第1课时 两直线的交点坐标、两点间的距离A 级 基础巩固一、选择题1．两直线2x ＋3y －k ＝0和x －ky ＋12＝0的交点在y 轴上，那么k 的值为( )A ．－24B ．6C ．±6D ．24解析：在2x ＋3y －k ＝0中，令x ＝0中得y ＝k 3，将⎝ ⎛⎭⎪⎫0，k 3代入x －ky ＋12＝0，解得k ＝±6. 答案：C2．已知点P (a ，2)，A (－2，－3)，B (1，1)，且|PA |＝|PB |，则a 的值为( )A ．－92B ．－7C ．－5D ．4解析：由于|PA |＝|PB |，所以（a ＋2）2＋（2＋3）2＝（a －1）2＋（2－1）2，化简得6a ＝－27，解得a ＝－92. 答案：A3．直线3x ＋my －1＝0与4x ＋3y －n ＝0的交点为(2，－1)，则m ＋n 的值为( )A ．12B ．10C ．－8D ．－6 解析：将点(2，－1)代入3x ＋my －1＝0可求得m ＝5，将点(2，－1)代入4x ＋3y －n ＝0得n ＝5，所以m ＋n ＝10.答案：B4．过两直线l 1：3x ＋y －1＝0与l 2：x ＋2y －7＝0的交点，并且与直线l 1垂直的直线方程是( )A ．x －3y ＋7＝0B ．x －3y ＋13＝0C ．2x －y ＋7＝0D ．3x －y －5＝0解析：直线l 1：3x ＋y －1＝0与l 2：x ＋2y －7＝0的交点为(－1，4)，与l 1垂直，得斜率为13，由点斜式得y －4＝13(x ＋1)，即x －3y ＋13＝0，故选B. 答案：B5．方程(a －1)x －y ＋2a ＋1＝0(a ∈R)所表示的直线( )A ．恒过定点(－2，3)B ．恒过定点(2，3)C ．恒过点(－2，3)和点(2，3)D ．都是平行直线解析：(a －1)x －y ＋2a ＋1＝0化为ax －x －y ＋2a ＋1＝0，因此－x －y ＋1＋a (x ＋2)＝0由⎩⎪⎨⎪⎧－x －y ＋1＝0，x ＋2＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝3. 答案：A二、填空题6．无论m 为何值，直线l ：(2m ＋1)x ＋(m ＋1)y －7m －4＝0恒过一定点P ，则点P 的坐标为________． 解析：将直线l 的方程整理得(2x ＋y －7)m ＋(x ＋y －4)＝0，令⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －7＝0，x ＋y －4＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝1， 即点P 的坐标为(3，1)．答案：(3，1)7．已知△ABC 的顶点坐标为A (－1，5)，B (－2，－1)，C (2，3)，则BC 边上的中线长为________．解析：由中点坐标公式得，BC 的中点坐标为(0，1)，所以BC 边上的中线长为（0＋1）2＋（1－5）2＝17. 答案：178．经过两直线2x －3y －3＝0和x ＋y ＋2＝0的交点，且与直线3x ＋y －1＝0平行的直线l 的方程为________．解析：由方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y －3＝0，x ＋y ＋2＝0， 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－35，y ＝－75，所以两条直线的交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，－75. 因为直线l 和直线3x ＋y －1＝0平行，所以直线l 的斜率k ＝－3.所以y －⎝ ⎛⎭⎪⎫－75＝－3⎣⎢⎡⎦⎥⎤x －⎝ ⎛⎭⎪⎫－35， 即所求直线方程为15x ＋5y ＋16＝0.答案：15x ＋5y ＋16＝0三、解答题9．点A 在第四象限，点A 到x 轴的距离为3，到原点的距离为5，求点A 的坐标．解：点A 在第四象限，A 点到x 轴的距离为3，故设A (a ，－3)，a ＞0，到原点的距离为5，所以（a －0）2＋（－3－0）2＝5，解得a ＝4，故点A 的坐标为(4，－3)．10．求经过直线3x ＋2y ＋6＝0和2x ＋5y －7＝0的交点，且在两坐标轴上截距相等的直线方程．解：解方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y ＋6＝0，2x ＋5y －7＝0，得交点(－4，3)， 因此可设所求直线方程为y －3＝k (x ＋4)，即y ＝k (x ＋4)＋3.令x ＝0，得y ＝4k ＋3，令y ＝0，得x ＝－4k ＋3k， 于是4k ＋3＝－4k ＋3k，即4k 2＋7k ＋3＝0， 解得k ＝－34或k ＝－1， 故所求直线方程为3x ＋4y ＝0或x ＋y ＋1＝0.B 级 能力提升1．已知A ，B 两点分别在两条互相垂直的直线2x －y ＝0和x ＋ay ＝0上，且线段AB 的中点为P ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，10a ，则线段AB 的长为( )A ．11B ．10C ．9D ．8解析：依题意a ＝2，P (0，5)，设A (x ，2x )，B (－2y ，y )，故⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＝0，2x ＋y ＝10，则A (4，8)，B (－4，2)，所以|AB |＝（4＋4）2＋（8－2）2＝10，故选B.答案：B2．等腰△ABC 的顶点是A (3，0)，底边|BC |＝4，BC 边的中点为D (5，4)，则腰长为________．解析：|BD |＝12|BC |＝2，|AD |＝（5－3）2＋（4－0）2＝25， 在Rt △ADB 中，由勾股定理得腰长为|AB |＝22＋（25）2＝ 2 6.答案：2 63．已知点A (1，－1)，B (2，2)，点P 在直线y ＝12x 上，求|PA |2＋|PB |2取最小值时P 点的坐标． 解：设P (2t ，t )，则|PA |2＋|PB |2＝(2t －1)2＋(t ＋1)2＋(2t －2)2＋(t －2)2＝10t 2－14t ＋10.当t ＝710时，|PA |2＋|PB |2取得最小值，此时有P ⎝ ⎛⎭⎪⎫75，710， 所以|PA |2＋|PB |2取得最小值时P 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫75，710.。
