2017-2018学年高中数学 课时跟踪检测(二)余弦定理 新人教B版必修5

课时跟踪检测（二） 余弦定理

层级一 学业水平达标

1．在△ABC中，已知a＝2，b＝3，C＝120°，则S△ABC＝( )

A.32 B.332

C.3 D．3

解析：选B S△ABC＝12absin C＝12×2×3×32＝332.

2．在△ABC中，已知(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，则角A等于( )

A．30° B．60°

C．120° D．150°

解析：选B ∵(b＋c)2－a2＝b2＋c2＋2bc－a2＝3bc，

∴b2＋c2－a2＝bc，

∴cos A＝b2＋c2－a22bc＝12，∴A＝60°.

3．在△ABC中，若a＝8，b＝7，cos C＝1314，则最大角的余弦值是(

)

A．－15 B．－16

C．－17 D．－18

解析：选C 由余弦定理，得

c2＝a2＋b2－2abcos C＝82＋72－2×8×7×1314＝9，

所以c＝3，故a最大，

所以最大角的余弦值为

cos A＝b2＋c2－a22bc＝72＋32－822×7×3＝－17.

4．若△ABC的内角A，B，C所对的边a，b，c满足(a＋b)2－c2＝4，且C＝60°，则ab的值为( )

A.43 B．8－43

C．1 D.23

解析：选A 由(a＋b)2－c2＝4，得a2＋b2－c2＋2ab＝4，由余弦定理得a2＋b2－c2＝2abcos C＝2abcos 60°＝ab，则ab＋2ab＝4，∴ab＝43.

5．三角形的一边长为14，这条边所对的角为60°，另两边之比为8∶5，则这个三角形的面积为( )

A．403 B．203

C．402 D．202

解析：选A 设另两边长为8x,5x，

则cos 60°＝64x2＋25x2－14280x2，解得x＝2或x＝－2(舍去)．

故两边长分别为16与10，

所以三角形的面积是12×16×10×sin 60°＝403.

6．在△ABC中，a＝32，b＝23，cos C＝13，则△ABC的面积为________．

解析：∵cos C＝13，0

∴S△ABC＝12absin C＝12×32×23×223＝43.

答案：43

7．在△ABC中，若b＝1，c＝3，C＝2π3，则a＝________.

解析：∵c2＝a2＋b2－2abcos

C，

∴(3)2＝a2＋12－2a×1×cos 2π3，

∴a2＋a－2＝0，即(a＋2)(a－1)＝0，

∴a＝1，或a＝－2(舍去)．∴a＝1.

答案：1

8．在△ABC中，若a＝2，b＋c＝7，cos B＝－14，则b＝________.

解析：因为b＋c＝7，所以c＝7－b.

由余弦定理得：b2＝a2＋c2－2accos B，

即b2＝4＋(7－b)2－2×2×(7－b)×－14，

解得b＝4.

答案：4 9．在△ABC中，已知a＝7，b＝3，c＝5，求最大角和sin C.

解：∵a>c>b，∴A为最大角．

由余弦定理的推论，得

cos A＝b2＋c2－a22bc＝32＋52－722×3×5＝－12.

又∵0°

∴A＝120°，

∴sin A＝sin 120°＝32.

由正弦定理，得sin C＝csin Aa＝5×327＝5314.

∴最大角A为120°，sin C＝5314.

10．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知3cos(B－C)－1＝6cos Bcos C.

(1)求cos A；

(2)若a＝3，△ABC的面积为22，求b，c.

解：(1)由3cos(B－C)－1＝6cos Bcos C，

得3(cos Bcos C－sin Bsin C)＝－1，

即cos(B＋C)＝－13，

从而cos A＝－cos(B＋C)＝13.

(2)由于0

又S△ABC＝22，即12bcsin A＝22，解得bc＝6.

由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A，得b2＋c2＝13，

解方程组 bc＝6，b2＋c2＝13，得 b＝2，c＝3或 b＝3，c＝2.

