历年自主招生考试数学试题大全-北京清华大学自主招生数学试题+Word版

自主招生模拟试题--03一、选择题(本大题共6小题,每小题3分,共18分)1.设A 是整数集的一个非空子集,对于A k ∈,如果A k ∉-1,且A k ∉+1,那么称k 是A 的一个“孤立元”．给定}8,7,6,5,4,3,2,1{=S ,由S 的三个元素构成的所有集合中,不含“孤立元”的集合个数为【 】． A.5 B.6 C.7 D.82.若函数1463)(23+++=x x x x f ,且1)(=a f ,19)(=b f ,则=+b a 【 】． A.2- B.0 C.1 D.23.如果一条直线与一个平面垂直,那么称此直线与平面构成一个“正交线面对”.在一个正方体中,由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是【 】．A.12B.18C.24D.364.某化工厂打算投入一条新的生产线,但需要经环保部门审批同意方可投入生产．已知该生产线连续生产n 年的累计产量为)12)(1(21)(++=n n n n f 吨,但如果年产量超过150吨,将会给环境造成危害．为保护环境,环保部门应给该厂这条生产线拟定最长的生产期限的年数为【 】．A.5B.6C.7D.8 5.若ABC ∆的内角A B C ,,所对的边,,a b c 成等比数列,则sin cot cos sin cot cos A C AB C B++的取值范围是【 】．A.(0,)+∞B.51(0,)2+ C.5151(,)22-+ D.51(,)2-+∞ 6.若设集合}10,,2,1{ =A ,则满足“每个子集至少有2个元素,且每个子集中任意两个元素之差的绝对值均大于1.”的A 的子集个数为【 】．A.55B.89C.109D.133 二、填空题(本大题共4小题,每小题3分,共12分) 7.函数424236131y x x x x x =--+--+的最大值为____________.8.若函数x x a y sin )3cos (2-=的最小值为3-,则实数a 的取值范围是____________.9.甲乙两人进行乒乓球比赛,约定每局胜者得1分,负者得0分,比赛进行到有一人比对方多2分或打满6 局时停止．设甲在每局中获胜的概率为23,乙在每局中获胜的概率为13,且各局胜负相互独立,则比赛停止时已打局数ξ的期望E ξ为____________.10.多面体上,位于同一条棱两端的顶点称为相邻的,如图,正方体的一个顶点A 在平面α内,其余顶点在α的同侧,正方体上与顶点A 相邻的三个顶点到α的距离分别为1,2和4,P 是正方体的其余四个顶点中的一个,则P 到平面α的距离可能是:①3； ②4； ③5； ④6； ⑤7以上结论正确的有______________.（写出所有正确结论的编号．．） 三、解答题(本大题共5小题,每小题14分,共70分)11.设b x ax x f ++=4)(2)0(<a ,方程0)(=x f 的两实根为21,x x ,方程x x f =)(的两实根为βα,. (1)若1||=-βα,求b a ,的关系式；(2)若b a ,均为负整数,且1||=-βα,求)(x f 的解析式； (3)若21<<<βα,求证:7)1)(1(21<++x x .12.已知正实数12,,n a a a …,的和为1,求证:222211212231112n n n n n a a a a a a a a a a a a --++++≥++++…. 13.设AB 是抛物线px y 22=)0(>p 的一条过焦点的弦,且AB 与x 轴不垂直,点P 是y 轴上异于坐标原点O 的一点,且满足B A P O ,,,四点共圆,设B A P ,,的纵坐标依次为210,,y y y ,求210y y y +的值.14.在直角坐标平面内,设x 轴,y 轴正方向上的单位向量分别是i ,j,该坐标平面内的点n A ,n B 满足以下两个条件:①1OA j = ,且1+n n A A ＝i ＋j ；②i OB 31=,且1+n n B B ＝2()33n i ⨯.(1)求n OA 及n OB 的坐标；(2)若四边形11++n n n n A B B A 的面积是n a ,求n a 的表达式；(3)是否存在正整数M ,对*N n ∈都有n a ＜M 成立？若存在,求M 的最小值；若不存在,说明理由． 15.设ABC ∆的内切圆半径为1,三边长a BC =,b CA =,c AB =.若a ,b ,c 都是整数,求证:ABC ∆为直角三角形.自主招生模拟试题答题纸ABCDA 1B 1C 1D 1第10题图α一、选择题(本大题共6小题,每小题3分,共18分)题号 1 2 3 4 5 6 答案二、填空题(本大题共4小题,每小题3分,共12分)题号7 8 9 10 答案三、解答题(本大题共5小题,每小题14分,共70分)11.12.13.14.15.参考答案一、选择题(本大题共6小题,每小题3分,共18分)1.设A 是整数集的一个非空子集,对于A k ∈,如果A k ∉-1,且A k ∉+1,那么称k 是A 的一个“孤立元”．给定}8,7,6,5,4,3,2,1{=S ,由S 的三个元素构成的所有集合中,不含“孤立元”的集合个数为【 】． A.5 B.6 C.7 D.8解析:依题可知,由S 的3个元素构成的所有集合中,不含“孤立元”,这三个元素一定是相连的三个数．故这样的集合共有6个．答案:62.若函数1463)(23+++=x x x x f ,且1)(=a f ,19)(=b f ,则=+b a 【 】． A.2- B.0 C.1 D.2()()()()()()()()()()()()()()()()()()3323333222223223614=13110,3131101,1311019,11123613=06380365=0f x x x x x xg y y y g y f a a a f b b b g a g b g a a b a a a a b a ab b a b b b b a =+++++++=+=++++==++++=⇒++∴+⇒+=-⎧+++⎪⇒+-+++++=⎨++-⎪⎩- 法一：设，则为奇函数且为单调递增函数，且=-9,=9,=-9=g -b-1,法二：易得()()()22260,380,0.D ab b a b a b ++>++>∴+<选。

