北京市清华大学附中2015届全国高校自主招生考试数学复习讲义：平面几何(无答案)

数学试卷 第1页（共15页）数学试卷 第2页（共15页）数学试卷 第3页（共15页）绝密★启用前2015年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷)数学（文科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分,考试时间120分钟.第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若集合{52}A x x =-<<，{33}B x x =-<<，则AB =（ ）A ．{|32}x x -<<B ．{|52}x x -<<C ．{|33}x x -<<D ．{|53}x x -<< 2．圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是 （ ）A ．22(1)(1)1x y -+-=B ．22(1)(1)1x y +++=C ．22(1)(1)2x y +++=D ．22(1)(1)2x y -+-=3．下列函数中为偶函数的是（ ）A ．2sin y x x = B ．2cos y x x = C ．|ln |y x =D ．2x y -=4．某校老年、中年和青年教师的人数见下表，采用分层抽样的方法调查教师的身体状况，（ ）A ．90B ．100C ．180D ．300 5．执行如果所示的程序框图，输出的k 值为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6 6．设a ，b 是非零向量，“a • b=|a||b|”是“a ∥b ”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件7．某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为（ ）A ．1BC D ．28.在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为（ ）A ．6升B ．8升C ．10升D ．12升 第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中的横线上. 9．复数i(1i)+的实部为__________.10．32-，123，2log 5三个数中最大的数是___________. 11．在ABC △中，3a =，b =，2π3A ∠=，则B ∠=___________. 12．已知2,0（）是双曲线2221y x b-=（0b >）的一个焦点，则b =__________. 13．如图，ABC △及其内部的点组成的集合记为D ，(,)P x y 为D 中任意一点，则23z x y =+的最大值为___________.14．高三年级267位学生参加期末考试，某班37位学生的语文成绩、数学成绩与总成绩在全年级中的排名情况如下图所示，甲、乙、丙为该班三位学生.从这次考试成绩看，①在甲、乙两人中，其语文成绩名次比其总成绩名次靠前的学生是____________；②在语文和数学两个科目中，丙同学的成绩名次更靠前的科目是______________.--------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------姓名________________ 准考证号_____________数学试卷 第4页（共15页）数学试卷 第5页（共15页）数学试卷 第6页（共15页）三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（本小题满分13分）已知函数2sin 2xf x x =-().（Ⅰ）求f x ()的最小正周期； （Ⅱ）求f x ()在区间2π[0,]3上的最小值.16．（本小题满分13分）已知等差数列{n a }满足1a +2a =10，4a -3a =2. （Ⅰ）求{n a }的通项公式；（Ⅱ）设等比数列{n b }满足23=b a ，37=b a ；问：6b 与数列{n a }的第几项相等？17．（本小题满分13分）某超市随机选取1 000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整（Ⅰ）估计顾客同时购买乙和丙的概率；（Ⅱ）估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率；（Ⅲ）如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大？18．（本小题满分14分）如图，在三棱锥V -ABC 中，平面VAB ⊥平面ABC ，△VAB 为等边三角形，AC ⊥BC 且AC =BC ，O ，M 分别为AB ，VA 的中点. （Ⅰ）求证：VB ∥平面MOC ； （Ⅱ）求证：平面MOC ⊥平面VAB ； （Ⅲ）求三棱锥V -ABC 的体积.19．（本小题满分13分）设函数2()ln 2x f x k x =-，0k >．（Ⅰ）求()f x 的单调区间和极值；（Ⅱ）证明：若()f x 存在零点，则()f x 在区间（上仅有一个零点.20．（本小题满分14分）已知椭圆22:33C x y +=.过点1,0D （）且不过点2,1E （）的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，直线AE 与直线3x =交于点M . （Ⅰ）求椭圆C 的离心率；（Ⅱ）若AB 垂直于x 轴，求直线BM 的斜率； （Ⅲ）试判断直线BM 与直线DE 的位置关系，并说明理由.