2012年全国初中数学竞赛天津赛区初赛
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２０１２年第６期 ２１
２０１２年全国初中数学竞赛天津赛区初赛
中图分类号：Ｇ４２４．７９ 文献标识码：Ａ 文章编号：１００５—６４１６（２０１２）０６—００２１—０４
一、选择题（每小题７分，共３５分）
１．已知四个互不相等的正实数口、ｂ、ｃ、ｄ
满足 （ ２ ｏ１ 一ｃ２ ｏ１ ）（０ ｏ１２一ｄ２ ｏ１２）＝２ ０１２，
（ｂ 。 一ｃ 。 ）（ｂ 。 一ｄ 。。 ）＝２ ０１２．
则（口６） ｍ 一（ｃａ） ｍ ＝（ ）．
（Ａ）一２ ０１２ （Ｂ）一２ ０１１
（Ｃ）２ ０１２ （Ｄ）２ ０１１
２．一个袋子中装有４个相同的小球，它
们分别标有号码１、２、３、４．摇匀后随机取出
一球，记下号码后放回；再将小球摇匀，并从
袋子中随机取出一球．则第二次取出的球的
号码不小于第一次取出球的号码的概率为
（ ）．
（Ａ）÷ （Ｂ）詈 （ｃ） （Ｄ）詈
３．如图ｌ，已知矩形纸片ＡＢＣＤ，ＡＢ＝３，
ＡＤ＝９，将其折
叠使点Ｄ与点曰
重合，得折痕
Ｅ 则ＥＦ的长
为（ ）．
（Ａ）√３ 图１
（Ｂ）２
（ｃ） （Ｄ）
４．在正九边形ＡＢＣＤＥＦＧＨＩ中，若对角
线ＡＥ＝２，则ＡＢ＋ＡＣ＝（ ）．
（Ａ） （Ｂ）２ （ｃ） ３ （Ｄ）
５．有Ｉ１，个人报名参加甲、乙、丙、丁四项
体育比赛活动，规定每人至少参加一项比赛，
至多参加两项比赛，但乙、丙两项比赛不能同
时兼报．若在所有不同的报名方式中，必存在 一种方式至少有２０个人报名，则ｒ／，的最小值
为（ ）．
（Ａ）１７１（Ｂ）１７２（Ｃ）１８０（Ｄ）１８１
二、填空题（每小题７分，共３５分）
６．若 一．＝＝１：一２，则 ｚ一 ： ． ４ｘ ７．若四条直线
＝１，ｙ＝一１，），＝３，Ｙ＝Ｊ 一３
所围成的凸四边形的面积等于ｌ２，则后的值
为——．
８．如图２，已知半径为ｒ的ｏ ０沿折线
ＡＢＣＤＥ作无滑动的滚动．若ＡＢ＝ＢＣ：ＣＤ
＝ＤＥ＝２ ７ｃ ｒ． ＡＢＣ＝ ＣＤＥ＝１５０。，
ＢＣＤ＝１２０。，则ｏ０自点Ａ至点Ｅ转动了
周．
图２ 图３ ９．如图３，在ＡＡＢＣ中，已知Ｄ为边ＢＣ
的中点，Ｅ、Ｆ为边ＡＢ的三等分点，ＡＤ分别
与ＣＥ、ＣＦ交于点Ｍ、Ⅳ．则ＡＭ：ＭＮ：ＮＤ＝
１Ｏ．若平面内有一正方形ＡＢＣＤ，Ｍ是
该平面内任意点，￣ Ｍ Ａ＋
＋Ｍ
朋 Ｃ的最小值为
三、解答题（每小题２０分，共８０分）
ｌ１．已知抛物线ｙ＝ ＋ ＋，ｌ经过点
（２，一１），且与 轴交于 （口，０）、Ｂ（ｂ，０）两
点．若Ｐ为该抛物线的顶点，求使ＡＰＡＢ面
积最小时抛物线的解析式．
２２ 中等数学
１２．如图４，分别以边长为１的正ＡＡＢＣ
的顶点为圆心、以其边长为半径作三个等圆，
得交点Ｄ、Ｅ、Ｆ，联结ＣＦ交ＯＣ于点Ｇ，以点
Ｅ为圆心、ＥＧ长为半径画弧，交边ＡＢ于点
．求ＡＭ的长．
图４ １３．设Ｐ与５ｐ 一２同为质数．求Ｐ的值．
１４．已知关于 的不等式组
ｆ ＜ｎ＋１，
ｌ ２ｘ～２＞口
的解集中的整数恰好有两个．求实数口的取
值范围．
参考答案
