第六章 6.1A组·素养自测一、选择题1．一个袋子里放有6个球，另一个袋子里放有8个球，每个球各不相同，从两袋子里各取一个球，不同取法的种数为(C)A．182 B．14C．48 D．91[解析]由分步乘法计数原理得不同取法的种数为6×8＝48，故选C．2．把10个苹果分成三堆，要求每堆至少有1个，至多5个，则不同的分法共有(A) A．4种B．5种C．6种D．7种[解析]分类考虑，若最少一堆是1个，那由至多5个知另两堆分别为4个、5个，只有一种分法；若最少一堆是2个，则由3＋5＝4＋4知有2种分法；若最少一堆是3个，则另两堆为3个、4个，故共有分法1＋2＋1＝4种．3．如图所示给五个区域涂色，现有四种颜色可供选择．要求每一个区域只涂一种颜色，相邻区域所涂颜色不同，则不同涂色方法种数为(C)A．24种B．48种C．72种D．96种[解析]解法一：分两种情况：(1)A，C不同色，先涂A有4种，C有3种，E有2种，B，D各有1种，由分步乘法计数原理知有4×3×2＝24种．(2)A，C同色，先涂A有4种，E有3种，B，D各有2种，由分步乘法计数原理知有4×3×2×2＝48种．由分类加法计数原理知，共有72种，故选C．解法二：先涂A，有4种涂法，再涂B，D，①若B与D同色，则B有3种，E有2种，C有2种，共有4×3×2×2＝48种；②若B与D不同色，则B有3种，D有2种，E有1种，C有1种，共有4×3×2×1×1＝24种，由分类加法计数原理知，共有不同涂法48＋24＝72种．4．体育老师把9个相同的足球放入编号为1,2,3的三个箱子中，要求每个箱子放球的个数不小于其编号，则不同的放球方法有(B)A．8种B．10种C．12种D．16种[解析]首先在三个箱子中放入个数与编号相同的球，这样剩下三个足球，这三个足球可以随意放置，第一种方法，可以在每一个箱子中放一个，有1种结果；第二种方法，可以把球分成两份，1和2，这两份在三个位置，有3×2＝6种结果；第三种方法，可以把三个球都放到一个箱子中，有3种结果．综上可知共有1＋6＋3＝10种结果．5．(多选题)下列说法正确的是(ABD)A．“将2封信随意投入4个邮箱，求不同投法有多少种”是一个分步乘法计数问题B．“在1,2，…，200中，求能够被5整除的数的个数”是一个分类加法计数问题C．某一数学问题有两种解法，有4名同学只会第一种解法，有3名同学只会第二种解法，从这些同学中任选1人解答这个问题，不同的选法有12种D．从集合{0,1,2,3,4,5,6}中任取两个互不相等的数a，b组成复数a＋b i，其中虚数有36个[解析]对于选项A,2封信需分2步随意投入4个邮箱，只有当2步都完成才算完成，是一个分步乘法计数问题，故A正确；对于选项B，能够被5整除的数可分成末位数字是0和5两类，是一个分类加法计数问题，故B正确；对于选项C，由分类加法计数原理，共有4＋3＝7种选法，故C错误；对于选项D，∵a，b互不相等且a＋b i为虚数，∴b只能从{1,2,3,4,5,6}中选一个，有6种选法，a从剩余的6个中选一个，也有6种选法，∴根据分步乘法计数原理知虚数有6×6＝36个，故D正确．故选ABD．二、填空题6．(2021·合肥一中月考)有A，B，C型号的高级电脑各一台，甲、乙、丙、丁4名操作人员的技术等级不同，甲、乙会操作三种型号的电脑，丙不会操作C型号的电脑，而丁只会操作A型号的电脑．从这4名操作人员中选3人分别去操作这三种型号的电脑，则不同的选派方法有__8__种．[解析]要完成“从4名操作人员中选3人分别去操作这三种型号的电脑”这件事，可分四类：第一类，选甲、乙、丙3人，由于丙不会操作C型号的电脑，故有2×2×1＝4(种)选派方法；第二类，选甲、乙、丁3人，由于丁只会操作A型号的电脑，故有2种选派方法；第三类，选甲、丙、丁3人，这时只有1种选派方法；第四类，选乙、丙、丁3人，同样也只有1种选设方法．根据分类加法计数原理，知共有4＋2＋1＋1＝8(种)选派方法．7．(2020·辽宁大连高三二模)甲、乙等5个志愿者被分配到A，B，C，D四个不同的岗位服务，每个岗位至少一个志愿者，则甲、乙两人各自独立承担一个岗位工作的分法共有__72__种．[解析]由题意知本题是一个分步计数问题，设5个志愿者为甲、乙、丙、丁、戊．甲在A，B，C，D四个岗位中选一个，有4种选择；乙在剩下的3个岗位中选一个，有3种选择．