数学试卷 第7页（共15页）数学试卷 第8页（共15页） 数学试卷 第9页（共15页）2015年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷)数学(文科)答案解析第Ⅰ卷{|AB x =-【提示】在数轴上，将集合A，B 表示出来，如图所示：AB 为图中阴影部分，即【考点】集合的交集运算 A【解析】||||cos ,a b a b a b =<>，cos ,1a b ∴<>=，即,0a b <>=，//a b .又当//a b 时，,a b <>还可能是π，||||a b a b ∴=-，所以“||||a b a b =”是“//a b ”的充分而不必要故选A.【提示】||||cos ,a b a b a b =<>，由已知得cos ,1a b <>=，即,0a b <>=，//a b .而当//a b ,a b <>还可能是π，此时||||a b a b =-，故“||||a b a b =”是“//a b ”的充分而不【考点】充分必要条件，向量共线 【解析】四棱锥的直观图如图所示：（Ⅰ）()sinf x=（Ⅱ）2π3x≤≤π在区间0,⎛⎝数学试卷第10页（共15页）数学试卷第11页（共15页）数学试卷第12页（共15页）数学试卷 第13页（共15页） 数学试卷 第14页（共15页） 数学试卷 第15页（共15页）。

第5讲 不等式经典精讲题一：解不等式|x 2－2x ＋3|<|3x －1|．题二：解关于x 的不等式|2x －1|<2m －1(m ∈R)．题三：求函数y x =的值域．题四：设x ，y 为实数．若4x 2＋y 2＋xy ＝1，则2x ＋y 的最大值是________题五：若bc －ad ≥0，bd >0，求证：a ＋b b ≤c ＋dd．题六：已知m ∈R ，a >b >1，f (x )＝mxx －1，试比较f (a )与f (b )的大小．题七：函数f (x )＝－sin 2x ＋sin x ＋a ，若1≤f (x )≤174对任意的x ∈R 恒成立，求实数a 的取值范围．题八：已知a >0，函数f (x )＝－2a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋2a ＋b ，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，－5≤f (x )≤1． (1)求常数a ，b 的值；(2)设g (x )＝f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2且lg g (x )>0，求g (x )的单调区间．题九：设不等式2(log 21x )2+9(log 21x )+9≤0的解集为M ，求当x ∈M 时函数f (x )=(log 22x )(log 28x)的最大、最小值．题十：设函数f (x )＝|x －1|＋|x －a |．(1) 若a ＝－1，解不等式f (x )≥3；(2)如果∀x ∈R，f (x )≥2，求a 的取值范围．题十一：证明：关于x 的不等式(3k －2)x 2＋2kx ＋k －1<0与(k 2－112)x 2＋kx ＋1>0，当k 为任意实数时，至少有一个恒成立．题十二：已知f (x )＝32x －(k ＋1)·3x＋2，对任意的x ∈R ，恒有f (x )>0，则k 的取值范围是( )．A ．(－∞, －1)B ．(－∞, 22－1)C ．(－1, 22－1)D ．(－22－1, 22－1)题十三：解关于x 的不等式x 2－2ax －3a 2>0．题十四：已知集合A ＝{x |2x 2－3x －2≤0}，B ＝{x |x 2－ax ＋3a ≤0，a ∈R}，且B ⊆A ，求a的取值范围．题十五：若不等式ax 2－bx ＋c >0的解集是(－12，2)，则以下结论中：①a >0；②b <0；③c >0；④a ＋b ＋c >0；⑤a －b ＋c >0，正确结论的序号是( )． A ．①②③ B ．②③④ C ．②③⑤ D ．③⑤题十六：函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0)，方程f (x )－x ＝0有两根x 1，x 2满足0<x 1<x 2<1a，当x∈(0，x 1)时，证明：x <f (x )<x 1．第5讲 不等式经典精讲题一： {x |1<x <4}．详解：原不等式⇔(x 2－2x ＋3)2<(3x －1)2⇔[(x 2－2x ＋3)＋(3x －1)][(x 2－2x ＋3)－(3x －1)]<0⇔(x 2＋x ＋2)(x 2－5x ＋4)<0 ⇔x 2－5x ＋4<0(因为x 2＋x ＋2恒大于0)⇔1<x <4． 所以原不等式的解集是{x |1<x <4}．题二： 当m ≤12时，解集为∅；当m >12时，解集为：{x |1－m <x <m }．详解:若2m －1≤0，即m ≤12，则|2x －1|<2m －1恒不成立，此时，原不等式无解；若2m －1>0，即m >12．则－(2m －1)<2x －1<2m －1，所以1－m <x <m ． 综上所述：当m ≤12时，原不等式的解集为∅，当m >12时，原不等式的解集为：{x |1－m <x <m }．题三：．详解：函数y x =的定义域为，1]，设sin ()22x t t ππ=-≤≤，则原函数y x =可化为sin cos y t t =+)4t π+∵22t ππ-≤≤∴3444t πππ-≤+≤看图象（图2）可知sin()124t π-≤+≤∴1)4t π-≤+≤∴1y -≤≤即原函数的值域为]．题四：2105． 详解:依题意有(2x ＋y )2＝1＋3xy ＝1＋32×2x ×y ≤1＋32 · (2x ＋y 2)2，得58(2x ＋y )2≤1，即|2x ＋y |≤2105．