高二数学竞赛模拟试题附答案

1 高二数学竞赛模拟试题

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．如图，点O是正六边形ABCDEF的中心，则以图中点

A、B、C、D、E、F、O中的任意一点为始点，与始点不

同的另一点为终点的所有向量中，除向量OA外，与向量

OA共线的向量共有（ ）

A．2个 B． 3个 C．6个 D． 7个

2．若(3a2 －312a) n 展开式中含有常数项，则正整数n的最小值是 （ ）

A．4 B．5 C． 6 D． 8

3． 从5名演员中选3人参加表演，其中甲在乙前表演的概率为 （ ）

A． 203 B． 103 C． 201 D． 101

4．抛物线y2=a(x+1)的准线方程是x=－3，则这条抛物线的焦点坐标是（ ）

A.（3，0） B.（2，0） C.（1，0） D.（-1，0）

5．已知向量ｍ＝（a，b），向量ｎ⊥ｍ，且｜ｎ｜＝｜ｍ｜，则ｎ的坐标可以为（ ）

A.（a，－b） B.（－a，b） C.（b，－a） D.（－b，－a）

6．如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，P为BD1的中点，则△PAC在该正方体各个面上的射影可能是（ ）

A．①④ B．②③ C．②④ D．①②

7．有6个座位连成一排，现有3人就坐，则恰有两个空座位相邻的不同坐法有 （ ）

A．36种 B．48种 C．72种 D．96种

8．已知直线l、m，平面、β，且l⊥,mβ.给出四个命题：（1）若∥β,则l⊥m;

(2)若l⊥m,则∥β;(3)若⊥β,则l∥m;(4)若l∥m,则⊥β,其中正确的命题个数是()

A.4 B.1 C.3 D.2

9．已知函数f(x)＝log2(x2－ax＋3a)在区间[2，＋∞)上递增，则实数a的取值范围是（ ）

A.(－∞，4) B.(－4，4] C.(－∞，－4)∪[2，＋∞) D.[－4，2)

10．4名乘客乘坐一列火车，有5节车厢供他们乘坐。假设每个人进入各节车厢是等可能的，那么这4名乘客分别在不同车厢的概率为 （ ）

A、4445A B、4545A C、4454A D、4554A

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．答案填在题中横线上．

11．从7ab的二项展开式的各项中任取两项，这两项中至少有一项含有最大的二项式系EFDOCBAABCD1A1B1C1DP① ③ ④ ②

2 数的概率为 。

12．在等差数列｛an｝中，a1=251,第10项开始比1大，则公差d的取值范围是___________.;

13．已知正三棱柱ABC—A1B1C1，底面边长与侧棱长的比为2∶1，则直线AB1与CA1所成的角为 。

14．已知函数f(x)满足：f(p+q)=f(p)f(q),f(1)=3,则

)7()8()4()5()6()3()3()4()2()1()2()1(2222ffffffffffff= ．

15．下面是关于三棱锥的四个命题：

⑴底面是等边三角形，侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥。

⑵底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥。

⑶底面是等边三角形，侧面的面积都相等的三棱锥是正三棱锥。

⑷侧棱与底面所成的角都相等，且侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥。

其中，真命题的编号是_____________。（写出所有真命题的编号）

3 高二数学竞赛模拟试题答卷

一、选择题：

题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9

10

答案

二、填空题：

11． 12． 13．

14． 15． .

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

16．已知关于x的方程0492122xxaa有一根是2．

1）求实数a的值；

2）若10a，求不等式0492122xxaa的解集．

17． 在数列{an}中，a1=1,a2=3,且an+1=4an－3an－1，求an.

4 18．已知长方体AC1中，棱AB＝BC＝3，棱BB1＝4，连结B1C，过B 点作B1C的垂线交CC1于E，交B1C于F.

(1)求证A1C⊥平面EBD；

(2)求点A到平面A1B1C的距离；

(3)求平面A1B1C与平面BDE所成角的度数；

(4)求ED与平面A1B1C1所成角的大小；

.

19．（本小题满分12分）如图，在长方体ABCD—A1B1C1D1，中，AD=AA1=1，AB=2，点E在棱AB上移动.

（1）证明：D1E⊥A1D；

（2）AE等于何值时，二面角D1—EC—D的大小为4.

5 20．（本小题满分16分）

一场篮球比赛到了最后5分钟，甲队比乙队落后5分。如果甲队全投3分球，则有5次投篮机会。如果甲队全投2分球，则有3次投篮机会。假设甲队队员投3分球的命中率均为0.5，投2分球的命中率均为0.8，并且甲队加强防守，不给乙队投篮机会。问：在用尽所有投篮机会的前提下，全投3分球与全投2分球这两种方案中，选择哪一种方案甲队获胜的概率较大？

21．如图：在直角三角形ABC中，已知AB=a，∠ACB=30o，∠B=90o,D为AC的中点，E为BD的中点，AE的延长线交BC于F，将△ABD沿BD折起，二面角A'-BD-C的大小记为θ。

⑴求证：平面A'EF平面BCD；

⑵θ为何值时A'BCD？

⑶在⑵的条件下，求点C到平面A'BD的距离。

E E A

B A’“‘

F D

C B F C D

6 高二数学竞赛模拟试题参考答案

一、选择题：1 ．D; 2．B; 3．A 4．C; 5．C; 6．A7．C; 8．D 9．B 10．B

二、填空题：11．1328 12.758

16．（1）用x=2代入原方程得04922aa

214aa或

（2）2110aa故,

则原不等式化为4)21(2104)21(9)21(21122xxx则,

解之得21x,即解集为}21|{xx)21(时a

17． 解：由an+1=4an－3an－1

得an+1－an=3(an－an－1)

即11nnnnaaaa=3,a2－a1=3－1=2,

令bn=an+1－an,

故数列{bn}是首项为2,公比为3的等比数列，

∴bn=an+1－an=2·3n－1

即an+1－an=2·3n－1,利用迭加法或叠代法可求得an=3n－

18．本小题主要考查空间线面关系和空间角的计算，考查逻辑思维能力、空间想象能力和运算能力。

解：(1)连结AC，则BDAC，又AC是A1C在平面ABCD内的射影

∴BDCA1；

又∵CBCBBA1111面，且A1C在平面CBCB11内的射影BECB1，

∴BECA1，又∵BBEBD ∴EBDCA面1

(2) 容易证明BF⊥平面A1B1C，

∴所求距离即为BF＝12/5

(3) 同上∵BF⊥平面A1B1C，，而BF在平面BDE上，

∴平面A1B1C⊥平面BDE

(4)连结DF，A1D，∵CBEF1，CAEF1，∴CBAEF11面，∴∠EDF即为ED与平面A1B1C所成的角 6分 由条件3BCAB，41BB，可知51CB，512BF，5161FB，59CF，FBFCEF1·BF2027，FBFCEC1·491BB

∴41522CDECED ∴259sinEDEFEDF