竖直平面内的圆周运动的临界问题
竖直平面内的圆周运动是典型的变速圆周运动。一般情况下，只讨论最高点和最低点的情况，常涉及过最高点时的临界问题。
临界问题的分析方法：首先明确物理过程，正确对研究对象进行受力分析，然后确定向心力，根据向心力公式列出方程，由方程中的某个力的变化与速度变化的对应关系，从而分析找出临界值。
１．“绳模型”如图6-11-1所示，小球在竖直平面内做圆周运动过最高点情况。
（注意：绳对小球只能产生拉力）
（1）小球能过最高点的临界条件：绳子和轨道对小球刚好没有力的作用
mg =2vmR v临界=Rg
（2）小球能过最高点条件：v ≥Rg
（当v >Rg时，绳对球产生拉力，轨道对球产生压力）
（3）不能过最高点条件：v
（实际上球还没有到最高点时，就脱离了轨道）
２．“杆模型”如图6-11-2所示，小球在竖直平面内做圆周运动过最高点情况
（注意：轻杆和细线不同，轻杆对小球既能产生拉力，又能产生推力。）
（1）小球能最高点的临界条件：v = 0，F = mg（F为支持力）
（2）当0< v F > 0（F为支持力）
（3）当v =Rg时，F=0
（4）当v >Rg时，F随v增大而增大，且F >0（F为拉力）
【案例剖析】
例1．长为L的细绳，一端系一质量为m的小球，另一端固定于某点，当绳竖直时小球静止，再给小球一水平初速度0v，使小球在竖直平面内做圆周运动，并且刚好能过最高点，则下列说法中正确的是 （ ） v · 绳
图6-11-1 v
a b
v
O 杆
图6-11-2 b a
A．球过最高点时，速度为零 B．球过最高点时，绳的拉力为mg
C．开始运动时，绳的拉力为2vmL D．球过最高点时，速度大小为Lg
解析：开始运动时，由小球受的重力mg和绳的拉力F的合力提供向心力，即20vFmgmL，20vFmmgL，可见C不正确；小球刚好过最高点时，绳拉力为0，2vmgmL，vLg，所以，A、B、C均不正确。故选：D
竖直面内圆周运动的临界问题
1.在竖直平面内做圆周运动的物体，按运动到轨道最高点时的受力情况可分为两类：一是无支撑(如球与绳连接、沿内轨道运动的过山车等)，称为“绳(环)约束模型”，二是有支撑(如球与杆连接、在弯管内的运动等)，称为“杆(管)约束模型”.
2.绳、杆模型涉及的临界问题
绳模型 杆模型
常见
类型
均是没有支撑的小球
均是有支撑的小球
过最高点的临界条件 由mg＝mv2r得v临＝gr 由小球恰能做圆周运动得v临＝0 讨论
分析 (1)过最高点时，v≥gr，FN＋mg＝mv2r，绳、圆轨道对球产生弹力FN
(2)不能过最高点时，v
(2)当0
(3)当v＝gr时，FN＝0
(4)当v>gr时，FN＋mg＝mv2r，FN指向圆心并随v的增大而增大
1(多选)如图所示甲、乙、丙、丁是游乐场中比较常见的过山车，甲、乙两图的轨道车在轨道的外侧做圆周运动，丙、丁两图的轨道车在轨道的内侧做圆周运动，两种过山车都有安全锁(由上、下、侧三个轮子组成)把轨道车套在了轨道上，四个图中轨道的半径都为R，下列说法正确的是( )
A.甲图中，当轨道车以一定的速度通过轨道最高点时，座椅一定给人向上的力
B.乙图中，当轨道车以一定的速度通过轨道最低点时，安全带一定给人向上的力
C.丙图中，当轨道车以一定的速度通过轨道最低点时，座椅一定给人向上的力
D.丁图中，轨道车过最高点的最小速度为gR
2长度为1 m的轻杆OA的A端有一质量为2 kg的小球，以O点为圆心，在竖直平面内做圆周运动，如图所示，小球通过最高点时的速度为3
m/s，g取10 m/s2，则此时小球将( )
A.受到18 N的拉力 B.受到38 N的支持力
C.受到2 N的拉力 D.受到2 N的支持力
3(多选)如图所示，竖直放置的光滑圆轨道被固定在水平地面上，半径r＝ m，最低点处有一小球(半径比r小很多)，现给小球一水平向右的初速度v0，则要使小球不脱离圆轨道运动，v0应当满足(取g＝10
