NTET考试模拟试题(中学数学1)

河北省NT20名校联合体2023-2024学年高一上学期12月月考数学试卷学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题1．全集{*x x =∈U N 且}10x <,{}1,3,5,7A =,{}6,7,8,9B =,则()A B =U( )A.{}2B.{}2,4C.{}7D.{}2,4,72．已知()1f x ax =+,()222g x x x a =-+,1x ∃,[]20,1x ∈,()()12f x g x >,则a 的取值范围是( ) A.(),2-∞B.()2,+∞C.(),1-∞D.()1,+∞3．“a <1<-”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4．已知0a >且1a ≠,()()1a x f x a -=与()a g x x =的图象可以是( )A. B. C. D.5．已知2log 3a =,3log 5b =,113c ⎛= ⎝A.a b c >>B.b a c >>C.c b a >>D.c a b >>6．已知0a >,0b >,a b +=A.4B.6C.8D.97．已知0a >,b >2的一个充分不必要条件是( ) A.1ab ≥B.a b +≥1b+≥2≥8．已知()()1,2,x a x f x a x x x ⎧-≤⎪⎪=⎨⎪+-⎪⎩1>)的值域为D ,2,3D ⎡⎫⊆+∞⎪⎢⎣⎭,则a 的取值范围是( )A.()1,2B.()2,3C.161,9⎛⎤ ⎥⎝⎦D.16,29⎡⎤⎢⎥⎣⎦二、多项选择题9．已知13a -≤≤,12b ≤≤,则以下命题正确的是( ) A.16ab -≤≤B.05a b ≤+≤C.21a b -≤-≤D.()()114a b +-≤10．以下函数是偶函数的是( ) A.()22x x f x -=+ B.()211f x x x =-+ C.()()11f x x x =-≠±D.()()lg 1012x x f x =+-11．已知()()22log 3f x x mx m =-++的定义域为D ,值域为M ,则( ) A.若D =R ,则M ≠RB.对任意m ∈R ,使得()()57f f -=-C.对任意m ∈R ,()f x 的图象恒过一定点D.若()f x 在(),3-∞上单调递减,则m 的取值范围是{}6 12．20x bx c -+<的解集为()00,2x x +,则( ) A.244b c =+B.若10b c -+>,则201x <C.若00x >,则210cx bx -+<的解集为0011,2x x ⎛⎫ ⎪+⎝⎭D.b c +有最小值为94-三、填空题13．0x >时,22(1)x y x =+14．写出一个函数()f x 的解析式,满足:①()f x 是定义在R 上的偶函数;②0x ≠时,()1f x f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,则()f x =________.15．全集{}1,2,3,4,5,6,7,8=U ,{}1,2,4,5,6A =,{}1,2,3,4,7B =,{}2,3,5,6,7C =,如图中阴影部分的集合为M ,若x M ∃∈使得:2430x mx m -+-<,则m 的取值范围是________.16．教材必修1第87页给出了图象对称与奇偶性的联系:若()y f x =为奇函数,则()y f x a b =-+的图象关于点(),a b 中心对称,易知:()f x =()g x =四、解答题17．已知集合{}2120,{2}(0)A x x mx B x x m m =+-<=-<>∣∣. （1）1m =时,求A B ;（2）若B A ⊆,求m 的取值范围.18．已知()f x 满足212x f x x -⎛⎫= ⎪-⎝⎭.（1）求()f x 的解析式;（2）解不等式()()211f x f x -<--.19．已知())2log f x x =是奇函数.（1）求a ;（2）证明:()f x 是R 上的增函数. 20．()()()22222x x x x f x t --=-++.（1）若t =()0f x <的解集;（2）若()f x 最小值为1,求t .21．已知二次函数()2f x x bx c =++,()f x x =的解为1-,3. （1）求b ,c ;（2）证明:1-,3也是方程()()f f x x =的解,并求()()f f x x =的解集.22．已知()12f x mx n x =-++的图象的对称中心为722,4m n ⎛⎫-- ⎪⎝⎭.（1）求m ,n ;（2）若在区间[],(2)a b a >-上,()f x 的值域为[],a b ,求a ,b .参考答案1．答案：B解析：由题意可知:{}1,3,5,6,7,8,9A B =, 又因为{}1,2,3,4,5,6,7,8,9=U ,所以(){}2,4A B =U.故选:B. 2．