丙、丁、戊三人只能选择剩下的两个岗位，每人有2个选择，总共有2×2×2＝8种选择，这8种里要去掉3个人都选择同一个地方的情况，即有8－2＝6种选择，∴所求方法数为4×3×6＝72．8．(2021·海南中学高二期中)由0,1,2,3,4,5,6这7个数字可以组成__420__个无重复数字的四位偶数．[解析]要完成的“一件事”为“组成无重复数字的四位偶数”，所以千位数字不能为0，个位数字必须是偶数，且组成的四位数中的四个数字不重复．因此应先分类，再分步．第1类，当千位数字为奇数，即取1,3,5中的任意一个时，个位数字可取0,2,4,6中的任意一个，百位数字不能取与这两个数字重复的数字，十位数字不能取与这三个数字重复的数字．根据分步乘法计数原理，取法有3×4×5×4＝240(种)．第2类，当千位数字为偶数，即取2,4,6中的任意一个时，个位数字可以取除千位数字外任意一个偶数数字，百位数字不能取与这两个数字重复的数字，十位数字不能取与这三个数字重复的数字．根据分步乘法计数原理，取法有3×3×5×4＝180(种)．根据分类加法计数原理，可以组成无重复数字的四位偶数有240＋180＝420(个)．三、解答题9．已知a∈{3,4,6}，b∈{1,2,7,8}，r∈{8,9}，则方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2可表示不同的圆的个数是多少？[解析]圆方程由三个量a，b，r确定，a，b，r分别有3种、4种、2种选法，由分步乘法计数原理，表示不同的圆的个数为3×4×2＝24(个)．10．一个袋子里装有10张不同的中国移动手机卡，另一个袋子里装有12张不同的中国联通手机卡．(1)某人要从两个袋子中任取一张手机卡，共有多少种不同的取法？(2)某人手机是双卡双待机，想得到一张移动卡和一张联通卡供自己今后使用，问一共有多少种不同的取法？[解析](1)从两个袋子中任取一张卡有两类情况：第1类，从第一个袋子中取一张移动手机卡，共有10种取法；第2类，从第二个袋子中取一张联通手机卡，共有12种取法．根据分类加法计数原理，共有10＋12＝22(种)取法．(2)想得到一张移动卡和一张联通卡可分两步进行：第一步，从第一个袋子中任取一张移动手机卡，共有10种取法；第二步，从第二个袋子中任取一张联通手机卡，共有12种取法．根据分步乘法计数原理，共有10×12＝120(种)取法．B组·素养提升一、选择题1．(2021·河北邢台第八中学高二期末)用0,1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为(B)A．243 B．252C．261 D．279[解析]由分步乘法计数原理知，用0,1，…，9十个数字组成的三位数的个数为9×10×10＝900，组成无重复数字的三位数的个数为9×9×8＝648，因此组成有重复数字的三位数的个数为900－648＝252．2．(2021·湖北荆州高二期中)大学生小王和小张即将参加实习，他们分别从荆州市荆州中学，荆门市龙泉中学、钟祥一中，襄阳市第四中学、第五中学，宜昌市第一中学、夷陵中学这七所省重点中学中随机选择一所参加实习，两人可选同一所或者两所不同的学校，假设他们选择哪所学校是等可能的，则他们在同一个市参加实习的概率为( C )A ．17B ．649C ．1349D ．1321[解析] 由题意知，两人从七所学校中随机选择一所参加实习，共有7×7＝49种选法，他们在同一个市参加实习共有1×1＋2×2＋2×2＋2×2＝13种选法，所以他们在同一个市参加实习的概率为1349，故选C ． 3．(2021·四川成都七中高三开学考试)如图为我国数学家赵爽(约3世纪初)在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现用5种颜色给A ，B ，C ，D ，E 五个区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域涂不同颜色，则A ，C 区域涂色不相同的概率为( D )A ．17B ．27C ．37D ．47[解析] 分4步进行分析：第1步，对于A 区域有5种颜色可选；第2步，因为B 区域与A 区域相邻，所以有4种颜色可选；第3步，对于E 区域，因为与A ，B 区域相邻，所以有3种颜色可选；第4步，对于D ，C 区城，若D 与B 颜色相同，则C 区域有3种颜色可选；若D 与B 颜色不相同，D 区城有2种颜色可选，C 区域有2种颜色可选，则区域D ，C 共有3＋2×2＝7种选择．