一元二次方程归纳总结
1、一元二次方程的一般式：2
0 (0)ax bx c a ++=≠，a 为二次项系数，b 为一次项系数，c 为常数项。
2、一元二次方程的解法
（1）直接开平方法 （也可以使用因式分解法） ①2
(0)x
a a =≥ 解为：x a =±
②2
()(0)x a b b +=≥ 解为：x a b +=±
③2
()(0)ax b c c +=≥ 解为：ax b c +=±
④2
2()
()()ax b cx d a c +=+≠ 解为：()ax b cx d +=±+
（2）因式分解法：提公因式分，平方公式，平方差，十字相乘法
（3）公式法：一元二次方程2
0 (0)ax bx c a ++=≠，用配方法将其变形为：222
4()24b b ac x a a -+= ①当2
40b ac ?=->时，右端是正数．因此，方程有两个不相等的实根：21,242b b ac
x a
-±-=
② 当240b ac ?=-=时，右端是零．因此，方程有两个相等的实根：1,22b x a
=-
③ 当240b ac ?
=-<时，右端是负数．因此，方程没有实根。
注意：虽然所有的一元二次都可以用公式法来求解，但它往往并非最简单的，一定要注意方法的选用。 备注：公式法解方程的步骤：
①把方程化成一般形式：一元二次方程的一般式：2
0 (0)ax bx c a ++=≠，并确定出a 、b 、c
②求出24b ac ?
=-，并判断方程解的情况。
③代公式：21,242b b ac
x a
-±-=（要注意符号）
3、一元二次方程的根与系数的关系
法1：一元二次方程2
0 (0)ax
bx c a ++=≠的两个根为：
221244,22b b ac b b ac x x a a
-+----==
所以：22124422b b ac b b ac b
x x a a a
-+----+=
+=-，
22222122244()(4)422(2)4b b ac b b ac b b ac ac c
x x a a a a a
-+-------?=?===
定理：如果一元二次方程2
0 (0)ax
bx c a ++=≠定的两个根为12,x x ，那么：
1212,b c
x x x x a a
+=-=
法2：如果一元二次方程2
0 (0)ax
bx c a ++=≠定的两个根为12,x x ；那么
2120()()0ax bx c a x x x x ++=?--= 两边同时除于a ，展开后可得： 2212120()0b c
x x x x x x x x a a
+
+=?-++= 12b x x a ?+=-；12c x x a ?=
法3：如果一元二次方程2
0 (0)ax
bx c a ++=≠定的两个根为12,x x ；那么
2
1122200ax bx c ax bx c ?++=??++=?? ①-②得：12
b x x a +=-（余下略） 常用变形：
222121212()2x x x x x x +=+-，
12
1212
11x x x x x x ++=，
22121212()()4x x x x x x -=+-，
2121212
||()4x x x x x x -=+-，
2212121212()x x x x x x x x +=+，
221112
121212
22212()4x x x x x x x x x x x x x x ++-+== 等
练习：
【练习1】若12,x x 是方程2
220070x
x +-=的两个根，试求下列各式的值：
(1)
2212x x +；
(2)
12
11
x x +；
(3)
12(5)(5)x x --；
(4)
12||x x -．
【练习2】已知关于x 的方程2
2
1(1)104
x k x k -++
+=，根据下列条件，分别求出k 的值． (1) 方程两实根的积为5； (2) 方程的两实根12,x x 满足12||x x =．
【练习3】已知12,x x 是一元二次方程2
4410kx
kx k -++=的两个实数根．
(1) 是否存在实数k ，使1
2123
(2)(2)2
x x x x --=-
成立？若存在，求出k 的值；若不存在， 请您说明理由．
(2) 求使
12
21
2x x x x +-的值为整数的实数k 的整数值． 4、应用题
（1）平均增长率的问题：(1)
n
a x
b += 其中：a 为基数，x 为增长率，n 表示连续增长的次数，
①
②
b 表示增长后的数量。 （2）面积问题：注意平移思想的使用
5、换元法 例：2
22()5()60x x x x ---+=
解：令2y x x =- 则原方程可化为：2560y y -+= 解得：12y = 23y =
①当2
2x
x -=时，求得：121,2x x =-=
②当2
3x
x -=时，求得：3,4
113
2
x ±=（原方程共有4个解） 练习：221211x x x x +-=+ 一元二次方程的解法
⑴方法：①直接开方法；②因式分解法；③配方法；④公式法 ⑵关键点：降次
类型一、直接开方法：
()m x m m x ±=?≥=,02
※※对于
()m a x =+2，()()22n bx m ax +=+等形式均适用直接开方法
典型例题： 例1、解方程：
();08212=-x ()216252x -=0; ()();09132=--x
例2、解关于x 的方程：02
=-b ax
例3、若()()2221619
+=-x x ，则x 的值为 。
针对练习：下列方程无解的是（ ）
A.12322
-=+x x B.()022
=-x C.x x -=+132 D.092=+x
类型二、因式分解法:
()()021=--x x x x 21,x x x x ==?或
※方程特点：左边可以分解为两个一次因式的积，右边为“0”，
※方程形式：如
()()22n bx m ax +=+，()()()()c x a x b x a x ++=++ ，
0222=++a ax x
典型例题： 例1、()()3532-=-x x x 的根为（ ）
A
2
5
=
x B
3=x C 3,2
521==
x x D 52=
x
例2、若
()()044342=-+++y x y x ，则4x+y 的值为 。
例3、方程062
=-+x x
的解为（ ）
A.232
1
=-=，x
x B.232
1-==，x
x C.332
1-==，x
x D.2221-==，x x
例4、解方程：
()
04321322=++++x x 例5、已知023222
=--y xy x
,则
y
x y
x -+的值为 。 类型三、配方法()002
≠=++a c bx ax 2
22
442a ac b a b x -=??? ?
?
+? ※在解方程中，多不用配方法；但常利用配方思想求解代数式 的值或极值之类的问题。
典型例题：
例1、试用配方法说明322
+-x x
的值恒大于0。
例2、已知x 、y 为实数，求代数式74222
+-++y x y x 的最小值。
例3、已知，x、y
y x y x
0136422
=+-++为实数，求y
x 的值。
例4、分解因式：31242
++x x
类型四、公式法
⑴条件：
()0
4,02
≥-≠ac b
a 且 ⑵公式： a
ac b b x 242-±-=,(
)0
4,02
≥-≠ac b a 且
典型例题：
例1、选择适当方法解下列方程：
⑴().6132=+x ⑵()().863-=++x x ⑶0142=+-x x
⑷01432
=--x x
⑸()()()()5211313+-=+-x x x x
说明：解一元二次方程时，首选方法是因式分解法和直接开方法、其次选用求根公式 法；一般不选择配方法。
说明：①对于二次三项式c bx ax ++2
的因式分解，如果在有理数范围内不能分解，一般情况要用求根公式，这种方法首
先令c bx ax
++2
=0，求出两根，再写成c bx ax ++2
=))((21x x x x a --.②分解结果是否把二次项系数乘进括号内，
取决于能否把括号内的分母化去.
类型五、 “降次思想”的应用
⑴求代数式的值； ⑵解二元二次方程组。
典型例题： 例1、已知0232
=+-x x
，求代数式()1
1
123
-+--x x x 的值。
例2、如果012
=-+x x
，那么代数式7223-+x x 的值。
例3、已知a 是一元二次方程0132
=+-x x 的一根，求1
1
52223++--a a a a 的值。
例4、用两种不同的方法解方程组
???=+-=-)
2(.
