本科毕业论文(设计)正定矩阵及其应用学生：学号：专业：指导老师：答辩时间：装订时间：A Graduation Thesis(Project)Submitted to School of Science，Hubei University for Nationalities In Partial Fulfillment of the Requiring for BS DegreeIn the Year of 2016Positive definite matrices and their applicationsStudent Name: Student No.:Specialty:s Supervisor:Date of Thesis Defense: Date of Bookbinding:摘要矩阵是高等代数里的一个基本概念，是代数知识的基础，是矩阵代数的一个主要研究对象. 它不仅是数学的一个重要分支，而且已经成为现在科技领域处理有限维空间形式与数量关系的强有力的工具. 而正定矩阵是从矩阵延伸出来的具有特殊性质的矩阵，是研究二次型的基础，在函数、不等式中都有应用，因此正定矩阵的特殊性质和广泛应用得到了许多学者关注，进而对此进行了大量的研究. 本文从矩阵最基本的概念和性质出发，由浅入深，层层递进. 从矩阵的性质出发，给出了正定矩阵定义及其等价定义，归纳整理了正定矩阵的性质及其部分证明，总结了正定矩阵的判定定理，最后研究正定矩阵在理论证明和在函数极值中的应用.关键词：矩阵正定二次型正定矩阵极值AbstractThe matrix is very important in advanced algebra. It is not only an important branch, but also have become a powerful tool for studying finite dimensional space and quantity r- elationship in the real of modern science and technology. However , extending from the m- atrices, the positive definite matrix is a special matrix, which is a foundation for studying quadratic form and apply properly to both functions and inequality. Thus, its special prop- erty and wide applications have drawn scholars'attention, and a lot of research have been done. This paper begins with the matrix'primary concept and properties, going from the e- asy to the difficult. We define the positive definite matrix and its equivalent one, the sum up its properties and partial evidence, and summarize the determined theorems. At last, we study its application in theory and the solution of the function extremum.Keywords: matrix，positive definite quadratic，positive definite matrix，extremum目录摘要IAbstractII1绪论11.1 课题背景11.2 课题研究的目的和意义11.3 国外研究概况22 预备知识32.1 矩阵32.2二次型53正定矩阵83.1正定二次型83.2正定矩阵的判定定理94正定矩阵的应用134.1正定矩阵的相关命题134.2正定矩阵在函数极值中的应用15总结与展望18致201绪论我们知道矩阵是高等代数中非常重要的容之一. 在学习高等代数时，矩阵方面的知识也经常被用到. 而正定矩阵又是矩阵中的重点，它不单单用来解决数学中的问题，还应用于许多的科学领域. 本课题阐述了正定矩阵研究背景、正定矩阵的研究的目的和意义、正定矩阵的现状以及发展方向，明确指出了研究正定矩阵应用所面临的问题.1.1 课题背景正定矩阵作为一类常用矩阵，对它的研究最早出现在二次型中. 它也是从正定二次型中抽象出来的一个概念，有了正定矩阵的概念后，解决二次型的问题就变得简单方便. 不仅在代数学中应用广泛，在函数学、几何学、图像处理学、概率统计和物理学等学科中都得到了广泛的应用. 因此它的性质、定理以及应用问题一直备受学者关注. 而在实际生活问题中也经常出现一些相关数学问题，而用正定矩阵解决问题可能会更方便简洁一点. 这就需要我们研究正定矩阵的应用，如正定矩阵在四则运算、在函数极值、在不等式中的应用. 因此可以使得我们可以更好地使用正定矩阵这一重要工具. 本文通过对正定矩阵的理解和掌握，查阅各种相关资料，对正定矩阵及其相关知识点进行归纳总结，并且由此给出了正定矩阵在四则运算和函数极值及中的应用.根据课题研究容和手中相关文献资料，了解课题研究现状，学习掌握相关理论基础知识，并进行初步研究，撰写开题报告.1.2 课题研究的目的和意义矩阵是代数中一个非常重要的概念，是研究和解决数学问题的一个重要工具. 而正定矩阵是一类非常重要的矩阵，在矩阵中扮演着重要的角色，因此是我们学习矩阵时不可忽略的重点. 本文对我们对数学感兴趣的学生深入理解和掌握正定矩阵理论有非常重要的意义. 能够加强我们对正定矩阵的掌握，也可以促进正定矩阵理论的进一步完善，丰富正定矩阵的应用，加强我们对正定矩阵的理解，丰富矩阵的理论知识. 有助于我们对整个高等代数知识的一体化的认识. 从而可以培养我们对代数知识的串联思想. 正定矩阵多方面的应用，能够开阔我们的视野，加强我们的联想能力，引起我们对数学的探究欲望，对知识的渴望.研究矩阵的正定性，在代数理论和应用中具有重要意义. 正定矩阵不仅在数学方面，在其他各个领域都具有广泛的应用价值，因此引起了学者们极大的研究兴趣. 这些研究不断丰富了正定矩阵的理论知识，也引起了我们对正定矩阵的兴趣.1.3 国外研究概况随着数学的影响力越来越大，矩阵对数学的研究也显得越来越重要. 在代数方面，正定矩阵也同样占有非常重要的地位. 因此人们对正定矩阵的研究也越来越广泛. 因而对正定矩阵的理解和应用也越来越深入，其应用围也越来越广泛. 在函数学、几何学、经济学、图像处理学、概率统计和物理学等学科中都得到了广泛的应用.在历史上，正定矩阵的相关研究最早出现在二次型和Hermite型中. 但是当时对于的正定矩阵局限于对实对称矩阵或者Hermite矩阵. 1970年，Johnson引入了不再局限于对实对称矩阵或者Hermite矩阵实对称矩阵的概念. 他给出了正定矩阵较为广义的定义. 1985年，炯生也给出了正定矩阵较为广义的定义. 1984年，佟文廷再次将正定矩阵的定义进行了推广. 他给出了推广正定矩阵的各种定义. 1988年，夏长富将实对称矩阵的正定性做了深入推广. 他又进一步极大的丰富了正定矩阵的理论. 1990年，屠伯埙将各类广义正定矩阵进行深度结合. 他重新定义了广义正定矩阵，将它称之为亚正定矩阵. 在研究正定矩阵的过程中，许多学者取得了惊人的理论成果，其成果也得到了广泛的应用. 除了对正定矩阵的研究，许多学者还对正定矩阵相关容进行了研究，同样取得了巨大的成就. 近年来，在完善正定矩阵理论成果的历史中，得出了许多其他的概念和定理，将各类正定阵统一起来. 这些新的研究成果对完善正定矩阵的理论和其应用具有非常大的价值.虽然对正定矩阵的研究这么广泛，但是这些正定矩阵的研究只局限在正定矩阵的理论分析方面. 它的一些实际方面的应用还有待笔者和一些学者去探索挖掘.2 预备知识2.1 矩阵定义2.1.1 由n m ⨯个数),2,1,,2,1(n j m i a ij ==；排成的m 行n 列的数表⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=mn m m n n a a a a a aa a a A 212222111211， 称为n m ⨯矩阵，记作.n m ij a A ⨯=）（ 特殊地，当n m =时，矩阵称为方阵.定义2.1.2 把一矩阵A 的行列互换，所得到的矩阵称为A 的转置. 记为T A (或者记为'A ).即， 设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=sn s s n n a a a a a a a a a A 212222111211，所谓A 的地转置就是指矩阵.212222111211⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=sn n n s s T a a a a a a a a a A 显然，n s ⨯矩阵的转置是s n ⨯矩阵，即n s ij a A ⨯=）（，则.s n ij a A ⨯=）（ 转置矩阵满足以下运算规律()()()().T T TT T T T T TT kA kA A B AB B A B A A A ==+=+=，，，定义2.1.3 数域P 上的n n ⨯矩阵A 称为对称矩阵，如果T A A =.即若⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=nn n n n n a a a a a a a a a A 212222111211, 且满足=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛nn n n n n a a a a a a a a a 212222111211⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛nn n nn n a a a a a a a a a212221212111,则称A 为对称矩阵.