当且仅当2x ＝y ＝105时，2x ＋y 达到最大值2105．题五： 见详解．证明：∵bc －ad ≥0，bd >0，∴bc ≥ad ，1bd>0，∴c d ≥a b ．∴c d ＋1≥a b ＋1，即c ＋d d ≥a ＋b b ，即a ＋b b ≤c ＋dd．题六： 当m >0时，f (a )<f (b )；当m ＝0时，f (a )＝f (b )；当m <0时，f (a )>f (b )．详解: f (x )＝mxx －1＝m (1＋1x －1)，f (a )＝m (1＋1a －1)，f (b )＝m (1＋1b －1)．∵a >b >1，∴a －1>b －1>0，∴1＋1a －1<1＋1b －1．①当m >0时，m (1＋1a －1)<m (1＋1b －1)，即f (a )<f (b )；②当m ＝0时，f (a )＝f (b )；③当m <0时，m (1＋1a －1)>m (1＋1b －1)，即f (a )>f (b )．综上所述，当m >0时，f (a )<f (b )；当m ＝0时，f (a )＝f (b )；当m <0时，f (a )>f (b )．题七： 3≤a ≤4．详解:令t ＝sin x ，t ∈[－1,1]，则f (x )＝－sin 2x ＋sin x ＋a ＝－t 2＋t ＋a ＝－(t －12)2＋a ＋14，当t ＝12时，f (x )有最大值a ＋14，当t ＝－1时，f (x )有最小值a －2．故函数f (x )(x ∈R)的值域为[a －2，a ＋14]，从而⎩⎪⎨⎪⎧a ＋14≤174a －2≥1，解得3≤a ≤4．题八： (1)a ＝2，b ＝－5；(2) g (x )的单调增区间为⎝⎛⎦⎥⎤k π，k π＋π6，k ∈Z ；g (x )的单调减区间为⎝⎛⎭⎪⎫k π＋π6，k π＋π3，k ∈Z ．详解: (1)∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6．∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，∴－2a sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6∈[－2a ，a ]．∴f (x )∈[b,3a ＋b ]，又∵－5≤f (x )≤1， ∴b ＝－5,3a ＋b ＝1，因此a ＝2，b ＝－5．(2)由(1)得a ＝2，b ＝－5，∴f (x )＝－4sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1， g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝－4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋7π6－1＝4sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1，又由lg g (x )>0得g (x )>1，∴4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1>1，∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6>12， ∴2k π＋π6<2x ＋π6<2k π＋5π6，k ∈Z ，其中当2k π＋π6<2x ＋π6≤2k π＋π2，k ∈Z 时，g (x )单调递增，即k π<x ≤k π＋π6，k ∈Z ，∴g (x )的单调增区间为⎝⎛⎦⎥⎤k π，k π＋π6，k ∈Z 又∵当2k π＋π2<2x ＋π6 <2k π＋5π6，k ∈Z 时，g (x )单调递减，即k π＋π6<x <k π＋π3，k ∈Z ．∴g (x )的单调减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π6，k π＋π3，k ∈Z ．题九： y mi n =－1；y max =0．详解:∵2(21log x )2+9(21log x )+9≤0∴(221log x +3)(21log x +3)≤0．∴－3≤21log x ≤－23． 即21log (21)－3≤21log x ≤21log (21)23-∴(21)23-≤x ≤(21)－3,∴22≤x ≤8即M ={x |x ∈［22,8］}又f (x )=(log 2x －1)(log 2x －3)=log 22x －4log 2x +3=(log 2x －2)2－1．∵22≤x ≤8 ∴23≤log 2x ≤3 ∴当log 2x =2，即x =4时，y mi n =－1；当log 2x =3，即x =8时，y max =0．题十： (1) ⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－32∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞；(2) (－∞，－1]∪[3，＋∞)． 详解：(1)当a ＝－1时，f (x )＝|x －1|＋|x ＋1|． 由f (x )≥3得|x －1|＋|x ＋1|≥3． ① 当x ≤－1时，不等式化为1－x －1－x ≥3，即－2x ≥3．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤－1，f (x )≥3的解集为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－32．