高中物理同步讲义 物理杨整理编写
专题：圆周运动中的临界问题
一、竖直平面内的圆周运动
1.受力分析
小球用轻绳拉着在竖直平面内做圆周运动是典型的变速圆周运动。如图所示，把重力分解可知，除最高点和最低点外，其他各点，小球切线方向加速度均不为零，因此小球做变速（速度、方向）圆周运动。
2.最高点的临界状态分析
（1）“绳模型”（或单圆形轨道，球在轨道内做圆周运动模型，此处简称为“单轨模型”）
a.小球能通过最高点的临界条件为：mg＝mRv2 得：v＝gR ，
此时物体处于完全失重状态，绳上没有拉力；
b.当v＞gR，小球能过最高点，绳上有拉力；
c.当v＜gR，重力（供）大于它需求的向心力，在最高点会下落，因绳子不能提供向上的支持力，
故球不能过最高点。
（2）“杆模型”（或双圆形轨道，球在双轨道内部运动，此处简称为“双轨模型”）
因轻杆可以产生拉力，也可产生支持力，双轨模型时，内轨可产生支持力，外轨产生向下的压力。
a.小球能通过最高点的临界条件为：v＝0，F＝mg （F为支持力）；
b.当０＜v＜gR时，v增大，F减小且0
c. 当v＝gR时，F=0 ，完全失重状态；
d.当v＞gR时，F方向沿半径向内， F＋mg＝mRv2 ；
最低点时，对于各种模型，都是拉力（或者支持力N）T－mg＝mRv2。
例1、长L=0.5m，质量可忽略不计的轻杆，其一端固定于O点，另一端连有质量m＝2kg的小球，它绕O点在竖直平面内做圆周运动。当通过最高点时，如图所示，求下列情况下杆对小球的作用力（计算大小，并说明是拉力还是支持力）
（1）当v＝1m/s时，大小为 16 N，是 支持 力；
（2）当v＝4m/s时，大小为 44 N，是 拉力 力。
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竖直平面内圆周运动的临界问题及应用
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高中物理巧学妙解王 第一章 高频热点剖析
五、竖直平面内的圆周运动
竖直平面内的圆周运动是典型的变速运动，高中阶段只分析通过最高点和最低点的情况，经常考查临界状态，其问题可分为以下两种模型. 一、两种模型 模型1：“轻绳类”
绳对小球只能产生沿绳收缩方向的拉力(圆圈轨道问题可归结为轻绳类)，即只能沿某一
个方向给物体力的图1 图
2 作用，如图1、图2
所示，没有物体支撑的小球，在竖直平面做圆周运动过最高点的情况：
(1)临界条件：在最高点，绳子(或圆圈轨道)对小球没
有力的作用，v0 (2)
小球能通过最高点的条件：v
当v 绳对球产生拉力，圆圈轨道对球产生向下的压力. (3)
小球不能过最高点的条件：v 没到最高点就脱离了圆圈轨道，而做斜抛运动.
模型2：“轻杆类”
有物体支撑的小球在竖直平面内做圆周运动过最高点的情况，如图3所示，(小球在圆环轨道内做圆周运动的情况类似“轻杆类”， 如图4所示，)： (1)临界条件：由于硬杆和管壁的支撑作用，小球恰能到达最高点的临界速度v0 0
(2)小球过最高点时，轻
图3 图
4 杆对小球的弹力情况：
①当v 0时，轻杆对小球有竖直向上的支持力N，其大小等于小球的重力，即N mg； 2 / 4
v2v2
②当0 v 因mg N m,则N mg m.
RR
轻杆对小球的支持力N竖直向上，其大小随速度的增大而减小，其取值范围是mg N 0．
【例1】如图5所示，质量为m的小球从光滑的斜面轨道的A点由静止下滑，若小球恰能通过半径为R的竖直圆形轨道的最高点B而做圆周运
图
5 动，问A点的高度h至少
应为多少?
【解析】此题属于“轻绳类”，其中“恰能”是隐含条
件，即小球在最高点的临界速度是v临界 ，根据12