定理2.1.1 任意一个n 阶实对称矩阵A ，都存在一个n 阶正交矩阵T ，使得AT T T 成对角型. 对角线上的元素为矩阵A 的特征根.定义2.1.4 数域P 上的n n ⨯矩阵A 称为非退化的，如果0≠A ；否则称为退化的. 即，若.0212222111211≠=nnn n nna a a a a a a a a A则A 为非退化的.定义2.1.5N 级方阵A 称为可逆的，如果有n 级方阵B ，使得.E BA AB == （1）这里E 是n 级单位阵.如果矩阵B 适合（1），那么B 称为A 的逆矩阵，记为T A . 注1：只有方阵才可能可逆； 注2：非零的矩阵不一定可逆；注3：若A 可逆，则（1）中的B 必唯一； 注4：若AC AB =，且A 可逆，则C B =.设A 是n 阶可逆矩阵，下列结论成立：()()()()()()()()().5);(4;13;2;111111111-*-------=====n TT AA k kA kA AA A A A A 为非零数定理2.1.2 矩阵A 是可逆的充分必要条件是A 是非退化的.定义2.1.6 数域P 上n n ⨯矩阵B A ,称为合同的，如果有数域P 上可逆的n n ⨯矩阵C ，使.AC C B T =合同是矩阵之间的的一个关系，不难看出，合同关系具有: （1） 反身性：;AE E A T =（2） 对称性：由T C B =即得();11--=BC C A T（3） 传递性: 由111AC C A T =和2122C A C A T= 即得()().21212C C A C C A T=定义2.1.7 设n n y y y x x x ,,,,,,2121 ；是两组文字，系数在数域P 中的一组关系式⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=+++=+++=.22112222121212121111n nn n n n nn n n y c y c y c x y c y c y c x y c y c y c x ，，（2） 称为由n x x x ,,,21 到n y y y ,,,21 的一个线性替换，或者简称线性替换，如果系数行列式，0≠cij那么线性替换（2）称为非退化的.2.2二次型定义2.2.1设P 是一数域. 一个系数在数域P 中的n x x x ,,,21 的二次齐次多项式() ++=211221113212,,x x a x a x x x f+++++n n n x x a x a x x a 22222212122+2nnn x a + (3) 称为数域P 上的一个n 元二次型，或者，在不致引起混淆时简称二次型. 令ji ij a a =，.j i >由于i j j i x x x x =，所以二次型（3）可以写成()n n x x a x x a x a x x x f 1121122111321,,+++=n n x x a x a x x a 2222221221+++++22211n nn n n n n x a x x a x x a ++++j i n i nj ij x x a ∑∑-==11（5）把（5）的系数排成一个n n ⨯矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=nn n n n n a a a a a a a a a A 212222111211， 它就称为二次型（5）的矩阵.令.21⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n x x x X于是，二次型可以用矩阵的乘积表示出来()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=n nn n n n n n Tx x x a a a a a a a a a x x x AX X 2121222211121121,,..),,(21AX X x x x f T n =定理2.2.1 在数域P 上，任意一个对称矩阵都合同于一对角阵. 即，对于任意一个对称矩阵A 都可以找到一个可逆矩阵C 使AC C T成对角矩阵.定义2.2.2二次型),,,(21n x x x f 经过非退化的线性替换所变成的平方和形式称为二次型),,,(21n x x x f 的一个标准形. 即222221121),,,(n n n x d x d x d x x x f ++=为二次型),,,(21n x x x f 的标准形.定义2.2.3 任意一个复系数的二次型，经过一适当的非退化线性替换可以变成规形. 且规形是唯一的.即任一复数的对称矩阵合同于⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛0011的对角阵.定义 2.2.4 实二次型),,,(21n x x x f 经过某一个非线性替换，可使),,,(21n x x x f 变成标准形22112211r r p p p p y d y d y d y d --++++ ，再做一次非退化线性替换就变成221221r p p z z z z --+++ ，称为实二次型),,,(21n x x x f 的规形.3正定矩阵在二次型中，正定二次型占有特殊的地位. 作为本章的开始，我们给出了它的定义，引出正定矩阵的定义. 正定矩阵同样占有非常特殊的地位，我们给出了正定矩阵的判定定理.3.1正定二次型定义3.1.1 在实二次型 ),,,(21n x x x f 的标准型形中，正平方项的个数p 称为),,,(21n x x x f 的正惯性指数；负平方项的个数p r -称为),,,(21n x x x f 的负惯性指数；它们的差()r p p r p -=--2称为),,,(21n x x x f 的符号差.定义3.1.2 实二次型),,,(21n x x x f 称为正定的. 如果对于任意一组不全为零的实数 n c c c ,,,21 都有 0),,,(21>n c c c f .定理3.1.1 n 元实二次型 ),,,(21n x x x f 是正定的充分必要条件是它的正惯性指数等于n .推论3.1.1 正定矩阵的行列式大于零.定义3.1.3 在n 阶矩阵中任选k 行，再取相同行号的列，所选取的行列交汇处的2k 个元素组成的新的矩阵称为n 阶矩阵的一个k 阶主子式.定义3.1.4 子式),2,1(212222111211n i a a a a a aa a a P ii i i i i i=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=， 称为矩阵()n n ij a A ⨯=的顺序主子式.定理3.1.2实二次型AX X x x x x x f T ni nj j i ij n a ==∑∑==1121),,,(是正定的充分必要条件为：矩阵A 的顺序主子式全大于零.定义3.1.5 若对于方阵A 存在一个非零向量X 和实数λ，使得X AX λ=成立. 则称λ为矩阵A 的特征值，X 称为A 相对于λ的特征向量.定义3.1.6 设实二次型AX X x x x f T n =),,,(21 （A 为对称矩阵). 如果对于任意的0X 21≠⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n x x x ，有0),,,(21>=AX X x x x f T n ，则称该二次型为正定二次型. 矩阵A为正定矩阵.注：本文所讨论的都为实正定矩阵.3.2正定矩阵的判定定理定理3.2.1实对称矩阵A 为正定矩阵的充分必要条件是：存在可逆矩阵P ，使得P P A T =.证明 必要性 因为矩阵A 为正定矩阵，所以矩阵A 合同于单位矩阵，即存在可逆矩阵Q ，使得E AQ Q T =， 即()()()1111----==Q Q EQ Q A TT ，若我们记1-=QP ，则有.P P A T =充分性 设存在可逆矩阵P 使得P P A T =，则对任意()0,,,x 21≠=Tn x x x ， 有()()PX PX PX P X AX X TT T T ==，若我们记()Tn y y y PX Y ,,,21 ==. 则22221n T T y y y Y Y AX X +++== ，所以矩阵A 为正定矩阵.定理3.2.2实对称矩阵A 为正定矩阵的充分必要条件是：存在可逆矩阵P ，使得n T E AP P =.证明 充分性 因为矩阵A 为正定矩阵，所以矩阵A 对应的是正定二次型. 因此可以经过非退化线性替换PY X =. 其中()Tn y y y Y ,,,21 =. 使得()()()).,,,(),,,(212121n n T T TT n y y y g a a a Y AP P Y PY A PY AX X x x x f=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛====所以有n E AP P ='.必要性 存在可逆矩阵P 使得 n T E AP P =，则其对应的二次型).,,,()()(),,,(2121n T T T T n x x x f PY A PY APY P Y EY Y y y y g ==== 因),,(21n x x x g 为正定二次型，所以),,,(21n x x x f 也为正定二次型. 所以其对应的矩阵A 为正定矩阵.定理3.2.3实对称矩阵A 为正定矩阵的充分必要条件是：矩阵A 的正惯性指数n p =.证明 充分性 因为矩阵A 为正定矩阵. 由定理3.2.2知矩阵A 合同于单位阵E . 所以矩阵A 的正惯性指数为n .必要性 因为矩阵A 的正惯性指数为n ，由定理3.1.1知矩阵A 对应的二次型为正定二次型. 因此矩阵A 为正定矩阵.定理3.2.4实对称矩阵A 为正定矩阵的充分必要条件是：矩阵A 的所有顺序主子式都大于零.证明 充分性 因为矩阵A 为正定矩阵，所以矩阵A 对应的二次型为正定二次型. 