答案：A解析：[]12,0,1x x ∃∈,()()12f x g x >,所以,()()12max min f x g x >,()()2222121g x x x a x a =-+=-+-在[]0,1上单调递减,所以()2min 21g x a =-,当0a =时,()()2122212f x g x x x =>=-,即22212x x >-,取210x x ==成立. 当<0a 时,()1max 1f x =,即211a -<,得1a <,所以<0a当0a >时,()1max 1f x a =+,即121a a +>-,得2a <,所以02a <<, 综上:a 的取值范围是(),2-∞. 故选:A 3．答案：B解析：不等式a <1a -<0<,所以()210a a -<, 即()()110a a a -+<,解得01a <<或1a <-,故1a <-能推出a <<1<-,所以“a <1<-”的必要不充分条件. 故选:B 4．答案：D解析：对()()1a x f x a -=,该函数过定点()0,1,且()0f x >恒成立, 对()a g x x =,该函数过定点()0,0,若01a <<,对()()1a x f x a -=,10a -<,则()1a x -在R 上单调递减, 又01a <<,故()f x 在R 上单调递增,若1a >,对()()1a x f x a -=,10a ->,则()1a x -在R 上单调递增, 又1a >,故()f x 在R 上单调递增, 故排除AB;对()g x ,由0a >且1a ≠,故()g x 在定义域内单调递增, 故排除C. 故选:D. 5．答案：A解析：因为32234=<<,可知:32222log 2log 3log <<2a <<;35<<=3333log 5log <<b <<105>,可知:15111033⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=,即01c <<; 综上所述:c b a <<. 故选:A. 6．答案：C解析：0a >,0b >,1a b +=,()414144144b a b a a b a b a b a b a b -⎛⎫∴+=+=++-=++≥= ⎪⎝⎭=a ==故选:C 7．答案：A解析：对A 选项:若ab ≥2≥≥,当且仅当a b =时等号成立,当4a =,b =2≥,但1ab <,故0a >,0b >时,ab ≥2≥的充分不必要条件,故A 正确;对B 选项:取a ==825=<,故a b +≥2≥的一个充分条件,故B 错误;对C选项:取a b ==12=<,1b≥2≥的一个充分条件,故C错误;2≥2≥2,2≥2≥的充要条件,故D错误.故选:A.8．答案：D解析：若12a<<,当x≤()()1xf x a=-在1,2⎛⎤-∞⎥⎝⎦上单调递减,此时())fx∈+∞,当x>()22af x xx=+-≥,当且仅当x=>又函数()f x的值域D满足2,3D⎡⎫⊆+∞⎪⎢⎣⎭,则21a≥⎪⎪⎨⎪<<⎪⎪⎩2a≤<;若2a=,()11,222,xf xx xx⎧≤⎪⎪=⎨⎪+->⎪⎩12≤时,()1f x=,当x>()222f x xx=+-≥,当且仅当x=又函数()f x的值域)2,D⎡=+∞⎣,满足2,3D⎡⎫⊆+∞⎪⎢⎣⎭,成立;若2a>,当x≤()()1xf x a=-在1,2⎛⎤-∞⎥⎝⎦上单调递增,此时()(f x∈, 则(D⊆,又(2,3⎡⎫⊆+∞⎪⎢⎣⎭不成立,所以此时2,3D ⎡⎫⊆+∞⎪⎢⎣⎭不成立;2a ≤≤,故选:D. 9．答案：BD解析：对于A:[]1,3a ∈-,[]1,2b ∈,[]2,6ab ∴∈-,故A 错误. 对于B:[]1,3a ∈-,[]1,2b ∈,[]0,5a b ∴+∈,故B 正确. 对于C:[]1,2b ∈,[]3,2a b ∴-∈-,故C 错误.对于D;[]10,4a +∈,[]10,1b -∈,()()[]110,4a b ∴+-∈,故D 正确. 故选:BD. 10．答案：AD解析：A 选项,()f x 的定义域为R ,()()22x x f x f x --=+=, 所以()f x 是偶函数,符合题意.B 选项,22131024x x x ⎛⎫-+=-+> ⎪⎝⎭,()f x 的定义域为R , ()113f -=,()11f =,()()11f f -≠,所以()f x 不是偶函数.C 选项,()23f -=-==()21f ==()()22f f -≠,所以()f x 不是偶函数.D 选项,()()lg 101x f x =+()()110lg 101lg 2102x xx x x f x -+-=++=+()()()lg 101lg10lg 10122x x x x xf x =+-+=+-=,所以()f x 是偶函数. 故选:AD 11．