四年级奥数 等积变形 一

△AEC、 △AFC、 △ABF
平行线给法（二）：已知平行
【例4】(★★★★)
如图，ABCD为平行四边形，EF平行AC，如果△ADE的面积为4平方厘米。 求三角形CDF的面积。
连接AF、CE 因为S△ADE= S△ACE； S△CDF= S△ACF 又因为AC与EF平行，所以S△ACE= S△ACF S△CDF= S△ADE=4（平方厘米）
=7+7 =14(平方厘米)

【例6】(★★★)
正方形ABCD和正方形CEFG，且正方形ABCD边长为20厘米，则图中 阴影面积为多少平方厘米？
连接CF，那么CF平行BD 所以阴影面积=三角形BCD的面积
=20×20 ÷2 =200（平方厘米）
平行线给法（三）：
并排摆放的正方形的同方向对角线
【例7】(★★★)
【例5】(★★★★)
在梯形ABCD中，OE平行于AD。如果三角形AOB的面积是7平方厘米， 则三角形DEC的面积是______平方厘米。
由平行线间的等积变形可知 S△AEO= S△DEO； S△BEO= S△CEO 所以S△DEC= S△CDO+ S△DEO+ S△CEO
=S△CDO+ S△AEO+ S△BEO = S△CDO+ S△ABO 又S△CDO+ S△ABO =7(平方厘米) 所以S△DEO= S△CDO+ S△ABO
等积变形（上）
★【动手试一试】
你有多少种方法可以将任意一个三角形分成4个面积相等的三 角形？
结论（一）：等底等高的两个三角形面积相等。
【例1】(★★)
你有什么方法将任意一个三角形分成6个面积相等的三角形？
如下图所示，答案不唯一

例题4 将长16厘米，宽9厘米的长方形的长和宽都分成三等份， 长方形内任意一点O与分点及顶点连接，如图，那么阴影 部分的面积是 平方厘米。
例题5 如图，三角形ABC面积为1，延长AB至D，使BD=AB，延 长BC至E，使CE=2BC，延长CA至F，使AF=3AC，求三角 形DEF的面积。
例题6 如图1，正六边形的面积为6，那么阴影部分的面积是多少？
例题7 如图1，△ABC中，BD=2DA，CE=2EB，AF=2FC，那么 △ABC的面积是阴影三角形面积的 倍。
例题8 正六边形 分别是正六边形各边的中点，那么图中阴影六边 形的面积是 平方厘米。
谢谢！
一半模型 阴影图形占整个图形面积的一半。 一般在平行四边形中常见一半模型，任取一点与其四个
顶点连线，所构成的三角形占平行四边形面积的一半。当 然在梯形中也常见一半模型。
最下面三个图，边上的点都为中点。
鸟头模型〔共角模型〕 两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做
共角三角形。 共角三角形常见图形，如以下图
小学奥数几何六大模型及例题
等积变形 等积变形这里的积指的是面积，因为任何直线型图形都
可分解成假设干个三角形，所以三角形是最根本图形，等 积变形里主要研究的是三角形面积变换。
三角形面积=底×高÷2 决定三角形面积的大小，取决于底和高这两个量。 等底等高：假如两个三角形等底等高，那么这两个三角 形面积一样〔如图1〕；〔典型的夹在一组平行线间的， 两个三角形假设同底，那么面积一样〕 同底看高：假如两个三角形等底，但高不等，那么面积 比等于高的比〔如图2〕； 同高看底：假如两个三角形等高，但底不等，那么面积 比等于底的比〔如图3〕。
例题1 〔年第一届“陈省身杯〞六年级2试〕 如图，BC=45，AC=21，△ABC被分成9个面积相等的小三 角形，那么DI+FK为多少？

奥数拓展：等积变形2【例1】重叠面积中的等积变形1.如图是有两个相同的直角梯形重叠而成（单位：厘米），阴影部分的面积是（）平方厘米．2.如图，两个完全一样的直角三角形重叠一部分，图中阴影部分面积是（）平方厘米．A．90 B．75 C．52 D．30【例2】等积变形的灵活运用1.如图，长方形ABCD的面积是56平方厘米，点E、F、G分别是长方形ABCD边上的中点，H为AD 边上的任意一点，求阴影部分的面积．HGEDCBA2.将三角形ABC的BA边延长1倍到D；CB边延长2倍到E，AC边延长3倍到F，如果三角形ABC的面积等于2，那么三角形DEF的面积是_____。