065)1(,622
2y xy x y x
考点四、根的判别式ac b
42
-
根的判别式的作用：①定根的个数；②求待定系数的值；③应用于其它。 典型例题：
例1、若关于x 的方程0122
=-+x k x 有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是 。
例2、关于x 的方程
()0212=++-m mx x m 有实数根，则m 的取值范围是( )
A.10≠≥且m m
B.0≥m
C.1≠m
D.1>m
例3、已知关于x 的方程()0222
=++-k x k x
(1)求证：无论k 取何值时，方程总有实数根；
(2)若等腰?ABC 的一边长为1，另两边长恰好是方程的两个根，求?ABC 的周长。 例4、已知二次三项式2)6(92
-++-m x m x
是一个完全平方式，试求m 的值.
例5、m 为何值时，方程组???=+=+.
3,
6222y mx y x 有两个不同的实数解？有两个相同的实数解？
考点五、应用解答题
⑴“碰面”问题；⑵“复利率”问题；⑶“几何”问题；⑷“最值”型问题；⑸“图表”类问题 典型例题：
1、五羊足球队的庆祝晚宴，出席者两两碰杯一次，共碰杯990次，问晚宴共有多少人出席？
2、北京申奥成功，促进了一批产业的迅速发展，某通讯公司开发了一种新型通讯产品投放
市场，根据计划，第一年投入资金600万元，第二年比第一年减少3
1
，第三年比第二 年减少
2
1，该产品第一年收入资金约400万元，公司计划三年内不仅要将投入的总资
金全部收回，还要盈利3
1
，要实现这一目标，该产品收入的年平均增长率约为多少？（结 果精确到0.1，
61.313≈）
3、某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品，据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克，销售单价每涨1元，月销售量就减少10千克，针对此回答：（1）当销售价定为每千克55元时，计算月销售量和月销售利润。（2）商店想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应定为多少？
4、将一条长20cm 的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长作成一个正方形。（1）要使这两个正方形的面积之和等于17cm 2，那么这两段铁丝的长度分别为多少？（2）两个正方形的面积之和可能等于12cm 2吗？若能，求出两段铁丝的
长度；若不能，请说明理由。（3）两个正方形的面积之和最小为多少？
考点七、根与系数的关系
⑴前提：对于02
=++c bx ax
而言，当满足①0≠a 、②0≥?时，
才能用韦达定理。 ⑵主要内容：
a
c
x x a b x x =-=+2121,
⑶应用：整体代入求值。
典型例题：
例1、已知一个直角三角形的两直角边长恰是方程07822
=+-x x
的两根，则这个直角三
角形的斜边是（ ）
A.
3 B.3 C.6 D.6
例2、解方程组：
??
?=+=+???==+.
2,10)2(;24,
10)1(22y x y x xy y x 例3、已知关于x 的方程()011222
=+-+x k x k
有两个不相等的实数根21,x x ，
（1）求k 的取值范围；
（2）是否存在实数k ，使方程的两实数根互为相反数？若存在，求出k 的值；若不 存在，请说明理由。
例4、小明和小红一起做作业，在解一道一元二次方程（二次项系数为1）时，小明因看错
常数项，而得到解为8和2，小红因看错了一次项系数，而得到解为-9和-1。你知道 原来的方程是什么吗？其正确解应该是多少？ 例5、已知b a
≠，0122=--a a ，0122=--b b ，求=+b a
例6、已知βα,是方程012
=--x x 的两个根，那么=+βα34 .
一元二次方程的应用题
1、学校举行拔河友谊赛，采用单循环赛形式（即每两个队要比赛一场），计算下来共要比赛10场，问共有多少个队报名参赛？
2、为了美化环境，某市加大对绿化的投资．2007年用于绿化投资20万元，2009年用于绿化投资25万元，求这两年绿化投资的年平均增长率．设这两年绿化投资的年平均增长率为x ，根据题意所列方程为（ ）
A 、
22025x =
B 、
20(1)25
x += C 、
220(1)25
x += D 、
220(1)20(1)25x x +++=
3、2008年爆发的世界金融危机，是自上世纪三十年代以来世界最严重的一场金融危机。受金融危机的影响，某商品原价为200元，连续两次降价%a 后售价为148元，下面所列方程正确的是
A ．
2200(1%)148a += B ．
2200(1%)148
a -= C ．
200(12%)148a -=
D ．
2200(1%)148a -=
4、某企业2006年盈利1500万元，2008年克服全球金融危机的不利影响，仍实现盈利2160万元．从2006年到2008年，如果该企业每年盈利的年增长率相同，求：（1）该企业2007年盈利多少万元？（2）若该企业盈利的年增长率继续保持不变，预计2009年盈利多少万元？
5、中国内地部分养鸡场突发禽流感疫情，某养鸡场中、一只带病毒的小鸡经过两天的传染后、鸡场共有169只小鸡遭感染患病，在每一天的传染中平均一只鸡传染了几只小鸡？
6、在长为10cm ，宽为8cm 的矩形的四个角上截去四个全等的小正方形，使得留下的图形（图中阴影部分）面积是原矩形面积的80％，求所截去小正方形的边长。
7、要在长32m ，宽20m 的长方形绿地上修建宽度相同的3条道路，剩下六块绿地面积共570m 2
,问道路宽应为多少？
8、如图所示，某幼儿园有一道长为16米的墙，计划用32米长的围栏靠墙围成一个面积为120平方米的矩形草坪ABCD ．求该矩形草坪BC 边的长．
9、某商场将进价为2000元的冰箱以2400元售出，平均每天能售出8台，为了配合国家“家电下乡”政策的实施，商场决定采取适当的降价措施，调查表明：这种冰箱的售价每降低50元，平均每天就能多售出4台，商场要想在这种冰箱销售中每天盈利4800元，同时又要使百姓得到实惠，每台冰箱应降价多少元？
一元二次方程解法复习练习题
一元二次方程解法归纳：（1）直接开方和配方法；（2）求根公式法法；（3）提取因式法；（4）公式法；（5）因式分解法；
1、
02522
=-+）（x 2.、0542=-+x x 3、025)2(10)2(2=++-+x x
4、03722
=+-x x 5、0223)12(22=-+-+x x 6、(x-1)+2x(x-1)=0
7、2x 2-4x-5=0 8、－3x 2-4x ＋4=0 9、2（x －3）2＋x 2=9 10、04122
=--x x 11、)15(3)15(2-=-x x 12、0362=+-x x
13、1)4(2=+x x 14、)4(5)4(2+=+x x 15、x x 4)1(2=+
16、0432=-+x x 17、3x 2+5(2x+1)=0 18、()()752652x x x +=+
一元二次方程专题练习题
1、关于x 的方程0)1(2)13(2
=+++-a x a ax 有两个不相等的实根1x 、2x ，且有a x x x x -=+-12211，则a
的值是
A ．1
B ．－1
C ．1或－1
D ． 2 2、关于x 的一元二次方程2
(2)10x m x m +-++=有两个相等的实数根，则m 的值是（ ）
A ．0
B ．8
C ．42±
D ．0或8
3、若一元二次方程式)2)(1()1(＋＋＋＋x x x ax bx ＋ 2)2(＝＋x 的两根为0、2，则
b
a 43＋之值为何？
A ．2
B ．5
C ．7
D ． 8
4、已知关于x 的方程x 2
＋bx ＋a ＝0有一个根是－a (a ≠0)，则a －b 的值为
A ．－１
B ．0
C ．1
D ．2 5、已知关于x 的方程
222(1)740x a x a a +-+--=的两根为1x 、2x ，且满足12123320x x x x ---=.求
242
(1)4a a a
++
?-的值。
6、已知关于x 的方程x 2
－2（k －1）x+k 2
=0有两个实数根x 1，x 2.（1）求k 的取值范围；（2）若
12121x x x x +=-，求k
的值.
