江苏省2020高考数学填空题提升练习(10)

2020江苏高考数学填空题 “提升练习”（20）1、若直线1+=kx y 与圆122=+y x 相交于P 、Q 两点，且∠POQ ＝120°， （其中O 为原点），则k 的值为________．2、如图，点(3,4)P 为圆2225x y +=上的一点，点,E F 为y 轴上的两点，PEF ∆是以点P 为顶点的等腰三角形，直线,PE PF 交圆于,D C 两点，直线CD 交y 轴于点A ，则sin DAO ∠的值为________．3. 设数列{a n }的前n 项和为S n ．若{S n }是首项及公比都为2的等比数列，则数列{a n 3}的前n 项和等于________．4．已知△ABC 的外接圆半径为R ，且2R (sin 2A -sin 2Ca-b )sin B (其中 a,b 是角A,B 的对边)，那么∠C 的大小为________． 5．已知a = (cos2α, sin α), b =(1, 2sin α―1), α∈(,ππ2)，若a ·b =52，则tan(α+4π)的值为________．6．若函数f （x ）对于任意的x 都有f （x ＋2）＝f （x ＋1）－f （x ）且f （1）＝lg 3－lg 2，f （2）＝lg 3＋lg 5，则f （2020）＝________．7．已知函数31++-=x x y 的最大值为M ，最小值为m ，则m M的值为______．8．方程033=--m x x 在[0，1]上有实数根，则m 的最大值是 ________．9．若sin α=sin β=,αβ都为锐角,则αβ+=________．10、若函数()cos 2y x φ＝3＋的图像关于点43π⎛⎫⎪⎝⎭，0中心对称，则||ϕ的最小值为____．11、已知数列1}{1=a a n 中，22=a ，当整数1111,2()n n n n S S S S +->+=+时都成立，则=5S ________．12. 在△ABC 中，已知BC=2，1AB AC ⋅=u u u r u u u r,则△ABC 面积的最大值是________．13.已知等差数列{a n }中，有a 11＋a 12＋…＋a 2010＝a 1＋a 2＋…＋a 3030，则在等比数列{b n }中，会有类似的结论：________．14.对任意实数,x y ，定义运算x y ax by cxy *=++，其中,,a b c 是常数，等式右边的运算是通常的加法和乘法运算。

2020届高考数学选择题填空题专项练习（文理通用）15比较大小第I 卷（选择题)一、单选题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（2020·福建高三（理））设12a e-=，24b e -=，12c e -=，323d e -=，则a b c d ,,,的大小关系为（ ） A ．c b d a >>>B ．c d a b >>> C ．c b a d >>>D ．c d b a >>>.【答案】B 【解析】【分析】利用指数幂的运算性质化成同分母，再求出分子的近似值即可判断大小．【详解】3241e a e e ==，2416b e =，222444e c e e==，249e d e =，由于 2.7e ≈，27.39e ≈，320.09e ≈，所以c d a b >>>，故选：B ．【点睛】本题主要考查比较幂的大小，属于基础题．2．（2020·湖南高三学业考试）10名工人某天生产同一零件，生产的件数是15，17，14，10，15，17，17，16，14，12.设其平均数为a ，中位数为b ，众数为c ，则有（ ）.A ．a b c >>B ．c b a >>C ．c a b >>D ．b c a >>【答案】B 【解析】【分析】根据所给数据，分别求出平均数为a ，中位数为b ，众数为c ，然后进行比较可得选项. 【详解】1(15171410151717161412)14.710a =+++++++++=，中位数为1(1515)152b =+=，众数为=17c .故选：B.【点睛】本题主要考查统计量的求解，明确平均数、中位数、众数的求解方法是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.3.（2020·四川省泸县第二中学高三月考（文））已知3log 6p =，5log 10q =，7log 14r =，则p ，q ，r 的大小关系为（ ）A ．q p r >>B ．p r q >>C ．p q r >>D ．r q p >>【答案】C 【解析】【分析】利用对数运算的公式化简,,p q r 为形式相同的表达式，由此判断出,,p q r 的大小关系.【详解】依题意得31+log 2p =，51log 2q =+，71log 2r =+，而357log 2log 2log 2>>，所以p q r >>.【点睛】本小题主要考查对数的运算公式，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.4. （2020·四川省泸县第四中学高三月考（理））设｛a n ｝是等比数列，则“a 1＜a 2＜a 3”是数列｛a n ｝是递增数列的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件、C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】1212311101a a a a a a q a q q >⎧<<⇒<<⇒⎨>⎩或1001a q <⎧⎨<<⎩，所以数列｛a n ｝是递增数列,若数列{a n }是递增数列，则“a 1＜a 2＜a 3”，因此“a 1＜a 2＜a 3”是数列｛a n ｝是递增数列的充分必要条件，选C5．