人教版初中数学三角形经典测试题及答案
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人教版初中数学三角形经典测试题及答案
一、选择题
1.如图,在菱形ABCD 中,点A 在x 轴上,点B 的坐标轴为()4,1, 点D 的坐标为()0,1, 则菱形ABCD 的周长等于( )
A .5
B .43
C .45
D .20
【答案】C
【解析】
【分析】 如下图,先求得点A 的坐标,然后根据点A 、D 的坐标刻碟AD 的长,进而得出菱形ABCD 的周长.
【详解】
如下图,连接AC 、BD ,交于点E
∵四边形ABCD 是菱形,∴DB ⊥AC ,且DE=EB
又∵B ()4,1,D ()0,1
∴E(2,1)
∴A(2,0)
∴()()2220015-+-=∴菱形ABCD 的周长为:45故选:C
【点睛】
本题在直角坐标系中考查菱形的性质,解题关键是利用菱形的性质得出点A 的坐标,从而
求得菱形周长.
2.如图,在ABC 中,AB AC =,30A ∠=?,直线a b ∥,顶点C 在直线b 上,直线a 交AB 于点D ,交AC 与点E ,若1145∠=?,则2∠的度数是( )
A .30°
B .35°
C .40°
D .45°
【答案】C
【解析】
【分析】 先根据等腰三角形的性质和三角形内角和可得ACB ∠度数,由三角形外角的性质可得AED ∠的度数,再根据平行线的性质得同位角相等,即可求得2∠.
【详解】
∵AB AC =,且30A ∠=?,
∴18030752
ACB ∠?-?=
=?, 在ADE ?中,∵1145A AED ∠∠∠=+=?,
∴14514530115AED A ∠∠=?-=?-?=?,
∵//a b ,
∴2AED ACB ∠∠∠=+,
即21157540∠=?-?=?,
故选:C .
【点睛】 本题考查综合等腰三角形的性质、三角形内角和定理、三角形外角的性质以及平行直线的性质等知识内容.等腰三角形的性质定理:等腰三角形两底角相等;三角形内角和定理:三角形三个内角的和等于180?;三角形外角的性质:三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和;两直线平行,同位角相等.
3.如图,已知AB ∥CD ,直线AB ,CD 被BC 所截,E 点在BC 上,若∠1=45°,∠2=35°,则∠3=( )
A.65°B.70°C.75°D.80°
【答案】D
【解析】
【分析】
由平行线的性质可求得∠C,在△CDE中利用三角形外的性质可求得∠3.
【详解】
解:∵AB∥CD,
∴∠C=∠1=45°,
∵∠3是△CDE的一个外角,
∴∠3=∠C+∠2=45°+35°=80°,
故选:D.
【点睛】
本题主要考查平行线的性质,掌握平行线的性质和判定是解题的关键,即①两直线平行?同位角相等,②两直线平行?内错角相等,③两直线平行?同旁内角互补,④a∥b,b∥
c?a∥c.
4.如图,11∥l2,∠1=100°,∠2=135°,则∠3的度数为( )
A.50°B.55°C.65°D.70°
【答案】B
【解析】
【分析】
如图,延长l2,交∠1的边于一点,由平行线的性质,求得∠4的度数,再根据三角形外角性质,即可求得∠3的度数.
【详解】
如图,延长l2,交∠1的边于一点,
∵11∥l 2,
∴∠4=180°﹣∠1=180°﹣100°=80°,
由三角形外角性质,可得∠2=∠3+∠4,
∴∠3=∠2﹣∠4=135°﹣80°=55°,
故选B .
【点睛】
本题考查了平行线的性质及三角形外角的性质,熟练运用平行线的性质是解决问题的关键.