则构造函数)00)(,,,(21≤<k x x x f k 也为正定二次型. 所以其对应的矩阵顺序主子式k A 为正定矩阵，即0>k A . 所以正定矩阵A 的所有顺序主子式都大于零. 必要性 因为矩阵A 的所有顺序主子式都大于零，所以矩阵A 的任一顺序主子式k A 对应的二次函数都为正定二次型. 因此当n k =时对应的二次型),,,(21n x x x f 为正定二次型. 即对应的矩阵A 为正定矩阵.例3.2.1 设二次型323121232221214-2224),,,(x x x x x x x x x x x x f n -+++=λ ，求λ的取什么围，使得),,,(21n x x x f 为二次型.解 二次型),,,(21n x x x f 的矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=22-1-2-41-1λλA .由定理3.2.4得,011>=A()(),02244122>+-=-==λλλλλA 得.22<<-λ(),02-24222-12-41123>-=+-=--=λλλλλλA 得.20<<λ 综合可知当20<<λ时，),,,(21n x x x f 正定.定理3.2.5实对称矩阵A 为正定矩阵的充分必要条件是：矩阵A 的所有主子式都大于零.证明 设正定矩阵()n n ij a A ⨯=，则它的任一m 阶主子式为()mm m mk k k k k k k k m a a a a A1111=.作二次型AX X T 和().Y A Y m T 对任意()0,10≠=m k k b b Y ，都有().0,,10≠=n c c X 其中⎩⎨⎧==其它时当,0,,,,21m i i k k k i b c ，由于AX X T 正定，所以000>AX X T . 从而().0000Y A Y AX X m TT= 由0Y 的任意性即证()Y A Y m T 是正定二次型，即().0>m A例3.2.2 判断⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1-10121011A 是否为正定矩阵.解 我们直接可以看出矩阵A 的主子式不全大于零.定理3.2.6实对称矩阵A 为正定矩阵的充分必要条件是：矩阵A 的所有特征值都大于零.证明 由定理2.1.1知对于对称矩阵A 存在一个n 阶正交矩阵T . 使得AT T T 成对角型. 对角线上的元素为矩阵A 的特征根.充分性 因为矩阵A 为正定矩阵，所以存在正交矩阵P ，满足⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n T a a a AP P21. 其中n a a a ,,,21 是矩阵A 的全部特征值. 则矩阵A 对应的二次型为AX X x x x f T n =),,,(21 . 令PY X =，则有()()().,,,)(),,,(2121n T T TT n y y y g Y AP P Y PY A PY AX X x x x f ====又因为矩阵A 为正定矩阵，所以二次型为正定二次型. 因此矩阵A 的特征值全部大于零.必要性 因为矩阵A 的特征值),,2,1(n i a i =都是大于零，所以存在正交矩阵P ，满足⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=n T a a a AP P21. 则矩阵A 所对应的二次型 ()()()),,,(,,,),,,(2121212121n TT T n n n n x x x f PY A PY APY P Y y y y a a a y y y y y y g===⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=所以二次型()n y y y g ,,,21 是正定二次型. 因此矩阵A 为正定矩阵.4正定矩阵的应用正定矩阵作为本论文的中心容，我们不仅仅只是研究它的定义和性质，它的应用也是我们需要研究的反向. 正定矩阵的应用非常广泛，它在函数学、几何学、图像处理学、概率统计和物理学等学科中都得到了广泛的应用. 本论文主要研究了它在理论证明中和在函数极值中的应用.4.1正定矩阵的相关命题命题4.1.1 若矩阵B A ,是n 阶正定矩阵，则矩阵B A +也是正定矩阵. 证明 因为矩阵B A ,为正定矩阵，所以对所有00,0>>≠BX X AX X X T T ，. 因此0)(>+X B A X T .命题4.1.2 若矩阵A 是n 阶正定矩阵，R k ∈<0，则kA 也为正定矩阵. 证明 因为所有0,0>≠AX X X T ，所以0)()(>=AX X k X kA X T T .命题4.1.3 若矩阵B A ,都是n 阶正定阵，BA AB =，则AB 也是正定阵. 证明 因为BA AB =，所以()AB BA A B AB T T T===. 所以AB 是对称矩阵又因为B A ,为正定矩阵，所以存在可逆矩阵Q P ,，使得.,Q Q B P P A T T == 因此Q PQ P AB T T =.又因为()()TT T PQ PQ PQ QP QABQ ==-1正定， 且与AB 相似，所以AB 正定.命题4.1.4 设矩阵A 是正定阵，则*1A A ，-为正定阵.证明 因为矩阵A 为正定矩阵. 所以存在可逆矩阵C ，使得C C A T =. 因此()()()TTT C C C C CC A 111111------===. 所以1-A 正定.又因为01*>⋅=-A A A A ，此时，所以*A 也是正定阵.命题4.1.5 设矩阵A 为正定阵，则与矩阵A 合同的矩阵也是正定阵. 证明 因为正定矩阵A 合同于单位矩阵E ，又因为合同矩阵具有传递性 所以结论成立.命题4.1.6 若矩阵A 为正定矩阵，那么矩阵A 的绝对值最大的元素一定在矩阵A 的主对角线上.证明 设{}00,max 00j i a a ij j i ==，000000000≤j j i j j i i i a a a a . 这与矩阵A 为正定矩阵矛盾.例4.1.1判断矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=113121311B 是不是正定矩阵.解 因为绝对值最大的元素不在主对角线上，所以矩阵B 不是正定矩阵.- . -4.2正定矩阵在函数极值中的应用定义4.2.1 设n 元函数()),,,(21n x x x f x f =在n n R x x x x ∈⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛= 210的某个邻域存在一阶和二阶连续偏导数.记⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂∂∂∂=∇n x x f x x f x x f x f )(,,)(,)()(02010 .)(x f ∇称为函数)(x f 在点⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=n x x x x 210处的梯度，或记为).(0x gradf定义4.2.2设n 元函数()),,,(21n x x x f x f =有二阶连续偏导数，并且在⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n αααα 21处的一阶偏导全部为零. 则称α为()),,,(21n x x x f x f =的一个驻点，则n 阶矩阵⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=n n n n n n x x x x x x x x x x xx x x x x x x f f f f f f f f f x H212221212121)(. 称为()),,,(21n x x x f x f =在α点的黑塞矩阵.定理4.2.1 设函数),,,()(21n x x x f x f =的一阶和二阶连续偏导数存在.并且在),,,(21n αααα =处的一阶偏导为零. 则由函数二阶偏导所确定的n 元黑塞矩阵⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=n n n n n n x x x x x x x x x x xx x x x x x x f f f f f f f f f x H212221212121)(，满足 （1）当)(αH 为正定矩阵时，()),,,(21n x x x f x f =在α处取得极小值； （2）当)(αH 为负定矩阵时，()),,,(21n x x x f x f =在α处取得极大值； （3）当)(αH 为不定矩阵时，()),,,(21n x x x f x f =在α无极值.- . -证明 因为()),,,(21n x x x f x f =在α的所有二阶偏导数都存在，所以由泰勒公式得()n n x x x f ∆+∆+∆+ααα,,,2211()+=n f ααα,,,21 ()n n n n x x x f x x x x x x ∆+∆+∆+⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∆++∂∂∆+∂∂∆θαθαθα,,,22112211 ())10(,,,21221122211<<∆+∆+∆+⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∆++∂∂∆+∂∂∆+θθαθαθα其中！