——、１．Ａ． 由题设知口 们 、ｂ２ ｏ１２是关于 的一元二
次方程
（ —ｃ ｍ ）（ 一ｄ 叭 ）＝２ ０１２，
即 一（ｃ ｍ ＋ｄ２叭 ） ＋（ｃｄ） ｍ 一２ ０１２＝０
的两个不等实根． 则（／２ ０１２ｂ 叭 ＝（ｃｄ）２ ０１２—２ ０１２．
故（ａｂ） 叭 一（ｃｃｆ） 叭 ＝一２ ０１２．
２．Ｄ．
根据题意，列举出所有可能出现的结果
如表ｌ：
表１ 、、＼第一次 １ ２ ３ ４ 第二次、、＼
ｌ （１，１） （２，１） （３，１） （４，１）
２ （１，２） （２，２） （３，２） （４，２）
３ （１，３） （２，３） （３，３） （４，３）
４ （１，４） （２，４） （３，４） （４，４） 其中，两次取出的球的号码相同的有四
种情形：
（１，１），（２，２），（３，３），（４，４）；
第二次取出的球的号码比第一次取出的
球的号码大的有六种情形：
（１，２），（１，３），（１，４），
（２，３），（２，４），（３，４）．
故所求的概率为音・
３．Ｃ．
设ＤＥ＝ ．贝０ ＢＥ＝ ，ＡＥ＝９一 ．
在Ｒｔ Ａ ＡＢＥ中，有 ３ ＋（９一 ） ＝ ２．
解得 ＝５，即ＤＥ＝５．
联结ＢＤ，与 交于点Ｇ．则ＢＤ垂直平
分ＥＦ．
在Ｒｔ△ＤＥＧ中，由
ＤＧ＝丢肋＝ ＝３＃２＇－１－０，
得ＥＧ：￣／—ＤＥ２－—ＤＧ２： ．
所以，ＥＦ＝２ＥＧ＝，／ｌＯ．
４．Ｂ． 如图５，联结
ＡＤ，延长ＡＣ至点 ，
使ＣＭ＝ＡＢ．
在正九边形
ＡＢＣＤＥＦＧＨＩ中．电
仰Ｃ
（９—２）×１８０。 —。 ９
＝１４０。． 得／ＡＣＢ＝２０。． 图５
则 ＡＣＤ＝１４０。一２０。＝１２０。．
故／ＤＣＭ＝６０。，△ＣＤＭ为正三角形．
于是，ＤＭ＝ＤＥ．
又／ＡＥＤ＝ ＢＡＥ＝３ ＡＣＢ＝６０。，则
△ＡＤＭ—Ｃ，．／ＤＡＡＤＥ ＡＭ＝ＡＥ＝２．
所以，ＡＢ＋ＡＣ＝２．
５．Ｂ．
用有序数组（ｎ甲，ｂ乙，。丙，ｄ丁）表示每个 人报名参加甲、乙、
丙、丁四项体育比赛的方 ２０１２年第６期
式，其中，若参加某项比赛，则相应的数记为 １（如参加甲项比赛，记ａ ＝１）；若不参加某
项比赛，则相应的数记为０（如不参加甲项比
赛，记ａ ＝０）．
于是，每个人报名参赛的方式共有下面
九种可能：
（１，１，０，Ｏ），（１，０，１，０），（１，０，０，１），
（０，１，０，Ｉ），（０，０，Ｉ，Ｉ），（Ｉ，０，０，０），
（０，１，０，０），（０，０，１，０），（０，０，０，１）．
以此作为九个抽屉，由已知及抽屉原理
有／／，＝１９×９＋ｒ．
当ｒ＝１时，可得／／，的最小值为１７２．
二、６．一２４ ．
由题设知０＜ ＜１，且
（ 一 一２＋ ＝４
： ＋ ：６．
又（ 一 ） ＝（ ＋÷） 一４＝３２，得
一 ＝±４ （正值舍去）．
则 ２一 ＝（ ＋ ）（ — １）＝一 ．
７．１或一２．
由＝ｋｘ－
．３’得交点Ａ（吾，一，）；
由ｌｔｙ
Ｙ ’得交点Ｂ（ ，３）． ＝ｊ． 、 ，
由题意知点Ａ、Ｂ在 ＝１同侧，且
（１吾一・Ｉ＋Ｉ 一 １）ｘ４＝１２
ｌ 一 ｛＋ｌ 一 ｝＝６
＝ ｌ（ 一・）＋（ 一－）Ｉ＝６
ｊ ｋ＝１或一２．
８．４÷．
由ＡＢ＝ＢＣ＝ＣＤ＝ＤＥ＝２ｒｔｒ，得ｏ０沿线
