1 2020年中考数冲刺难点突破 将军饮马与最值问题
专题三 将军饮马中一定两动模型与最值问题
【专题说明】
一定两动型可转化为两点之间线段最短和点到直线的垂线段最短问题，进而求最值。关键是作定点（或动点）关于动折点所在直线的对称点，通过等量代换转化问题。
【模型展示】
【模型】三、一定两动之点线
在OA、OB上分别取M、N使得PM+MN最小。
此处M点为折点，作点P关于OA对称的点P’，将折线段PM+MN转化为P’M+MN，即过点P’作OB垂线分别交OA、OB于点M、N，得PM+MN最小值（点到直线的连线中，垂线段最短）
【精典例题】
1、如图，在边长为1的菱形ABCD中，60ABC，将ABD沿射线BD的方向平移得到ABD，分别连接AC，AD，BC则ACBC的最小值为____. P'MNBAPOOPABNM
2 【答案】3
【详解】
如图，过C点作BD的平行线l，以l为对称轴作B点的对称点1B，连接1AB交直线l于点1C
根据平移和对称可知11ACBCACBC，当11,,ABC三点共线时11ACBC取最小值，即1AB，又1AB1BB，
根据勾股定理得，13AB，故答案为3
2、点P是定点，在OA、OB上分别取M、N，使得PM+MN最小。
【解法】作点P关于OA对称的点P’，将折线段PM+MN转化为P’M+MN，即过点P’作OB垂线分别交OA、OB于点M、N，得PM+MN最小值（垂线段最短）
3、点P是定点，在OA、OB上分别取点M、N，使得△PMN周长最小．
P'MNBAPOOPABNMMNP''P'NMBAPOOPAB
3
【解法】分别作点P关于OA（折点M所在直线）、OB（折点N所在直线）的对称点，化折线段PM+MN+NP为P’M+MN+NP’’，当P’、M、N、P’’共线时，△PMN周长最小．
3、如图，抛物线y=ax2﹣5ax+c与坐标轴分别交于点A，C，E三点，其中A（﹣3，0），C（0，4），点B在x轴上，AC=BC，过点B作BD⊥x轴交抛物线于点D，点M，N分别是线段CO，BC上的动点，且CM=BN，连接MN，AM，AN．
2023-2024学年八年级数学上册重难点突破
专题08 将军饮马之三动点及两定点一定长模型
一、三动点模型
条件：已知点 D，E，F分别为AB，AC，BC上的动点，求△DEF的周长的最小值。
结论：要使△DEF的周长最小，先将点 D视为定点，利用“一点两线”模型作出△DEF周长的最小值，对应
的线段 D'D".当CD最小，即 CD⊥AB时△DEF的周长最小，最小值为 D'D"的长。
二、两定点一定长模型
1.异侧两定点一定长
已知：点A，B为河岸两侧两定点，桥PQ(定长PQ=d)垂直于河岸，找建桥 PQ 的位置使AP+PQ+QB最短
(也称“造桥选址”问题)。
结论：将A沿着与PQ平行的方向平移一个桥长至 𝐴
′,
连接 𝐴
′𝐵
交河岸n于点 Q。作PQ⊥n交m于点 P
，此时
P、Q 即为所求，且AP+PQ+QB最小。
2.同侧两定点一定长
已知：点A，B为直线l同侧两定点，定长线段 PQ(PQ=d)在直线l上运动，找Q的位置使AP+PQ+QB最短
结论：将A沿着与直线l平行的方向平移一个定长 PQ至 𝐴
′.
