求两条线段的比时要注意的问题．①两条线段的长度必须用同一长度单位表示,如果单位长度不同,应先化成同一单位,再求它们的比；②两条线段的比没有长度单位,它与所采用的长度单位无关；③两条线段的长度都是正数,所以两条线段的比值总是正数．问：两条线段长度的比与所采用的长度单位有没有关系？(学生讨论)(答：线段的长度比与所采用的长度单位无关．)2．成比例线段的定义四条线段a,b,c,d 中,如果其中两条线段的长度之比等于另外两条线段的长度之比,如a b ＝c d ,那么这四条线段a,b,c,d 叫做成比例线段,简称比例线段． 3．比例的基本性质两条线段的比实际上就是两个数的比,如果a,b,c,d 四个数满足a b ＝c d,那么ad ＝bc 吗？反过来,如果说ad ＝bc,那么a b ＝c d吗？与同伴交流． 如果a b ＝c d,那么ad ＝bc. 若ad ＝bc(a,b,c,d 都不等于0),那么a b ＝c d. 教师多媒体展示例1,例2,教师引导,学生自主完成,小组内交流,教师点评．例 1 在某市城区地图(比例尺1∶9000)上,新安大街的图上长度与光华大街的图上长度分别是16 cm ,10 cm .(1)新安大街与光华大街的实际长度各是多少米？(2)新安大街与光华大街的图上长度之比是多少？它们的实际长度之比呢？ 解：(1)1440米,900米； (2)8∶5,8∶5. 例2 如图,已知a b ＝c d ＝3,求a ＋b b 和c ＋d d .解：a ＋b b ＝4,c ＋d d＝4. 三、练习巩固教师展示课件,可由学生自主完成,点名展示,教师点评．1．已知a b ＝c d ＝3,求a －b b 和c －d d 及a －b b ＝c －d d成立吗？ 2．已知a b ＝c d ＝e f＝2(b ＋d ＋f≠0),求： (1)a ＋c ＋e b ＋d ＋f ；(2)a －c ＋e b －d ＋f； (3)a －2c ＋3e b －2d ＋3f ；(4)a －5e b －5f. 【答案】1.a －b b ＝2,c －d d ＝2.a －b b ＝c －d d成立． 2．(1)2； (2)2； (3)2； (4)2.四、小结与作业小结1．注意点：(1)两线段的比值总是正数；(2)讨论线段的比时,不指明长度单位；(3)对两条线段的长度一定要用同一长度单位表示．2．比例尺：图上长度与实际长度的比．3．熟记成比例线段的定义．4．掌握比例的基本性质,并能灵活运用．布置作业从教材相应练习和“习题23.1”中选取．本课时从生活实例情境引入线段的比及成比例线段的概念,并引导学生探究比例的基本性质及其应用,通过互动交流加强对知识的理解,培养学生的合作意识．。