②当－1<x ≤1时，不等式化为1－x ＋x ＋1≥3，此不等式不成立，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧－1<x ≤1f (x )≥3的解集为∅．③当x >1时，不等式化为x －1＋x ＋1≥3，即2x ≥3．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x >1，f (x )≥3的解集为⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞．综上得，f (x )≥3的解集为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－32∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞．(2)若a ＝1，f (x )＝2|x －1|，不满足题设条件． 若a <1，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋a ＋1，x ≤a ，1－a ，a <x <1，2x －(a ＋1)，x ≥1. f (x )的最小值为1－a ．若a >1，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋a ＋1，x ≤1，a －1，1<x <a ，2x －(a ＋1)，x ≥a .f (x )的最小值为a －1．所以∀x ∈R，f (x )≥2的充要条件是|a －1|≥2，从而a 的取值范围为(－∞，－1]∪[3，＋∞)．题十一： 证明：由(3k －2)x 2＋2kx ＋k －1<0恒成立．①当k ＝23时，不等式变为43x －13<0，不恒成立，∴k ≠23．②当k ≠23时，对应抛物线恒在x 轴下方，∴⎩⎪⎨⎪⎧3k －2<0，4k 2－k －k －⇒k <12．由(k 2－112)x 2＋kx ＋1>0恒成立，并有k 2≠112．∴对应抛物线恒在x 轴上方，∴⎩⎪⎨⎪⎧k 2－112>0，k 2－k 2－112⇒k <－13或k >13．由不等式(3k －2)x 2＋2kx ＋k －1<0恒成立或(k 2－112)x 2＋kx ＋1>0恒成立，∴k 的范围是{k |k <12}∪{k |k >13或k <－13}＝R ．∴k 为任意实数时，上述两个不等式至少有一个恒成立，命题得证．题十二： B ．详解:函数f (x )＝32x －(k ＋1)·3x ＋2是关于3x 的二次函数，记t ＝3x>0，函数转化成f (t )＝t 2－(k ＋1)t ＋2对任意的t >0，恒有f (t )>0．当Δ＝[－(k ＋1)]2－4×1×2<0，即(k ＋1)2－8<0时，条件成立， 所以－22－1<k <22－1；当Δ＝[－(k ＋1)]2－4×1×2≥0，k ≤－22－1或k ≥22－1时．由⎩⎪⎨⎪⎧k ＋12≤0，f＝2≥0解得k ≤－1，所以k ≤－22－1．综上所述，1k <，即)122,(--∞∈k ．题十三： 若a >0，则x >3a 或x <－a ；若a ＝0，则x ≠0，x ∈R ；若a <0，则x <3a 或x >－a ． 详解：原不等式可以化为：(x －3a )(x ＋a )>0， 若a >0即3a >－a ，则x >3a 或x <－a ；若a ＝0即3a ＝－a ，则x 2>0，x ≠0，x ∈R ； 若a <0即3a <－a ，则x <3a 或x >－a ．题十四： a ∈[－114，12)．详解：A ＝{x |－12≤x ≤2}，设f (x )＝x 2－ax ＋3a ，(1)当Δ＝a 2－4·3a <0，即0<a <12时，B ＝Ø，满足B ⊆A ；(2)当Δ＝a 2－12a ≥0，要使B ⊆A ，则f (x )＝x 2－ax ＋3a 的图象满足下图所示，即⎩⎪⎨⎪⎧－12≤a 2≤2Δ＝a 2－12a ≥0f－12f，解得－114≤a ≤0，综上可得a ∈[－114，12)．题十五： C ．详解：∵不等式ax 2－bx ＋c >0的解集是(－12，2)，∴方程ax 2－bx ＋c ＝0的根是－12，2，且a <0．由韦达定理，得b a ＝32>0，ca＝－1<0．∵a <0，∴b <0，c >0．又当x ＝1时，不等式成立，即得a －b ＋c >0．题十六： 证明：∵x 1、x 2是方程f (x )－x ＝0的两根，∴f (x )－x ＝a (x －x 1)(x －x 2)．∵x ∈(0，x 1)， ∴x －x 1<0，x －x 2<0，∵a >0，∴f (x )－x >0，即f (x )>x ．f (x )－x 1＝f (x )－x ＋x －x 1＝a (x －x 1)(x －x 2)＋(x －x 1)＝(x －x 1)(ax －ax 2＋1)．∵0<x 2<1a，∴ax 2<1，1－ax 2>0，ax >0，∴ax －ax 2＋1>0，x －x 1<0，∴(x －x 1)(ax －ax 2＋1)<0，f (x )－x 1<0，f (x )<x 1，综上所述：x <f (x )<x 1．。

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3．(2014·浙江高考)某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则 此几何体的表面积是( )
A．90 cm2
B．129 cm2 C．132 cm2
D．138 cm2
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2．在空间直角坐标系 O-xyz 中作出棱长为 2 的正方体，在该正方 体中作出四面体，如图所示，由图可知，该四面体的正视图为④，俯 视图为②.