备用图1 备用图23.如图直角三角形中的空白部分是正方形，正方形的一个顶点将这个直角三角形的斜边分成两部分，阴影部分的面积是6 平方厘米，DB长厘米．三．出门考1. 一个等腰三角形的两条边长分别是51米和21米，这个三角形的周长是（ ）米。

2. 如下图，ABCD 为平行四边形，E 、F 分别为AD 、DC 的中点，如果△BFC 的面积为4平方厘米，则△AEB 的面积是（ ）平方厘米．3. 如图是由两个相同的直角梯形重叠而成的，图中只标出三个数据（单位：厘米），图中阴影部分的面积是多少平方厘米？4*.如图，两个正方形摆放在一起，其中大正方形边长为12，那么阴影部分面积是多少？(圆周率取3.14)四．课后作业1. 计算，能简算的要简算。

435177-- 4847157+- 74512712⎛⎫-- ⎪⎝⎭ 4357910910+++ 41327373-+-2. 一根长2米的绳子，先用去41米，又用去21米，这根绳子短了多少米？3. 光明小学拥有一块 公顷的菜地，其中青菜占菜地的，黄瓜占菜地的．剩下的种西红柿，西红柿占菜地的几分之几？4. 光明小学拥有一块公顷的菜地，其中种青菜的有公顷，种黄瓜的有公顷．剩下的种西红柿，西红柿有多少公顷？5. 如图将△ABC 的AB 边延长到D ，BC 边延长到E ，CA 边延长到F ，使DB=AB ，EC=2BC ，FA=2AC ，如果三角形ABC 的面积是5平方厘米，那么三角形DEF 的面积是平方厘米．6. 探索规律并计算=-4131 =-5131 =-6151 =-8151 =+4131 =+5131 =+6151 =+8151 我发现我会计算：4213012011216121+++++ 每日一练第一天：周天（5月20日）1. 三根电线共长87米，第一根和第二根共长43米，第二根和第三根共长31米。

奥数等积变形题目一、一个长方体水箱，长、宽、高分别为3米、2米、1米。

若将其变形为正方体，且体积保持不变，则正方体的边长为多少米？A. 1米B. 2米C. 3米D. 根号6米（答案）B二、有一个圆柱体，底面半径为2厘米，高为5厘米。

若将其等体积变形为圆锥体，且底面半径保持不变，则圆锥体的高为多少厘米？A. 5厘米B. 10厘米C. 15厘米D. 20厘米（答案）C三、一个正方体纸盒，棱长为4厘米。

若将其等体积变形为长方体，且新长方体的长、宽、高均为整数，则新长方体的可能的长、宽、高组合为？A. 1厘米、2厘米、8厘米B. 2厘米、2厘米、4厘米C. 1厘米、4厘米、4厘米D. 3厘米、3厘米、3厘米（答案）A四、有一个圆锥体，底面半径为3厘米，高为4厘米。

若将其等体积变形为圆柱体，且圆柱体的高为2厘米，则圆柱体的底面半径为多少厘米？A. 3厘米B. 4厘米C. 5厘米D. 6厘米（答案）A五、一个长方体水槽，长、宽、高分别为6分米、4分米、2分米。

若将其等体积变形为正方体水槽，则新水槽的表面积比原水槽的表面积减少了多少平方分米？A. 16平方分米B. 32平方分米C. 48平方分米D. 64平方分米（答案）C六、一个圆柱体，底面半径为1厘米，高为10厘米。

若将其等体积变形为圆锥体，且圆锥体的高保持不变，则圆锥体的底面半径为多少厘米？A. 1厘米B. 根号3厘米C. 2厘米D. 3厘米（答案）B七、有一个正方体，棱长为5厘米。

若将其切割成若干个小正方体，且小正方体的棱长均为整数，这些小正方体的体积之和最大为多少立方厘米？（小正方体可以大小不同）A. 125立方厘米B. 100立方厘米C. 75立方厘米D. 50立方厘米（答案）A八、一个圆锥体，底面半径为4厘米，高为6厘米。

若将其等体积变形为圆柱体，且圆柱体的底面半径为2厘米，则圆柱体的高为多少厘米？A. 6厘米B. 8厘米C. 12厘米D. 24厘米（答案）D。