段ＡＢ、ＢＣ、ＣＤ、ＤＥ滚动时均转了１周；
由 ＡＢＣ＝ ＣＤＥ＝１５０＂．得Ｏ０经过 点Ｂ和Ｄ时均多转了 周；
由 ＢＣＤ＝１２０。，得ｏ０经过点Ｃ时多
转了÷周．
所以，ｏ０自点Ａ至Ｅ转动了
４＋ １＋ １＋ ＝４ （周）．
９．５：３：２．
如图６，联结ＤＦ．
由Ｄ为边ＢＣ
中点，Ｅ、Ｆ为边ＡＢ
三等分点，得
ＤＦｆｆＣＥ
１ ＡＭ＝÷ＡＤ．
过点 作ＡＢ Ｃ
图６
的平行线，交ＣＦ于点Ｇ．则
—ＮＤ—一旦 一 一 一 ＡＮ。。ＡＦ—。２ＡＦ—。４‘
故ＮＤ＝ Ｄ．
ＸＭＮ＝ＡＤ一 Ｄ一 Ｄ＝ Ｄ，则
ＡＭ： ：ⅣＤ＝ １：而３： １＝５：３：２．
１０．訾．
设正方形ＡＢＣＤ的边长为ａ．
若点 与Ａ或Ｃ重合，则
ＭＡ＋ＭＣ ８ ＭＢ＋）ｌｉＤ一２ａ一２’
若点Ｍ既不是Ａ也不是Ｃ，则
ＭＡ・ＭＣ＞０．
由（ＭＢ—ＭＤ） ＞１０，知
ＭＢ ＋ＭＤ ＞￣２ＭＢ・ＭＤ．
又在正方形ＡＢＣＤ中有
ＭＡ ＋ＭＣ ＝ＭＢ ＋ＭＤ ． 贝０ ＭＡ ＋ＭＣ ＋ＭＢ ＋ＭＤ２＋４＾ｆＡ・ＭＣ
＞ＭＢ ＋ＭＤ ＋２ＭＢ．ＭＤ
ｊ ２（ＭＡ ＋ＭＣ ）＋４ＭＡ．ＭＣ
＞ＭＢ ＋ＭＤ ＋２ＭＢ．ＭＤ
２（ＭＡ＋ＭＣ） ＞ｆＭＢ＋ＭＤ）
２４ 中等数学
＞于‘
综上， 葛 的最小值为譬。
三、ｌ１．由抛物线Ｙ： ＋，船＋ｒｇ经过点
（２，一１），得
４＋２ｍ＋ｒｔ＝一ｌ ２ｍ＋ｎ＝一５．
因为抛物线Ｙ＝ ＋懈＋ｒｔ与 轴交于
两点Ａ（口，０），Ｂ（ｂ，０），所以，
口＋ｂ＝一ｍ．ａｂ＝ｒｔ．
贝０ １ ４ １＝１ ０一ｂ Ｉ＝￣／（ｎ＋６） 一４ａｂ
：、 ． 由题意知顶点Ｐ（一虿ｍ，ａｎ －ｍ２
故ｓ ＝ Ｉ。＿６１｝ ｌ
＝ １（ｍ 一４ｎ）亍．
注意到，
， 一４ｎ＝ｍ ＋４（５＋２ｍ）＝（ｍ＋４） ＋４．
因此，当ｍ＝－４时，Ｊｓ 取得最小值．
此时，ｒｔ＝一５—２ｍ＝３．
所以，抛物线Ｙ＝ 一４ｘ＋３即为所求．
１２．根据题意知 ＡＣＧ＝３０。．
如图７，联结ＥＡ、ＥＣ、ＥＭ．
图７ 由ＯＡ、ｏＣ半径均为１，知△ＡＣＥ为等
边三角形，则 ＡＣＥ＝６０。．
故 ＥＣＦ＝９０。．
在Ｒｔ△ＥＣＧ中，得ＥＧ＝√２．
从而，ＥＭ＝４２． 过点Ｅ作直线ＡＢ的垂线，交 的延长
线于点且则
ＥＡＨ＝６０。．
于是，在Ｒｔ△ＡＥＨ中，
ＡＨ： Ｅ： ，
ＥＨ＝ ＝ ．
在Ｒｔ△ＭＥＨ中，
ＨＭ： 呵： ．
故Ａ ：朋 一Ａ日： ．
１３．设ｍ是非负整数．
若Ｐ＝３ｍ，则Ｐ＝３，５ｐ 一２＝４３，同为质
数；
若Ｐ＝３ｍ＋１，则ｍ＞０，
５ｐ 一２＝５（３ｍ＋１） 一２
＝３（１５ｍ ＋ｌＯｍ＋１）
不是质数；
若Ｐ＝３ｍ＋２，则
５ｐ 一２＝５（３，ｎ＋２） 一２
＝３（１５ｍ ＋２０ｍ＋６）
不是质数．
综上，Ｐ＝３．
１４．由题设知 ＜ ＜口＋１．
由题意知存在整数ｋ满足
ｆ｜ｌ｝≤ ＜．１｝＋ｌ， １
．ｊ｝＋２二ｎ＋１≤．ｊ｝＋３
。ｆ２．ｊ｝一２≤口＜２ｋ，
Ｉ ｋ＋１＜ａ≤ｋ＋２．
则 ，＋２
１＜ｋ≤４ ｋ＝２，３，４．
当ｋ＝２时，得３＜ａ＜４；
当ｋ＝３时，得４＜ａ≤５；
当ｋ＝４时，得ａ＝６．
故３＜ ＜４或４＜ａ≤５或ａ＝６．
（刘金英提供）