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3．由图可知其侧视图为三角形，根据三视图的“高平齐”得侧
视图的高为 3，又由“宽相等”可知侧视图的宽度和俯视图的宽度相
等，得侧视图的底为
1×sin
60°＝
23，所以侧视图的面积为
S＝21×
3 2
× 3＝43，选 C.
[答案] 1.B 2.D 3.C
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分析空间几何体的三视图的要点 (1)根据俯视图确定几何体的底面； (2)根据正(主)视图或侧(左)视图确定几何体的侧棱与侧面的特 征，调整实线和虚线所对应的棱、面的位置； (3)确定几何体的形状，即可得到结果．
[答案] 1.C 2.D 3.C
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求解空间线面位置关系判断题的两大思路 (1)借助空间线面平行、面面平行、线面垂直、面面垂直的判定 定理和性质定理逐项判断； (2)借助空间几何模型，如从长方体模型、四面体模型等模型中 观察线面位置关系，结合有关定理，进行判断．
A．存在一条直线 l，l⊂α，l∥β B．存在一个平面 γ，γ⊥α，γ⊥β C．存在一条直线 l，l⊥α，l⊥β D．存在一个平面 γ，γ∥α，γ⊥β

2015年普通高等学校招生全国统一考试北京理科数学本试卷共5页,150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.第一部分(选择题 共40分)一、选择题(共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.) 1.(2015北京,理1)复数i(2-i)=( )A.1+2iB.1-2iC.-1+2iD.-1-2i 答案:A解析:i(2-i)=2i -i 2=2i -(-1)=1+2i .2.(2015北京,理2)若x ,y 满足{x −y ≤0,x +y ≤1,x ≥0,则z=x+2y 的最大值为( )A.0B.1C.32D.2答案:D解析:根据题意,由约束条件画出可行域如图阴影部分所示. 目标函数z=x+2y ,即y=-12x+z 2.由图可知当直线y=-12x+z 2过点B (0,1)时,z 取最大值,且z max =0+2×1=2.3.(2015北京,理3)执行如图所示的程序框图,输出的结果为( )A.(-2,2)B.(-4,0)C.(-4,-4)D.(0,-8) 答案:B解析:x=1,y=1,k=0,进入循环:s=1-1=0,t=1+1=2,x=0,y=2,k=0+1=1<3;s=0-2=-2,t=0+2=2,x=-2,y=2,k=1+1=2<3;s=-2-2=-4,t=-2+2=0,x=-4,y=0,k=2+1=3≥3,跳出循环,输出(x ,y ),即(-4,0). 4.(2015北京,理4)设α,β是两个不同的平面,m 是直线且m ⊂α.“m ∥β”是“α∥β”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 答案:B解析:充分性:若m ⊂α,m ∥β,则平面α和β可能平行也可能相交,所以充分性不成立;必要性:若α∥β,m ⊂α,则m ∥β,必要性成立.故“m ∥β”是“α∥β”的必要而不充分条件,选B .5.(2015北京,理5)某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的表面积是( )A.2+√5B.4+√5C.2+2√5D.5 答案:C解析:由三视图还原几何体如图.∴S表面积=S△BCD+2S△ACD+S△ABC=1 2×2×2+2×12×√5×1+12×2×√5=2+√5+√5=2+2√5.6.(2015北京,理6)设{a n}是等差数列.下列结论中正确的是()A.若a1+a2>0,则a2+a3>0B.若a1+a3<0,则a1+a2<0C.若0<a1<a2,则a2>√a1a3D.若a1<0,则(a2-a1)(a2-a3)>0答案:C解析:设等差数列公差为d.对于A选项,a1+a2=2a1+d>0,而a2+a3=2a1+3d不一定大于0;对于B选项,a1+a3=2a1+2d<0,a1+a2=2a1+d不一定小于0;对于C选项,0<a1<a2,则公差d>0.所以a2=a1+a32>√a1a3;对于D选项,(a2-a1)(a2-a3)=-d2≤0.故只有C正确.7.(2015北京,理7)如图,函数f(x)的图象为折线ACB,则不等式f(x)≥log2(x+1)的解集是()A.{x|-1<x≤0}B.{x|-1≤x≤1}C.{x|-1<x≤1}D.{x|-1<x≤2}答案:C解析:如图,作出函数f(x)与y=log2(x+1)的图象.易知直线BC 的方程为y=-x+2,由{y =−x +2,y =log 2(x +1)得D 点坐标为(1,1).由图可知,当-1<x ≤1时,f (x )≥log 2(x+1),所以所求解集为{x|-1<x ≤1}.8.(2015北京,理8)汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程,下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况.