江西省红色七校2019届高三数学下学期第二次联考试题理
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- 1 - 江西省红色七校2019届高三数学下学期第二次联考试题 理
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合2{|log(2)2}AxRx，{1,0,1,2,3}B，则AB真子集的个数（ ）
A．8 B．7 C．4 D．16
2．若复数(2)()zaiai在复平面内对应的点在第三象限,其中aR，i为虚数单位，则实数a取值范围为（ ）
A．(2,2) B．(2,0) C．(0,2) D．0,2)
3.已知0.21.1a，0.2log1.1b，1.10.2c，则（ ）
A．abc B．bca C．acb D．cab
4.下图为国家统计局发布的2018年上半年全国居民消费价格指数（CPI）数据折线图，（注：同比是今年第n个月与去年第n个月之比，环比是现在的统计周期和上一个统计周期之比）
下列说法错误的是（ ）
A 2018年6月CPI环比下降0.1%，同比上涨1.9%
B 2018年3月CPI环比下降1.1%，同比上涨2.1%
C 2018年2月CPI环比上涨0.6%，同比上涨1.4%
D 2018年6月CPI同比涨幅比上月略微扩大0.1个百分点
5．261(1)(1)xx的展开式中，常数项为( )
A．－15 B．16 C．15 D．－16
6.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为 （ ） - 2 -
A 362 B 364
C 482 D 484
7．函数()sin()(0,0,)2fxAxA的部分图像如图所示，则1cos2sin2（ ）
A．12 B．32 C．33 D 3
8.有一程序框图如图所示，要求运行后输出的值为大于1000的最小数值，则在空白的判断框内可以填入的是
A．5i B．6i C．7i D．8i
9．已知点F双曲线2222:1(0,0)xyCabab右焦点，直线2yb与双曲C交于,AB两点，且90AFBo，则该双曲线的离心率为 （ ）
A. 355 B. 62 C. 153 D.255 - 3 - 10．杨辉三角，又称帕斯卡三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列.在我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》（1261年）一书中用如图所示的三角形解释二项式乘方展开式的系数规律.现把杨辉三角中的数从上到下，从左到右依次排列，得数列：1,1,1,1,2,1,1,3,3,1,1,4,6,4,1…….记作数列na，若数列na的前n项和为nS，则80S （ ）
A. 2059 B. 4108 C. 2048 D. 4095
11.如图，单位正方体1111ABCDABCD的对角面11BBDD上存在一动点P，过点P作垂直于平面11BBDD的直线，与正方体表面相交于MN、两点.则BMNV的面积最大值为 （ ）
A. 64 B. 12 C. 3616 D. 62
12.已知1,1(01),,1xxaxfxaaaax且若()fx有最小值，则实数a的取值范围是 （ ）
A 2(,1)3 B (1,) C 2(0,(1,)3 D
2(,1)(1,)3
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知向量,ab满足||||2ab,且2gab,则向量a与b的夹角为 .
14.已知实数x，y满足02601xyxyx，则13yx的取值范围为_____．
15.某外商计划在4个候选城市中投资3个不同的项目，且在同一个城市投资的项目不超过2个，则该外商不同的投资方案有________种．
16.在ABC中，角,,ABC所对的边分别是,,abc，若4cosabCba，且2c，则ABC的周长取值范围为__________________。
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17.已知数列na为等差数列，nS为na的前n项和，25852,25aaaS.数列nb为等比数列且2112150,,nbbabaa.
（1）求数列na和nb的通项公式； - 4 - （2）记34(2log3)nnncbag，其前n项和为nT，求证：43nT.
18.如图，多面体11ABCDBC为正三棱柱111ABCABC沿平面11DBC切除部分所得，M为1CB的中点，且12BCBB.
(1)若D为1AA中点,求证11//AMDBC平面；
(2)若二面角11DBCB大小为3，求直线1DB与平面1ACB所成角的正弦值.