第23章图形的相似23.1成比例线段2平行线分线段成比例教学目标1.理解并掌握平行线分线段成比例的基本事实及其推论，并会灵活运用.2.掌握平行于三角形一边的直线的性质.教学重难点重点：掌握“平行线分线段成比例”的基本事实.难点：平行线分线段成比例定理的推导证明.教学过程复习巩固成比例线段的概念：对于给定的四条线段a，b，c，d，如果其中两条线段的长度之比等于另外两条线段的长度之比，如a cb d=（或a∶b＝c∶d），那么，这四条线段叫做成比例线段.导入新课【问题1】活动1（学生交流，教师点评）如图所示，任意画两条直线l1、l2，再画三条与l1、l2相交的平行线l3、l4 、l5.分别度量l3、l4 、l5在l1上截得的两条线段AB、BC和在l2上截得的两条线段DE、EF的长度.（1）ABBC与DEEF相等吗？（2）任意平移l5，再度量AB、BC、DE、EF的长度，ABBC与DEEF相等吗？（3）图中BCAB与EFDE，ABAC与DEDF，BCAC与EFDF，是否也相等呢？【答案】（1）相等；（2）相等；（3）相等. 可以发现，当l3∥l4∥l5时，有ABBC＝DEEF，BCAB＝EFDE，ABAC＝DEDF，BC EFAC DF=等.教师总结：引出课题：23.1成比例线段2平行线分线段成比例教学反思探究新知探究点一 平行线分线段成比例的基本事实 活动2（学生交流，教师点评）阅读教材第51页～第52页的内容，完成问题，得到结论：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.（简称“平行线分线段成比例”）符号语言表示： ∵ l 3∥l 4∥l 5，∴AB BC ＝DE EF ，BC AB ＝EF DE ，AB AC ＝DE DF ，BC AC ＝EF DF.【注意】对应线段写在对应的位置.活动3 合作探究，解决问题（师生互学） 典例讲解例1 如图，直线a 、b 被三条互相平行的直线l 1、l 2、l 3所截，AB ＝3，BC ＝2，求DE ∶DF 的值.【探索思路】（引发学生思考）已知l 1∥l 2∥l 3及AB 、BC 的长，利用平行线分线段成比例求解.【解】∵ l 1∥l 2∥l 3，∴ AB ∶BC ＝DE ∶EF ＝3∶2，∴ DE ∶DF ＝3∶5. 【题后总结】（学生总结，老师点评）两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.探究点二 平行于三角形一边的直线的性质 【问题2】活动4（学生交流，教师点评）阅读教材第52页～第53页的“思考”内容，完成问题，归纳总结，得出结论： 平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例. 符号语言表示：如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，则AD AE DE AB AC BC ＝＝，AB AC BCAD AE DE＝＝. 教学反思活动5 典例讲解（师生互动） 例2 如图，在△ABC 中，EF ∥BC .（1）如图（1）所示，如果E 、F 分别是AB 和AC 上的点，AE ＝BE ＝7，FC ＝4， 那么 AF 的长是多少？（2）如图（2）所示，如果AB ＝10，AE ＝6，AF ＝5，那么FC 的长是多少？（1） （2）【探索思路】要求线段的长，由EF ∥BC ，根据平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例列比例式求解.【解】（1）∵ EF ∥BC ，∴AE BE ＝AFFC .∵ AE ＝BE ＝7，FC ＝4，∴77＝4AF，∴ AF ＝4.（2）∵ EF ∥BC ，∴ AE AB ＝AFAC.∵ AB ＝10，AE ＝6，AF ＝5，∴ 610＝5AC ，∴ AC ＝253，∴ FC ＝AC -AF ＝253-5＝103.【即学即练】（学生独学）1.如图，DE ∥FG ∥BC ，AD ∶DF ∶FB ＝2∶3∶4，如果EG ＝4，求AC 的长.【探索思路】求AC 的长，需要转化为求AE 、GC 的长.【解】∵ DE ∥FG ∥BC ，∴ AE ∶EG ∶GC ＝AD ∶DF ∶FB ＝2∶3∶4.∵ EG ＝4，∴ AE ＝83，GC ＝163，∴ AC ＝AE +EG +GC ＝12.活动6 拓展延伸（师生互动） 典例讲解例3 如图，点D 是等边△ABC 中BC 边上一点，过点D 分别作DE ∥AB ，DF ∥AC ，交AC 、AB 于点E 、F ，连结BE 、CF ，分别交DF 、DE 于点N 、M ，连结MN .试判断△DMN 的形状，并说明理由.教学反思【探索思路】观察法：观察图形，猜测△DMN 为等边三角形→已知线段平行→得CM MF ＝NEBN→由平行线分线段成比例推论得MN ∥BC →得结论. 【解】△DMN 为等边三角形.理由：∵ DE ∥AB ，且△ABC 为等边三角形，DF ∥AC ， ∴ ∠EDC ＝∠ABC ＝60°，∠BDF ＝∠ACB ＝60°， ∴ CM MF ＝CD BD ，BN NE ＝BD CD ，∴ CM MF ＝NE BN ，∴ MN ∥BC ， ∴ ∠MND ＝∠BDN ＝60°，∠NMD ＝∠MDC ＝60°，∴ △DMN 为等边三角形. 【题后总结】（学生总结，老师点评）平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例；有两个角为60°的三角形是等边三角形.活动7 典例讲解（师生互动）例4 如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，EF ∥CD . 求证：AD 是AB 和AF 的比例中项.【探索思路】分别在△ABC .【证明】在△ABC 中，∵ , AB ACDE BC AD AE=∥∴. 在△ADC 中，∵,EF CD ∥∴AD ACAF AE=， ∴ AB AD AD AF =，∴ AD 2＝AB ·AF ，即AD 是AB 和AF 的比例中项. 【即学即练】（学生独学）2.如图，E 为ABCD 的边CD 延长线上一点，连结BE ，交AC 与点O ，交AD 与点F ，求证：BO EOFO BO=. 【证明】∵ AF ∥BC ，∴.BO COFOAO=∵ AB ∥CE ，∴ EO BO ＝CO AO ，.BO EOFO BO =∴课堂练习1.如图所示，在△ABC 中，EF ∥BC ，AE ＝2 cm ，BE ＝6 cm ，BC ＝4cm ，EF 长教学反思为（ ）A . 1 cmB .43cm C . 3 cm D .2 cm2.如图所示，A 、B 两点被池塘隔开，在AB 外取一点C ，连结AC 、BC ，在AC 上取点M ，使AM ＝3MC ，作MN ∥AB 交BC 于点N ，量得MN ＝38 m ，则AB 的长为 .3.如图所示，在△ABC 中，点M 是BC 上任一点，MD ∥ AC ，ME ∥ AB ， 若25BD AB ＝，求EC AC的值.4.如图所示，l 1∥l 2∥l 3，AB ＝3，AD ＝2，DE ＝4，EF ＝7.5，求BC 、BE 的长.5.如图所示，在△ABC 中，DE ∥BC ，DF ∥AC ，AE ＝4，EC ＝2，BC ＝8.求BF 和CF 的长.参考答案1.A2.152 m3.【解】∵ MD ∥AC ， ∴BD BA ＝BM BC ＝25，∴ MC BC ＝35.又∵ME ∥AB ，∴EC MC AC BC＝35. 4.【解】∵ l 1∥l 2∥l 3，∴ FB BE ＝AB BC ＝AD DE ，即FB BE ＝3BC＝24，教学反思∴ BC ＝6，BF ＝12BE ，∴ 12BE +BE ＝7.5，解得BE ＝5. 5. 【解】∵DE //BC ，∴42.63AD AE AB AC === ∵ DF //AC ， ∴ AD CFAB CB =. ∵ BC ＝8，∴ 216,.383CF CF ==即 ∴BF ＝BC -CF ＝8-16833=.课堂小结（学生总结，老师点评）1.平行线分线段成比例基本事实两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例. 【基本图形】2.平行线分线段成比例的基本事实的推论平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例. 【基本图形】布置作业教材第55页练习题第1，2题.板书设计课题 23.1 成比例线段 2 平行线分线段成比例【问题1】 例1 平行线分线段成比例的基本事实【问题2】 例2平行线分线段成比例线段的基本事实的推论 例3 教学反思。