下列叙述中正确的是( )A.消耗1升汽油,乙车最多可行驶5千米B.以相同速度行驶相同路程,三辆车中,甲车消耗汽油最多C.甲车以80千米/小时的速度行驶1小时,消耗10升汽油D.某城市机动车最高限速80千米/小时.相同条件下,在该市用丙车比用乙车更省油 答案:D解析:对于选项A,从图中可以看出乙车的最高燃油效率大于5,故A 项错误;对于选项B,同样速度甲车消耗1升汽油行驶的路程比乙车、丙车的多,所以行驶相同路程,甲车油耗最少,故B 项错误;对于选项C,甲车以80千米/小时的速度行驶,1升汽油行驶10千米,所以行驶1小时,即行驶80千米,消耗8升汽油,故C 项错误;对于选项D,速度在80千米/小时以下时,相同条件下每消耗1升汽油,丙车行驶路程比乙车多,所以该市用丙车比用乙车更省油,故D 项正确.第二部分(非选择题 共110分)二、填空题(共6小题,每小题5分,共30分.)9.(2015北京,理9)在(2+x )5的展开式中,x 3的系数为 .(用数字作答) 答案:40解析:(2+x )5展开式的通项为T r+1=C 5r 25-r x r ,令r=3,得T 4=C 5322x 3=10×4x 3=40x 3,∴x 3的系数为40. 10.(2015北京,理10)已知双曲线x 2a2-y 2=1(a>0)的一条渐近线为√3x+y=0,则a= . 答案:√33解析:∵双曲线x 2a2-y 2=1的渐近线方程为y=±x a ,即y±xa=0.又a>0,∴1a =√3,∴a=√33.11.(2015北京,理11)在极坐标系中,点(2,π3)到直线ρ(cos θ+√3sin θ)=6的距离为 . 答案:1解析:∵x=ρcos θ,y=ρsin θ,∴点(2,π3)的直角坐标为(2cos π3,2sin π3),即(1,√3). ∵ρ(cos θ+√3sin θ)=6,∴ρcos θ+√3ρsin θ=6, ∴x+√3y-6=0.∴点(1,√3)到直线x+√3y-6=0的距离 d=|1+√3×√3−6|2=1. 12.(2015北京,理12)在△ABC 中,a=4,b=5,c=6,则sin2AsinC= .答案:1解析:在△ABC 中,由正弦定理知,sin2A sinC =2sinAcosA sinC =2cos A ·a c =2cos A×46=43cos A ,再根据余弦定理,得cos A=36+25−162×6×5=34,所以sin2A sinC=43×34=1.13.(2015北京,理13)在△ABC 中,点M ,N 满足AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =NC ⃗⃗⃗⃗⃗ .若MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +y AC⃗⃗⃗⃗⃗ ,则x= ,y= .答案:12-16解析:如图,MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +CN ⃗⃗⃗⃗⃗ =13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −12BC ⃗⃗⃗⃗⃗=13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −12(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ) =12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −16AC ⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴x=12,y=-16.14.(2015北京,理14)设函数f (x )={2x −a,x <1,4(x −a)(x −2a),x ≥1.①若a=1,则f (x )的最小值为 ;②若f (x )恰有2个零点,则实数a 的取值范围是 .答案:①-1 ②[12,1)∪[2,+∞)解析:①当a=1时,f (x )={2x −1,x <1,4(x −1)(x −2),x ≥1,当x<1时,2x -1∈(-1,1);当x ≥1时,4(x-1)(x-2)∈[-1,+∞). 故f (x )的最小值为-1.②若函数f (x )=2x -a 的图象在x<1时与x 轴有一个交点,则a>0,并且当x=1时,f (1)=2-a>0,所以0<a<2.同时函数f (x )=4(x-a )(x-2a )的图象在x ≥1时与x 轴有一个交点,所以{a <1,2a ≥1.故12≤a<1.若函数f (x )=2x-a 的图象在x<1时与x 轴没有交点,则函数f (x )=4(x-a )(x-2a )的图象在x ≥1时与x 轴有两个不同的交点,当a ≤0时,函数f (x )=2x -a 的图象与x 轴无交点,函数f (x )=4(x-a )(x-2a )的图象在x ≥1上与x 轴也无交点,不满足题意.当21-a ≤0,即a ≥2时,函数f (x )=4(x-a )(x-2a )的图象与x 轴的两个交点x 1=a ,x 2=2a 都满足题意.综上,a 的取值范围为[12,1)∪[2,+∞).