5.如图,在ABC 中,AB AC =,点E 在AC 上,ED BC ⊥于点D ,DE 的延长线交BA 的延长线于点F ,则下列结论中错误的是( )
A .AE CE =
B .12DE
C BAC ∠=∠ C .AF AE =
D .1902
B BA
C ∠+∠=? 【答案】A
【解析】
【分析】 由题意中点E 的位置即可对A 项进行判断;
过点A 作AG ⊥BC 于点G ,如图,由等腰三角形的性质可得∠1=∠2=12
BAC ∠,易得ED ∥AG ,然后根据平行线的性质即可判断B 项;
根据平行线的性质和等腰三角形的判定即可判断C 项;
由直角三角形的性质并结合∠1=
12
BAC ∠的结论即可判断D 项,进而可得答案. 【详解】
解:A 、由于点E 在AC 上,点E 不一定是AC 中点,所以,AE CE 不一定相等,所以本选项结论错误,符合题意;
B 、过点A 作AG ⊥B
C 于点G ,如图,∵AB =AC ,∴∠1=∠2=
12BAC ∠, ∵ED BC ⊥,∴ED ∥AG ,∴122
DEC BAC ∠=∠=
∠,所以本选项结论正确,不符合题意; C 、∵ED ∥AG ,∴∠1=∠F ,∠2=∠AEF ,∵∠1=∠2,∴∠F =∠AEF ,∴AF AE =,所以本选项结论正确,不符合题意;
D 、∵AG ⊥BC ,∴∠1+∠B =90°,即1902
B BA
C ∠+
∠=?,所以本选项结论正确,不符合题意.
故选:A .
【点睛】
本题考查了等腰三角形的判定和性质、平行线的判定和性质以及直角三角形的性质等知识,属于基本题型,熟练掌握等腰三角形的判定和性质是解题的关键.
6.下列说法不能得到直角三角形的( )
A .三个角度之比为 1:2:3 的三角形
B .三个边长之比为 3:4:5 的三角形
C .三个边长之比为 8:16:17 的三角形
D .三个角度之比为 1:1:2 的三角形
【答案】C
【解析】
【分析】
三角形内角和180°,根据比例判断A 、D 选项中是否有90°的角,根据勾股定理的逆定理判断B 、C 选项中边长是否符合直角三角形的关系.
【详解】
A 中,三个角之比为1:2:3,则这三个角分别为:30°、60°、90°,是直角三角形; D 中,三个角之比为1:1:2,则这三个角分别为:45°、45°、90°,是直角三角形;
B 中,三边之比为3:4:5,设这三条边长为:3x 、4x 、5x ,满足:()()()222345x x x +=,是直角三角形;
C 中,三边之比为8:16:17,设这三条边长为:8x 、16x 、17x ,()()()22281617x x x +≠,
不满足勾股定理逆定理,不是直角三角形
故选:C
【点睛】
本题考查直角三角形的判定,常见方法有2种;
(1)有一个角是直角的三角形;
(2)三边长满足勾股定理逆定理.
7.如图,□ABCD的对角线AC、BD交于点O,AE平分BAD交BC于点E,且∠ADC=60°,
AB=1
2
BC,连接OE.下列结论:①AE=CE;②S△ABC=AB?AC;③S△ABE=2S△AOE;④OE=
1
4
BC,
成立的个数有()
A.1个B.2个C.3个D.4
【答案】C
【解析】
【分析】
利用平行四边形的性质可得∠ABC=∠ADC=60°,∠BAD=120°,利用角平分线的性质证明
△ABE是等边三角形,然后推出AE=BE=1
2
BC,再结合等腰三角形的性质:等边对等角、三
线合一进行推理即可.
【详解】
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴∠ABC=∠ADC=60°,∠BAD=120°,∵AE平分∠BAD,
∴∠BAE=∠EAD=60°
∴△ABE是等边三角形,
∴AE=AB=BE,∠AEB=60°,
∵AB=1
2 BC,
∴AE=BE=1
2 BC,
∴AE=CE,故①正确;
∴∠EAC=∠ACE=30°
∴∠BAC=90°,
∴S △ABC =12
AB?AC,故②错误; ∵BE=EC ,
∴E 为BC 中点,O 为AC 中点,
∴S △ABE =S △ACE=2 S △AOE ,故③正确;
∵四边形ABCD 是平行四边形,
∴AC=CO ,
∵AE=CE ,
∴EO ⊥AC ,
∵∠ACE=30°,
∴EO=
12EC , ∵EC=
12AB , ∴OE=14
BC ,故④正确; 故正确的个数为3个,
故选:C .