层级二 应试能力达标

1．△ABC的周长为20，面积为103，A＝60°，则BC的边长等于( )

A．5 B．6

C．7 D．8

解析：

选C 如图，由题意得  a＋b＋c＝20，12bcsin 60°＝103，a2＝b2＋c2－2bccos 60°，

则bc＝40，

a2＝b2＋c2－bc＝(b＋c)2－3bc＝(20－a)2－3×40，

∴a＝7.

2．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若C＝120°，c＝2a，则a，b的大小关系为( )

A．a>b B．a

C．a＝b D．不能确定

解析：选A 在△ABC中，c2＝a2＋b2－2abcos 120°＝a2＋b2＋ab.∵c＝2a，∴2a2＝a2＋b2＋ab，∴a2－b2＝ab>0，∴a2>b2，∴a>b.

3．在△ABC中，cos2B2＝a＋c2c，则△ABC是( )

A．正三角形

B．直角三角形

C．等腰三角形或直角三角形

D．等腰直角三角形

解析：选B ∵cos2B2＝a＋c2c，∴cos B＋12＝a＋c2c，

∴cos B＝ac，∴a2＋c2－b22ac＝ac，∴a2＋c2－b2＝2a2，

即a2＋b2＝c2，∴△ABC为直角三角形．

4．在△ABC中，AB＝5，BC＝7，AC＝8，则AB·BC的值为( )

A．79 B．69

C．5 D．－5

解析：选D 由余弦定理得：

cos∠ABC＝AB2＋BC2－AC22AB·BC＝52＋72－822×5×7＝17.

因为向量AB与BC的夹角为180°－∠ABC，

所以AB·BC＝|AB|·|BC|cos(180°－∠ABC)

＝5×7×－17＝－5.

5．在△ABC中，AB＝2，AC＝6，BC＝1＋3，AD为边BC上的高，则AD的长是________． 解析：∵cos C＝BC2＋AC2－AB22BC·AC＝22，∴sin C＝22，

∴AD＝ACsin C＝3.

答案：3

6．在△ABC中，A＝120°，AB＝5，BC＝7，则sin

Bsin C的值为________．

解析：由余弦定理可得49＝AC2＋25－2×5×AC×cos 120°，整理得：

AC2＋5·AC－24＝0，

解得AC＝3或AC＝－8(舍去)，

再由正弦定理可得sin

Bsin C＝ACAB＝35.

答案：35

7．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知cos A－2cos

Ccos B＝2c－ab.

(1)求sin

Csin A的值；

(2)若cos B＝14，△ABC的周长为5，求b的长．

解：(1)由正弦定理可设asin A＝bsin B＝csin C＝k，

则2c－ab＝2ksin C－ksin Aksin B＝2sin C－sin

Asin B，

所以cos A－2cos

Ccos B＝2sin C－sin

Asin B，

即(cos A－2cos C)sin B＝(2sin C－sin A)cos B，

化简可得sin(A＋B)＝2sin(B＋C)．

又A＋B＋C＝π，所以sin C＝2sin A，

因此sin

Csin A＝2.

(2)由sin

Csin A＝2，得c＝2a.

由余弦定理及cos B＝14，

得b2＝a2＋c2－2accos B＝a2＋4a2－4a2×14＝4a2，

所以b＝2a. 又a＋b＋c＝5，所以a＝1，因此b＝2.

8．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设S为△ABC的面积，满足S＝34(a2＋b2－c2)．

(1)求角C的大小；

(2)求sin A＋sin B的最大值．

解：(1)由题意可知

12absin C＝34×2abcos C.

所以tan C＝3.

因为0

(2)由(1)知sin A＋sin B＝sin A＋sinπ－A－π3

＝sin A＋sin2π3－A

＝sin A＋32cos A＋12sin A

＝3sinA＋π6≤30

当A＝π3时，即△ABC为等边三角形时取等号，

所以sin A＋sin B的最大值为3.