《线性代数与矩阵分析》课程小论文
矩阵分解及其应用
学生姓名：******
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指导教师：********
2015年12月
Little Paper about the Course of "Linear Algebra and Matrix
Analysis"
Matrix Decomposition and its Application
Candidate:******
Major:*********
StudentID:******
Supervisor:******
12,2015
中文摘要
将特定类型的矩阵拆解为几个矩阵的乘机称为矩阵的分解。本文主要介绍几种矩阵的分解方法，它们分别是矩阵的等价分解、三角分解、谱分解、奇异值分解和 Fitting 分解等。矩阵的分解理论和方法是矩阵分析中重要的部分，在求解矩阵的特征值、解线性方程组以及实际工程中有着广泛的运用。因此，本文将介绍矩阵等价分解、三角分解、奇异值分解的理论运用以及三角分解的工程运用。
关键词：等价分解,三角分解,奇异值分解,运用
Abstract
Many particular types of matrix are split into the product of a matrix of several matrices, which is called decomposition of matrix. In this paper, we introduce some methods of matrix decomposition, which are equivalent decomposition, triangular decomposition, spectral decomposition, singular value decomposition, Fitting decomposition and so on. The decomposition theory and method of matrix is an important part of matrix analysis, which is widely used in solving the characteristic value, solving linear equations and the practical engineering. In this paper, we will introduce the theory of matrix equivalence decomposition, triangular decomposition, singular value decomposition and the engineering application of triangular decomposition.
Key words：Equivalent Decomposition, Triangular Decomposition, Singular Value Decomposition, Application
目录
中文摘要 (1)
ABSTRACT (1)
1 绪论 (1)
2 矩阵分解的常用方法 (1)
2.1矩阵的等价分解 (1)
2.2矩阵的三角分解 (2)
2.2.1 矩阵的三角分解 (2)
2.2.2 矩阵的正三角分解 (2)
2.3矩阵的谱分解 (5)
2.3.1 单纯形矩阵的谱分解 (5)
2.3.2 正规矩阵与酉对角化 (6)
2.3.3 正规矩阵的谱分解 (6)
2.4矩阵的奇异值分解 (7)
2.4.1 矩阵的奇异值分解（SVD分解） (7)
2.5矩阵的FITTING分解 (7)
3矩阵分解的理论应用 (8)
3.1矩阵等价分解的理论应用 (8)
3.2矩阵三角分解的理论应用 (8)
3.3矩阵奇异值分解的理论应用 (9)
4 矩阵分解在递推系统辨识中的应用 (10)
4.1递推系统辨识中的困难 (10)
4.1.1 病态问题 (10)
4.1.2 效率和计算量问题 (10)
4.2QR分解的实现方法 (11)
4.2.1 GIVENS变换 (13)
4.3递推算法 (13)
5 结论 (18)
6 参考文献 (18)
1 绪论
矩阵的分解是将一个矩阵分解为较为简单的或具有某种特性的若干矩阵的乘积，这是矩阵理论及其应用中比较常见的方法。由于矩阵的这些特殊的分解形式，一方面反映了原矩阵的某些数值特性，如矩阵的秩、特征值、奇异值等；另一方面矩阵分解方法与过程往往为某些有效的数值计算方法和理论分析提供了重要的依据，因而使其对分解矩阵的讨论和计算带来极大的方便，这在矩阵理论研究及其应用中都有非常重要的理论意义和应用价值。
在实际应用中，利用矩阵的某些分解来解决一些实际的工程数学问题有明显的效果。如计算某些特大、特殊矩阵时，矩阵的三角分解非常有作用，可以大大简化很多计算过程。矩阵的QR （正交三角）分解在状态估计具有很好的计算效率。谱分解作为一种强有力的工具，在处理矩阵等式和矩阵不等式的过程中有着非常重要的作用。奇异值分解是研究数学的一种重要方法，并在最优化问题、特征值问题、广义逆矩阵计算、谱估计、控制理论等领域，有极其重要的作用。矩阵的 Fitting 分解可看作是复矩阵的Jordan 分解在一般域上的推广，它在运筹与控制论方面有至关重要的作用。
2 矩阵分解的常用方法
矩阵分解大致可以分为等价分解、三角分解、谱分解、奇异值分解和Fitting 分解等五大类。
2.1矩阵的等价分解
定理 1.1：（等价分解）若m n
A R
⨯∈,则存在m 阶的可逆阵P 及n 阶可逆阵Q 使得
r Pdiag(E 0)Q ，，其中r=rank(A) 。
证明：设x r+1，…，x n 是N(A)的基，将其扩充成R m 的基1,,,,r n x x x ，因为Ax 1，
…，Ax r 是线性无关的，所以将其扩充成R m 的基11,
,,,
r r m Ax Ax y y +。
令[
]1
1
r r m P Ax Ax y y +=，并且[]11
0r
AQ Ax Ax -=。
于是(,0)r A Pdiag E Q =。
定理 1.2：（满秩分解）若m n
A R
⨯∈,则存在列满秩阵BϵR mxr 和行满秩阵CϵR rxn 使得
A BC =，其中r =rank （A ）。
