高中数学竞赛模拟试题

高中数学竞赛模拟试题（一）

一、选择题：

1.设集合}5,4,3,2,1{},1,0,2{=-=N M ，映射N M f →:使得对任意的M x ∈，都有

)()(x xf x f x ++是奇数，则这样的映射f 的个数是 （ A ）

（A ）45 （B ）27 （C ）15 （D ）11

提示：当2-=x 时，)2(2)()(---=++f x xf x f x 为奇数，则)2(-f 可取1、3、5，有3种取法；当0=x 时，)0()()(f x xf x f x =++为奇数，则)0(f 可取1、3、5，有3种取法；当1=x 时，)1(21)()(f x xf x f x +=++为奇数，则)1(f 可取1、2、3、4、5，有5种取法。由乘法原理知共有45533=⨯⨯个映射。

2.设平面上有四个互异的点A 、B 、C 、D ，已知0)()2(=-⋅-+，则△ABC 的形状是 （ A ） （A ）等腰三角形 （B ）直角三角形 （C ）等腰直角三角形 （D ）等边三角形 提示：+=++=-+22.

3.设函数x

b

ax x g x x f +

==)(,ln )(，它们的图象在x 轴上的公共点处有公切线，则当1>x 时，)(x f 与)(x g 的大小关系是 （ B ）

（A ）)()(x g x f >（B ）)()(x g x f <（C ）)()(x g x f =（D ）)(x f 与)(x g 的大小不确定 提示：)(x f 与)(x g 的图象在x 轴上有公共点)0,1(，∴0,0)1(=+=b a g 即.

∵x x f 1)('=

,2')(x

b a x g -=,由题意1,1)1()1('

'=-==b a g f 即,∴.21,21==b a 令)2121(ln )()()(x x x x g x f x F --=-=,则0)11

(2121211)(22'≤--=--=x

x x x F

∴)(x F 在其定义域内单调递减.由∵0)1(=F ,∴当1>x 时,0)(

4.设AB 是椭圆122

22=+b

y a x （0>>b a ）的长轴，若把AB100等分，过每个分点作AB 的垂线，

交椭圆的上半部分于

P 1、P 2、… 、P 99 ，F 1为椭圆的左焦点，则

21111P F P F A F +++…B F P F 1991++的值是 （ D ）

（A ）a 98 （B ）a 99 （C ）a 100 （D ）a 101

提示：（方法一）由椭圆的定义知a P F P F i i 221=+(99,,2,1Λ=i )，

.198992)(99

121a a P F P F i i i =⨯=+∴∑=由题意知9921,,,P P P Λ关于y 轴成对称分布，

.99)(21)(99

12199

1

1a P F P F P F i i i i i =+=∴∑∑==又a B F A F 211=+Θ，故所求的值为a 101.

（方法二）21111P F P F A F +++…B F P F 1991++

Λ++++=)()(1ex a ex a A )()(99B ex a ex a ++++

.101)(1019921a x x x x x e a B A =+++++=Λ（A,9921,,,P P P Λ,B 关于y 轴成对称分布）

5.已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1，过顶点A 1在空间作直线l ，使直线l 与直线AC 和BC 1所成的

角都等于600，这样的直线l 可以作 （ B ） （A ）4条（B ）3条（C ）2条（D ）1条

提示：易知异面直线AC 与BC 1所成的角为600，因此，本题等价于：已知直线a 与b 所成的角为600，则过空间一点P 且与a 、b 所成的角都是600的直线有且仅有多少条？这不难可判断有3条。

6.12)526(++n 的小数表示中，小数点后至少连续有 （ A ）

（A ）12+n 个零（B ）22+n 个零（C ）32+n 个零（D ）42+n 个零

提示：由二项式定理知易证Z n n ∈--+++])526()

526[(121

2，因此12)526(++n 与12)526(+-n 的小数部分完全相同。

1015

2615260<

+<

-<Θ，1212)10

1()526(0++<-<∴n n ，即1

2)526(+-n 的小数表示中小数点后面至少接连有12+n 个零，因此，1

2)526(++n 的小数表示中，小数点后至少连续有

12+n 个零。

二、填空题：

7.已知0

2sin 2sin 5=α，则)

1tan()1tan(00-+αα的值是_____________________.

【答案】2

3

-

.提示：弦切变换,构造齐次式解题. )]1()1sin[(]1()1sin[(50000αααα-++=-++ )1sin()1cos(6)1cos()1sin(40000-+-=-+⇒αααα.

8.乒乓球比赛采用7局4胜制，若甲、乙两人实力相当，获胜的概率各占一半，则打完5局后仍不能结束比赛的概率等于_____________________.

【答案】

8

5

. 提示：（方法一）打完5局后仍不能结束比赛的情况是甲、乙两人中任意某个人任意胜3局，另一个人胜2局，其概率为8

52112123

35

12=-⋅）（）（C C . （方法二）打完5局后能结束比赛的情况是：甲、乙两人中任意某个人任意胜4局或5局全胜，其概率等于8

3])21()211()2

1

([5554

4

51

2=+-

⋅C C C ，所以，打完5局后仍不能结束比赛的概率等于8

5

831=-

. 9.不等式

92)211(42

2

+<+-x x x 的解集为_______________________.

【答案】)8

45

,

0()02

1[⋃-，.提示：原不等式等价于)21222()92(42x x x x +-+⋅+< 设t x =+21，则10≠≥t t 且，122

-=t x ，从而原不等式可化为

271108

)1(10

)8()1()1(1

02

22

222<<<≤⇔⎪⎩⎪

⎨

⎧+<+≠≥⇔⎪⎩⎪

⎨⎧+-<-≠≥t t t t t t t t t t t 或. 10.把半径为1的4个小球装入一个大球内，则此大球的半径的最小值为_______________. 【答案】2

6

1+

.提示：4个小球在大球内两两相切，4个小球的球心连线构成1个正四面体，正四面体的中心与大球的球心重合，大球的半径等于正四面体的外接球半径加上小球的半径，所以大球半径为

2

61124613643143+=+⨯=+⋅⨯=+a h .(其中,h 表示正四面体的高,a 表示正四面体的棱长.)

11.设200221,,,a a a Λ均为正实数，且2

1

212121200221=++++++a a a Λ，则200221a a a ⋅⋅⋅Λ的最小值为____________________. 【答案】2002

4002

. 提示：令

i i

x a =+22

，则i i i x x a -⋅=12，且121=+++i x x x Λ，

其中.2002,,2,1Λ=i

)

(1

22002322002

212002200221x x x x x x a a a +++⋅⋅

=⋅⋅⋅∴ΛΛΛ)()(200121200231x x x x x x +++⋅⋅+++⋅ΛΛΛ