答案：ACD解析：对于A,要使定义域为R ,只需230x mx m -++>恒成立,所以判别式()2430m m -+<,所以真数23x mx m -++不能取遍所有正实数,所以M ≠R ,故A 对对于B,若()()57f f -=-,即()()()()()()2222log 553log 773m m m m ---++=---++,整理得()()22log 286log 528m m +=+,得28605280286528m m m m +>⎧⎪+>⎨⎪+=+⎩, 此时m ∈∅,故B 错;对于C,()22331x mx m x m x -++=++-,因为与m 无关,所以10x -=,1x =,2log 42y ==,过定点（1,2),故C 正确;对于D,若()f x 在(),3-∞上单调递减,只需函数23t x mx m =-++在(),3-∞上递减,且()30t ≥,即329330m m m ⎧≥⎪⎨⎪-++≥⎩,解得6m =,故D 对. 故选:ACD 12．答案：AC解析：由题意可知:方程20x bx c -+=的根为00,2x x +,则()000002222x x x bx x c ++=+=⎧⎨+=⎩,)0022x x +-===,整理得244b c =+,故A 正确;对于选项B:例如02x =,则68b c =⎧⎨=⎩,满足116830b c -+=-+=>, 则2041x =>,故B 错误;对于选项C:若00x >,则0020x x +>>,不等式210cx bx -+<即为()()200022210x x x x x +-++<, 整理得()()001210x x x x -+-<⎡⎤⎣⎦,令()()001210x x x x -+-=⎡⎤⎣⎦,解得x ==且022x +>>所以210cx bx -+<的解集为0011,2x x ⎛⎫⎪+⎝⎭,故C 正确;对于选项D:因为()()()20000222222b c x x x x +=+++=+-≥-, 当且仅当02x =-时,等号成立, 所以b c +有最小值为2-,故D 错误; 故选:AC.13．答案：3,14⎡⎫⎪⎢⎣⎭解析：因为0x >,令()10,11t x =∈+,则11x t=-, 则222111111t y t t t t ⎛⎫- ⎪⎝⎭=+=-+⎛⎫-+ ⎪⎝⎭,()0,1t ∈, 可知21y t t =-+开口向上,对称轴为t =0112||1,|t t t y y y ======所以21y t t =-+在()0,1内的值域为3,14⎡⎫⎪⎢⎣⎭,即22(1)x y x =+)0,+∞内的值域为3,14⎡⎫⎪⎢⎣⎭.故答案为:3,14⎡⎫⎪⎢⎣⎭.14．答案：0,0ln ,0x x x =⎧⎨≠⎩(答案不唯一)解析：由题意可得:()0,0ln ,0x f x x x =⎧=⎨≠⎩符合题意.故答案为:0,0ln ,0x x x =⎧⎨≠⎩.15．答案：()46,6,3⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭解析：因为{}1,2,4,5,6A =,{}1,2,3,4,7B =,{}2,3,5,6,7C =,所以{}2,3,7B C =, 图中阴影部分表示的集合为(){}3,7B C A =U ,即{}3,7M =,由题意,233430m m -+-<或277430m m -+-<,解得6m <-或m >所以m 的取值范围是()46,6,3⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭. 故答案为:()46,6,3⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭ 16．答案：51,4⎛⎫ ⎪⎝⎭解析：因为()2121212121x x x x f x -+-===-++()121121x f x --=-+,()()1111312221232212221221x x x x x x g x ----⎛⎫⨯+++ ⎪+⎝⎭====++⨯+所以()()()151115444g x f x f x =--+=---⎡⎤⎣⎦, 因为()y f x =为奇函数,则()14y f x =-也奇函数, 所以()g x 关于点51,4⎛⎫ ⎪⎝⎭对称, 故答案为:51,4⎛⎫ ⎪⎝⎭17．答案：（1）{}13A B x x =<<（2）01m <≤解析：（1）当1m =时,{}{}212043A x x x x x =+-<=-<<, {}13B x x =<<,所以{}13A B x x =<<.（2）化简{}21202m A x x mx x ⎧-+⎪=+-<=<<⎨⎪⎪⎩⎭, {}{}222(0)B x x m x m x m m =-<=-<<+>,若B A ⊆,则1m <≤. 18．答案：（1）()21,22x f x x x -=≠- （2）()2,2-解析：（1）令2132222x t x x -==+≠--,则x =则()f t =()212x f x x -=-,2x ≠. （2）因为211x -≤,11x --≤-,因为()2122x f x x -==-),2-∞内单调递减, 若()()211f x f x -<--,则211x x ->--,即220x x --<, 则2020x x x ≥⎧⎨--<⎩或2020x x x <⎧⎨+-<⎩,解得02x ≤<或20x -<<, 所以不等式()()211f x f x -<--的解集为()2,2-. 