（2020·四川棠湖中学高三月考（文））设log a =log b =，120192018c =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）．A ．a b c >>B ．a c b >>C ．c a b >>D ．c b a >>【答案】C 【解析】【分析】根据所给的对数式和指数式的特征可以采用中间值比较法，进行比较大小.【详解】因为20182018201811log 2018log log ,2a =>=>=201920191log log ,2b ==102019201820181c =>=，故本题选C.【点睛】本题考查了利用对数函数、指数函数的单调性比较指数式、对数式大小的问题.6．（2020·北京八十中高三开学考试）设0.10.134,log 0.1,0.5a b c ===，则 （ ）A ．a b c >>B ．b a c >>C ．a c b >>D ．b c a >>【答案】C 【解析】0.10.1341,log 0.10,00.51a b c =>=<<=<，a c b ∴>>，故选C 。

1第六关 以数列为背景的填空题(解析版)【名师综述】数列是高中数学的重要知识，是高中数学中等价转化思想的典型体现．近年来，高考对数列的命题，既充分体现自身知识结构体系的命题形式多样化，又保持与函数或不等式相结合的命题思路，呈现出“综合应用，融会贯通”的特色，充分彰显利用数列考查数学能力的价值． 类型一 以数列为载体考查数学思想与方法典例1．【2020江苏常州溧阳期中考试】设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，12m S -=-，0m S =，13m S +=．其中*m N ∈且2m ≥，则m =______．【答案】5 【解析】【分析】设等差数列的()n An n m S =-，再由12m S -=-，13m S +=，列出关于m 的方程组，从而得到m ．【详解】因为0m S =，故设()n An n m S =-，因为12m S -=-，13m S +=，(1)(1)2,(1)13A m A m -⋅-=-⎧∴⎨+⋅=⎩，12,513m m m -∴==+，故答案为：5． 【名师点睛】本题考查等差数列前n 项和公式的灵活运用，考查从函数的角度认识数列问题，求解时要充分利用等差数列的前前n 项和公式必过原点这一隐含条件，从而使问题的计算量大大减少．【举一反三】已知等差数列的通项公式为，前项和为，若不等式恒成立，则的最小值为__________． 【答案】【解析】由题可知： 恒成立，即{}n a n a n =n n S ()()2*13222Nn n S M n a a n ++≤+∈M 6259()()()()()2112232222n n n n n S Mn n +++=⇒≤++2恒成立，设t=n+1，则，因为函数在，，所以，所以M 的最小值是． 类型二 综合考查数列性质典例2．【2020江苏盐城上学期期中考试】若数列{}n a 满足121a a ==，32a =，则数列{}1n n a a +⋅是等比数列，则数列{}n a 的前19项和的值为________．【答案】1534【解析】由于121a a ==，32a =，则数列{}1n n a a +⋅是等比数列，而12231,2a a a a ==，所以17344518194,8,,2a a a a a a ===L ，由此求得456782,4,8a a a a a =====，91011121314151616,32,64,128a a a a a a a a ========，171819256,512a a a ===，所以数列{}n a 的前19项和为11222562565121534+++++++=L ，故答案为：1534．【名师点睛】本小题主要考查根据等比数列求数列的项，考查列举法找数列的规律，属于基础题． 【举一反三】数列为单调递增数列，且 ，则的取值范围是__________．【答案】 【解析】要使数列为单调递增数列，则．当n <4时，必须单调递增，∴2t －3>0，即t >．①．当n ≥4时，也必须单调递增，∴t >1 ②另外，由于这里类似()()1322n Mn n +≤++()()()()21131322311323132n t t n n t t t t t t+===++++++++31t t+(∞）递增()()5667565,6565f f ==<311259324366t t ++≥=6259{}n a ()23814,4,{ log ,4n t t n t n a n n --+<=≥*t N ∈t 3,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭{}n a 123a a a <<<⋅⋅⋅()23814n a t n t =--+32log n t a n =3于分段函数的增减性，因而，即3(2t －3)－8t ＋14<，化简得＋2t>5；③当时，＋2t >5；当时，＋2t >5；当时，＋2t >5，故③式对任意恒成立，综上，解的取值范围是．类型三 以生成数列为研究对象考查数学能力 典例3．