【点睛】
此题考查平行四边形的性质,等边三角形的判定与性质.注意证得△ABE 是等边三角形是解题关键.
8.如图,四边形ABCD 和EFGH 都是正方形,点E H ,在AD
CD ,边上,点F G ,在对角线AC 上,若6AB ,则EFGH 的面积是( )
A .6
B .8
C .9
D .12
【答案】B
【分析】
根据正方形的性质得到∠DAC=∠ACD=45°,由四边形EFGH是正方形,推出△AEF与
△DFH是等腰直角三角形,于是得到DE=
2
2
EH=
2
2
EF,EF=
2
2
AE,即可得到结论.
【详解】
解:∵在正方形ABCD中,∠D=90°,AD=CD=AB,∴∠DAC=∠DCA=45°,
∵四边形EFGH为正方形,
∴EH=EF,∠AFE=∠FEH=90°,
∴∠AEF=∠DEH=45°,
∴AF=EF,DE=DH,
∵在Rt△AEF中,AF2+EF2=AE2,
∴AF=EF=
2
2
AE,
同理可得:DH=DE=
2
2
EH
又∵EH=EF,
∴DE=
2
2
EF=
2
2
×
2
2
AE=
1
2
AE,
∵AD=AB=6,
∴DE=2,AE=4,
∴EH=2DE=22,
∴EFGH的面积为EH2=(22)2=8,
故选:B.
【点睛】
本题考查了正方形的性质,等腰直角三角形的判定及性质以及勾股定理的应用,熟练掌握图形的性质及勾股定理是解决本题的关键.
9.如图,已知△ABC是等腰直角三角形,∠A=90°,BD是∠ABC的平分线,DE⊥BC于E,若BC=10cm,则△DEC的周长为()
A.8cm B.10cm C.12cm D.14cm
【答案】B
【解析】
根据“AAS”证明 ΔABD ≌ΔEBD .得到AD =DE ,AB =BE ,根据等腰直角三角形的边的关系,求其周长.
【详解】
∵ BD 是∠ABC 的平分线,
∴ ∠ABD =∠EBD .
又∵ ∠A =∠DEB =90°,BD 是公共边,
∴ △ABD ≌△EBD (AAS),
∴ AD =ED ,AB =BE ,
∴ △DEC 的周长是DE +EC +DC
=AD +DC +EC
=AC +EC =AB +EC
=BE +EC =BC
=10 cm.
故选B.
【点睛】
本题考查了等腰直角三角形的性质,角平分线的定义,全等三角形的判定与性质. 掌握全等三角形的判定方法(即SSS 、SAS 、ASA 、AAS 和HL )和全等三角形的性质(即全等三角形的对应边相等、对应角相等)是解题的关键.
10.如图,正方体的棱长为6cm ,A 是正方体的一个顶点,B 是侧面正方形对角线的交点.一只蚂蚁在正方体的表面上爬行,从点A 爬到点B 的最短路径是( )
A .9
B .310
C .326+
D .12
【答案】B
【解析】
【分析】 将正方体的左侧面与前面展开,构成一个长方形,用勾股定理求出距离即可.
【详解】
解:如图,22(36)3310++=.
故选:B.
【点睛】
此题求最短路径,我们将平面展开,组成一个直角三角形,利用勾股定理求出斜边就可以了.