19．答案：（1）1a =（2）证明见解析解析：（1）因为())2log f x x =是奇函数,则()()0f x f x +-=,可得))()222222log log l 0og log x x x a x a +==+-=,解得1a =. （2）由（1）可知:())2log f x x =,x>=≥-0x >对任意x ∈R 恒成立,所以()f x 的定义域为R .对任意1x ,[)20,x ∈+∞,且120x x ≤<,则2212111x x ≤+<+,可得1≤<所以121x x ≤<,则))2122log log x x <,即()()12f x f x <, 所以()f x 在[)0,+∞内单调递增,又因为()f x 为奇函数,则()f x 在(],0-∞内单调递增, 且()f x 连续不断,所以()f x 是R 上的增函数. 20．答案：（1）()1,1-（2）12t = 解析：（1）因为()()()()()()()22222222242222224x x x x x x x x x x x x f x t t t ------⎡⎤=-++=+-++=+++-⎢⎥⎣⎦, 令222x x m -=≥=+,当且仅当22x x -=,即0x =时,等号成立, 则24y m tm =+-,2m ≥,若t =29410y m m =--,2m ≥,令294010y m m =--<,可得2m ≤<即22x x -+<()22522x x -⨯+<22x <<,可得11x -<<, 所以()0f x <的解集为()1,1-.（2）若()f x 最小值为1,结合（1）可知:24,2y m tm m =+-≥的最小值为1,因为24y m tm =+-的开口向上,对称轴为2t m =-, 若22t -≤,即4t ≥-时,24y m tm =+-在[)2,+∞内单调递增, 可知当2m =时,24y m tm =+-取得最小值,即4241t +-=,解得t =2>,即4t <-时,24y m tm =+-在2,2t ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭内单调递减,在,2t ∞⎡⎫-+⎪⎢⎣⎭单调递增,可知当m =24y m tm =+-取得最小值,412t t ⎛⎫⨯--= ⎪⎝⎭,无解;综上所述:t =21．答案：（1）1b =-,3c =-（2）证明见解析,{}- 解析：（1）因为()f x x =的解为1-,3,则11933b c b c -+=-⎧⎨++=⎩,解得13b c =-⎧⎨=-⎩. （2）由（1）可知:()23f x x x =--,且()11f -=-,()33f =, 则()()()111f f f -=-=-,()()()333f f f ==, 即1-,3也是方程()()f f x x =的解,对于()()f f x x =,即()()()22223333f x x x x x x x --=------=,整理得:()(()(310x x x x -+=,解得x =所以()()f f x x =的解集为{}-.22．答案：（1）m =14= （2）1a =-,2b =解析：（1）由()12f x mx n x =-++可知,定义域为{}2x x ≠-,其图象对称中心为722,4m n ⎛⎫-- ⎪⎝⎭,故有222m n --=-,即1m n +=,有()2m n -⨯-+===即()1324f x x x =-+72,4⎫-⎪⎭,检验计算得()()()131131442444244f x f x x x x x +--=-++---+=+--+即m ==（2）当x >-34x 都随x 的增大而减小, 故()f x 在()2,-+∞上单调递减,又()f x 在区间[],(2)a b a >-上,()f x 值域也为[],a b ,故有()()f a b f b a =⎧⎪⎨=⎪⎩,即131********4a b a b a b ⎧-+=⎪⎪+⎨⎪-+=⎪+⎩,且2a b -<<, 解得1a =-,2b =.。

山西省晋城市第一中学2024届高三下学期网上模拟考试数学试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知21,0(),0x x f x x x ⎧-≥=⎨-<⎩，则21log 3f f ⎡⎤⎛⎫= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦（ ） A ．2 B ．23 C ．23- D ．32．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．83π33B ．4π1633C ．33π3D ．43π333．设m ∈R ，命题“存在0m >，使方程20x x m +-=有实根”的否定是( )A ．任意0m >，使方程20x x m +-=无实根B ．