定义nP 1+P 2+．．．+P n 为n 个正数P 1，P 2，．．．，P n 的“均倒数”．若已知数列{a n }的前n 项的“均倒数”为12n+3，又b n =a n +12，则1b 1b 2+1b 2b 3+．．．+1b 9b 10=________．【答案】17【解析】因为数列{a n }的前n 项的“均倒数”为12n+3，所以na1+a 2+⋯+a n=12n+3∴a 1+a 2+⋯+a n =n(2n +3)，当n ≥2时a 1+a 2+⋯+a n -1=(n −1)(2n +1)，作差得a n =4n +1，因为a 1=1×(2×1+3)=5=4×1+1，所以a n =4n +1，b n =a n +12=2n +1，1b 1b 2+1b 2b 3+⋯+1b 9b 10=13×5+15×7+⋯+119×21=12(13−15+15−17+⋯+119−121)=12(13−121)=17．【名师点睛】裂项相消法是指将数列的通项分成两个式子的代数和的形式，然后通过累加抵消中间若干项的方法，裂项相消法适用于形如{c a n a n+1} (其中{a n }是各项均不为零的等差数列，c 为常数)的数列．裂项相消法求和，常见的有相邻两项的裂项求和(如本例)，还有一类隔一项的裂项求和，如1(n+1)(n+3)或1n(n+2)．典例4．【2020江苏丹靖沭10月联考】已知列{}n a 和{}n b ，其中2n a n =，n *∈N ，{}n b 的项是互不相等的正整数，若对于任意n *∈N ，{}n b 的第n a 项等于2n a n =的第n b 项，则()()149161234lg lg b b b b b b b b =___________．【答案】2【解析】{}n b 的第n a 项等于2n a n =的第n b 项即说明22n n a b n n b a b b =⇒=，当1n =时，211b b =；当2n =时，242b b =；当3n =时，293b b =；当4n =时，2164b b =；34a a <log 4t log 4t 322t <≤log 4t 522t <≤log 4t 52t >log 4t 32t >t 3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭4所以()()()221491612341491612341234=lg lg 2lg b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b ⇒==，即()()149161234lg 2lg b b b b b b b b =，故填2．【举一反三】已知为数列的前项和，且，若，，给定四个命题①；②；③；④． 则上述四个命题中真命题的序号为____．【答案】②④【解析】构造函数为奇函数，且单调递增，依题意有又，故数列为等差数列，且公差故故①错误；故②正确；由题意知若，则而此时，不成立，故③错误； ，故④成立．即答案为②④．【精选名校模拟】1．【2020江苏昆山调研】正项等差数列{}n a 中，31a =，则2413a a +的最小值为______．【答案】2【解析】由题得24322a a a +==，n S {}n a n ()*112,2m m m a a a m N m -+=+∈≥()()()53222220172201822018a a a -+-+-=()()()53201720172017220172201822018a a a -+-+-=20174034S =20184036S =20172S S <201720a a -<()()5320172018,f x x x x f x =++Q ()()()()22017220172201722018.22018,220,4f a f a f a f a a a -=-=-∴-+-=∴+=()*112,2m m m a a a m N m -+=+∈≥{}n a 0,d ≠()120172017201820172017,4034,2a a a a S +≠=≠()()12018220172018201820184036,22a a a a S ++===()22017201720182018112122,2,0,403644032,,a a d S S a a a S a a ><∴<=-=--=+=+20172S S <24032,a >()()()53222220172201822018a a a -+-+-=220172,2,a a ><∴Q 201720a a -<5所以2424242413131131=()2()()22a a a a a a a a ++⨯⨯=+⨯+⨯=4224131(4)(4222a a a a =++≥+=当且仅当241,3a a =时取等，所以最小值为2+，故答案为：2+．2．【2020江苏昆山调研】设数列{}n a 的前n 项和为n S 满足2141n n S S n ++=+（n *∈N ），若1n n a a +<，n *∈N ，则12a a ⨯的取值范围为______．【答案】253,8⎛⎤- ⎥⎝⎦【解析】【分析】因为2141n n S S n ++=+，214(1)1n n S S n -+=-+，(2)n …把上面的两式相减得，184n n a a n ++=-，18(1)4n n a a n -+=--，(3)n …再把这两个等式相减，得118n n a a +--=，(3)n …，所以数列{}n a 的偶数项是以8为公差的等差数列，从第三项起也是以8为公差的等差数列．