三、解答题(共6小题,共80分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程)15.(本小题13分)(2015北京,理15)已知函数f (x )=√2sin x 2cos x 2−√2sin 2x2. (1)求f (x )的最小正周期;(2)求f (x )在区间[-π,0]上的最小值. 解:(1)因为f (x )=√22sin x-√22(1-cos x )=sin (x+π4)−√22, 所以f (x )的最小正周期为2π. (2)因为-π≤x ≤0,所以-3π4≤x+π4≤π4. 当x+π4=-π2,即x=-3π4时,f (x )取得最小值. 所以f (x )在区间[-π,0]上的最小值为f (−3π4)=-1-√22. 16.(本小题13分)(2015北京,理16)A,B 两组各有7位病人,他们服用某种药物后的康复时间(单位:天)记录如下: A 组:10,11,12,13,14,15,16 B 组:12,13,15,16,17,14,a假设所有病人的康复时间相互独立,从A,B 两组随机各选1人,A 组选出的人记为甲,B 组选出的人记为乙. (1)求甲的康复时间不少于14天的概率;(2)如果a=25,求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率;(3)当a 为何值时,A,B 两组病人康复时间的方差相等?(结论不要求证明)解:设事件A i 为“甲是A 组的第i 个人”,事件B i 为“乙是B 组的第i 个人”,i=1,2, (7)由题意可知P (A i )=P (B i )=17,i=1,2, (7)(1)由题意知,事件“甲的康复时间不少于14天”等价于“甲是A 组的第5人,或者第6人,或者第7人”,所以甲的康复时间不少于14天的概率是P (A 5∪A 6∪A 7)=P (A 5)+P (A 6)+P (A 7)=37.(2)设事件C 为“甲的康复时间比乙的康复时间长”,由题意知,C=A 4B 1∪A 5B 1∪A 6B 1∪A 7B 1∪A 5B 2∪A 6B 2∪A 7B 2∪A 7B 3∪A 6B 6∪A 7B 6.因此P (C )=P (A 4B 1)+P (A 5B 1)+P (A 6B 1)+P (A 7B 1)+P (A 5B 2)+P (A 6B 2)+P (A 7B 2)+P (A 7B 3)+P (A 6B 6)+P (A 7B 6) =10P (A 4B 1) =10P (A 4)P (B 1) =1049.(3)a=11或a=18.17.(本小题14分)(2015北京,理17)如图,在四棱锥A-EFCB 中,△AEF 为等边三角形,平面AEF ⊥平面EFCB ,EF ∥BC ,BC=4,EF=2a ,∠EBC=∠FCB=60°,O 为EF 的中点. (1)求证:AO ⊥BE ;(2)求二面角F-AE-B 的余弦值; (3)若BE ⊥平面AOC ,求a 的值.解:(1)因为△AEF 是等边三角形,O 为EF 的中点,所以AO ⊥EF.又因为平面AEF ⊥平面EFCB ,AO ⊂平面AEF , 所以AO ⊥平面EFCB ,所以AO ⊥BE.(2)取BC 中点G ,连接OG. 由题设知EFCB 是等腰梯形, 所以OG ⊥EF.由(1)知AO ⊥平面EFCB , 又OG ⊂平面EFCB , 所以OA ⊥OG.如图建立空间直角坐标系O -xyz , 则E (a ,0,0),A (0,0,√3a ),B (2,√3(2-a ),0),EA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-a ,0,√3a ),BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(a-2,√3(a-2),0).设平面AEB 的法向量为n =(x ,y ,z ),则{n ·EA ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n ·BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即{−ax +√3az =0,(a −2)x +√3(a −2)y =0.令z=1,则x=√3,y=-1. 于是n =(√3,-1,1).平面AEF 的法向量为p =(0,1,0). 所以cos <n ,p >=n·p|n||p|=-√55. 由题知二面角F-AE-B 为钝角,所以它的余弦值为-√55.(3)因为BE ⊥平面AOC ,所以BE ⊥OC ,即BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0.因为BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(a-2,√3(a-2),0),OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2,√3(2-a ),0), 所以BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =-2(a-2)-3(a-2)2.由BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0及0<a<2,解得a=43.18.