任意0m ≤，使方程20x x m +-=有实根C ．存在0m >，使方程20x x m +-=无实根D ．存在0m ≤，使方程20x x m +-=有实根4．山东烟台苹果因“果形端正、色泽艳丽、果肉甜脆、香气浓郁”享誉国内外.据统计，烟台苹果（把苹果近似看成球体）的直径（单位：mm ）服从正态分布()280,5N ，则直径在(]75,90内的概率为（ ） 附：若()2~,X Nμσ，则()0.6826P X μσμσ-<+=，()220.9544P X μσμσ-<+=. A ．0.6826 B ．0.8413C ．0.8185D ．0.9544 5．若复数z 满足(1)12i z i +=+，则||z =( )A ．22B ．32C ．102D ．12 6．已知集合{}2lgsin 9A x y x x ==+-，则()cos22sin f x x x x A =+∈，的值域为（ ）A ．31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．31,2⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．11,2⎛⎤- ⎥⎝⎦D ．2,22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭ 7．己知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，准线为l ，点,M N 分别在抛物线C 上，且30MF NF +=，直线MN交l 于点P ，NN l '⊥，垂足为N '，若MN P '∆的面积为243，则F 到l 的距离为（ ）A ．12B ．10C ．8D ．68．如图，已知三棱锥D ABC -中，平面DAB ⊥平面ABC ，记二面角D AC B --的平面角为α，直线DA 与平面ABC 所成角为β，直线AB 与平面ADC 所成角为γ，则（ ）A ．αβγ≥≥B ．βαγ≥≥C ．αγβ≥≥D ．γαβ≥≥9．下列结论中正确的个数是（ ）①已知函数()f x 是一次函数，若数列{}n a 通项公式为()n a f n =，则该数列是等差数列；②若直线l 上有两个不同的点到平面α的距离相等，则//l α；③在ABC ∆中，“cos cos A B >”是“B A >”的必要不充分条件；④若0,0,24a b a b >>+=，则ab 的最大值为2.A ．1B ．2C ．3D ．010．设()11i a bi +=+，其中a ，b 是实数，则2a bi +=（ ）A ．1B ．2C 3D 511．设复数z 满足21z i z -=+，z 在复平面内对应的点为(,)x y ，则（ ）A ．2430x y --=B ．2430x y +-=C ．4230x y +-=D ．2430x y -+= 12．一个正三角形的三个顶点都在双曲线221x ay +=的右支上，且其中一个顶点在双曲线的右顶点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．()3,+∞B ．()3,+∞C ．(),3-∞-D ．(),3-∞-二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

全国⾼中数学联赛模拟卷（1）（⼀试+⼆试_附详细解答）全国⾼中数学联赛模拟卷(1)⼀试⼀、填空题（本⼤题共8⼩题，每⼩题8分，共64分）1229x <+的解集为． 2．过正⽅体外接球球⼼的截⾯截正⽅体所得图形可能为______________. ①三⾓形②正⽅形③梯形④五边形⑤六边形3．直线2kx y -=||1x =-有两个不同的交点，则实数k 的取值范围是__ _______.4．复数z ，使322z z z+=，则z 的所有可能值为 _____ ____．5．所有的满⾜条件11aba b a b ab a b ---=?++的正整数对(,)a b 的个数为．6．设,,a b c 为⽅程3120x k x k --=的根（121k k +≠），则111111a b ca b c+++++=--- __. 7．将号码分别为1、2、…、9的九个⼩球放⼊⼀个袋中，这些⼩球仅号码不同，其余完全相同. 甲从袋中摸出⼀个球，其号码为a ，放回后，⼄从此袋中再摸出⼀个球，其号码为b . 则使不等式 0102>+-b a 成⽴的事件发⽣的概率等于．8．已知A , B , C 为△ABC 三内⾓, 向量)2sin 3,2(cosBA B A +-=α,2||=α.如果当C 最⼤时,存在动点M , 使得|||,||,|成等差数列, 最⼤值是__ ___.⼆、解答题（本⼤题共3⼩题，第9题16分，第10、11题20分，共56分）9．对正整数2n ≥，记11112n n k k n a n k --==-∑，求数列{a n }中的最⼤值．10．给定正实数k ，圆⼼为(b a ，)的圆⾄少与抛物线2kx y =有三个公共点，⼀个是原点(0, 0)，另两个点在直线b kx y +=上，求b a ，的值（⽤k 表⽰）． 