若1n n a a +<，*n N ∈恒成立，当且仅当1234a a a a <<<，解得，11322a -<<，即可求出答案．【详解】因为2141n n S S n ++=+，214(1)1n n S S n -+=-+，(2)n …把上面的两式相减得，184n n a a n ++=-，18(1)4n n a a n -+=--，(3)n … 再把这两个等式相减，得118n n a a +--=，(3)n …所以数列{}n a 的偶数项是以8为公差的等差数列，从第三项起也是以8为公差的等差数列． 若1n n a a +<，*n N ∈恒成立，当且仅当1234a a a a <<<，又125a S +=，所以2152a a =-， 所以3211272a a a =-=+，41132a a =-，所以11115272132a a a a <-<+<-，解得，11322a -<<，2121111(52)25a a a a a a =-=-+，113()22a -<<，所以12(3a a ∈-，25]8，故答案为：(3-，25]8．3．【2020江苏苏州五校联考】设公比不为1的等比数列{}n a 满足1231a a a =-，且2a ，4a ，3a 成等差数列，则数列{}n a 的前4项和为______．6【答案】54【解析】由等比数列的性质可知312321a a a a ==-，21a ∴=-，243,,a a a Q 成等差数列，4232a a a ∴=+，22222a q a a q =+，2210q q ∴--=，解得：1q =（舍）或12q =-， 212a a q ∴==，()4414121121112a q S q⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭==-⎛⎫-- ⎪⎝⎭54=，故答案为：54． 4．【2020江苏盐城中学月考】已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，11132S =，6930a a +=，则12a 的值为____． 【答案】24【解析】因为11132S =，所以，11111()2a a +＝132，即116a ＝132，所以，6a ＝12， 又6930a a +=，所以，9a ＝18，因为61292a a a +=，所以，可求得：12a ＝24．5．【2020江苏常州溧阳期中考试】中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其大意为：“有一个人要走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．”则该人第五天走的路程为______里． 【答案】12【解析】设这个人每天走的路程构成等比数列{}n a ，则61378,2S q ==， 所以661161[1()](1)23781112a a q S q --===--，解得：1192a =，所以44511192()122a a q ==⋅=． 故答案为：12．76．【2020江苏沭阳修远中学月考】在公差d 不为零的等差数列{a n }中，a 1，a 3，a 9成等比数列，则1a d的值为_______． 【答案】1【解析】设等差数列{a n }的公差为d ≠0，∵a 1，a 3，a 9成等比数列，∴23a =a 1•a 9，∴（a 1+2d ）2＝a 1×（a 1+8d ），解得d ＝a 1，∴11a d=，故答案为1． 7．【2020江苏淮阴中学上学期期中】已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ．若9362S S S =+，则631S S +取得最小值时，9S 的值为_______．【解析】由9362S S S =+，得：q≠1，所以936111(1)(1)(1)2111a q a q a q q q q---=+---，化简得：936112(1)q q q -=-+-，即963220q q q --+=，即63(1)(2)0q q --=，得32q =，化简得631S S +＝6131(1)11(1)a q qq a q --+--＝11311a q q a -+≥-，当11311a q q a -=-，即1a =时，631S S +取得最小值，所以919(1)1a q S q -==-9(1)1q q --＝3，故答案为：3．8．【2020江苏淮安四校联考】若等比数列{}n a 的前n 项和12n n S c +=+，则c =______．【答案】2-【解析】Q 等比数列{}n a 的前n 项和12n n S c +=+，则114a S c ==+．当2n ≥且n *∈N ，()()11122222n n n n n n n n a S S c c ++-=-=+-+=-=．14a c =+适合2n n a =，则42c +=，解得2c =-，故答案为：2-．9．【2020江苏淮安四校联考】《算法统宗》中有如下问题：“哑子来买肉，难言钱数目，一斤少三十，八两8多十八，试问能算者，合与多少肉”，意思是一个哑子来买肉，说不出钱的数目，买一斤（两）还差30文钱，买八两多十八文钱，求肉数和肉价，则该问题中，肉价是每两__________文． 【答案】6【解析】设肉价是每两x 文，由题意得1630818x x -=+，解得6x =，即肉价是每两6文．