n n n n x x x f x x x x x x 又因为()),,,(21n x x x f x f =在α处的一阶偏导为零，所以()n n n i x i x x x f x f i∆+∆+∆+∆=∆∑=θαθαθα,,,(!212211122()).,,,2221111n n ni x x jni j ix x x f xx j i ∆+∆+∆+∆∆+∑∑=+=θαθαθα所以我们可以得到()n n x x x x x f j i ∆+∆+∆+θαθαθα,,,2211 ()).,2,1,(,,,21n j i c f ij n x x j i =+=ααα 当()0,,,21→∆∆∆=∆n x x x x 时，.0→ij c 所以()n n i x i if x f ααα,,,(!2121122 ∑=∆=∆()n n i x x j ni j i j i f x x ααα,,,22111∑∑=+=∆∆+)211122∑∑∑=+==∆∆+∆+ni jni j iijn i iix x c x c .因为()0,,,21→∆∆∆=∆n x x x x 时.0→ij c 所以存在x 的一个领域，使得在这个区域f ∆的符号与()n n i x i if x f ααα,,,2112'2 ∑=∆=()n ni x x jni j ij i f xx ααα,,,22111∑∑=+=∆∆+的符号一致.所以由实二次型及正定矩阵的定义可以证明以上定理的正确性.例4.2.1 求三元函数()32123222132162432,,x x x x x x x x x f -+-++=的极值. 解 求驻点⎪⎩⎪⎨⎧=-==⇒⎪⎩⎪⎨⎧=-==+==-=.111.066022044321321321x x x x f x f x f x x x ，，，，所以驻点为()1,1-1，α. 求得二阶偏导分别为.0,6,0,2,0,4313332222111======x x x x x x x x x x x x f f f f f f所以矩阵()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=600020004αH ， 由以上判定定理可知H 为正定矩阵.所以),,(321x x x f 在()1,1-1，α处取得极小值，极小值为()().51,1,1-=-=f f α例4.2.2 求三元函数32123223132126),,(x x x x x x x x x f -+++=的极值. 解 求驻点⎪⎩⎪⎨⎧===⎪⎩⎪⎨⎧===⇒⎪⎩⎪⎨⎧=-==+==+=.1,27,9.1,0,0.022062063321321312221321x x x x x x x f x x f x x f x x x 或，，所以驻点为()1,001，α，()1,2792，α. 求得二阶偏导分别为.0,0,2,0,0,2,6,6,61331332332221221111=========x x x x x x x x x x x x x x x x x x f f f f f f f f x f所以矩阵()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=2000260661x H α.所以矩阵().2000260601⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=αH在()1,001，α处的顺序主子式为 .7220002606036266000321-==-====H H H ，，由定理3.2.4知矩阵()1αH 不是正定矩阵，所以()1,001，α不是),,(321x x x f 的极值点. ().20002606542⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=αH在()1,2792，α处的顺序主子式为 .0144200026065407226654054321>==>==>=H H H ，，由定理3.2.4知矩阵()2αH 是正定矩阵，在()1,2792，α处取得极小值，极小值为 ()().29151,27,92==f f α总结与展望正定矩阵在高等代数中有很多重要的应用，其实质就是简化二次型的运算. 本文一共有四章. 第一章主要介绍了本文的研究背景和现状；第二章归纳了部分矩阵知识和二次型知识；第三章通过正定二次型导出正定矩阵的定义，并且整理了正定矩阵的相关知识，着重归纳证明了正定矩阵的六个判定定理及其证明；第四章在前面两部分的知识基础上，给出了正定矩阵的六个命题及其证明，给出了解决了函数极值存在问题的方法，即正定矩阵在函数极值中的应用. 从代数方面解决分析问题，使我意识到数学的跨度非常大，我们应该加强自己的逻辑思维和联想能力并且要学会多方面思考问题.以上这些正定矩阵的研究只局限在正定矩阵的理论分析方面，也可能总结不太完整，归纳的不够完善，这就希望其它研究者完善，还有它的一些实际方面的应用还有待笔者和一些学者去探索挖掘. 本文作者知识和写作水平有限，不足之处请读者和专家批评指正.致在论文完成之际，我首先要向我的指导老师老师表示最真挚的意，本论文是在导师老师的悉心指导下完成的.在论文写作期间，老师一边要兼顾自己的学业一边还耐心认真地指导我的论文，不辞辛苦，花费了许多宝贵时间和心血. 导师渊博的学识，宽厚待人的学者风，严谨求学的治学态度，忘我的敬业精神让我受益匪浅. 能够师从先平老师，是我的幸运，更是我的荣幸.衷心感和我是同一个指导老师的付江林同学. 感他帮助我指正和修改我论文的不足之处. 因为他的帮助我才能顺利完成我的论文.感我的室友们，感他们的督促与各方面的帮助.还有感我的家人们，没有他们的支持，我的论文不可能顺顺利利的完成.最后，向评阅论文和参加论文答辩的老师们表示由衷的感.由于我知识水平的限制，再加上我写此论文的时间仓促. 文中难免有错误和有待改进之处. 真诚欢迎各位老师、同学提出宝贵意见.参考文献[1]慕生. 高等代数[M]. 复旦大学, 2007.9.[2]王蕚芳. 石生明. 高等代数[M]. . 高等教育, 2003.9.[3]岳贵鑫. 正定矩阵及其应用[J]. 省交通高等专科学校学报, 2008, 10(5):31-33.[4]周杰. 矩阵分析及应用[M]. 大学, 2009.7.[5]王松江. 矩阵不等式[M]. 科学. 科学, 2006.5.[6]文杰. 静. 多元函数的极值问题[J]. 工业大学学报:自然科学版, 2004, 24(1):27-30.[7]邵东南. 马鸿. 正定矩阵的性质及应用.大学学报:自然科学版(2), 1999, 59-62.[8]黄云美. 正定矩阵的性质及其应用.职业学院学报, 17.3(2011).[9]王昊. 正定矩阵的性质及应用[J]. 城市建设理论研究:电子版, 2011(20):59-62.[10]路红军. 一类正定矩阵的性质及其应用[J]. 工学院学报, 2003, 12(3):6-7.[11]史秀英. 正定矩阵的等价命题及其应用[J]. 学院学报:自然科学版,2000(2):44-47.[12]Roger A.Horn . 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摘要按照矩阵乘法的定义，我们知道要计算矩阵的乘积AB，就要求矩阵A的列数和矩阵B的行数相等，否则乘积AB是没有意义的。
那是不是两个矩阵不满足这个条件就不能计算它们的乘积呢本文将介绍矩阵的一种特殊乘积BA ，它对矩阵的行数和列数的并没有具体的要求，它叫做矩阵的Kronecker积（也叫直积或张量积）。
本文将从矩阵的Kronecker积的定义出发，对矩阵的Kronecker积进行介绍和必要的说明。
之后，对Kronecker积的运算规律，可逆性，秩，特征值，特征向量等性质进行了具体的探究，得出结论并加以证明。
此外，还对矩阵的拉直以及矩阵的拉直的性质进行了说明和必要的证明。
矩阵的Kronecker积是一种非常重要的矩阵乘积，它应用很广，理论方面在诸如矩阵方程的求解，矩阵微分方程的求解等矩阵理论的研究中有着广泛的应用，实际应用方面在诸如图像处理，信息处理等方面也起到重要的作用。
本文讨论矩阵的Kronecker积的性质之后还会具体介绍它在矩阵方程中的一些应用。
关键词：矩阵；Kronecker积；矩阵的拉直；矩阵方程；矩阵微分方程Properties and Applications of matrix KroneckerproductAbstractAccording to the definition of matrix multiplication, we know that to calculate the matrix product AB, requires the number of columns of the matrix A and matrix B is equal to the number of rows, otherwise the product AB makes no is not two matrices not satisfy this condition will not be able to calculate their product doThis article will describe a special matrix product BA , the number of rows and columns of a matrix and its no specific requirements, it is called the matrix Kronecker product (also called direct product or tensor product).This paper will define the matrix Kronecker product of view, the Kronecker product matrix are introduced and the necessary instructions. Thereafter, the operation rules Kronecker product, the nature of reversibility, rank, eigenvalues, eigenvectors, etc. specific inquiry, draw conclusions and to