命题逻辑2-4

离散数学

从上述两个例子可以看出，命题的符号表达式与论域有关。当 论域扩大时，需要添加用来表示客体特性的谓词，称此谓词为 特性谓词。特性谓词往往就是给定命题中量词后边的那个名词 。如上面两个例子中的“所有自然数”、“有些大学生”。 如何添加特性谓词，这是个十分重要的问题，这与前边的量词 有关。 特性谓词的添加方法如下： 如果前边是全称量词，特性谓词后边是蕴含联结词“→”；如 果前边是存在量词，特性谓词后边是合取联结词“∧”。

y的辖域为R(x,y)。

xyz(A(x,y)→B(x,y,z))∧C(t)
z的辖域
y的辖域
x的辖域
离散数学
一、概念 1、指导变元、作用域、约束变元、自由变元

量 词
约 束 变 元
自 由 变 元
(x) P( x, y)
指 导 变 元
辖 域
通常，一个量词的辖域是公式的子公式。因 此，确定一个量词的辖域即是找出位于该量词之后 的相邻接的子公式，具体地讲： 若量词后有括号，则括号内的子公式就是该 量词的辖域； 若量词后无括号，则与量词邻接的子公式为 该量词的辖域。 判定给定公式中个体变元是约束变元还是自 由变元，关键是要看它在公式中是约束出现，还是 自由出现。
离散数学

例题2
小王的父亲是个医生。
设函数f(x)=x的父亲，谓词D(x):x是个医生，a:小王，此命 题可以表示为D(f(a)).

例题3 如果x和y都是奇数，则x+y是偶数。
设 h(x,y)=x+y ，此命题可以表示为: xy((O(x)∧O(y))→E(h(x,y))

像上述的g(x)、f(x)、h(x,y)就是客体函数，一般地用小写的 英文字母f,g,h….表示客体函数。

逻辑学第二章性质命题一性质命题的四种形式1 全称肯定判断形式：所有S是P，写作SAP,简称A判断2 全称否定判断形式：所有S不是P，写作SEP 简称E判断3 特称肯定判断形式:有些S是P，写作SIP，简称I判断。

4 特称否定判断形式：有些S不是P,写作SOP ,简称O判断三词项的周延性：主谓项概念外延数量的断定情况1、周延性是对主谓项外延情况的形式断定，而非实际存在情况的断定。

单称命题的周延性与全称命题同。

2 、“是”P 则P不周延，“不是P”，则P周延主词相同和谓词相同称同素材性质命题。

同素材性质命题的全称肯定命题、全称否定命题、特称肯定命题和特称否定命题之间存在着某种真假关系，这种关系亦称对当关系。

二同素材性质命题的逻辑方阵刻画“对当关系”的图示，俗称“逻辑方阵”，逻辑方阵假词主词对象是存在的。

四性质命题的变形推理1 换质法：换质不换位，谓项正负反换位法：换位不换质，主谓莫扩展是通过调换主谓词项的位置得到一新命题。

换位不改变命题的质。

根据源命题和换位命题的量项是否相同可把换位法区分为单纯换位和限量换位两种。

1 单纯换位：换位命题和原命题的量项相同的换位法，为单纯换位(1)所有S不是P 换位所有P不是S SEP PES(2)有的S是P, 换位：有的P是S SIP PIS2 限量换位：改变原命题的量的换位法(1)所有S是P,换位：有的P是S SAP PIS(2)SAP PAS(3)SOP命题不能换位 SOP POS3 换质位法：先换质后换位，也可先换位后换质有的S是P,换质为有的S不是非P ,这SOP 不能换位换位法是演绎推理，演绎推理的特点是若前提是真的，推出的结论也应该是真的。