作 𝐴
′关于直线l的对称点 𝐴‘’
,
连接 𝐴‘’
𝐵
交直线
l于点Q，此时，点Q即为所求，且AP+PQ+QB最小。
如图，四边形ABCD中，70AÐ=°
，
90BDÐ=Ð=°，E、F分别是AD、AB上的动点，当
CEF△的周
长最小时，ECFÐ
的度数是 ．
【答案】40°
【分析】要使△CEF的周长最小，即利用点的对称，使三角形的三边在同一直线上，作出C关于BA和AD
的对称点N，M，即可得出
11,MMCENNFCÐ=ÐÐ=Ð
，最后利用△CMN内角和即可得出答案．
【详解】作C关于BA和AD的对称点N，M，连接MN，交AD于E
1，交AB于F
1，则MN即为△CEF的
周长最小值．∵70AÐ=°
，
90BDÐ=Ð=°，
∴∠DCB=110°，
由对称可得：CF
1=F
1N，E
1C=E
1M，
∴
11,MMCENNCFÐ=ÐÐ=Ð
，
∵180MNDCBÐ+Ð+Ð=°
第1页（共8页） 最值问题3 线段和的最小值
线段和的最小值
点A、B在直线异侧 作法 作图 原理
在直线 l 上求一点 P，使PA+PB 值最小。
连 AB，与 l 交点即为 P．
两点之间线段最短．
PA+PB 最小值为 AB．
点A、B在直线异侧
（“将军饮马”） 作法 作图 原理
在直线 l 上求一点 P，使PA+PB 值最小．
作 B 关于 l 的对称点 B＇连 A
B＇，与 l 交点即为 P．
两点之间线段最短．
PA+PB 最小值为A B＇．
平移型将军饮马 作法 作图 原理
在直线 l 上求两点 M、N（M在左），使 MN a ，并使AM+MN+NB 的值最小 . 将点 A 向右平移 a 个长度单位得 A＇，作 A＇关于 l的对称点
A＇＇，连 A＇＇B，交直线 l 于点
N，将 N 点向左平移 a 个单位得 M．
（亦可先对称再平移）
两点之间线段最短．
AM+MN+BN 的最小值为
A＇＇B+MN．
“造桥选址” 作法 作图 原理
直线 m ∥ n ，在 m 、 n，
上分别求点 M、N，使
MN⊥m ，且 AM+MN+BN的值最小。
将点 A 向下平移 MN 的长度单位得 A＇，连 A＇B，交 n于点 N，过 N 作 NM⊥ m
于M .
两点之间线段最短．
AM+MN+BN 的最小值为A＇B+MN． 第2页（共8页）
作法 作图 原理
在直线 l1 、 l2 上分别求点M、N，使△PMN 的周长最小．
分别作点 P 关于两直线的对称点 P＇和 P＇，连 P＇P＇，与两直线交点即为 M，N．
两点之间线段最短．
PM+MN+PN 的最小值为线段
P＇P＇＇的长。
作法 作图 原理
在直线 l1 、 l2 上分别求点M 、N ，使四边形 PQMN的周长最小。
分别作点
Q 、P 关于直线l1 、 l2 的对称点 Q＇和 P＇连 Q＇P＇，与两直线交点即为
中考压轴题突破：几何最值问题(将军饮马、造桥选址、胡不归、阿波罗尼斯圆等)
中考压轴题突破：几何最值问题大全（将军饮马、造桥选址、胡不归、阿波罗尼斯圆等）
一、基本图形
所有问题的老祖宗只有两个：①[定点到定点]：两点之间，线段最短；②[定点到定线]：点线之间，垂线段最短。
由此派生：③[定点到定点]：三角形两边之和大于第三边；④[定线到定线]：平行线之间，垂线段最短；⑤[定点到定圆]：点圆之间，点心线截距最短（长）；⑥[定线到定圆]：线圆之间，心垂线截距最短；⑦[定圆到定圆]：圆圆之间，连心线截距最短（长）。
余不赘述，下面仅举一例证明：[定点到定圆]：点圆之间，点心线截距最短（长）。
已知⊙O半径为r，AO=d，P是⊙O上一点，求AP的最大值和最小值。
证明：由“两点之间，线段最短”得AP≤AO+PO，AO≤AP+PO，得d-r≤AP≤d+r，AP最小时点P在B处，最大时点P在C处。即过圆心和定点的直线截得的线段AB、AC分别最小、最大值。(可用“三角形两边之和大于第三边”，其实质也是由“两点之间，线段最短”推得）。 中考压轴题突破：几何最值问题(将军饮马、造桥选址、胡不归、阿波罗尼斯圆等)
上面几种是解决相关问题的基本图形，所有的几何最值问题都是转化成上述基本图形解决的。
二、考试中出现的问题都是在基本图形的基础上进行变式，如圆与线这些图形不是直接给出，而是以符合一定条件的动点的形式确定的；再如过定点的直线与动点所在路径不相交而需要进行变换的。类型分三种情况：（1）直接包含基本图形；（2）动点路径待确定；（3）动线（定点）位置需变换。
（一）直接包含基本图形
例1.在⊙O中，圆的半径为6，∠B=30°，AC是⊙O的切线，则CD的最小值是 。
简析：由∠B=30°知弧AD一定，所以D是定点，C是直线AC上的动点，即为求定点D到定线AC的最短路径，求得当CD⊥AC时最短为3。