prove it. In addition, the properties of the stretch of matrix and its nature have been described and the necessary proof.Kronecker product matrix is a very important matrix product, its use is very broad, theoretical research, and other matrix solving differential equations, such as solving the matrix equation matrix theory has been widely applied in practical applications such as image processing aspects of information processing, also play an important role. After the article discusses the nature of the matrix Kronecker product it will introduce a number of specific applications in the matrix equation. Keywords:Matrix; Kronecker product; Stretch of matrix; Matrix equation; Matrix Differential Equations目录摘要 ........................................................................ I Abstract ................................................................... II 第一章 矩阵的Kronecker 积 . (1)矩阵的Kronecker 积的定义 ................................................ 1 矩阵的Kronecker 积的性质 ................................................ 1 第二章 Kronecker 积的有关定理及推论 .......................................... 6 第三章 矩阵的拉直 (9)矩阵的拉直的定义 ......................................................... 9 矩阵的拉直的性质 ......................................................... 9 第四章 矩阵的Kronecker 积与矩阵方程 .. (11)矩阵的Kronecker 积与Lyapunov 矩阵方程 ................................... 11 矩阵的Kronecker 积与一般线性矩阵方程 .................................... 13 矩阵的Kronecker 积与矩阵微分方程 ........................................ 14 参考文献.................................................................... 16 致谢 .. (18)符号说明W a W a 属于集合元素nm ij a A ⨯=)( 矩阵的记法列元素的行为以n m j i a ij⨯ij A )( 列的元素行的矩阵j i AT A 的转置矩阵A H A 的共轭转置矩阵A1-A 的逆矩阵矩阵A→A 按行拉直得到的列向量矩阵AA det 的行列式方阵AtrA 的主对角元素之和的迹，方阵A A)(A rank 的秩矩阵A)(A λ 的特征值方阵An I 阶单位矩阵nR 实数域 C 复数域n C 维复向量的全体n n m C ⨯ 复矩阵全体n m ⨯O 零矩阵B A ⊗ 的和矩阵B A Kronecker 积第一章 矩阵的Kronecker 积矩阵的Kronecker 积的定义定义设矩阵n m C A ⨯∈，矩阵q p C B ⨯∈，定义A 和B 的Kronecker 积（或直积，张量积）B A ⊗为：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⊗B a B a B a B a B a B a B a B a B a B A mn m m n n 212222111211 可以看出，其结果是一个)()(nq mp ⨯矩阵，同时也是一个以B a ij 为子块的分块矩阵.例 设⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=1201A ，[]31-=B ，则 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⊗316200312B B O BB A []⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=-=⊗361203013A A A B 由此可见，B A ⊗与A B ⊗具有相同的阶数，但是它们并不相等，也就是说，Kronecker 积不满足交换律.矩阵的Kronecker 积的性质虽然Kronecker 积不满足交换律，但是具有以下一些性质： 性质 设矩阵n m C A ⨯∈，矩阵q p C O ⨯∈，则O O A A O =⊗=⊗（这个O 为)()(nq mp ⨯矩阵）.证明：略.性质 设k 为任一常数，矩阵n m C A ⨯∈，矩阵q p C B ⨯∈，则)()()(B A k kB A B kA ⊗=⊗=⊗.证明：不失一般性，设⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=mn m m n n a a a a a aa a a A 212222111211，则：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=mn m m n n ka ka ka ka ka ka ka ka ka kA 212222111211， 根据Kronecker 积的定义可以得到：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⊗B ka B ka B ka B ka B ka B ka B ka B ka B ka B ka B ka B ka B ka B ka B ka B ka B ka B ka B kA mn m m n n mn m m n n 212222111211212222111211)()()()()()()()()()(， ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⊗B ka B ka B ka B ka B ka B ka B ka B ka B ka kB a kB a kB a kB a kB a kB a kB a kB a kB a kB A mn m m n n mn m m n n 212222111211212222111211)()()()()()()()()()(， 即)(B A k B kA ⊗=⊗，)()(B A k kB A ⊗=⊗. 所以)()()(B A k kB A B kA ⊗=⊗=⊗.性质 设A ，B 为同阶矩阵（同阶是为了可以做加法），则C B C A C B A ⊗+⊗=⊗+)(，B C A C B A C ⊗+⊗=+⊗)(.证明：不失一般性，设⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=mn m m n n a a a a a aa a a A 212222111211，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=mn m m n n b b b b b b b b b B 212222111211，则：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+++++++++=+mn mn m m m m n n n n b a b a b a b a b a ba b a b a b a B A221122222221211112121111，根据Kronecker 积的定义可以得到：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+++++++++=⊗+C b a C b a C b a C b a Cb aC b a C b a C b a C b a C B A mn mn m m m m n n n n )()()()()()()()()()(221122222221211112121111*，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⊗C a C a C a C a C a C a C a C a C a C A mn m m n n 212222111211 *， ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⊗C b C b C b C b C b C b C b C b C b C B mn m m n n 212222111211 *，由*，*得：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+++++++++=⊗C b C a C b C a C b C a C b C a C b C a C b C a C b C a C b C a C b C a C A mn mn m m m m n n n n 221122222221211112121111 *， 由*，*可得：C B C A C B A ⊗+⊗=⊗+)(.