7、先化简,再求值:5445
5
545x x x x
-+，其中3x =. 11、2008年10月29日，央行宣布，从10月30日起下调金融机构人民币存款基准利率.其中一年期存款基准利率由现行的3.87%下调至3.60%.11月26日，央行宣布，从11月27日,一年期存款基准利率由现行的3.60%下调至2.52%.短短一个月,连续两次降息.设平均每次存款基准利率下调的百分率为x ,根据以上信息可列方程
A.3.87% 2.52%2x -=
B.()2
3.871 2.52x -=
C.()
2
3.87%
1% 1.52%x -= D.()2
2.52%1
3.87%x +=
8、为了让国人分享“神七”升空的骄傲，中央电视台在神七发射期间与“问问”网站联合举办“神七我问问”的活动，网
友可以自由地提出问题，解答问题，对问题的解答发表评论。小红提了一个问题，几天后她发现有x 人次作出解答，每一个解答又恰好有x 人次作出评论，已知包括小红在内，参与该问题讨论的共有73人次，则x =___________________. 9、新年里，一个有若干人的小组，若每人给小组的其它成员赠送一张贺年卡，则全组送贺年卡共72次，此小组的人数是 （A ）7 （B ）8 （C ）9 （D ）10
10、某校准备组织一次排球比赛,参赛的每两个队之间都要比赛一场.赛程计划安排7天,每天安排4场比赛,共有多少个队参赛?设有x 个队参赛,则列方程为 . 11、对于一元二次方程2
0ax
bx c ++=,下列说话:①若a b c ==,那么方程没有实数根；②若b a c =+，则方程必有
一根为-1；③若方程有两个不等的实数根，则方程2
0x bx c ++=也有两个不等的实数根.其中正确的是
A.①
B.①②
C.①③
D.②③
12、已知一元二次方程x 2
+b x +c =0的一根为x 1=1,另一根为1＜x 2＜2，给出下列结论：
①1＜c ＜2；②－3＜b ＜－2；③b+c =－1.其中正确结论的个数是 (A)3． (B)2． (C)1． (D)0．
13、对于-元二次方程a 2
x +bx+c=O(a ≠0)，下列说法：①当b=0时，方程a 2
x +bx+c=O 一定有两个互为相反数的实数根； ②当b ≠0且c=0时，方程a 2
x +bx+c=O 一定有两个实数根且有一根为0； ③当a+b+c=0时，方程a 2
x +bx+c=O 一定有两个不相等的实数根； ④当a>0，c>0且a-b+c<0时，方程a 2
x +bx+c=O 一定有两个不相等的实数根． 其中正确的是( )
A.①②③
B.①②④
C.②③④
D.②④、 14、下列命题： ①若b=2a+
2
1
c,则一元二次方程a 2x +bx+c=O 必有一根为-2；②若ac<0, 则方程 c 2
x +bx+a=O 有两个不
等实数根；③若2
b -4ac=0, 则方程
c 2
x +bx+a=O 有两个相等实数根；其中正确的个数是（ ）
A.O 个
B.l 个
C.2个 D 。3 个 15、利用公式法解下列方程 （1）2
5220x x -+= （2） 012632
=--x x
16、用配方法解下列方程：
（1）3x 2
-5x=2． （2）x 2
+8x=9
17、十字交叉法解方程
(1) a 2
－7a+6=0； (2)8x 2
+6x －35=0； (3)18x 2
－21x+5=0；
(4) 20－9y －20y 2
=0； (5)2x 2
+3x+1=0； (6)2y 2
+y －6=0；
18、用合适方法解题 （1）02522
=-+）（x （2）0542=-+x x （3）025)2(10)2(2=++-+x x
（4）0)4()52(22=+--x x （5）(x-1)+2x(x-1)=0
19、已知a 是一元二次方程0132
=+-x x 的一根，求1
152223++--a a a a 的值。
20、解方程组：
??
?=+=+???==+.
2,10)2(;24,
10)1(22y x y x xy y x 21、若0122
=--a a
，0122=--b b ，则
a
b
b a +的值为 。
22、已知
12
,x x 是一元二次方程
24410
kx kx k -++=的两个实数根．(1) 是否存在实数
k
，使
12123
(2)(2)2x x x x --=-成立？若存在，求出k 的值；若不存在，请您说明理由．(2) 求使1221
2x x x x +-的值为整
数的实数k 的整数值．
一元二次方程专题复习 一、知识结构： 一元二次方程?? ???*?韦达定理根的判别解与解法 二、考点精析 考点一、概念 (1)定义：①只含有一个未知数，并且②未知数的最高次数是2，这样的③整式方程就是一元二次方程。 (2)一般表达式：)0(02≠=++a c bx ax ⑶难点：如何理解 “未知数的最高次数是2”： ①该项系数不为“0”； ②未知数指数为“2”； ③若存在某项指数为待定系数，或系数也有待定，则需建立方程或不等式加以讨论。 典型例题： 例1、下列方程中是关于x 的一元二次方程的是（ ） A ()()12132+=+x x B 02112=-+x x C 02=++c bx ax D 1222+=+x x x 变式：当k 时，关于x 的方程3222+=+x x kx 是一元二次方程。 例2、方程()0132=+++mx x m m 是关于x 的一元二次方程，则m 的值为 。 针对练习： ★1、方程782=x 的一次项系数是 ，常数项是 。
★2、若方程()021=--m x m 是关于x 的一元一次方程， ⑴求m 的值；⑵写出关于x 的一元一次方程。 ★★3、若方程()112=?+ -x m x m 是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范 围是 。 ★★★4、若方程2x2=0是一元二次方程，则下列不可能的是（ ） 2 21 C21 1 考点二、方程的解 ⑴概念：使方程两边相等的未知数的值，就是方程的解。 ⑵应用：利用根的概念求代数式的值； 典型例题： 例1、已知322-+y y 的值为2，则1242++y y 的值为 。 例2、关于x 的一元二次方程()04222=-++-a x x a 的一个根为0，则a 的值为 。 例3、已知关于x 的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的系数满足b c a =+，则此方程必有一根为 。 例4、已知b a ,是方程042=+-m x x 的两个根，c b ,是方程0582=+-m y y 的两个根， 则m 的值为 。 针对练习： ★1、已知方程0102=-+kx x 的一根是2，则k 为 ，另一根是 。 ★2、已知关于x 的方程022=-+kx x 的一个解与方程 311=-+x x 的解相同。 ⑴求k 的值； ⑵方程的另一个解。
一元二次方程题型分类总结 知识梳理 一、知识结构： 一元二次方程?????*?韦达定理根的判别解与解法 考点类型一 概念 (1)定义：①只含有一个未知数，并且②未知数的最高次数是2，这样的③整式方程就是一元 二次方程。 (2)一般表达式： )0(02≠=++a c bx ax ⑶难点：如何理解 “未知数的最高次数是2”： ①该项系数不为“0”； ②未知数指数为“2”； ③若存在某项指数为待定系数，或系数也有待定，则需建立方程或不等式加以讨论。 典型例题： 例1、下列方程中是关于x 的一元二次方程的是（ ） A ()()12132+=+x x B 02112=-+x x C 02=++c bx ax D 1222+=+x x x 变式：当k 时，关于x 的方程3222+=+x x kx 是一元二次方程。 例2、方程()0132=+++mx x m m 是关于x 的一元二次方程，则m 的值 为 。 ★1、方程782=x 的一次项系数是 ，常数项是 。 ★2、若方程()021=--m x m 是关于x 的一元一次方程， ⑴求m 的值；⑵写出关于x 的一元一次方程。 ★★3、若方程()112=?+-x m x m 是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范围 是 。 ★★★4、若方程nx m +x n -2x 2=0是一元二次方程，则下列不可能的是（ ） A.m=n=2 B.m=3,n=1 C.n=2,m=1 D.m=n=1