2020年北京海淀区清华大学自主招生数学试卷（强基计划）-学生用卷1、【来源】 2020年北京海淀区清华大学自主招生（强基计划）第1题 2020~2021学年北京海淀区高三单元测试 已知x 2+y 2⩽1，求x 2+xy −y 2的最值．2、【来源】设a ，b ，c 均为大于零的实数，若一元二次方程ax 2+bx +c =0有实根，则（ ）． A. max {a,b,c }⩾12(a +b +c) B. max {a,b,c }⩾49(a +b +c) C. min {a,b,c }⩽14(a +b +c) D. min {a,b,c }⩽13(a +b +c)3、【来源】 2020年北京海淀区清华大学自主招生（强基计划）第13题 2020~2021学年北京海淀区高三单元测试|a →|⩽1，|b →|⩽1，|a →+2b →+c →|=|a →−2b →|，则|c →|的最值为( ) A. 最大值为4√2 B. 最大值为2√5 C. 最小值为0 D. 最小值为24、【来源】在△ABC 中，AC =1， BC =√3，AB =2，M 为AB 的中点，将△BCM 沿CM 折起，使得三棱锥B −ACM 的体积为√212，则折起后AB 的长可以为（ ）．A. 1B. √2C. √3D. 25、【来源】 2020年北京海淀区清华大学自主招生（强基计划）第5题2020~2021学年北京海淀区高三单元测试P为椭圆x24+y23=1上一点，A(1,0)，B(1,1)，求|PA|+|PB|的取值范围．6、【来源】 2020年北京海淀区清华大学自主招生（强基计划）第7题2020~2021学年北京海淀区高三单元测试P为双曲线x24−y2=1上一点，A(−2,0)，B(2,0)，令∠PAB=α，∠PBA=β，下列为定值的是()A. tan⁡αtan⁡βB. tan⁡α2tan⁡β2C. S△PAB tan⁡(α+β)D. S△PAB cot⁡(α+β)7、【来源】 2020年北京海淀区清华大学自主招生（强基计划）第2题2020~2021学年北京海淀区高三单元测试非等边三角形ABC中，BC=AC，O，P分别为△ABC的外心和内心，D在BC上，OD⊥BP，下列选项正确的是()A. BODP四点共圆B. OD//ACC. OD//ABD. DP//AC8、【来源】 2020年北京海淀区清华大学自主招生（强基计划）第3题已知集合A，B，C⊆{1,2,3,⋯,2020}，且A⊆C，B⊆C，则有序集合组(A,B,C)的个数是（）．A. 22020B. 32020C. 42020D. 520209、【来源】 2020年北京海淀区清华大学自主招生（强基计划）第4题已知数列{a n }满足a 0=1，|a i+1|=|a i +1|(i ∈N )，则A =|∑a k 20k=1|的值可能是（ ）． A. 0B. 2C. 10D. 1210、【来源】 2020年北京海淀区清华大学自主招生（强基计划）第6题 已知△ABC 的三条边长均为整数，且面积为有理数，则|AB |的值可能是（ ）． A. 1B. 2C. 3D. 411、【来源】 2020年北京海淀区清华大学自主招生（强基计划）第8题甲、乙、丙三人一起做同一道题，甲说：“我做错了．”，乙说：“甲做对了．”，丙说：“我做错了．”，而事实上仅有一人做对题目且仅有一人说谎了，那么谁可能做对了题目（ ）． A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 没有人12、【来源】 2020年北京海淀区清华大学自主招生（强基计划）第9题 2020~2021学年北京海淀区高三单元测试Rt △ABC 中，∠ABC =90°，AB =√3，BC =1，PA→|PA →|+PB →|PB →|+PC →|PC →|=0→，以下正确的是（ ）．