同理设⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=mn m m n n c c c c c cc c c C 212222111211可证：B C A C B A C ⊗+⊗=+⊗)(.性质 设矩阵n m C A ⨯∈，矩阵q p C B ⨯∈，矩阵s r C F ⨯∈，则)()(F B A F B A ⊗⊗=⊗⊗证明：不失一般性，设⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=mn m m n n a a a a a aa a a A 212222111211，则：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗=⊗⊗)()()()()()()()()()(212222111211F B a F B a F B a F B a F B a F B a F B a F B a F B a F B A mn m m n n)(212222111211F B A F B a B a B a B a B a B a B a B a B a mn m m n n ⊗⊗=⊗⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡= 得证.性质设矩阵n m C A ⨯∈，矩阵q p C B ⨯∈，矩阵s n C F ⨯∈,矩阵t q C D ⨯∈，则)()())((BD AF D F B A ⊗=⊗⊗证明：不失一般性，设⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=mn m m n n a a a a a aa a a A 212222111211，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=ns n n s s f f f f f f f f f F212222111211， 则：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⊗⊗D f D f Df D f D f Df D f D f D f B a B a B a B a B a B a B a B a B a D F B A ns n n s s mn m m n n212222111211212222111211))(()()()()()()()()()()()(112111112211211121111BD AF BD f a BD f a BD f a BD c a BD f a BD f a BD f a BD f a BD f a nk ks mk n k k mk n k k mk nk ks k n k k k n k k k n k ks k n k k k n k k k ⊗=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=∑∑∑∑∑∑∑∑∑=========得证.性质 设矩阵m m C A ⨯∈可逆， 且矩阵n n C B ⨯∈可逆，则B A ⊗可逆，且111)(---⊗=⊗B A B A .证明：mn n m I I I BB AA B A B A =⊗=⊗=⊗⊗----)()())((1111(这里I n 与数的乘法中的1起到相同的作用)， 故111)(---⊗=⊗B A B A .性质 设矩阵n m C A ⨯∈，矩阵q p C B ⨯∈，则T T T B A B A ⊗=⊗)(H H H B A B A ⊗=⊗)(证明： ij T T T ji ij T B A B a B A ][])[(⊗==⊗ 得证.同理可证：H H H B A B A ⊗=⊗)(.性质 两个正交（酉）矩阵的Kronecker 积还是正交（酉）矩阵. 证明：设矩阵m m C A ⨯∈，矩阵n n C B ⨯∈.因为A ，B 都是正交（酉）矩阵，所以有m T T I A A AA ==，n T T I B B BB ==. 由性质和性质可得：mn n m T T T T T I I I BB AA B A B A B A B A =⊗=⊗=⊗⊗=⊗⊗))(())((. mn m n T T T T T I I I B B A A B A B A B A B A =⊗=⊗=⊗⊗=⊗⊗))(()()(.故mn T T I B A B A B A B A =⊗⊗=⊗⊗)()())((. 得证.第二章 Kronecker 积的有关定理及推论定理 设矩阵n m C A ⨯∈，矩阵q p C B ⨯∈，则)()()(B rank A rank B A rank =⊗.证明：设rank A=r ，rank B=s ，A ，B 的标准形分别为：1111--⎥⎦⎤⎢⎣⎡=Q O O O I P A r ，1212--⎥⎦⎤⎢⎣⎡=Q O O O I P B s其中i P ，i Q =i (1，2)均为非奇异矩阵，则由性质和可以得：`1211211211121112121111)()()()(----------⊗⎥⎦⎤⎢⎣⎡⊗=⊗⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡⊗=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡⊗⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⊗Q Q O O O I P P Q Q O O O I O O O I P P Q O O O I P Q O O O I P B A rss r s r 所以)()()(B rank A rank s r B A rank =•=⊗ 得证.定理 设矩阵m m C A ⨯∈，矩阵n n C B ⨯∈，对于向量m C x ∈和n C y ∈，若x 是A 关于特征值λ的一个特征向量，y 是A 关于特征值μ的一个特征向量，则y x ⊗是B A ⊗对应特征值λμ的一个特征向量.证明：因为x ，y 都是非零向量，所以x ⊗y 也是非零向量，由性质和性质可得：)()()()()())((y x y x By Ax y x B A ⊗=⊗=⊗=⊗⊗λμμλ.所以，y x ⊗是B A ⊗对应特征值λμ的一个特征向量.推论 设矩阵m m C A ⨯∈，矩阵n n C B ⨯∈，对于向量m C x ∈和n C y ∈，若A 的特征值是1λ，2λ，…，m λ；B 的特征值是1μ，2μ，…，n μ，则B A ⊗的特征值为t s μλ，m s ≤≤1，n t ≤≤1（k 重根算k 个）.定理 设矩阵m m C A ⨯∈，矩阵n n C B ⨯∈，对于向量m C x ∈和n C y ∈，若x 是A 关于特征值λ的一个特征向量，y 是A 关于特征值μ的一个特征向量，则y x ⊗是B I I A m n ⊗+⊗对应特征值μλ+的一个特征向量.证明：由性质，性质可以得到：)()()()())((y x y x y I Ax y x I A n n ⊗=⊗=⊗=⊗⊗λλ， )()()()())((y x y x By x I y x B I m m ⊗=⊗=⊗=⊗⊗μμ，故))(())(())(())((y x y x B I y x I A y x B I I A m n m n ⊗+=⊗⊗+⊗⊗=⊗⊗+⊗μλ.所以，y x ⊗是B I I A m n ⊗+⊗对应特征值μλ+的一个特征向量.推论 设矩阵m m C A ⨯∈，矩阵n n C B ⨯∈，对于向量m s C x ∈和n t C y ∈，若1x ，2x ，…，m x 是A 关于特征值1λ，2λ，…，m λ的特征向量，1y ，2y ，…，n y 是B 关于特征值1μ，2μ，…，n μ的特征向量，则B I I A m n ⊗+⊗的n m •个特征值为{t s μλ+}.(s=1，2，…，m ；t=1，2，…，n ).例 设矩阵m m C A ⨯∈，矩阵n n C B ⨯∈，对于向量m i C x ∈和n j C y ∈，若1x ，2x ，…，m x 是A 关于特征值1λ，2λ，…，m λ的特征向量，1y ， 2y ，…，n y 是B 关于特征值1μ，2μ，…，n μ的特征向量，证明：矩阵)()(B A I I n m ⊗-⊗的特征值是j i μλ-1，对应的特征向量为j i y x ⊗.(i=1，2，…，m ；j=1，2，…，n ).证明：由性质和性质可得：))(()()()()())((j i j i j j i i j i j i y x y x By Ax y x B A ⊗=⊗=⊗=⊗⊗μλμλ，故有：))(1())(()())(()())(())(())](()[(j i j i j i j i j i j i j i j i mn j i j i n m j i n m y x y x y x y x y x I y x B A y x I I y x B A I I ⊗-=⊗-⊗=⊗-⊗=⊗⊗-⊗⊗=⊗⊗-⊗μλμλμλ所以，矩阵)()(B A I I n m ⊗-⊗的特征值是j i μλ-1，对应的特征向量j i y x ⊗. 定理 设矩阵m m C A ⨯∈，矩阵n n C B ⨯∈，则trB trA B A tr •=⊗)(证明：由Kronecker 积和迹的定义可得：trBtrA trB a trB a trB a B a tr B a tr B a tr B A tr nn nn •=+++=+++=⊗ 22112211)()()()(得证.