考点类型二 方程的解 例1、已知322-+y y 的值为2，则1242++y y 的值为 。 例2、关于x 的一元二次方程()04222=-++-a x x a 的一个根为0，则a 的值 为 。 例3、已知关于x 的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的系数满足b c a =+，则 此方程 必有一根为 。 例4、已知b a ,是方程042=+-m x x 的两个根，c b ,是方程0582=+-m y y 的两 个根， 则m 的值为 。 ★1、已知方程0102=-+kx x 的一根是2，则k 为 ，另一根是 。 ★2、已知关于x 的方程022=-+kx x 的一个解与方程 311=-+x x 的解相同。 ⑴求k 的值； ⑵方程的另一个解。 ★3、已知m 是方程012=--x x 的一个根，则代数式=-m m 2 。 ★★4、已知a 是0132=+-x x 的根，则=-a a 622 。 ★★5、方程()()02=-+-+-a c x c b x b a 的一个根为（ ） A 1- B 1 C c b - D a - ★★★6、若=?=-+y x 则y x 324,0352 。
一元二次方程的解法小结 【学习目标】 1.会选择利用适当的方法解一元二次方程； 2.体验解决问题方法的多样性，灵活选择解方程的方法． 【前置学习】 一、自主学习（自主探究）： 1.独立思考·解决问题 解下列方程： （1）02)3(212=-+x ； （2）x 2＋2x ＝0； （3）3x （x －2）＝2（x －2） （4）（x ＋3）2＝（2x －5）2； （5）x 2－x ＋1＝0； （6）（x －2）（x ＋3）＝66． 2.合作探究·解决问题 通过对以上方程的解法，你能说出解一元二次方程的基本思路，总结出对于不同特点的一元二次方程选择什么样的方法去解了吗？ 知识汇总 （1）.解一元二次方程的基本思路是：将二次方程化为 ，即 ． （3）.一般考虑选择方法的顺序是： 法、 法、 法或 法 二、疑难摘要： 【学习探究】 一、合作交流，解决困惑： 1.小组交流：（在小组内说说通过自主学习，你学会了什么？你的疑难与困惑是什么？请同伴帮你解决.） 2.班级展示与教师点拨： 展示1：用直接开方法解方程：（1）01362=-x ； （2）4122=+-x x ．
展示2：用因式分解法解方程：（1）02=+x x ； （2）0)25()4(22=---x x ． 展示3：用配方法解方程：（1） 016102=++x x ； （2）05632=-+x x ． 展示4：用公式法解方程：（1）0122=-+x x ； （2）04122=- -x x ． 二、反思与总结：本节课你学会了什么？你有哪些收获与体会？ 【自我检测】 选择适当的方法解下列方程: 1.x 2－3x ＝0； 2.x 2＋2x －8＝0； 3.3x 2＝4x －1； 4.（x －2）（x －3）＝6； 5.（2x －1）2＝4x －2； 6.（3x －1）2＝（x ＋5）2； 7.x 2-7x ＝0； 8.x 2＋12x ＝27； 9.x （x －2）－x ＋2＝0； 10.224x x +-=； 11.43 2412522+-=--x x x x ． 12.(3x-1)(x-1)=(4x+1)(x-1)
第一讲：一元二次方程的基本解法 【知识要点】 ① 一元二次方程及其标准形式： 只含有一个未知数，且未知数的最高次数是二次的方程叫一元二次方程。 形如ax 2+bx+c=0(a 、b 、c 为常数，且a≠0)的方程叫一元二次方程的标准形式。 任何一元二次方程都可以通过去分母、去括号、移项、合并同类项等过程，转化为标准形式。 ② 一元二次方程的解法主要有： 直接开方法、配方法、求根公式法、因式分解法。 一元二次方程的求根公式为x 1,2=)04(2422≥--±-ac b a ac b b . ③一元二次方程解（根）的含义：使方程成立的未知数的值 【经典例题】 例1、直接开平方法 （1）x 2－196＝0; （2）12y 2－25＝0； （3）（x ＋1）2－4＝0； （4）12（2－x ）2－9＝0. 例2 、配方法： （1）x 2－2x ＝0； （2）2 12150x x +-= （3）24x 2x 2=+ （4）17x 3x 2+= 例3 、求根公式法： (1) 1522-=x x (2) 052222 =--x x
（3）（x ＋1）（x －1）＝x 22 （4）3x (x －3) ＝2(x －1) (x ＋1). 例4 、因式分解法： (1) x （3x ＋2）－6(3x ＋2)＝0. (2)4x 2 ＋19x －5＝0； (3) ()()2232 -=-x x x （4）x （x ＋1）－5x ＝0. 例5、换元法解下列方程： （1）06)12(5)12(2=+---x x (2) 06)1 (5)1(2=+---x x x x 例6、配方法的应用：求证：代数式122+--x x 的值不大于 4 5.
课 题 一元二次方程的应用 授课时间： 2016-03-26 8：00——10:00 备课时间：2016-03-24 教学目标 1、综合运用一元二次方程和其他数学知识解决如面积、利润、增长率与降低 率等生活中的实际问题。 2、注意找准等量关系及检验根是否符合实际意义。 3、从现实问题中构建一元二次方程数学模型。 重点、难点 会运用一元二次方程解决简单的实际问题 考点及考试要求 1.一元二次方程的应用 2.一元二次方程实际问题 教 学 内 容 第一课时 一元二次方程的应用知识梳理 1.已知三角形两边长分别为2和9,第三边的长为二次方程x 2-14x+48=0的一根, 则这个三角形的周长为( ) A.11 B.17 C.17或19 D.19 2.已知两数的积是12,这两数的平方和是25, 以这两数为根的一元二次方程是___________. 3.用适当的方法解下列一元二次方程. （1）.22(3)5x x -+= （2）.22330x x ++= 课前检测
1. 一元二次方程的实际应用????? ???????????????动点问题数字问题面积问题 利润问题增长率（降低率）问题常见类型、答步骤：设、列、解、验 2. 解题循环图： 3. 利用一元二次方程解决许多生活和生产实际中的相关问题，它的一般方法是： （1）根据题意找到等量关系，列出一元二次方程。 （2）特别要对方程的根注意检验，根据实际做出正确取舍，以保证结论的准确性。 第二课时 一元二次方程的应用典型例题 考点一：增长率（降低率）和利润问题 典型例题 知识梳理
（一）增长率（降低率）问题： 【例1】某工厂今年3月份的产值为100万元，由于受国际金融风暴的影响，5月份的产值下降到81万元，求平均每月产值下降的百分率． （二）利润问题： 【例2】商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件赢利40元。为了扩大销售，增加赢利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降低1元，商场平均每天可多售出2件，求： （1）若商场平均每天要赢利1200元，每件衬衫应降价多少元？ （2）若要使商场平均每天赢利最多，请你帮助设计方案。
一元二次方程专题 只含有一个耒知数‘且含未知数的最高次数为2 的整式方程为一元二次方程 '二次项系数遇 一般式 ’ ax" + bx+ c= 0 Ca^O) ~t r^ 项系数b 声数项匕 :直接幵平方法 因式分解法 V -4ac ；称为一元二次方程根的判别式 当△〉()，方程有 两个不相等的实数根 当△ = (),方程有两个相等的实数 根 当△C (X 方程无实数根 知识点1： 一元二次方程的概念及一般形式 1、 方程(1) 3x-1=0;(2) 3x 2 1 0;(3) 3x 2 - 0;(4) 2x 2 1 (x 1)(x 2); x ⑸(5x 2)(3x 7) 15X 2;(6) 3x 2 y 2x .其中一元二次方程的个数为 ( ) A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个 2、将下列方程化为一元二次方程的一般形式，并指出方程的二次项系数、一次项系数和常数 项。 (1) 2x(x 5) 3 x (2)(2x 1)(x 5) 6x 2:用直接开平方法解一元二次方程 3、用直接看平方法解一元二次方程: 2 (2) 45 x 0 知识点3:用配方法解一元二次方程 定义; 一元二次方程t 配方法 公式法(是解方程的主要方法) 很妁判别式, (1) x 2 169 2 (3) 4(2x 2 (4) ( x