11.等腰三角形有一个是50°,它的一条腰上的高与底边的夹角是()
A.25°B.40°C.25°或40°D.50°
【答案】C
【解析】
∵等腰三角形有一个是50°
∴有两种可能
①是三个角为50°、50°、80°;②是三个角为50°、65°、65°分情况说明如下:
①当三个角为50°、50°、80°时,根据图①,可得其一条腰上的高与底边的夹角∠DAB=40°;
②当三个角为50°、65°、65°,根据图②,可得其一条腰上的高与底边的夹角∠
DAB=25°故故选:C
① ②
点睛:本题主要考查三角形内角和定理:三角形内角和为180°.
12.如图,在平面直角坐标系中,已知点A(﹣2,0),B(0,3),以点A为圆心,AB长为半径画弧,交x轴的正半轴于点C,则点C的横坐标介于()
A .0和1之间
B .1和2之间
C .2和3之间
D .3和4之间
【答案】B
【解析】
【分析】 先根据点A ,B 的坐标求出OA ,OB 的长度,再根据勾股定理求出AB 的长,即可得出OC 的长,再比较无理数的大小确定点C 的横坐标介于哪个区间.
【详解】
∵点A ,B 的坐标分别为(﹣2,0),(0,3),
∴OA =2,OB =3,
在Rt△AOB 中,由勾股定理得:AB 222+313=
∴AC =AB 13,
∴OC 132,
∴点C 132,0), ∵3134<< , ∴11322<< ,
即点C 的横坐标介于1和2之间,
故选:B .
【点睛】
本题考查了弧与x 轴的交点问题,掌握勾股定理、无理数大小比较的方法是解题的关键.
13.满足下列条件的是直角三角形的是( )
A .4BC =,5AC =,6A
B = B .13B
C =
,14AC =,15AB = C .::3:4:5BC AC AB =
D .::3:4:5A B C ∠∠∠= 【答案】C
【解析】
【分析】
要判断一个角是不是直角,先要知道三条边的大小,用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较,如果相等,则三角形为直角三角形;否则不是.
【详解】
A .若BC=4,AC=5,AB=6,则BC 2+AC 2≠A
B 2,故△AB
C 不是直角三角形;
B.若13
BC =
,14AC =,15AB =,则AC 2+AB 2≠CB 2,故△ABC 不是直角三角形; C .若BC :AC :AB=3:4:5,则BC 2+AC 2=AB 2,故△ABC 是直角三角形;
D .若∠A :∠B :∠C=3:4:5,则∠C <90°,故△ABC 不是直角三角形;
故答案为:C .
【点睛】 本题主要考查了勾股定理的逆定理,如果三角形的三边长a ,b ,c 满足a 2+b 2=c 2,那么这个三角形就是直角三角形.
14.如图,在ABC ?中,AB 的垂直平分线交AB 于点D ,交BC 于点E .ABC ?的周长为19,ACE ?的周长为13,则AB 的长为( )
A .3
B .6
C .12
D .16
【答案】B
【解析】
【分析】 根据线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质即可得到结论.
【详解】
∵AB 的垂直平分线交AB 于点D ,
∴AE=BE ,
∵△ACE 的周长=AC+AE+CE=AC+BC=13,△ABC 的周长=AC+BC+AB=19,
∴AB=△ABC 的周长-△ACE 的周长=19-13=6,
故答案为:B .
【点睛】
本题考查了线段垂直平分线的性质:垂直平分线垂直且平分其所在线段;垂直平分线上任意一点,到线段两端点的距离相等.
15.如图,在方格纸中,以AB 为一边作△ABP,使之与△ABC 全等,从P 1,P 2,P 3,P 4四个点中找出符合条件的点P ,则点P 有( )
A.1个B.2个C.3个D.4个
【答案】C
【解析】
【分析】
【详解】
要使△ABP与△ABC全等,必须使点P到AB的距离等于点C到AB的距离,即3个单位长度,所以点P的位置可以是P1,P2,P4三个,故选C.
