正弦、余弦定理 解斜三角形
建构知识网络
1．三角形基本公式：
（1）内角和定理：A+B+C=180°，sin(A+B)=sinC, cos(A+B)= -cosC,
cos
2C =sin 2B A +, sin 2C =cos 2B A +
（2）面积公式：S=21absinC=21bcsinA=2
1
casinB
S= pr =))()((c p b p a p p --- (其中p=2
c
b a ++, r 为内切圆半径)
（3）射影定理：a = b cos C + c cos B ；b = a cos C + c cos A ；c = a cos B + b cos A 2．正弦定理：
2sin sin sin a b c
R A B C
===外 证明：由三角形面积
111
sin sin sin 222S ab C bc A ac B ===
得sin sin sin a b c A B C
==
画出三角形的外接圆及直径易得：2sin sin sin a b c
R A B C
===
3．余弦定理：a 2
=b 2
+c 2
-2bccosA , 222
cos 2b c a A bc
+-=；
证明：如图ΔABC 中，
sin ,cos ,cos CH b A AH b A BH c b A ===-
222222
2
2
sin (cos )2cos a CH BH b A c b A b c bc A
=+=+-=+-
当A 、B 是钝角时，类似可证。正弦、余弦定理可用向量方法证明。
要掌握正弦定理、余弦定理及其变形，结合三角公式，能解有关三角形中的问题． 4．利用正弦定理，可以解决以下两类问题：（1）已知两角和任一边，求其他两边和一角； （2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角；
有三种情况：bsinA（1）已知三边，求三角；（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角。
6．熟练掌握实际问题向解斜三角形类型的转化，能在应用题中抽象或构造出三角形，标出已知量、未知量，确定解三角形的方法；提高运用所学知识解决实际问题的能力
双基题目练练手
1．(2006山东)在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知,13
A a b π
===，则c = （ ）
B.2
1
2．在△ABC 中，AB=3，BC=13，AC=4，则边AC 上的高为（ ）
A.
223 B.233 C.2
3
D.33 3．（2002年上海）在△ABC 中，若2cos B sin A =sin C ，则△ABC 的形状一定是 A.等腰直角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等边三角形 4. (2006全国Ⅰ)用长度分别为2、3、4、5、6（单位：cm ）的5根细木棒围成一个三角形（允许连接，但不允许折断），能够得到的三角形的最大面积为 ( )
A. 2
B. 2
C. 2
D. 2
20cm
5.（2006全国Ⅱ）已知ABC V 的三个内角A 、B 、C 成等差数列，且AB=1，BC=4，则边BC 上的中线AD 的长为_________.
6.(2006春上海)在△ABC 中，已知5,8==AC BC ，三角形面积为12，则=C 2cos .
◆答案:; 3.由2cos B sin A =sin C 得ac
b c a 2
22-+×a =c ，∴a =b .
4.组成边长6,7,7时面积最大; 6.
25
7 四、经典例题做一做
【例1】(2006天津)如图，在ABC ∆中，2AC =，1BC =，4
3
cos =C ． （1）求AB 的值； （2）求()C A +2sin 的值. 解（Ⅰ）： 由余弦定理，
2
2
2
2..cos AB AC BC AC BC C =+- 3
41221 2.4
=+-⨯⨯⨯=
∴AB =
（Ⅱ）解：由3
cos 4C =
，且0,C π<<得
sin C ==
由正弦定理:
,sin sin AB BC
C A
=
解得sin sin BC C A AB =
=。所以，cos A =。由倍角公式
sin 2sin 2cos 16
A A A =⋅=
， 且2
9
cos 212sin 16
A A =-=
，故 (
)sin 2sin 2cos cos 2sin 8
A C A C A C +=+=
. ◆提炼方法：已知两边夹角,用余弦定理,由三角函数值求三角函数值时要注意“三角形内角”的限制.
【例2】在ΔABC 中，已知a=3,b=2,B=45°，求A,C 及边c ．
解：由正弦定理得：sinA=23
2
45sin 3sin =
⋅=οb B a ,因为B=45°<90°且b(1)当A=60°时,C=180°-(A+B)=75°， c=
22
645sin 75sin 2sin sin +=⋅=ο
ο
B C
b , (2)当A=120°时,C=180°-(A+B)=15 °，c=
2
2
645sin 15sin 2sin sin -=
⋅=ο
ο
B
C
b ◆提炼方法：已知两边和其中一边的对角解三角形问题，用正弦定理求解，必需注意解的情况的讨论．
【例3】(2006上海)如图，当甲船位于A 处时获悉，在其正东方向相距20海里的B 处有一艘渔船遇险等待营救 甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30ο
，相距10海里C 处的乙船，试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往B 处救援（角度精确到1︒）？ [解] 连接BC,由余弦定理得
BC 2
=202
+102
－2×20×10COS120°=700
于是,BC=107 ∵
7
10120sin 20sin ︒
=ACB , ∴sin∠ACB=73,
∵∠ACB<90° ∴∠ACB=41°
∴乙船应朝北偏东71°方向沿直线前往B 处救援
思路点拨:把实际问题转化为解斜三角形问题，在问题中构造出三角形，标出已知量、未知量，确定解三角
形的方法；
【例4】已知⊙O 的半径为R ，，在它的内接三角形ABC 中，有
(
)(
)
B b a
C A R sin 2sin sin 222-=
-成立，求△ABC 面积S 的最大值．
解：由已知条件得
()()
(
)
b a B
R B A R -=-2sin 2sin sin
222
2
．即有 2222b ab c a -=-，
又 222cos 222=-+=ab c b a C ∴ 4π
=c ．34
A B π+=
