高二数学竞赛模拟试题
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的．
1．如图，点O 是正六边形ABCDEF 的中心，则以图中点 A 、B 、C 、D 、E 、F 、O 中的任意一点为始点，与始点不 同的另一点为终点的所有向量中，除向量外，与向量
OA 共线的向量共有（ ）
A ．2个
B ． 3个
C ．6个
D ． 7个
2．若(3a 2
－3
12a ) n 展开式中含有常数项，则正整数n 的最小值是 （ ） A ．4 B ．5 C ． 6 D ． 8 3． 从5名演员中选3人参加表演，其中甲在乙前表演的概率为 （ ）
A ． 203
B ． 103
C ． 201
D ． 101
4．抛物线y 2=a(x+1)的准线方程是x=－3，则这条抛物线的焦点坐标是（ ） A.（3，0） B.（2，0） C.（1，0） D.（-1，0） 5．已知向量ｍ＝（a ，b ），向量ｎ⊥ｍ，且｜ｎ｜＝｜ｍ｜，则ｎ的坐标可以为（ ） A.（a ，－b ） B.（－a ，b ） C.（b ，－a ） D.（－b ，－a ）
6．如图，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，P 为BD 1的中点，则△P AC 在该正方体各个面上
的射影可能是（ ）
A ．①④
B ．②③
C ．②④
D ．①②
7．有6个座位连成一排，现有3人就坐，则恰有两个空座位相邻的不同坐法有 （ ）
A ．36种
B ．48种
C ．72种
D ．96种
8．已知直线l 、m ，平面α、β，且l ⊥α,m ⊂β.给出四个命题：（1）若α∥β,则l ⊥m ; (2)若l ⊥m ,则α∥β;(3)若α⊥β,则l ∥m ;(4)若l ∥m ,则α⊥β,其中正确的命题个数是()
A.4
B.1
C.3
D.2
9．已知函数f(x)＝log 2(x 2－ax ＋3a)在区间[2，＋∞)上递增，则实数a 的取值范围是（ ） A.(－∞，4) B.(－4，4] C.(－∞，－4)∪[2，＋∞) D.[－4，2) 10．4名乘客乘坐一列火车，有5节车厢供他们乘坐。假设每个人进入各节车厢是等可能的，那么这4名乘客分别在不同车厢的概率为 （ ）
A 、4445A
B 、4545A
C 、4
4
54A D 、4554
A
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．答案填在题中横线上．
11．从()7
a b +的二项展开式的各项中任取两项，这两项中至少有一项含有最大的二项式系
E
F D
O
C B
A A
B
C D
1A 1
B
1
C 1
D
P
①
③
④
②
数的概率为 。
12．在等差数列｛a n ｝中，a 1=
25
1
,第10项开始比1大，则公差d 的取值范围是___________.; 13．已知正三棱柱ABC —A 1B 1C 1，底面边长与侧棱长的比为2∶1，则直线AB 1与CA 1
所成的角为 。
14．已知函数f (x )满足：f (p +q )=f (p )f (q ),f (1)=3,则
)
7()
8()4()5()6()3()3()4()2()1()2()1(2222f f f f f f f f f f f f ++
+++++= ． 15．下面是关于三棱锥的四个命题：
⑴底面是等边三角形，侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥。 ⑵底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥。 ⑶底面是等边三角形，侧面的面积都相等的三棱锥是正三棱锥。
⑷侧棱与底面所成的角都相等，且侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥。
其中，真命题的编号是_____________。（写出所有真命题的编号）
高二数学竞赛模拟试题答卷
二、填空题：
11． 12． 13．
14． 15． .
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．已知关于x 的方程0492122=+---x x a a 有一根是2．
1）求实数a 的值；
2）若10<17． 在数列{a n }中，a 1=1,a 2=3,且a n +1=4a n －3a n －1，求a n .
18．已知长方体AC 1中，棱AB ＝BC ＝3，棱BB 1＝4，连结B 1C ，过B 点作B 1C 的垂线交CC 1于
E ，交B 1C 于F.
(1)求证A 1C ⊥平面EBD ；
(2)求点A 到平面A 1B 1C 的距离；
(3)求平面A 1B 1C 与平面BDE 所成角的度数； (4)求ED 与平面A 1B 1C 1所成角的大小； .
19．（本小题满分12分）如图，在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1，中，AD=AA 1=1，AB=2，
点E 在棱AB 上移动. （1）证明：D 1E ⊥A 1D ；
（2）AE 等于何值时，二面角D 1—EC —D 的大小为4
.