16.如图,已知AC=FE,BC=DE,点A,D,B,F在一条直线上,要利用“SSS”证明△ABC≌△FDE,还可以添加的一个条件是( )
A.AD=FB B.DE=BD C.BF=DB D.以上都不对
【答案】A
【解析】
∵AC=FE,BC=DE,
∴要利用“SSS”证明△ABC≌△FDE,需添加条件“AB=DF”或“AD=BF”.
故选A.
17.满足下列条件的两个三角形不一定全等的是( )
A.有一边相等的两个等边三角形
B.有一腰和底边对应相等的两个等腰三角形
C.周长相等的两个三角形
D.斜边和一条直角边对应相等的两个等腰直角三角形
【答案】C
【解析】
A.根据全等三角形的判定,可知有一边相等的两个等边三角形全等,故选项A不符合;
B.根据全等三角形的判定,可知有一腰和底边对应相等的两个等腰三角形全等,故选项B 不符合;
C.根据全等三角形的判定,可知周长相等的两个三角形不一定全等,故选项C符合;
D.根据全等三角形的判定,可知斜边和直角边对应相等的两个等腰直角三角形全等,故选项B不符合.
故本题应选C.
18.△ABC中,AB=AC,∠A=36°,∠ABC和∠ACB的平分线BE、CD交于点F,则共有等腰三角形( )
A.7个B.8个C.9个D.10个
【答案】B
【解析】
∵等腰三角形有两个角相等,
∴只要能判断出有两个角相等就行了,
将原图各角标上后显示如左下:
因此,所有三角形都是等腰三角形,
只要判断出有哪几个三角形就可以了.
如右上图,三角形有如下几个:
①,②,③;①+②,③+②,①+④,③+④;①+②+③+④;共计8个.
故选:B.
点睛:本题考查了等腰三角形的判定与性质、三角形内角和定理以及三角形外角的性质,此题难度不大,解题的关键是求得各角的度数,掌握等角对等边与等边对等角定理的应用.
19.如图,在△ABC中,AB=AC,点D在AC上,且BD=BC=AD,则∠A的度数为( )
A.30°B.45°C.36°D.72°
【答案】A
【解析】
∵AB=AC ,BD=BC=AD ,
∴∠ABC=∠C=∠BDC ,∠A=∠ABD ,
又∵∠BDC=∠A+∠ABD ,
∴∠BDC=∠C=∠ABC=2∠A ,
∵∠A+∠ABC+∠C=180°,
∴∠A+2∠A+2∠A=180°,即5∠A=180°,
∴∠A=36°.
故选A.
20.如图,在ABC ?中,90C =∠,30B ∠=,以A 为圆心,任意长为半径画弧分别
交AB 、AC 于点M 和N ,再分别以M 、N 为圆心,大于12
MN 的长为半径画弧,两弧交于点P ,连结AP 并延长交BC 于点D ,则下列说法中正确的个数是( ) ①AD 是BAC ∠的平分线;②ADC 60∠=;③点D 在AB 的垂直平分线上;④:1:3DAC ABC S S ??=
A .1
B .2
C .3
D .4
【答案】D
【解析】
【分析】 根据题干作图方式,可判断AD 是∠CAB 的角平分线,再结合∠B=30°,可推导得到△ABD 是等腰三角形,根据这2个判定可推导题干中的结论.
【详解】
题干中作图方法是构造角平分线,①正确;
∵∠B=30°,∠C=90°,AD 是∠CAB 的角平分线
∴∠CAD=∠DAB=30°
∴∠ADC=60°,②正确
∵∠DAB=∠B=30°
∴△ADB 是等腰三角形
∴点D 在AB 的垂直平分线上,③正确
在Rt△CDA 中,设CD=a ,则AD=2a
在△ADB 中,DB=AD=2a
∵1122DAC S CD AC a CD ?=??=?,13(CD+DB)22
BAC S AC a CD ?=??=? ∴:1:3DAC ABC S S ??=,④正确
故选:D
【点睛】
本题考查角平分线的画法及性质、等腰三角形的性质,解题关键是熟练角平分线的绘制方法.