19．当前，以“立德树人”为目标的课程改革正在有序推进．高中联招对初三毕业学生进行体育测试，是激发学生、家长和学校积极开展体育活动，保证学生健康成长的有效措施．某地区 2018年初中毕业生升学体育考试规定，考生必须参加立定跳远、掷实心球、1分钟跳绳三项测试，三项考试满分为50分，其中立定跳远15分，掷实心球15分，1分钟跳绳20分．某学校在初三上期开始时要掌握全年级学生每分钟跳绳的情况，随机抽取了100名学生进行测试，得到右边频率分布直方图，且规定计分规则如下表：
每分钟
跳绳个数 [155，165） [165，175） [175，185） [185，+∞）
得分 17 18 19 20
（Ⅰ）现从样本的100名学生中，任意选取2人，求两人得分之和不大于35分的概率；
（Ⅱ）若该校初三年级所有学生的跳绳个数X服从正态分布N（μ，σ2），用样本数据的平均- 5 - 值和方差估计总体的期望和方差，已知样本方差S2≈169（各组数据用中点值代替）．根据往年经验，该校初三年级学生经过一年的训练，正式测试时每人每分钟跳绳个数都有明显进步，假设今年正式测试时每人每分钟跳绳个数比初三上学期开始时个数增加10个，现利用所得正态分布模型：
（ⅰ）预估全年级恰好有2000名学生时，正式测试每分钟跳182个以上的人数；（结果四舍五入到整数）
（ⅱ）若在全年级所有学生中任意选取3人，记正式测试时每分钟跳195个以上的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列和期望．
附：若随机变量X服从正态分布N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜X＜μ+σ）＝0.6826，P（μ﹣2σ＜X＜μ+2σ）＝0.9544，P（μ﹣3σ＜X＜μ+3σ）＝0.9974
20.已知椭圆2222:10xyCabab的离心率22e，且椭圆过点66,33.
（I）求椭圆C的标准方程；
（II）已知点A为椭圆C的下顶点，,DE为椭圆C上与A不重合的两点，若直线AD与直线AE的斜率之和为2a，试判断是否存在定点G，使得直线DE恒过点G，若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．
21.已知函数(),()lnxfxegxx.
（1）求函数()ygx在点(1,0)A处的切线方程；
（2）已知函数()()()(0)hxfxagxaa区间0,上的最小值为1，求实数a的值.
请考生在第22，23两题中任选一题做答.只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题记分.做答时用2B铅笔在答题卡上把所选题号后方框涂黑.
选修4-4：极坐标与参数方程
22.已知在极坐标系中，直线l的极坐标方程为31cos()62，曲线C的极坐标方程为- 6 - 2(1cos)2cos0，以极点为原点，极轴为x轴正半轴，建立平面直角坐标系.
（1）写出直线l和曲线C的直角坐标方程；
（2）若直线'l：3(2)yx与曲线C交于,PQ两点，(2,0)M，求22||||MPMQ的值.
选修4-5：不等式选讲
23．已知函数()|2||1|,fxxaxaR.
（1）当1a时，解不等式()5fx；
（2）若()2fx对于xR恒成立，求实数a的取值范围. - 7 - 江西省红色七校2019届高三第二次联考理科数学试题答案
一、选择题：
1 2 3 4 5 6 7 8
9 10 11
12
B B C C B A D C A B A C
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13 3 14 71[,]42 15 60 16 (4,6]
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17.解析：（1）设公差为d，则由25852,25aaaS得，112()3,545252addda解得11,2ad所以21nan……3
设nb的公比q，
所以2152151,9,0naabaab由且，3q，13nnb…………………………….6
（2）344112()(2log3)(21)(21)2121nnncbannnn………………………………………………8
1111112(1)2(1)335212121nTnnn，………………………………………11
易知nT随着n的增大而增大，所以1142(1)33nTT…………………………………12
18.解析：（1）取11BC中点N，连接MN，则MN为11BCC的中位线
11||2MNCC1DAAQ为中点11||2ADCC
||MNAD ………………………………………………2
ADMN四边形为平行四边形………………………………………………4
//AMDN
11//AMDBC平面………………………………………………6
(2) 由1111,BCDNBCMN可得DNM二面角11DBCB平面角，二面角11DBCB大小为3可得112ADBB………………………………………………8