4、用配方法解方程x2 2x 5 0时，原方程变形为 A、(x 1)2 6 B、(x 1)2 6 5、用配方法解一元二次方程: 2 （1）2x 4x 1 0 C、(x 2)29 D、(x 2)29 2 (2)2x 1 3x 知识点4:用公式法解一元二次方程6、用公式法解一元二次方程: 2 （1）x 4x 1 0 o (2) 4x 4x 10 1 8x 知识点5:根的判别式（b2 4ac）的应用 7、若关于x的一元二次方程mx2 2x 1 0有两个不相等的实数根，则实数 （） A、m>-1 B、m>-1 且m 0 C、m<1 D、m<1 且m 8已知a、b、c分别是三角形ABC的三边，其中a=1,c=4且关于x的方程两个相等的实数根，试判断三角形ABC的形状。m的取值范围是0 x2 4x b 0 有 4、已知关于x的一元二次方程x2 2mx 3m2 8m 4 0. （1）求证：原方程恒有两个实数根； （2）若方程的两个实数根一个小于5,另一个大于2，求m的取值范围 知识点6:用分解因式法解一兀二次方程 9、用分解因式法解一兀二次方程 2 (1) x 3x 0 2 (2) (x 3) 4x(x 3) 0
《一元二次方程的解法》教案 清江中学钱旭东 【教学目标】 1.知识与技能：能用直接开平方等方法解简单的一元二次方程. 2.过程与方法：经历一元二次方程解法的探究和发现过程，体会转化的思想方法. 3.情感态度与价值观：通过对一元二次方程解法由易到难、由简单到复杂的探究，初步养成对知识的探索精神和严谨的治学态度. 【重点难点】 一元二次方程解法的理解和运用. 【教学模式】 结合本节课的教学内容和学生的认知情况，采用“问题解决”的教学模式. 【辅助手段】 教具准备：多媒体课件. 【教学过程】 一、提出问题 有一天，一个醉汉拿着竹竿进屋，横拿竖拿都进 不去，横着比门框多3尺，竖着比门框多1尺，另一 个醉汉教他沿着门的两个对角斜着拿杆，这个醉汉一试， 不多不少正好进去了。你能知道竹竿有多长吗？ （学生思考） 师：数学来源于生活，生活中也处处有数学。在上面的问题中，如果我们用数学的眼光来看，门可以看成我们熟悉的什么图形？ 生：矩形. 师：那么，醉汉三次摆放的竹竿中存在什么图形？ 生：直角三角形. 师：我们可以把生活问题数学化，将上述醉汉进门的问题转化为我们熟悉的数学问题.
师：这是我们熟悉的问题，如果我们设竹竿长为x 尺，你能得到相应的数量关系吗？请尝试一下. 学生独立完成. 师：我们请一位同学说一下他的成果. 生1 ：我得到的是(x -1)2+(x -3)2=x 2 . 师：这个结果对不对，这是一元二次方程吗？ 生：对！是一元二次方程. 师：能整理成一般形式吗？试一试. 学生很快完成，得到结果x 2-8x +10=0. 设计说明：以一个古代笑话“醉汉进门”的问题作为本节课的问题情境，生活气息浓厚，趣味性强，学生容易产生兴趣，能够很快进入状态，为后面的学习做好心理上的准备.该情境问题，简单易懂，起点低，且和本课所学内容密切相关，不同学生都可以进行探索，有所收获.师生一起对问题进行探究，将生活问题数学化，进而列出方程，为后面的深入探究打下很好的基础. 二、探究新知 探索一：从简单开始 师：要求出醉汉的竹竿长度，我们必须要求出x 2-8x +10=0的解，这是解决前面问题时出现的新问题. 师：如果解方程x 2-8x +10=0感觉很难的话，我们可以退一步，先从最简单的情况入手.谁能写出一个最简单的一元二次方程？ 生2：x 2=0. 多1尺多3尺1尺多3尺
2016中考数学二轮复习-二次函数与一元二次方程的综合
第一讲：二次函数与一元二次方程的综合 内容 要求 中 考分值 考察类型 二次函 数与一元二次方程综合题 会根据二次函数的解析式求 其图象与坐标轴的交点坐标， 会确定图象的顶点、开口方向和对称轴；会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解 7 二次函数与一元二次方程 1. 熟练掌握二次函数的有关知识点 2. 掌握二次函数与一元二次方程的联系。 【例1】 在平面直角坐标系xOy 中，二次函数y =（a －1）x 2 +2x +1与x 轴有交点，a 为正整数. （1）求a 的值. （2）将二次函数y =（a －1）x 2 +2x +1的图象向右平移m 个单位， 例题精讲 方法策略 考试要求 y x 1 1O
a ≠ ………… …………1分 即() ()2 2314210 a k --?-=，且2 -10 k ≠ =3 k ……………………3分 （2）∵二次函数与x 轴有两个交点， ∴ 2-40 b a c ＞，且 a ≠． ……………………４ 分 即2 -30k （）＞，且±k ≠1． 当3k ≠且1k ≠±时，即可行． ∵A 、B 两点均为整数点，且k 为整数 ∴1 2 2 2 -1+-3-1+-3-42==== -1-1-1+1 k k k k k x k k k k （3）（）342（）2（）2（） 2222-1--3-1-+3+21==== -1-1-1-1 k k k k k x k k k k （3）（）322（）2（）2（） (5) 分 当=0k 时，可使1 x ，2 x 均为整数， ∴当 =0 k 时， A 、 B 两点坐标为 (-10) ，和 (20) ，……………………6分 【例3】 已知：关于x 的一元二次方程－x 2+(m +1)x +(m +2)=0（m ＞0）． （1）求证：该方程有两个不相等的实数根； （2）当抛物线y =－x 2+(m +1)x +(m +2)经过点（3，0），
一元二次方程根与系数关系及应用题（讲义） 一、知识点睛 1．从求根公式中我们发现12x x +=_______，12x x ?=_________， 这两个式子称为_____________，数学史上称为___________． 注：使用___________________的前提是_________________． 2．一元二次方程应用题的常见类型有： ①______________；②______________；③______________． 增长率型 例如：原价某元，经过两次连续降价（涨价）； 1人患了流感，经过两轮传染． 经济型 例如：“每涨价××元，则销量减少××件”． 3．应用题的处理流程： ① 理解题意，辨析类型； ② 梳理信息，建立数学模型； ③ 求解，结果验证． 二、精讲精练 1. 若x 1，x 2是一元二次方程2274x x -=的两根，则x 1+x 2与12x x ?的值分别是 （ ） A ．7错误!未找到引用源。，4 B ．7 2-，2 C ．7 2，2 D ．72 ， -2 2. 若x 1 =2是一元二次方程210x ax ++=的一个根，则 该方程的另一个根x 2=_________，a =________． 3. 若关于x 的方程2210x x a ++-=有两个负根，则a 的取值范围是 ____________________． 4. 若关于x 的方程2220x x m +-=的两根之差的绝对值是则m =________． 5. 某商品原售价289元，经过连续两次降价后售价256元．设平均每次降价的 百分率为x ，则下面所列方程正确的是（ ） A ．2289(1)256x -= B ．2256(1)289x -= C ．289(12)256x -= D ．256(12)289x -= 6. 据调查，某市2013年的房价为6 000元/米2，预计2015年将达到8 840元/ 米2，求该市这两年房价的年平均增长率．设年平均增长率为x ，根据题意，所列方程为_______________． 7. 有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，则每轮传染中平均 一个人传染了________________个人．