11．已知函数,72sin 3|)cos ||sin (|)(--+=x x x a x f 其中a 为实数，求所有的数对(a , n )(n ∈N *),使得函数)(x f y =在区间),0(πn 内恰好有2011个零点．ABCPQ ID O 1 I 1I 2⼆试⼀、（本题满分40分）在Rt ABC ?中，CD 是斜边AB 上的⾼，记12,,I I I 分别是△ADC , △BCD ,△ABC 的内⼼，I 在AB 边上的射影为1O ，,CAB ABC ∠∠的⾓平分线分别交,BC AC 于,P Q ，且PQ 的连线与CD 相交于2O ，求证：四边形1122I O I O 为正⽅形．⼆、（本题满分40分）给定正数a , b , c , d, 证明：ba db a d a dc ad c d c b d c b c b a c b a +++++++++++++++++++333333333333.2222d c b a +++≥三、（本题满分50分）设+∈N k ，定义11=A ，2)1(221+++=+n n nA A kn n ， ,2,1=n 证明：当1≥n 时，n A 为整数，且n A 为奇数的充要条件是)4(mod 21或≡n四、（本题满分50分）试求最⼩的正整数,n 使得对于任何n 个连续正整数中，必有⼀数，其各位数字之和是7的倍数.全国⾼中数学联赛模拟卷(1)答案⼀试1．由0211≠+-x 得0,21≠-≥x x ，原不等式可变为()922112+<++x x解得845x 故原不等式的解集为145,00,28-? ?U2．答案：②⑤，解：由对称性可知，所得图形应为中⼼对称图形，且②⑤可以截得3．提⽰：44[2,)(,2]33--?, 曲线为两个半圆，直线过定点（0，?2），数形结合可得.4．答案：0，1，12,12i i -+-- 解：322z z z +==2z z ?，∴2(12)0z z z +-=当 0z =时，满⾜条件，当 0z ≠时，2120z z +-= 设 22(,),212()z a bi a b R a b abi a bi =+∈-++--则∴ 22120(1)220(2)a b a ab b ?-+-=?+=? ，由(2) 2(1)0b a +=1）0b = 代⼊(1) 整理得：2(1)01a a -=?=2）0b ≠，则 1a =- 代⼊(1) 得：242b b =?=±，经检验复数1,12z i =-±均满⾜条件. ∴ z 的所有可能值为0，1，12,12i i -+--. 5．解：显然1a b >≥．由条件得11a a b a a b -->?1b a b -?>11b a b -?≥+，从⽽有bab b b ≥+即b b ab b ≤-，再结合条件及以上结果，可得11a b a b a b a b a b --?++=-aa ab b ≥-+，整理得 11a a b a ab a a b --+≥-?()11a b a a b --=?-1a a -≥，从⽽()211a a a a a a ab a -=+-≥+≥即31a a-≤，所以23a ≤≤．当2a =时，1b =，不符合；当3a =时，2b =（1b =不符合）．综上，满⾜本题的正整数对(),a b 只有()32，，故只有1解．6．答案：1212331k k k k ++--，由题意，312()()()x k x k x a x b x c --=--- 由此可得0a b c ++=，1ab bc ca k ++=-，2abc k =以及121(1)(1)(1)k k a b c --=---1113()()3111(1)(1)(1)a b c a b c ab bc ca abc a b c a b c +++-++-+++++=------1212331k k k k ++=-- 7．提⽰：甲、⼄⼆⼈每⼈摸出⼀个⼩球都有9种不同的结果，故基本事件总数为92=81个，由不等式a ?2b +10>0得2b6181135745=++++8．解: 2)cos(2)cos(2122sin 32cos 2||22=+--+=++-?=B A B A B A B A α ,21tan tan cos cos sin sin 2)cos(3)cos(=?=?+=-?B A B A B A B A B A22tan tan 4)tan (tan 2tan tan )tan(tan -=-≤+-=+=+-=B A B A BA B A C ,等号成⽴仅当22tan tan ==B A .令|AB |=2c ,因c 4||||=+, 所以 M 是椭圆1342222=+cy c x 上的动点.故点C (0,c 22), 设M (x ,y ), 则|MC |2＝x 2+(c y 22-)2＝c y c cy y c cy y y c 3||,2923122344222222≤+--=+-+-. 当y ＝c 3-时, |MC |2max =22627c +, |MC |max ＝c 216+. ||AB＝4. 9．