教学设计一、学生知识状况分析学生在本章前两课时的学习中，通过对相似图形的直观感知，体会到可以用对应线段长度的比来描述两个形状相同的平面图形的大小关系。

从而认识了线段的比，成比例线段。

通过对方格纸中成比例线段的探究，了解了合比性质与等比性质，并在探究活动中积累了一定的合作交流的经验，培养了提出问题与解决问题的能力。

同时学生通过对合比性质与等比性质的演绎证明，也进一步发展了逻辑推理能力。

二、教学任务分析本节课依旧采用前两节在方格纸中探究的方式，引导学生得出平行线分线段成比例及其推论。

平行线分线段成比例定理是研究相似形的最重要和最基本的理论，是《课程标准》图形的性质及其证明中列出的九个基本事实之一。

在知识技能方面，要求学生理解并掌握平行线分线段成比例定理及其推论，并会灵活应用。

学生经历运用平行线分线段成比例及其推论解决问题的过程，在观察、计算、讨论、推理等活动获取知识。

让学生经历“观察—猜想—归纳—验证”的数学思想，并体会数形结合和特殊到一般的思想方法。

进一步发展学生的说理和简单推理的意识及能力；进一步体会数学与现实生活的紧密联系。

教学目标：（一）知识目标理解并掌握平行线分线段成比例的基本事实及其推论，并会灵活应用。

（二）能力目标通过应用，培养识图能力和推理论证能力。

（三）情感与价值观目标（1）、培养学生积极的思考、动手、观察的能力，使学生感悟几何知识在生活中的价值。

（2）、在进行探索的活动过程中发展学生的探索发现归纳意识并养成合作交流的习惯。

教学重点：平行线分线段成比例定理和推论及其应用。

教学难点：平行线分线段成比例定理及推论的灵活应用，平行线分线段成比例定理的变式。

三、教学过程分析本节课设计了五个教学环节：第一环节：复习设疑，引入新课；第二环节：探索发现平行线分线段成比例定理及其推论；第三环节：平行线分线段成比例定理及其推论的简单应用；第四环节：课堂小结；第五环节：布置作业．第一环节：复习设疑，引入新课内容：教师提问：（1）什么是成比例线段？（2）你能不通过测量快速将一根绳子分成两部分，使得这两部分的比是2:3？目的：（1）复习成比例线段的内容，回顾上节课通过方格纸探究成比例线段性质的过程。