第二章控制系统状态空间表达式的解

选择状态变量如下： 选择态变量如下：
┆ & xn −1 = xn = y ( n −1)
x1 = y & & x1 = x2 = y & x2 = x3 = && y
& xn = y ( n ) = −a0 x1 − a1 x2 − L − −an −1 xn + b0u
状态空间表达式的建立
写成矩阵形式： 写成矩阵形式：
& & x2 = x1 = uC
输出方程为： 输出方程为：
x1 y = [1 0] x2
（3）系统状态变量的数目是惟一的 ）
状态空间表达式的建立
三种途径： 三种途径：
由系统方块图建立
首先将系统方块图转换为相应模拟结构图，然后直 首先将系统方块图转换为相应模拟结构图， 接列写。 接列写。
0 & x1 x 0 & 2 = M M 0 & xn − a 0 1 0 M 0 − a1 0 1 M 0 − a2 0 0 M 0 − a3 L L 0 0 x1 0 0 x2 + M u M M 1 0 L x n b0 L − an −1
uC (t ) u (t ) di (t ) R = − i (t ) − + dt L L L
di (t ) R dt − L du (t ) = 1 C dt C
duC (t ) 1 = i (t ) dt C
1 − i (t ) 1 L + L u (t ) 0 uC (t ) 0

diL R1 R1 R2 R2 = uC − iL + e(t ) dt L( R1 + R2 ) L( R1 + R2 ) L( R1 + R2 )
即
(2-11)
(3) 列出状态空间描述iL 1 − ( R + R )C 1 2 R1 L( R1 + R2 ) − R1 1 ( R1 + R2 )C uC ( R1 + R2 )C (2-12) + e(t ) R1 R2 iL R2 − L( R + R ) L( R1 + R2 ) 1 2
§2.1 状态空间描述的概念 2.1.2 控制系统的状态空间描述举例
例2-1 R-L-C系统，求其状态空间描述
R
u
L i
C
uC
解 (1) 确定状态变量 选择电容两端电压 uC (t )、电感通过的电流 i (t ) (2) 列写微分方程并化为一阶微分方程组 基尔霍夫（Kirchhoff）电压定律，
(2-13)
令
1 − ( R + R )C 1 2 A= R1 L( R + R ) 1 2
1 ( R + R )C 2 b= 1 R2 L( R + R ) 1 2
−
R1 ( R1 + R2 )C R1 R2 − L( R1 + R2 )
n 维列向量，状态向量
a12 a1n a22 a2 n an 2 ann
n×n方阵，系统矩阵(或状态矩阵)， 反映系统状态的内在联系
§2.1 状态空间描述的概念

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2.2.1.由物理机理直接建立状态空间表达式： 例2.2.1 系统如图所示
L
R2
u
iL
R1
uc
选择状态变量：
x1 iL , x2 uC ,
13 中南大C diL 1 iL (u L ) C dt R1 dt duC diL L uC C R2 u dt dt
y(s) [C(sI A) B D]U (s)
1
1
得
9
G(s) C (sI A) B D
命题得证
中南大学信息学院自动化系
1
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例2.1.3
已知系统的状态空间描述为
x1 0 1 0 x1 0 x 0 1 1 x 1 u 2 2 x3 0 0 3 x3 1
28 中南大学信息学院自动化系
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故有(n-1) 个状态方程：
对xl求导数且考虑式 (2.3.12)，经整理有：
则式 (2.3.12) bn=0 时的动态方程为：
(2.3.16)
式中：
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30 中南大学信息学院自动化系
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3)
化输入-输出描述为状态空间描述
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2.3. 线性定常连续系统状态空间表达式的建立
建立状态空间表达式的方法主要有两种： 一是直接根据系统的机理建立相应的微分方程或差分方 程，继而选择有关的物理量作为状态变量，从而导出其状态 空间表达式； 二是由已知的系统其它数学模型经过转化而得到状态达 式。由于微分方程和传递函数是描述线性定常连续系统常用 的数学模型，故我们将介绍已知 n 阶系统微分方程或传递函 数时导出状态空间表达式的一般方法，以便建立统一的研究 理论，揭示系统内部固有的重要结构特性。

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求系统的传递函数 G (s) 是输出。
Y(s) U(s)
，其中 U( s)是输入，Y( s)
解：根据求传递函数的公式 G (s)Y(s)C(sIA)1BD U(s)
s 00 0 1 0 s sIA 0s 0 0 0 1 0
00s 123 1
1 0 s 1 2 s3
d3y9d2y18 dy2y 72u 0 dt3 dt2 dt
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(1) 选择状态变量
x1 y dy
x2 dt
(2) 对(1)中各式两边求导x ，3 并 代dd 2t入2y 微分方程，有
x1
dy dt
x2
d2y x2 dt2 x3
x3
27
y
18
dy dt
9
d2y dt2
20u
输出方程为 y x1 2 7 x1 1 8 x 2 9 x 3 2 0 u
为 (sI-A) 的 伴随矩阵
为 (sI-A) 的 行列式
系统状态空间表达式的特征方程: sIA 0
系统状态空间表达式的特征根或特征值: sIA 0 的根
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y s C s A I 1 B D u s G s u s
其展开式为
mr
矩阵函数
y1s y2s
g11s g1rs
U2 (s)
G12 (s) G22 (s)
Y2 (s)
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Y1(s)G 11(s)U1(s)G 12(s)U2(s) Y2(s)G21(s)U1(s)G22(s)U2(s)
用矩阵方程表示：
Y Y1 2((ss))G G1 21 1((ss))
G12(s)U1(s) G22(s)U2(s)