第一讲一元二次方程的定义及解法 1.1 一元二次方程的定义 知识网络图 定义 直接开平方法 一元二次方程配方法 解法 公式法 因式分解法 知识概述 1．一元二次方程的概念： 只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的整式方程，叫做一元二次方程．2．一元二次方程的一般形式： 一般地，任何一个关于x 的一元二次方程，都能化成形如ax2bx c 0（a 0），这种形式叫做一元二次方程的一般形式．其中ax2是二次项， a 是二次项系数；bx 是一次项， b 是一次项系数； c 是常数项． 3.一元二次方程的解： 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根课堂小练1．（2018?马鞍山二模）已知 a 是方程x2﹣2x﹣1=0 的一个根，则代数式2a2﹣4a﹣1的值为（） A ． 1 B．﹣ 2 C．﹣ 2 或 1 D ．2 2（．2018?岐山县二模）若关于x 的一元二次方程（m﹣1）x2+x+m2﹣5m+3=0 有一个根为1，则m 的值为（ ） A ．1 B．3 C．0 D．1 或3 3．（2017 秋?潮南区期末）一元二次方程（x+3）（x﹣3）=5x 的一次项系数是（） A ．﹣ 5 B．﹣9 C．0 D ．5 课后练习 1．（2018?荆门二模）已知 2 是关于x 的方程x2﹣（5+m）x+5m=0 的一个根，并且这个方向的两个根恰好是等腰△ABC 的两条边长，则△ABC 的周长为（） A ．9 B．12 C．9 或12 D． 6 或12 或15
2．（2018?河北模拟）若关于x 的一元二次方程ax2﹣bx+4=0 的解是x=2，则2020+2a﹣b 的值是（） A ．2016 B ．2018 C．2020 D．2022 3．（2017 秋?武城县期末）若关于x 的一元二次方程（m﹣2）x2+3x+m 2﹣3m+2=0 的常数项为0，则m 等于
龙文教育学科教师辅导讲义 课 题 一元二次方程的解法 教学目标 1. 理解一元二次方程及其有关概念 2. 会解一元二次方程,并能熟练运用四种方法去解 重点、难点 1. 一元二次方程的判定，求根公式 2. 一元二次方程的解法与应用 考点及考试要求 1. 一元二次方程的定义,一般形式，配方式 2. 熟练一元二次方程的解法能灵活运用:直接开平法,配方法.，因式分解，公式法去 3. 一元二次方程在实际问题中的综合应用 教学内容 考点一、概念 (1)定义：①只含有一个未知数．．．．．．．．，并且②未知数的最高次数是．．．．．．．．．2．，这样的③ 整式方程．．．． 就是一元二次方程。 (2)一般表达式：)0(02≠=++a c bx ax 注：当b=0时可化为02=+c ax 这是一元二次方程的配方式 (3)四个特点：(1)只含有一个未知数；(2)且未知数次数最高次数是2；(3)是整式方程．要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理．如果能整理为)0(02≠=++a c bx ax 的形式，则这个方程就为一元二次方程． （4）将方程化为一般形式： 2 =++c bx ax 时，应满足（a≠0） (4)难点：如何理解 “未知数的最高次数是2”： ①该项系数不为“0”； ②未知数指数为“2”； ③若存在某项指数为待定系数，或系数也有待定，则需建立方程或不等式加以讨论。 典型例题： 例1、下列方程中是关于x 的一元二次方程的是（ ） A ()()12132 +=+x x B 02112 =-+ x x C 0 2 =++c bx ax D 1222+=+x x x 变式：当k 时，关于x 的方程3222+=+x x kx 是一元二次方程。 例2、方程()0132=+++mx x m m 是关于x 的一元二次方程，则m 的值为 。
考点跟踪训练7 一元二次方程 一、选择题 1．(·嘉兴)一元二次方程x(x －1)＝0的解是( ) A. x ＝0 B. x ＝1 C. x ＝0或x ＝1 D. x ＝0或x ＝－1 答案 C 解析 x (x －1)＝0，x ＝0或x －1＝0，∴x 1＝0，x 2＝1. 2．(2011·兰州)用配方法解方程x 2－2x －5＝0时，原方程应变形为( ) A ．(x ＋1)2＝6 B ．(x ＋2)2＝9 C ．(x －1)2＝6 D ．(x －2)2＝9 答案 C 解析 x 2－2x －5＝0，x 2－2x ＝5，x 2－2x ＋1＝5＋1，(x －1)2＝6. 3．(2011·福州)一元二次方程x (x －2)＝0根的情况是( ) A ．有两个不相等的实数根 B ．有两个相等的实数根 C ．只有一个实数根 D ．没有实数根 答案 A 解析 x (x －2)＝0，x ＝0或x －2＝0，x 1＝0，x 2＝2，方程有两个不相等的实数根． 4．(2011·济宁)已知关于x 的方程x 2＋bx ＋a ＝0的一个根是－a (a ≠0)，则a －b 值为A ( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．2 答案 A 解析 当x ＝－a 时，得a 2－ab ＋a ＝0，a (a －b ＋1)＝0，又a ≠0.所以a －b ＋1＝0，a －b ＝－1. 5．(2011·威海)关于x 的一元二次方程x 2＋(m －2)x ＋m ＋1＝0有两个相等的实数根，则m 的值是( ) A ．0 B ．8 C ．4±2 2 D ．0或8 答案 D 解析 由题意，得b 2－4ac ＝0，(m －2)2－4(m ＋1)＝0，m 2－8m ＝0，m ＝0或m ＝8. 二、填空题 6．(2011·衢州)方程x 2－2x ＝0的解为________________． 答案 x 1＝0，x 2＝2 解析 x 2－2x ＝0，x (x －2)＝0，x ＝0或x －2＝0，x 1＝0，x 2＝2. 7．(2011·鸡西)一元二次方程a 2－4a －7＝0的解为 ____________. 答案 a 1＝2＋11，a 2＝2－11 解析 a 2－4a －7＝0，a 2－4a ＝7.a 2－4a ＋4＝11，(a －2)2＝11，a －2＝±11，∴a ＝2±11. 8．(2011·镇江)已知关于x 的方程x 2＋mx －6＝0的一个根为2，则m ＝______，另一根 是______． 答案 1，－3 解析 当x ＝2时，4＋2m －6＝0,2m ＝2，m ＝1，∴x 2＋x －6＝0.(x －2)(x ＋3)＝0，x 1＝2，x 2＝－3，另一根是－3. 9．(2011·黄石)解方程：||x 2－y 2－4＋(3 5x －5y －10)2＝0的解是 __________________． 答案 ??? x ＝5，y ＝1或??? x ＝2 5，y ＝4 解析 ??? x 2－y 2－4＝0，3 5x －5y －10＝0， 代入消去x ，得y 2－5y ＋4＝0，y 1＝1，y 2＝4，相应地x 1
创作编号： GB8878185555334563BT9125XW 创作者： 凤呜大王* 一元二次方程解法练习题 姓名 一、用直接开平方法解下列一元二次方程。 1、0142 =-x 2、2)3(2 =-x 3、 ()162812 =-x 二、 用配方法解下列一元二次方程。 1、.0662=--y y 2、x x 4232=- 3、 9642=-x x 4、0542=--x x 5、01322=-+x x 6、 07232=-+x x
三、 用公式解法解下列方程。 1、0822=--x x 2、2 2 314y y - = 3、y y 32132=+ 4、01522=+-x x 5、1842-=--x x 6、 02322=--x x 四、 用因式分解法解下列一元二次方程。 1、x x 22= 2、0)32()1(22=--+x x 3、 0862=+-x x 4、22)2(25)3(4-=+x x 5、0)21()21(2=--+x x 6、 0)23()32(2=-+-x x 五、用适当的方法解下列一元二次方程。(选用你认为最简单的方法)
创作编号： GB8878185555334563BT9125XW 创作者： 凤呜大王* 1、()()513+=-x x x x 2、x x 5322 =- 3、 2260x y -+= 4、01072=+-x x 5、()()623=+-x x 6、 ()()03342 =-+-x x x 7、()02152 =--x 8、0432=-y y 9、 03072=--x x 10、()()412=-+y y 11、()()1314-=-x x x 12、