A. ∠APB =120°B. ∠BPC =120°C. 2BP =PCD. AP =2PC13、【来源】 2020年北京海淀区清华大学自主招生（强基计划）第10题2020~2021学年北京海淀区高三单元测试 lim n→∞∑arctan n k=12k 2=( )A. 34π B. π C. 3π2D. 7π314、【来源】 2020年北京海淀区清华大学自主招生（强基计划）第11题从0∼9这十个数中任取五个数组成一个为五位数ABCDE （A 可以为0），则396|ABCDE 的概率是（ ）． A.1396B.1324C.1315D.121015、【来源】 2020年北京海淀区清华大学自主招生（强基计划）第12题随机变量X (=1,2,3,⋯)，Y (=0,1,2)，满足P (X =k )=12k 且Y ≡X (mod3)，则E (Y )=（ ）． A. 47B. 87C. 127D. 16716、【来源】 2020年北京海淀区清华大学自主招生（强基计划）第14题若存在x ，y ∈N ∗，使得x 2+ky ，y 2+kx 均为完全平方数，则正整数k 可能是（ ）． A. 2B. 4C. 5D. 617、【来源】 2020年北京海淀区清华大学自主招生（强基计划）第15题 求值：sin⁡(arctan⁡1+arccos⁡√10+arcsin⁡√5)=（ ）．A. 0B. 12C. √22D. 118、【来源】 2020年北京海淀区清华大学自主招生（强基计划）第16题已知正四棱锥中，相邻两侧面构成的二面角为α，侧棱和底面夹角为β，则（）．A. cos⁡α+tan2⁡β=1B. secα+tan2⁡β=−1C. cos⁡α+2tan2⁡β=1D. secα+2tan2⁡β=−119、【来源】 2020年北京海淀区清华大学自主招生（强基计划）第17题2020~2021学年北京海淀区高三单元测试已知f(x)=2e xe x+e−x+sin⁡x，x∈[−2,2]，则f(x)上下界之和为．20、【来源】 2020年北京海淀区清华大学自主招生（强基计划）第18题已知函数f(x)的图象如图所示，记y=f(x)，x=a，x=t(a<t<c)及x轴围成的曲边梯形面积为S(t)，则下列说法正确的是（）．A. S(t)⩽cf(b)B. S′(t)⩽f(a)C. S′(t)⩽f(b)D. S′(t)⩽f(c)21、【来源】 2020年北京海淀区清华大学自主招生（强基计划）第19题 2020~2021学年北京海淀区高三单元测试定义数列{a n }，若∀n ∈N ∗，∃m ∈N ∗，使得S n =a m ，则称数列{a n }为“某数列”，以下正确的是( )A. a n ={1,n =12n−2,n ⩾2，数列{a n }为“某数列”B. a n =kn ，k 为常数，则{a n }为“某数列”C. 存在任意两项均不相同的某数列a n ，且对于任意n ∈N ∗，|a n |<√nD. 对任意等差数列{a n }，存在“某数列”{b n }和{c n }，使得a n =b n +c n22、【来源】 2020年北京海淀区清华大学自主招生（强基计划）第20题求值：∫sin 2xsin 4x+cos 4x2πdx =（ ）．A. πB. √2πC. 2πD. √5π23、【来源】已知f(z)=z 10+z −10+12(z 5+z −5)，则（ ）． A. f(z)=0存在实数解B. f(z)=0共有20个不同的复数解C. f(z)=0复数解的模长都等于1D. f(z)=0存在模长大于1的复数解24、【来源】设多项式f(x)的各项系数都是非负实数，且f(1)=f ′(1)=f ′′(1)=f ′′′(1)=1，则f(x)的常数项的最小值为（ ）． A. 12B. 13C. 14D. 1525、【来源】《红楼梦》《三国演义》《水浒》《西游记》四部书分列在只有四层架子的书柜的不同层上，小赵、小钱、小孙，小李分别借阅了四部书中的一部，现已知：小钱借阅了第一层的书籍，小赵借阅了第二层的书籍，小孙借阅的是《红楼梦》，《三国演义》陈列在第四层，则（）．