综上，不同的涂色方案有5×4×3×7＝420种，其中，A ，C 区域涂色不相同的情况有5×4×3×2×2＝240种．所以A ，C 区域涂色不相同的概率为P ＝240420＝47． 4．(多选)(2021·北京第六十六中学高二上期中)某校实行选课走班制度，张毅同学选择的是地理、生物、政治这三科，且生物在B 层，该校周一上午选课走班的课程安排如下表所示，张毅选择三个科目的课各上一节，另外一节上自习，则下列说法正确的是(BD)A．此人有4种选课方式B．此人有5种选课方式C．自习不可能安排在第2节D．自习可安排在4节课中的任一节[解析]由于生物在B层，只有第2,3 节有，故分两类：若生物选第2节，则地理可选第1节或第3节，有2种选法，其他两节政治、自习任意选即可，故有2×2＝4种(此种情况自习可安排在第1、3、4节中的某节)；若生物选第3节，则地理只能选第1节，政治只能选第4节，自习只能选第2节，故有1种．根据分类加法计数原理可得选课方式有4＋1＝5种．综上，自习可安排在4节课中的任一节．二、填空题5．有10本不同的数学书，9本不同的语文书，8本不同的英语书，从中任取两本不同类的书，共有不同的取法__242__种．[解析]取两本书中，一本数学、一本语文，根据分步乘法计数原理有10×9＝90(种)不同取法；取两本书中，一本语文、一本英语，有9×8＝72(种)不同取法；取两本书中，一本数学、一本英语，有10×8＝80(种)不同取法．综合以上三类，利用分类加法计数原理，共有90＋72＋80＝242(种)不同取法．6．连掷两次骰子得到的点数分别为m和n，向量a＝(m，n)和向量b＝(1，－1)的夹角为θ，则θ为锐角的概率是__512__．[解析]cos θ＝a·b|a||b|＝m－n2·m2＋n2，∵θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2， ∴⎩⎨⎧ a ·b >0，a b ∴⎩⎪⎨⎪⎧ m －n >0，m －n 2m 2＋2n 2<1.∴m >n ，则m ＝2时，n ＝1；m ＝3时，n ＝1,2；m ＝4时，n ＝1,2,3；m ＝5时，n ＝1,2,3,4；m ＝6时，n ＝1,2,3,4,5．则这样的向量a 共有1＋2＋3＋4＋5＝15(个)，而第一次投掷骰子得到的点数m 有6种情形，同样n 也有6种情形，∴不同的向量a ＝(m ，n )，共有6×6＝36个，因此所求概率P ＝1536＝512． 7．(2021·辽宁沈阳高三期末)中国古代十进制的算筹计数法，在数学史上是一个伟大的创造，算筹实际上是一根根同长短的小木棍．如图，是利用算筹表示1～9的一种方法，则据此，3可表示为“≡”，26可表示为“＝⊥”．现有6根算筹，据此表示方法，若算筹不能剩余，则可以表示的两位数的个数为__16__．[解析] 根据题意，6根算筹可以表示的数字组合为1,5；1,9；2,4；2,8；6,4；6,8；3,3；3,7；7,7．数字组合1,5；1,9；2,4；2,8；6,4；6,8；3,7中，每组可以表示2个两位数，则可以表示2×7＝14个两位数；数字组合3,3；7,7中，每组可以表示1个两位数，则可以表示2×1＝2个两位数． 综上，共可以表示14＋2＝16个两位数．三、解答题8.4个人各写一张贺年卡，放在一起，然后每个人取一张不是自己的贺年卡，共有多少种不同取法？[解析] 将该问题转化为“用1,2,3,4四个数字组成无重复数字的四位数，要求1不在个位、2不在十位、3不在百位、4不在千位的四位数有多少个”．因此，可分三步，第一步确定个位数，有3种不同的方法；第二步确定把1放到十位、百位、千位中的任一位上，也有3种不同的方法；第三步，余下的两个数字只有一种方法，由分步乘法计数原理可得不同的分配方法为3×3＝9种．9．如图，一个正方形花圃被分成5份．若给这5个部分种植花，要求相邻两部分种植不同颜色的花，已知现有红、黄、蓝、绿4种颜色不同的花，求有多少种不同的种植方法？[解析]先对A部分种植，有4种不同的种植方法；再对B部分种植，有3种不同的种植方法；对C部分种植进行分类：①若与B相同，D有2种不同的种植方法，E有2种不同的种植方法，共有4×3×1×2×2＝48(种)；②若与B不同，C有2种不同的种植方法，D有1种不同的种植方法，E有2种不同的种植方法，共有4×3×2×1×2＝48(种)；综上所述，共有96种种植方法．。