第一讲：一元二次方程的概念和解法 一、知识点1: 1: 一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2 的方程叫做一元二次方程? 2：一般形式： ax2 + bx+ c= 0(a、b、c 是已知数，a^0) 其中a、b、c分别叫做二次项系数、一次项系数和常数项. 3:相关练习： 1、下列方程中，是一元二次方程的是( ) 2 A、x =1 B、X——-_ =1 C、，x -1 x2 = 1 D、x‘ x 1 = 0 x 2 2 2、如果(m 3)x2 -mx ? 1 = 0是关于x的一元二次方程，则( ) A、m - 3 且 m = 0 B、m -j 3 C、m -j 0 D、m - 3 3、下列方程一定是关于x的一元二次方程的是( ) A、3x =4x m B、ax -8=0 C、x y =0 D、-6xy - y 7 = 0 4、关于x的方程kx23x2 1是一元二次方程，则k的取值范围是_____________ 。 5、判断下列方程是否为一元二次方程： (1 )、—3x2+2x+y2=0 (2)、xx2-2 ^x-x 2 (3)、y2 =0 (4)、2 x1 (2x3 x k 6、关于x的方程(k 1)x' kx ^0是一元二次方程，求k的值。 7、__________________________________________ x(2x- 1) — 3x(x- 2)=0 — 二次项系数：_____ ; 一次项系数：_______ 常数项： ______ ； 2x(x— 1)=3(x + 5) — 4 —_______________ 二次项系数：_____ ; 一次项系数：_____ 常数项：________ . &关于x的一元二次方程(a-1)x2? a2-仁0的一个根为0,则a的值为( ) 1 A、1 B、-1 C、-1或 1 D、- 2 9、已知关于x的一元二次方程(m-2) x2 + 3x+ m2— 4=0有一个解是0,则 m= 。 10、关于x的方程mx2— 3x=x2- mx+2是一元二次方程的条件是_____________ . 11、已知x2-x-1=0,求-x3 2x2 2009 的值 二、知识点2 一元二次方程的解法：
数学培优专题讲义：一元二次方程 一.知识的拓广延伸及相关史料 1．一元二次方程几种解法之间的关系解一元二次方程有下列几种常用方法:（1）配方法:如，经配方得 2670x x ++=，再直接用开平方法； 2(3)2x +=（2）公式法；（3）因式分解法。 这三种方法并不是孤立的，直接开平方法，实际也是因式分解法，解方程，只2670x x ++=要变形为 即可，或原方程 22(3)0x +-=经配方化为，再求解时， 2670x x ++=2(3)2x +=还是归到用平方差公式的因式分解法，所以配方法归为用因式分解法的手段。公式法在推导公式过程中用的是配方法和直接开平方法，因此，它还是归到因式分解法，所不同的是，公式法用一元二次方程的系数来表示根，因而可以作为公式。由此可见，对因式分解法应予以足够的重视。因式分解法还可推广到高次方程。 2．我国古代的一元二次方程 提起代数，人们自然就把它和方程联系起来。事实上，过去代数的中心问题就是对方程的研究。我国古代对代数的研究，特别是对方程解法的研究有着优良的传统，并取得了重要成果。 下面是我国南宋数学家杨辉在1275年提出的一个问题:”直田积（矩形面积）八百六十四步(平方步),只云阔（宽）不及长一十二步（宽比长少一十二步）,问阔及长各几步？”答:”阔二十四步,长三十六步.” 这里,我们不谈杨辉的解法,只用已学过的知识解决上面的问题. 上面的问题选自杨辉所著的《田亩比类乘除算法》。原题另一个提法是:“直田积八百六十四步，只云阔与长共六十步，问阔及长各几步?”这个问题同样可以类似求解. 3. 掌握数学思想方法，以不变应万变。 本章内容蕴涵了丰富的数学方法，主要有转化思想、类比思想、降次法、配方法等。 （1）转化思想 我们知道，解方程的过程就是不断地通过变形把原方程转化为与它等价的最简单方程的过程。因此，转化思想就是解方程过程中思维活动的主导思想。在本章，转化无所不在，无处不有， 可以说这是本章的精髓和特色之一，其表现主要有以下方面： ①未知转化为已知，这是解方程的基本思路: ②一元二次方程转化为一元一次方程，这是通过将原方程降次达到的: ③特殊转化为一般，一般转化为特殊。例如，通过用配方法解数字系数的一元二次方程归纳出用配方法解一般形式2670x x ++=的一元二次方程的方法，进而得出20ax bx c ++=一元二次方程的求根公式，而用公式法又可以解各种具体的一元二次方程，推导出一元二次方程根与系数的关系。又如，通过设未知数，找出等量关系，列方程，把实际问题转化为解方程问题，等等。 掌握转化思想并举一反三，还可以解决很多其他方程问题，如高次方程转化为一元一次或一元二次方程，分式方程转化为整式方程，无理方程转化为有理方程，二元二次方程组转化为二元一次方程组，总之，本章学习的关键之一是学会如何”转化”. 练习: ;222 1 1.510a x x a a -+=+ 是方程的一根,求的值 2421032. a x a ?--=--是方程x 的一根,求a 的值 2 2 42 3101 x x x x x --=-+、若，求的值。 （2）类比思想 本章多次运用类比找出新旧知识的联系,在新旧知识间进行对比,以利于更快更好地掌握新知识. 如用配方法解一元二次方程时,可类比平方根的概念和意义,列一元二次方程解应用题,可类比列一元一次方程解应用题的思路和一般步骤. 类比思想是联系新旧知识的纽带，有利于帮助我们开阔思路，研究解题途径和方法，有利于掌握新知识、巩固旧知识，学习时应特别重视。
二次函数与一元二次方程 1?通过探索，理解二次函数与一元二次方程之间的联系. 2?能运用二次函数及其图象确定方程和不等式的解或解集. 3?根据函数图象与x轴的交点情况确定未知字母的值或取值范围. 、情境导入
如图，是二次函数y = ax2+ bx + c图象的一部分，你能通过观察图象得到一元二次方程ax2+ bx + c = 0的解集吗？不等式ax2+ bx + c<0的解集呢？ 二、合作探究 探究点一：二次函数与一元二次方程 【类型一】二次函数图象与x轴交点情况判断 F列函数的图象与x只有一个交点的 A. y= x2+ 2x —3 B. y = x2+ 2x + 3
C. y = X2—2x + 3 D . y= x2—2x + 1 解析：选项 A 中b2—4ac= 22—4X1 x(—3) = 16 >0 ,选项B 中b2—4ac = 22—4x i x 3= —8 v 0,选项C 中b2—4 ac= (—2)2—4 x i x3 = —8 v 0,选项D 中b2—4 ac = (—2)2— 4x i x i = 0 ,所以选项D的函数图象与X轴只有一个交点，故选 D. 【类型二】利用二次函数图象与x轴交点坐标确定抛物线的对称轴 如图，对称轴平行于y轴的抛物线与x 轴交于(1，0)，(3，0)两点，则它的对称轴为___________
解析：???点(1 , 0)与(3 , 0)是一对对称点，其对称中心是(2 , 0) ,???对称轴的方程是x = 2. 方法总结：解答二次函数问题，若能利用抛物线的对称性，则可以简化计算过程. 【类型三】利用函数图象与x轴交点情况确定字母取值范围 1 若函数y = mx2+ （m + 2）xm + 1 的图象与x轴只有一个交点，那么m的值为（） A. 0 B . 0 或2 C. 2 或—2 D. 0, 2 或—2 解析：若m丸，二次函数与x轴只有一个交点，则可根据一元二次方程的根的判别式 1 为零来求解；若m = 0,原函数是一次函数，图象与x轴也有一个交点.由（m + 2）2—4m$ m + 1）= 0,解得m = 2或一2，当m = 0时原函数是一次函数，图象与x轴有一个交点， 所以当m = 0, 2或一2时，图象与x轴只有一个交点. 方法总结：二次函数y = ax2+ bx + c，当b2—4ac >0时，图象与x轴有两个交点；当 b2—4ac= 0时，图象与x轴有一个交点；当b2—4ac v0时，图象与x轴没有交点.