定理 设矩阵m m C A ⨯∈，矩阵n n C B ⨯∈，则m n B A B A )(det )(det )det(=⊗证明：设A 的特征值为1λ，2λ，…，m λ，B 的特征值为1μ，2μ，…，n μ， 由推论可得：mn m n n m n m m n n nj j m nj j mnji nj j j i B A B A )(det )(det )()()())(())(()()()()()det(21211212111112,11=====⊗∏∏∏∏===μμμλλλμλμλμλμλμλμλμλμλμλμλ得证.第三章 矩阵的拉直矩阵的拉直的定义定义 设n m ij a A ⨯=)(，定义矩阵A 的按行拉直为：T mn m n n a a a a a a A A vec )()(1221111，，，，，，，，， ==→即矩阵A 的拉直是一个mn 元的列向量，它是由矩阵A 所有元素按行顺序依次排成一列得到的.例如：⎥⎦⎤⎢⎣⎡=d c b a A ，则矩阵A 的拉直为T d c b a A )(，，，=→.矩阵的拉直的性质矩阵的拉直具有以下性质： 性质 设矩阵nm C A ⨯∈，矩阵nm CB ⨯∈，k 和l 是常数，则(lB kA +=→→+B l A k .证明：略.性质 设n m ij t a t A ⨯=))(()(，则dtt dA (=dt d)(t A . 证明：左边==))((dtt dA vet ij a vet ((′)))(n m t ⨯ = [(a 11′(t )，…，a n 1′(t )，a 21′(t )，…，a n 2′(t )，…，a 1m ′(t )，…，a mn ′(t ) ]T=[(a 11(t )，…，a n 1(t )，a 21(t )，…，a n 2(t )，…，a 1m (t )，…，a mn (t ) )T ]′ = ))](([t A vet ′=))](([t A vec dtd=右边，得证. 性质设矩阵nm C A ⨯∈，矩阵pn CX ⨯∈，矩阵qp CB ⨯∈，则→⊗=X B A T)(.证明：设⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=mn m m n n a a a a a aa a a A 212222111211，T n x x X )(1，， =→，其中，T i x 是X 的第i 行=i (1，2，…，)n ，则⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡++++=B x a x a B x a x a AXB T n mn T m Tn n T )()(111111 ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=→n x x X 1 所以T Tn mn T m T n n T B x a x a B x a x a ])()[(111111++++= ，， →⊗=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡++++=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡++++=X B A x x B a B a B a B a x a x a B x a x a B n T mn T m T n T n mn m T n n T )()()()()(11111111111 得证. 推论 设矩阵m m C A ⨯∈，矩阵n m C X ⨯∈，矩阵n n C B ⨯∈，则有1.AX →⊗=X I A n )( 2.→⊗=X B I Tm )(.3(AX +)→⊗+⊗=X B I I A Tm n )(.第四章 矩阵的Kronecker 积与矩阵方程矩阵的Kronecker 积与Lyapunov 矩阵方程设矩阵m m C A ⨯∈，矩阵n n C B ⨯∈，矩阵n m C F ⨯∈，解Lyapunov 矩阵方程：AX+XB=F.第一步：将方程两边拉直，由推论可得：→→=⊗+⊗C X B I I A Tm n )(.第二步：判断是否有解，根据线性方程组是否有解的判别条件可得：矩阵方程有解的充要条件是：Tm n B I I A rank ⊗+⊗(┊)()T m n B I I A rank C ⊗+⊗=→，：有唯一解的充要条件是det(A ⊗I n + I m ⊗B T )≠0，即A 和(-B )没有公共的特征值或者说A 和B 无互为相反数的特征值.例 分别在下2列条件下解矩阵方程AX+XB=C.(1) ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=0112A ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=42-1-3B ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=1081710C (2) ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=3201A ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=1052B ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=11353C 解：(1) 首先计算A 和B 的特征值，解0=-A I λ得：121==λλ，解0=-B I μ得：5221==μμ，.观察有无互为相反数的特征值发现，A 和B 没有互为相反数的特征值，所以矩阵方程有唯一解. 将矩阵方程两边拉直，得到：→→=⊗+⊗C X B I I A Tm n )(.设⎥⎦⎤⎢⎣⎡=4321x x x x X ，计算⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=4123TB ，将A ，T B ，X ，C 代入得： ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⊗⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⊗⎥⎦⎤⎢⎣⎡-108171041231001100101124321x x x x ，计算得到：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡------108171041102301106101254321x x x x ， 根据矩阵的乘法的定义可以求得：21314321-===-=x x x x ，，，. 故矩阵方程AX+XB=C 的唯一解为：⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=2131X . (2) 同样先计算A 和B 的特征值，解0=-A I λ得：3121==λλ，， 解0=-B I μ得：1221-==μμ，.通过观察可知：021=+μλ. 一所以矩阵方程的解不唯，即存在通解. 将矩阵方程两边拉直，得到：→→=⊗+⊗C X B I I A Tm n )(.设⎥⎦⎤⎢⎣⎡=4321x x x xX ，计算⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=1502TB ，将A ，T B ，X ，C 代入得： ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⊗⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⊗⎥⎦⎤⎢⎣⎡1135315021001100132014321x x x x ， - 计算得到：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--113532520050200050034321x x x x ，根据矩阵的乘法的定义可以求得：c x x c x x -=-===3114321，，，. 故矩阵方程AX+XB=C 的通解为：⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=c c X 311(c 为任意常数).矩阵的Kronecker 积与一般线性矩阵方程设矩阵n m k C A ⨯∈，矩阵q p C B ⨯∈，矩阵q m C F ⨯=，解一般线性矩阵方程：F XB Ark k k=∑=1(r = 1，2，…).第一步，将矩阵方程两边拉直，由性质可以得到：∑=→→=⊗rk T kk F X B A 1)][(.第二步：判断是否有解，根据线性方程组是否有解的判别条件可得：矩阵方程有解的充要条件是：∑⊗)((Tkk B A rank ┊))(()1∑=→⊗=rk Tkk B A rank F . 即∑=⊗rk Tkk B A 1)(的所有特征值均不为0. 例 设A 和C 都是n ⨯n 矩阵，A 的特征值λi （i=0，1，2，…，n ）R ∈（实数），求证：矩阵方程C XA A AXA X =++22有唯一解.证明：将两边方程拉直得到：→→=⊗+⊗+⊗C X A A A A I I T T n n ])([(22，化简得到：→→=⊗+⊗+C X A A A A I TTn ])()([22.由定义可知：T A A ⊗的2n 个特征值是=j i j i ，(λλ0，1，2，…，n ). 故：2)()(2T T n A A A A I ⊗+⊗+的2n 个特征值是：22)21(43)()(1j i j i j i λλλλλλ++=++＞00(=j i ，，1，2，…，n ). 即2)()(2T T n A A A A I ⊗+⊗+是可逆的，由唯一解的判断方法可知：矩阵方程C XA A AXA X =++22有唯一解.例 在下列条件下解矩阵方程C XB A XB A =+2211.