A. 《水浒》一定陈列在第二层B. 《西游记》一定陈列在第一层C. 小孙借阅的一定是第三层的书籍D. 小李借阅的一定是第四层的书籍26、【来源】设数列{a n}的前n项和为S n=(−1)n a n+12n+n−3，且实数t满足(t−a n+1)(t−a n)<0，则t的取值范围是（）．A. (−34,11 4)B. (−34,11 5)C. (−35,11 4)D. (−35,11 5)27、【来源】已知实数a，b满足a3+b3+3ab=1，设a+b的所有可能取值构成的集合为M，则（）．A. M为单元素集B. M为有限集，但不是单元素集C. M为无限集，且有下界D. M为无限集，且无下界28、【来源】设A ，B 分别是x 轴，y 轴上的动点，若以AB 为直径的圆C 与直线2x +y −4=0相切，则圆C 面积的最小值为（ ）． A. π5B. 2π5C. 4π5D. π29、【来源】设α，β为锐角，且cos⁡(α+β)=sin αsin β ，则tan⁡α的最大值为（ ）． A. √24B. √33 C. 1 D. √230、【来源】设函数f(x)=e x +a(x −1)+b 在区间[1,3]上存在零点，则a 2+b 2的最小值为（ ）． A. e2 B. e C. e 22 D. e 231、【来源】设复数z 满足|3z −7i |=3，令z 1=z 2−2z+2z−1+i，则|z 1|的（ ）．A. 最大值为83B. 最大值为73C. 最小值为43D. 最小值为2332、【来源】在平面直角坐标系中，横坐标与纵坐标都是整数的点称为格点，所有顶点都是格点的多边形称为格点多边形．若一个格点多边形内部有8个格点，边界上有10个格点，则这个格点多边形的面积为（ ）． A. 10B. 11C. 12D. 1333、【来源】设实数x 1，x 2，⋯，x 21满足0⩽x i ⩽1（i =1,2,⋯,21），则∑21i=1∑|x i −x k |21k=1的最大值为（ ）． A. 110B. 120C. 220D. 24034、【来源】已知实数x ，y ，z 满足{ 19x 3−13y 2−y =119y 3−13z 2−z =119z 3−13x 2−x =1，则（ ）．A. (x,y,z)只有1组B. (x,y,z)有4组C. x ，y ，z 均为有理数D. x ，y ，z 均为无理数35、【来源】使得nsin⁡1>1+5cos⁡1成立的最小正整数n 的值为（ ）． A. 3B. 4C. 5D. 636、【来源】已知复数z 1，z 2在复平面内对应的点为Z 1，Z 2，O 为坐标原点，若|z 1|=1，5z 12−2z 1z 2+z 22=0，则△OZ 1Z 2的面积为（ ）．A. 1B. √3C. 2D. 2√31 、【答案】见解析;2 、【答案】 B;C;D;3 、【答案】 B;C;4 、【答案】 B;C;5 、【答案】[4−√5,4+√5];6 、【答案】 A;C;7 、【答案】 A;D;8 、【答案】 D;9 、【答案】 C;D;10 、【答案】 C;D;11 、【答案】 A;B;12 、【答案】 A;B;C;D;13 、【答案】 A;14 、【答案】 C;15 、【答案】 B;16 、【答案】 C;D;17 、【答案】 D;18 、【答案】 D;19 、【答案】 2;20 、【答案】 A;C;21 、【答案】 A;B;C;D;22 、【答案】 B;23 、【答案】 B;C;24 、【答案】 B;25 、【答案】 C;D;26 、【答案】 A;27 、【答案】 B;28 、【答案】 C;29 、【答案】 A;30 、【答案】 D;31 、【答案】 A;D;32 、【答案】 C;33 、【答案】 C;34 、【答案】 A;D;35 、【答案】 C;36 、【答案】 A;第11页，共11页。