一、一元二次方程 1、一元二次方程：含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。 2、一元二次方程的一般形式：)0(02≠=++a c bx ax ，它的特征是：等式左边加一个关于未知数x 的二次多项式，等式右边是零，其中2 ax 叫做二次项，a 叫做二次项系数；bx 叫做一次项，b 叫做一次项系数；c 叫做常数项。 二、一元二次方程的解法 1、直接开平方法: 利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。直接开平方法适用于解形如b a x =+2)(的一元二次方程。根据平方根的定义可知，a x +是b 的平方根，当0≥b 时，b a x ±=+，b a x ±-=，当b<0时，方程没有实数根。 2、配方法: 配方法的理论根据是完全平方公式222)(2b a b ab a +=+±，把公式中的a 看做未知数x ，并用x 代替，则有222)(2b x b bx x ±=+±。 配方法的步骤：先把常数项移到方程的右边，再把二次项的系数化为1，再同时加上1次项的系数的一半的平方，最后配成完全平方公式 3、公式法 公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。 一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的求根公式： )04(2422≥--±-=ac b a ac b b x 公式法的步骤：就把一元二次方程的各系数分别代入，这里二次项的系数为a ，一次项的系数为b ，常数项的系数为c 4、因式分解法 因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法。 分解因式法的步骤：把方程右边化为0，然后看看是否能用提取公因式，公式法（这里指的是分解因式中的公式法）或十字相乘，如果可以，就可以化为乘积的形式 5、韦达定理 利用韦达定理去了解，韦达定理就是在一元二次方程中，二根之和=-b/a ，二根之积=c/a 也可以表示为x1+x2=-b/a,x1x2=c/a 。利用韦达定理，可以求出一元二次方程中的各系数，在题目中很常用 三、一元二次方程根的判别式 根的判别式 一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 中，ac b 42 -叫做一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根的判别式，通常用“?”来表示，即ac b 42-=? I 当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根； II 当△=0时，一元二次方程有2个相同的实数根； III 当△<0时，一元二次方程没有实数根 四、一元二次方程根与系数的关系
二次函数与一元二次方程教学讲义 第一讲：一元二次方程判别式及根与系数的关系 一、知识点总结 1、一元二次方程ax 2 ＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的求根公式： 2、证明：设ax 2+bx+c=0 (a ≠0)的两根为x 1，x 2， 由此得出，一元二次方程的根与系数之间存在如下关系：(又称“韦达定理”) ⑴、若一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的两根分别为x 1，x 2，则：x 1+x 2=－b/a ；x 1x 2=c/a ； ⑵、若x 1，x 2是某一元二次方程的两根，则该方程可以写成：x 2-(x 1+x 2)x+x 1x 2=0。 关于一元二次方程根的判别式： 3、一元二次方程 ax 2+bx+c=0 (a ≠0)根的判别式为：△=b 2-4ac 作用：不解方程，判断方程根的情况，解决与根的情况有关的问题。 主要内容：⑴、△＞0：有两个不相等的实数根； ⑵、△＝0：有两个相等的实数根； ⑶、△＜0：没有实数根。 二、典型例题 关于根的判别式的应用： 1、对于数字系数方程，可直接计算其判别式的值，然后判断根的情况； 2、对于字母系数的一元二次方程，若知道方程根的情况，可以确定判别式大于零、等于零还是小于零，从而确定字母的取值范围； 3、运用配方法，并根据一元二次方程根的判别式可以证明字母系数的一元二次方程的根的有关问题。 例1 当m 分别满足什么条件时，方程2x 2-(4m+1)x +2m 2 -1=0, （1）有两个相等实根；（2）有两个不相实根；（3）无实根；(4)有两个实根. 解：∵△=（4m+1）2-4×2×（2m 2 -1）=8m+9 （1）当△=8m+9=0，即m= - 89 时，方程有两个相等的实根； （2）当△=8m+9＞0，即m ＞-89 时，方程有两个不等的实根； （3）当△=8m+9＜0，即m ＜ -8 9 时，方程没有实根。 例2 求证：关于x 的方程x 2 +(m+2)x+2m-1=0有两个不相等的实数根。 分析：(1)要证方程有两个不相等的实数根，就是证明其根的判别式要大于零. (2)对于一个含有字母的代数式，要判断其正负，通常下面方法：通过配方变为“ 一
一元二次方程复习课1）一元二次方程的概念： 中考常见题型： 例1、下列方程中哪些是一元二次方程？试说明理由。 x?22x??122x?4?(x?2)2x?43x?2?5x?3x?1（1）（2）（3）（4） 2bx+a=0, x —2、方程（2a 2在什么条件下此方程为一元二次方程？在什么条件下此方程为一元一 —4）例次方程？2。，求m的一元二次方程(m-1)x+3x-5m+4=0有一根为2例3 、已知关于x 将下列方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项练习一、????????222y?3y2y?1??y1??2x?2?3x2 2x(x-1)=3(x-5)-4 2(m?3)x?nx?m?0x练习二、关于，在什么条件下是一元二次方程？在什么条件下是一元一的方程次方程？ 2）一元二次方程的解法： 1）直接开平方法（换元思想）： 2）配方法： 3）求根公式（符号问题）： 4）因式分解法（十字交叉法）： 中考常见题型： 例1：考查直接开平方法和换元思想。 1）(x+2)=3(x+2) （2）2y(y-3)=9-3y （3）( x-2) — x+2 =0 22（ 249??1x?2x2 4）(2x+1)=(x-1) （5） 2（ 2：用配方法解方程x＋px＋q＝0(p2－4q≥0). 2例
例3：用配方法解方程： 22xx（1）－6x－7＝0；（2）＋3x＋1＝0. 2205x??2x?2x?7x?20?42（3）（50. 2x4 （））3x＋－3＝ 2?4bacb2(x?)?2ax?bx?c?0(a?0)2aa4呢？例4：能否用配方法把一般形式的一元二次方程转化为 22-1=0 -(4k+1)x+2k取什么值时，关于x的方程2x例5、当k 方程没有实数根．有两个不相等的实数根； (2)有两个相等实数根； (3) (1) -c)x+b=0ABC的三边的长，求证方程ax-(a+ba例6、已知，b，c是△222222没有实数根． 练习：222 +n=0无实数根．，求证关于x的方程2x+2(m+n)x+m．若 1m≠n +m=0．求证：关于x的方程x+(2m+1)x-m2 22有两个不相等的实数根． 7例： 2220??x3)?65?(2x3)?(20?x?7x10?0??3992x?x）（2 1（）（）3 3）一元二次方程的应用（常见四类题型）：