已知：⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=20311A ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=13101B ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=11022A ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=01232B ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=48213C . 解：将矩阵方程两边拉直得到：→→=⊗+⊗C X B A B A T T)(2211. *设⎥⎦⎤⎢⎣⎡=4321x x x xX ，计算⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=11301T B 和 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=02132TB 代入*得到：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⊗⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⊗⎥⎦⎤⎢⎣⎡-4821302131102113020314321x x x x .计算化简得：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡------4821320027313331390564321x x x x . 根据矩阵的乘法的定义可以求得：10214321===-=x x x x ，，，.计算T T B A B A rank 2211(⊗+⊗┊4)()2211=⊗+⊗=TT B A B A rank C ， 所以方程有唯一解：⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=1021X . 矩阵的Kronecker 积与矩阵微分方程设m m C A ⨯∈矩阵，n n C B ⨯∈矩阵，n m C t X ⨯∈)(，求下列矩阵微分方程初值问题的解：⎪⎩⎪⎨⎧=+=0)0()()()(X X B t X t AX dt t dX 引理：设m m C A ⨯∈矩阵A ，矩阵n m C B ⨯∈，则n A I A I e e n ⊗=⊗，B m B I e I e m ⊗=⊗. 证明：因为性质可得：∑∑∞=∞=⊗⊗=⊗=11)(!1)(!1k k k k kI A I A k I A k enn A k kI e I A k ⊗=⊗=∑∞=1)!1(. 同理可证：B m B I e I e m ⊗=⊗.将矩阵微分方程两边拉直，由推论可以得到：⎪⎩⎪⎨⎧=⊗+⊗=→00(()()(X X t X B I I A dt t X d T m n 由引理可得：T t B At tB AtB I I A t TT m n e X e X ee X et X )()()(000)(=⊗==→→⊗+⊗，又因为∑∑∞=∞====11!1))(!1()(k Bt k k T k k k T Tt B e t B k t B k eT ，故Bt At e X e t X 0)(= 这就是微分方程的解.例 求解下列矩阵微分方程的初值问题：⎪⎩⎪⎨⎧=+=0)0()()()(X X B t X t AX dt t dX已知：⎥⎦⎤⎢⎣⎡=0011A ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=0011B ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=10010X . 解：可计算得到：⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=101t tAte e e，⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=101t t Bte e e .由式可以得到： ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--==10)1()(220t tBtAt e e eX e t X . 即的解为⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=10)1()(22t te e t X . 通过本章的学习，我们知道矩阵的Kronecker 积在解矩阵方程领域有很大的作用，利用Kronecker 积的性质，我们可以解决Lyapunov 矩阵方程，一般矩阵方程，矩阵微分方程的初值问题等问题.参考文献[1]矩阵论简明教程（第三版）.徐仲等编.北京：科学出版社..[2]矩阵论教程（第2版）.张绍飞，赵迪编.北京：机械工业出版社..[3]矩阵论引论（第2版）.陈祖明，周家胜编.北京：北京航空航天大学出版社..[4]矩阵论十讲.李乔，张晓东编.合肥：中国科学技术大学出版社..[5]矩阵理论及方法.谢冬秀，雷纪刚，陈桂芝编.北京：科学出版社.2012.[6]H-矩阵类的理论及应用.徐仲等编.北京：科学出版社.2013.[7]高等代数教程（上）.王萼芳编.北京：清华大学出版社.1997（2008重印）.[8]常微分方程（第二版）.东北师范大学微分方程教研室.北京：高等教育出版社.（重印）.[9]矩阵分析与应用（第2版）.张贤达编.北京：清华大学出版社.2013（重印）.[10]线性代数及其应用.毛立新，咸美新编.北京：高等教育出版社..[11]线性代数（第2版）.钟玉泉，周建编.北京：科学出版社..[12]矩阵理论与方法（第2版）.吴昌悫，魏洪增编.北京：电子工业出版社..[13]线性代数学习指导.赵春燕，单净，王麟编.哈尔滨：哈尔滨工程大学出版社..[14]矩阵论.张凯院等编.北京：科学出版社.2013.[15]矩阵论导教·导学·导考.张凯院，徐仲编.西安：西北工业大学出版社..[16]矩阵函数与矩阵方程.柏兆俊，高卫国，苏仰锋编.北京：高等教育出版社..[17]矩阵分析.姜志侠，孟品超，李延忠编.北京：清华大学出版社.2015.[18]矩阵论札论.梁昌洪编.北京：科学出版社.2014.[19]线性代数及其应用.马新顺，王涛，郭燕编.北京：高等教育出版社..[20]矩阵论引论.田振际，王永铎，吴德军编.北京：科学出版社.2013.[21]线性代数及其应用（第2版）.河北农业大学理学院编.北京：高等教育出版社..（重印）.[22]线性代数及其应用.王坤龙编.北京：电子工业出版社..[23]线性代数（第2版）.许峰，范爱华编.合肥：中国科学技术大学出版社..[24]线性代数及其应用.俞方元编.上海：同济大学出版社..[25]线性代数学习指导.谢政，陈挚编.北京：清华大学出版社..[26]高等线性代数学.黎景辉，白正简，周国晖编.北京：高等教育出版社..[27]线性代数讲义.江惠坤，邵荣，范红军编.北京：科学出版社.2013.[28]线性代数.贾屹峰编.上海：上海交通大学出版社.2012.[29]线性代数.侯亚君，艾玲，沙萍，林洪娟编.北京：机械工业出版社.（重印）.[30]线性代数.郝秀敏，姜庆华编.北京：经济科学出版社..[31]线性代数.韩旸，王静宇，周莉编.北京：化学工业出版社..[32]线性代数重点难点考点辅导与精析.高淑萍，张剑湖编.西安：西北工业大学出版社..[33]线性代数.傅媛编.武汉：武汉大学出版社.（重印）.[34]跟我学线性代数：导学与习题精解.董晓波编.北京：机械工业出版社..[35]线性代数同步学习辅导.陈绍林，唐道远编.北京：科学出版社，.[36]线性代数及应用.刘三明编.南京：南京大学出版社..[37]线性代数.谭福锦，黎进香编.北京.人民邮电出版社..[38]工程数学.线性代数（第6版）.同济大学数学系编.北京：高等教育出版社..[39]矩阵分析与计算.李继根，张新发编.武汉：武汉大学出版社..[40]矩阵计算的理论与方法.徐树方编.北京：北京大学出版社..[41]矩阵分析及其应用.曾祥金，吴华安编.武汉：武汉大学出版社..[42]矩阵理论与应用.张跃辉编.北京：科学出版社..致谢通过一个月来不断的努力，终于完成了这篇毕业论文。
矩阵论及其在随机过程中的应用摘要：本文主要从三方面探讨矩阵论这门课程，水文学研究的一个重要方面即是对水文序列的过程进行模拟。
结合自身所学，本篇文章首先分析了矩阵论教学需要改正之处，再者阐述了矩阵论在随机过程、科学研究中的应用情况，最后结合实际展望了矩阵论的发展前景。
关键字：矩阵论随机过程矩阵函数矩阵分解矩阵的早期发展，除了矩阵理论在内容上的发展，即从不同领域的研究中发展出来的有关矩阵的概念，以及随之引起的相似、对角化和标准型的矩阵分类以外，还有矩阵发展中更深刻的一面，即西尔维斯特、凯莱等人在行列式和矩阵理论上的发展及思想，这为代数不变量理论的创立奠定了理论基础。
1矩阵论课程教学存在的问题矩阵论是一门发展完善、理论严谨、方法独特的理论基础课程，它对培养学生的逻辑能力、推理能力具有重要作用，但它又能广泛应用于各个领域。
现行矩阵论教材基本上是理科数学教材的缩写，过分强调严格的理论证明、抽象思维能力的培养，而实际应用介绍偏少，使学生没有应用意识；忽视与计算机有关的数值计算方面的训练。
这些问题的存在，不仅影响了学生学习数学的积极性，使学生缺少对数学实质性的理解，同时影响了后续课程的学习，专业课教师常常感到学生的数学基础不够扎实，联系实际问题的能力欠缺，一些学生在做学位论文时，不会灵活运用学过的理论知识解决问题，因而不利于高素质创新型人才的培养，所有这些都反映了教学改革的迫切性。
2矩阵理论在随机过程和科学研究中的应用概况矩阵理论主要内容包括线性空间、线性变换、范数理论；矩阵分析；矩阵分解；广义逆矩阵；特征值的估计以及广义特征值等。
用矩阵的理论和方法来处理现代工程技术中的各种问题已经越来越普遍。
在随机过程的模拟中引进矩阵理论不仅使模拟过程的表达极为简捷，而且对理论的实质刻画也更为深刻，这一点是毋庸置疑的。
计算机和计算方法的普及发展，不仅为矩阵理论的应用开辟了关阔的前景，也使随机过程的研究发生了新的变化，开拓了崭新的研究途径。