五三段论一三段论的构成二三段论的一般规则口诀：主谓三项中周延大项小项莫扩展一特得特否才否双特双否结论乱“四词项”的错误鲁迅的作品不是一天能读完的。

它不符合三段论平身结构的要求，《祝福》是鲁迅的作品，可却借用词项的歧义而构成三段所以，《祝福》不是一天能读完的。

主合取范式
⑵ 真值表法：用真值表求主合取范式。 用真值表求主合取范式的步骤如下： ①构造命题公式的真值表。 ②找出公式的成假赋值对应的极大项。 ③这些极大项的析取就是此公式的主合取范式。
主合取范式
例 用真值表法求(p→q)→r的主合取范式。 解：(p→q)→r的真值表是表1-7.7。公式的成假赋值对应 表1-7.7 的大项为： p∨q∨r (成假赋值为000) p∨q∨r (成假赋值为010) p∨q∨r (成假赋值为110) 主合取范式为：
主析取范式
一个命题公式的主析取范式可以由以下两种方法求得： ⑴ 等价演算法：即用基本等价公式推出。 用等价演算法求主析取范式的步骤如下： ① 化归为析取范式。 ② 除去析取范式中所有永假的基本积。 ③ 在基本积中，将重复出现的合取项和相同变元合并。 ④ 在基本积中补入没有出现的命题变元，即添加 ∧(p∨p)，再用分配律展开，最后合并相同的极小 项。
极小项的性质
极小项 p∧q p∧q p∧q p∧q 极小项 p∧q∧r p∧q∧r p∧q∧r p∧q∧r p∧q∧r p∧q∧r p∧q∧r p∧q∧r 表1-7.2 成真赋值 00 01 10 11 表1-7.3 成真赋值 000 001 010 011 100 101 110 111 名称 m0 m1 m2 m3 m4 m5 m6 m7 名称 m0 m1 m2 m3
p
0 0 1 1
q
0 1 0 1
p∧q
0 0 0 1
表1-7.1 p∧q 0 0 1 0
p∧q 0 1 0 0
p∧q 1 0 0 0
极小项的性质
极小项有下列的性质： ⑴ 每个极小项只有一个成真赋值，且各极小项的成真赋值互 不相同。极小项和它的成真赋值构成了一一对应的关系。 可用成真赋值为极小项进行编码，并把编码作为m的下标来 表示该极小项，叫做该极小项的名称。 两个命题变元的极小项、成真赋值和名称如表1-7.2所示。 三个命题变元的极小项，成真赋值和名称如表1-7.3所示。 从表1-7.2和表1-7.3中可以看出，极小项与其成真赋值的 对应关系为：变元对应1，而变元的否定对应0。

离散数学-----命题逻辑逻辑：是研究推理的科学。

公元前四世纪由希腊的哲学家亚里斯多德首创。

作为一门独立科学，十七世纪，德国的莱布尼兹(Leibniz)给逻辑学引进了符号, 又称为数理逻辑(或符号逻辑)。

逻辑可分为：1. 形式逻辑（是研究思维的形式结构和规律的科学，它撇开具体的、个别的思维内容，从形式结构方面研究概念、判断和推理及其正确联系的规律。

）→数理逻辑（是用数学方法研究推理的形式结构和规律的数学学科。

它的创始人Leibniz，为了实现把推理变为演算的想法，把数学引入了形式逻辑中。

其后，又经多人努力，逐渐使得数理逻辑成为一门专门的学科。

）2. 辩证逻辑（是研究反映客观世界辩证发展过程的人类思维的形态的。

）一、命题及其表示方法1、命题数理逻辑研究的中心问题是推理,而推理的前提和结论都是表达判断的陈述句，因而表达判断的陈述句构成了推理的基本单位。

基本概念：命题：能够判断真假的陈述句。

命题的真值：命题的判断结果。

命题的真值只取两个值:真（用T(true)或1表示）、假（用F(false)或0表示）。

真命题：判断为正确的命题，即真值为真的命题。

假命题：判断为错误的命题，即真值为假的命题。

因而又可以称命题是具有唯一真值的陈述句。

判断命题的两个步骤：1、是否为陈述句；2、是否有确定的、唯一的真值。

说明：（1）只有具有确定真值的陈述句才是命题。

一切没有判断内容的句子，无所谓是非的句子，如感叹句、祁使句、疑问句等都不是命题。

（2）因为命题只有两种真值，所以“命题逻辑”又称“二值逻辑”。

（3）“具有确定真值”是指客观上的具有，与我们是否知道它的真值是两回事。

2、命题的表示方法在书中，用大写英文字母A,B,…,P,Q或带下标的字母P1,P2,P3 ,…,或数字(1),*2+, …,等表示命题，称之为命题标识符。

命题标识符又有命题常量、命题变元和原子变元之分。

命题常量：表示确定命题的命题标识符。

命题变元：命题标识符如仅是表示任意命题的位置标志，就称为命题变元。