(本小题13分)(2015北京,理18)已知函数f (x )=ln 1+x1−x. (1)求曲线y=f (x )在点(0,f (0))处的切线方程;(2)求证:当x ∈(0,1)时,f (x )>2(x +x 33); (3)设实数k 使得f (x )>k (x +x 33)对x ∈(0,1)恒成立,求k 的最大值.解:(1)因为f (x )=ln(1+x )-ln(1-x ),所以f'(x )=11+x +11−x,f'(0)=2. 又因为f (0)=0,所以曲线y=f (x )在点(0,f (0))处的切线方程为y=2x. (2)令g (x )=f (x )-2(x +x 33), 则g'(x )=f'(x )-2(1+x 2)=2x 41−x2.因为g'(x )>0(0<x<1),所以g (x )在区间(0,1)上单调递增. 所以g (x )>g (0)=0,x ∈(0,1), 即当x ∈(0,1)时,f (x )>2(x +x 33). (3)由(2)知,当k ≤2时,f (x )>k (x +x 33)对x ∈(0,1)恒成立.当k>2时,令h (x )=f (x )-k (x +x 33), 则h'(x )=f'(x )-k (1+x 2)=kx 4−(k−2)1−x 2.所以当0<x<√k−2k4时,h'(x )<0,因此h (x )在区间(0,√k−2k4)上单调递减. 当0<x<√k−2k 4时,h (x )<h (0)=0, 即f (x )<k (x +x 33).所以当k>2时,f (x )>k (x +x 33)并非对x ∈(0,1)恒成立.综上可知,k 的最大值为2.19.(本小题14分)(2015北京,理19)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a>b>0)的离心率为√22,点P (0,1)和点A (m ,n )(m ≠0)都在椭圆C 上,直线PA 交x 轴于点M.(1)求椭圆C 的方程,并求点M 的坐标(用m ,n 表示);(2)设O 为原点,点B 与点A 关于x 轴对称,直线PB 交x 轴于点N.问:y 轴上是否存在点Q ,使得∠OQM=∠ONQ ?若存在,求点Q 的坐标;若不存在,说明理由.解:(1)由题意得{b =1,c a=√22,a 2=b 2+c 2.解得a 2=2.故椭圆C 的方程为x 22+y 2=1. 设M (x M ,0).因为m ≠0,所以-1<n<1. 直线PA 的方程为y-1=n−1m x , 所以x M =m 1−n, 即M (m1−n,0). (2)因为点B 与点A 关于x 轴对称,所以B (m ,-n ).设N (x N ,0),则x N =m1+n.“存在点Q (0,y Q )使得∠OQM=∠ONQ ”等价于“存在点Q (0,y Q )使得|OM||OQ|=|OQ||ON|”,即y Q 满足y Q 2=|x M ||x N |.因为x M =m 1−n ,x N =m 1+n ,m 22+n 2=1, 所以y Q 2=|x M ||x N |=m 21−n 2=2.所以y Q =√2或y Q =-√2.故在y 轴上存在点Q ,使得∠OQM=∠ONQ ,点Q 的坐标为(0,√2)或(0,-√2).20.(本小题13分)(2015北京,理20)已知数列{a n }满足:a 1∈N *,a 1≤36,且a n+1={2a n ,a n ≤18,2a n −36,a n >18(n=1,2,…).记集合M={a n |n ∈N *}.(1)若a 1=6,写出集合M 的所有元素;(2)若集合M 存在一个元素是3的倍数,证明:M 的所有元素都是3的倍数; (3)求集合M 的元素个数的最大值. 解:(1)6,12,24.(2)因为集合M 存在一个元素是3的倍数,所以不妨设a k 是3的倍数.由a n+1={2a n ,a n ≤18,2a n −36,a n >18可归纳证明对任意n ≥k ,a n 是3的倍数.如果k=1,则M 的所有元素都是3的倍数.如果k>1,因为a k =2a k-1或a k =2a k-1-36,所以2a k-1是3的倍数,于是a k-1是3的倍数.类似可得,a k-2,…,a 1都是3的倍数,从而对任意n ≥1,a n 是3的倍数,因此M 的所有元素都是3的倍数.综上,若集合M 存在一个元素是3的倍数,则M 的所有元素都是3的倍数.(3)由a 1≤36,a n ={2a n−1,a n−1≤18,2a n−1−36,a n−1>18可归纳证明a n ≤36(n=2,3,…).因为a 1是正整数,a 2={2a 1,a 1≤18,2a 1−36,a 1>18,所以a 2是2的倍数.从而当n ≥3时,a n 是4的倍数.如果a 1是3的倍数,由(2)知对所有正整数n ,a n 是3的倍数. 因此当n ≥3时,a n ∈{12,24,36}. 这时M 的元素个数不超过5.如果a 1不是3的倍数,由(2)知对所有正整数n ,a n 不是3的倍数. 因此当n ≥3时,a n ∈{4,8,16,20,28,32}. 这时M 的元素个数不超过8.当a 1=1时,M={1,2,4,8,16,20,28,32}有8个元素. 综上可知,集合M 的元素个数的最大值为8.。