2013 清华北大自主招生 测评试题数学自主招生数学与逻辑测评试题（考试时间： 90 分钟，总分 100 分）一、选择题：本大题共 6 小题．每小题 6 分，共 36 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 设 z 1,z 2 为一对不相等的共轭复数，且 z 1 = 3,z 12为实数，则 z 1-z 2 的值为z 2（ ） A ． 3B ． 6C ．3D ．232. 若点 P 在曲线 y=-x 2 -1上，点 Q 在曲线 x=1+y 2 上，则 PQ 的最小值为（）A ．3 2B ．3 2C ．3 2D ．3 22483. 在 ABC 中，三边和三角满足 a cos B-b cos A= 3 c 则 tan A = （）5tan BA 。

3B 。

4C 。

5D 。

64. 如图，在正四棱锥 P-ABCD 中，∠ APC =60 °，则二面角 A-PB-C的平面角的余弦值为（ ）A.1 B.177C.1 D.1P22DM CA B5. 设 P 是函数 y=x+ 2x>2 图像上任意一点，过点P 分别向直线 y=x 和 y x轴作垂线，垂足分别为 A 、B ，则 PA PB = （）A ．1B ．2C ．-1D ．-26. 某情报站有 A 、B 、C 、D 四种互不相同的密码，每周使用一种，且每周都是从上周没使用的三种密码中等可能的随机选用一种，设第一周使用 A 密码，则第七周也使用 A 密码的概率为（）（用最简分数表示）A．43B．61C．48D．61 8124324381选择题答题处： 1.() 2.() 3.() 4.()5.()6.( )二、解答题 (每题 16 分,共 64 分)7. 设函数f n x =x n1-x2在1,1上的最大值为 a n n=1,2,3, 2（1）求数列 a n的通项公式；（2）求证：对任何正整数 n n 2 ，都有 a n1成立；2n+2（3）设数列 a n的前 n 项和为S n，求证：对任意正整数 n ，都有S n<7成16立。

1.（2007清华）对于集合2M R ⊆（表示二维点集），称M 为开集，当且仅当0,0P M r ∀∈∃>，使得{}2P R PP r M ∈<⊆⎰。

判断集合{}(,)4250x y x y +->⎰与集合{}(,)0,0x y x y ≥>⎰是否为开集，并证明你的结论。

2，（2009北大）已知,cos cos 21x R a x b x ∀∈+≥-恒成立，求max ()a b +3，（2009清华）已知,,0x y z >，a 、b 、c 是x 、y 、z 的一个排列。

求证：3a b c x y z ++≥。

4，（2006清华）已知a ，b 为非负数，44M a b =+，a+b=1，求M 的最值。

5，（2008北大）实数(1,2,i i a i b i ==满足123a a a b b b ++=++，122313122313a a a a a a bb b b bb ++=++，123123min(,,)min(,,)a a a b b b ≤。

求证：12312m a x (,,)m a x (,,)a a a b b b ≤。

6，（2009清华）试求出一个整系数多项式110()n n n n f x a x a x a --=+++…，使得()0f x =有一根为7，（2009清华）x>0,y>0,x+y=1,n 为正整数，求证：222112n n n xy -+≥8，（2007北大） 已知22()5319653196f x x x x x =-++-+，求f(1)+f(2)+…＋f(50)。

9，（2006清华）设正三角形1T 的边长为a ，1n T +是n T 的中点三角形，n A 为n T 除去1n T +后剩下三个三角形内切圆面积之和，求1lim n k n k A →∞=∑。

10，（2008北大）数列{}1n n a ∞=定义如下：1234561,2,3,a a a a a a ======……（1） 给定自然数n ，求使l a n =的L 的范围；（2） 令221m m l l b a ==∑，求3limm m b m →∞。