解：经计算知22a =，33a =，45103a a ==，下⾯⽤数学归纳法证明：当5n ≥时，有103n a ≤ 假设()1053n a n ≤≥，则1211111111122122n n n n n n a n n n +-++++=+?+?++?-- 21111212212n n n n n n n n n n -++??=++?++? ?--?? 112n n n a n n ++=+ 1110186810233533n n n n n n +++≤+?=?≤?<所以数列{a n }中的最⼤值是45103a a ==10．解：设⊙O :,)()(2222b a b y a x +=-+- 即02222=-+-by y ax x抛物线与直线b kx y +=的两个交点坐标为),(),,,(2211y x y x ，则211222kx kx b kx kx b =+??=+?，即12121x x b x x k +==-??①, 这两点亦在圆上，即),(2)(222111*********b kx b b kx ax x by y ax x o +-++-=-+-=?02)1(21212=--+b ax x k同理 02)1(22222=--+b ax x k , 即 12221222,1.1a x x k b x x k ?+=??+?-?=?+?②⽐较①，②知：kk k k b k a 11),1(2122+=+=+= 11．解：⾸先，函数)(x f 以为π周期，且以)(42Z k k x ∈+=ππ为对称轴，即 ))(()2(),()(Z k x f x k f x f x f ∈=-+=+πππ，其次，42)43(,102)4(,7)2(-=+-=+-=a k f a k f a k f πππππ，∵)(x f 关于)(42Z k k x ∈+=ππ对称，∴)(x f 在)42,2(πππ+k k 及)22,42(ππππ++k k 上的零点个数为偶数，要使)(x f 在区间)0πn ，（恰有2011个零点，则上述区间端点必有零点（1）若7=a ，则0)42(,0)2(≠+=πππk f k f ，考虑区间)2,0(π及),2(ππ上的零点个数．ABCP Q ID O 1I 1 I 2令].2,1((cos sin ∈+=t x x t 则0473)(2=-+-==t t t g y ，解得11=t （舍），)4sin(2342π+==x t ，故在2 ,0(π内有两解．当),2(ππ∈x 时，72sin 3)cos (sin 7)(---=x x x x f ，令]2,1((cos sin ∈-=t x x t ，则01073)(2=-+==t t t g y ，解得11=t （舍），3102-=t （舍），故在),2(ππ内⽆解．因此，)(x f 在区间),0(π内有三个零点．.503201114)1(3),0(==-=-+n n n n n 个零点。

2024年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题数学(一)试卷及答案一、选择题（每题5分，共40分）1. 若函数f(x) = x² - 2x + 1在区间（0，+∞）上是增函数，则实数a的取值范围是（）A. a ≥ 1B. a ≤ 1C. a > 1D. a < 1【答案】A2. 若直线y = kx + b与圆x² + y² = 4相切，则k与b满足的条件是（）A. k² + b² = 4B. k² + b² < 4C. k² + b² ≥ 4D. k² + b² > 4【答案】C3. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3 = 12，S6 = 27，则公差d的值为（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B4. 设函数g(x) = |x - 2|，若g(x)在区间（-∞，0）上是减函数，则实数x的取值范围是（）A. x ≤ 2B. x ≥ 2C. x < 2D. x > 2【答案】C5. 若函数y = f(x)的图像关于点（1，2）对称，则f(3)的值为（）A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】D6. 若直线y = kx + b与圆x² + y² = 1相切，则k与b满足的条件是（）A. k² + b² = 1B. k² + b² < 1C. k² + b² ≥ 1D. k² + b² > 1【答案】A7. 已知函数y = f(x)在区间（0，+∞）上是增函数，且f(1) = 2，则f(2)的值（）A. 大于2B. 等于2C. 小于2D. 无法确定【答案】A8. 若函数y = f(x)的图像关于直线x = 2对称，则f(1)的值为（）A. f(3)B. f(2)C. 2f(2)D. 0【答案】A二、填空题（每题5分，共30分）9. 若等差数列{an}的前n项和为Sn，且S3 = 12，S6 = 27，则首项a1的值为______。