2013天津市初中数学竞赛赛试题
所属班级 姓名 一、选择题（每小题7分，满分35分）：
1、设实数,,a b c 满足2346c b a a +=-+，244c b a a -=-+，则,,a b c 的大小关系是
（ ）.
A 、a b c <≤
B 、b a c <≤
C 、b c a <≤
D 、c a b <≤
2、设O 为锐角⊿ABC 的外心，连结AO 、BO 、CO ，并分别延长，交对边于点D 、E 、F ，若
⊿ABC 的外接圆半径为6，
111
AD BE CF ++
的值是（ ）. A 、1 B 、12
C 、13
D 、16
3、已知20122011a x =+，20122012b x =+，20122013c x =+，那么222a b c ab bc ca ++---的值为（ ）.
A 、3
B 、2
C 、1
D 、0
4、如图，在平面直角坐标系xoy 中，直线PA 是一次函数y x n =+的图像，与x 轴、y 轴分别交于点A 、Q. 直线PB 是一次函数2y x m =-+的图像，与x 轴交于点B.若AB=2，四边形OBPQ 的面 积等于56
，则
m n
m n
+-的值为（ ）. A 、1 B 、 2 C 、 3 D 、 4
5、已知10个彼此不相等的正整数1210,,,a a a 满足条件215a a a =+，326a a a =+，437a a a =+，658a a a =+，769a a a =+，9810a a a =+，则4a 的最小值是（ ）. A 、19 B 、20 C 、21 D 、22
二、填空题（每小题7分，满分35分）：
6、若11111101112
19
a =
++++，则a 的整数部分为 .
7、若关于x 的不等式()250a b x a b -+->的解集为10
7
x <
，则关于x 的不等式ax b >的解集为 .
8、如图，一钢球从入口处自上而下沿通道自由落下，在每个岔口处向两侧滑落是等可能的，则钢球落入出口乙的概率为 .
9.如图，在矩形ABCD 中，E 、F 分别是AD 、BC 的中点，AC 与EF 交于点O ，点M 在线段AO 上，ME 、CD 的延长线相交于点N.若∠MFB= 57︒，则∠FNC 的大小等于 . 10.在一张正方形纸片的内部给出了2013个点，连同正方形的4个顶点共有2017个点，按下列规则将这张纸片剪成一些三角形：①每个三角形的顶点都在给出的2017个点中；②每个三角形内部不再有这2017个点中的点.那么，最多可以剪出的三角形的个数是 .
三、解答题（每小题20分，满分80分）：
11. 已知关于x 的函数()2122y k x kx k =--++的图像与x 轴有交点. ⑴求k 的取值范围；
⑵若12,x x 是函数图像与x 轴两个不同交点的横坐标，且满足()212121224k x kx k x x -+++=. ①求k 的值；
②请结合图像，确定当2k x k ≤≤+时，函数y 的最大值和最小值.
出口丁
出口丙出口乙出口甲
入口
M
F
O E N D
C
B
A
12.已知,,a b c 均为正整数，其中c 不是完全平方数，且24a b -== 求a b c ++的值.
13. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，E、F分别是BC、AD的中点，AC⊥BD，垂足为H.
求证：四边形HFOE 是平行四边形.
14. 如图，已知D 为锐角⊿ABC 内部的一个点，使得90ADB ACB ∠=∠+︒，且AC BD AD BC ⋅=⋅. ⑴求
AB CD
AC BD
⋅⋅的值.
⑵求证：⊿ACD 的外接圆和⊿BCD 的外接圆在C 点切线互相垂直.
H
O F
E D
C
B
A
D
B
A
C