10．【2020江苏南通调研】已知等比数列{}n a 的各项均为正数，若32a =，则152a a +的最小值为_____．【答案】【解析】由题意可得，0q >，10a >，2312a a q ==Q ，122a q ∴=， 42151122224a a a a q q q ∴+=+=+2224q q =+≥=2224q q =即142q -=时取等号，故答案为．11．【2020江苏苏州上学期期中考】等比数列{}n a 中，11a =，48a =，n S 是{}n a 的前n 项和，则5S =_________． 【答案】31【解析】设等比数列{}n a 的公比为q ，11a =，48a =，3418a q a ∴==，解得2q =，则前5项和55213121S -==-，故答案为：31．12．【2020江苏苏州上学期期中考】已知各项都为正数的等差数列{}n a 中，53a =，则37a a 的最大值为_________． 【答案】9【解析】依题意，等差数列{}n a 各项都为正数，所以370,0a a >>，所以()223737592a a a a a +⎛⎫≤== ⎪⎝⎭，当且仅当373a a ==时等号成立，故答案为：9． 13．【2020江苏苏州上学期期中考】在等比数列{}n a 中，已知11a =-，427a =，则5a =______．9【答案】-81【解析】由题意341a a q =，3271q =-⨯，3q =-，∴5427(3)81a a q ==⨯-=-，故答案为－81．14．【2020江苏无锡上学期期中考】若数列{}n a 和{}n b 满足21n n b a =-，{}25,9,7,15,35n b ∈---，且数列{}n a 中存在三个数经过适当排列后可以构成公比为()1q q <的等数列，则q =______． 【答案】23-【解析】{}2125,9,7,15,35n n b a =-∈---，则{}12,4,3,8,18n a ∈---， ∵()212818-=⨯，n a 可取18，-12，8这三项，122183q -==-．故答案为23-．15．【2020江苏南京溧水区月考】已知{}n a 是公差不为0的等差数列，n S 是其前n 项和．若2345a a a a =，927S =，则1a 的值是____．【答案】5-．【解析】设等差数{}n a 的公差为()d d ≠0，因为2345a a a a =，927S =，所以11111()(2)(3)(4)989272a d a d a d a d a d ++=++⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩， 解得15,2a d =-=，故答案为：5-．16．【2020江苏镇江八校联考】已知n S 是等比数列{}n a 前n 项和，若11a =，3520a a +=，则84S S =_________． 【答案】17【解析】设等比数列{}n a 的公比为q ，依题意，2424351120a a a q a q q q +=+=+=，解得24q =，或25q =-（舍去），48444(1)17S q S S S +==，故答案为：17． 17．【2020江苏南京海门泗阳联考】已知等差数列{}n a 的公差为2﹣，且245a a a ，，成等比数列，则245a a a ，，10的公比为_____．【答案】12【解析】等差数列{}n a 的公差d 为2﹣，且245,,a a a 成等比数列，可得2425a a a ＝，即()()()211134a d a d a d +=++，即()()()2111628a a a -=--， 解得110a =，则245,,a a a 的公比为4210611022a a -==-，故答案为：12． 18．【2020江苏盐城上学期期中考】设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若35S S =，且公差d 0≠，则1a d的值为________． 【答案】72-【解析】由于数列{}n a 是等差数列，所以1133510a d a d +=+，即127a d =-，由于0d ≠，所以172a d =-． 故答案为：72-． 19．【2020江苏常州上学期期中考试】已知在等差数列{}n a 中，若34515a a a ++=，则1267a a a a ++++=L ________．【答案】35【解析】由等差数列的性质得，3454415=35a a a a a ++=⇒=， ∴1267a a a a ++++=L 7a 4＝35，故答案为：35．20．【2020江苏常州上学期期中考试】已知数列{}n a 是等比数列，有下列四个命题：①数列{}n a 是等比数列；②数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等比数列；③数列(){}2lg na 是等比数列；④数列{}1n n a a+⋅是等比数列．11其中正确命题的序号为________． 【答案】①②④【解析】由{a n }是等比数列可得1nn a a -=q （q 为常数，q ≠0）， ①11n n n n a a a a --==|q |为常数，故是等比数列；11111n n n n a a a q a --==②常数，故是等比数列；③数列a n ＝1是等比数列，但是lga n 2＝0不是等比数列；④1111n n n n n n a a a a a a ++--==q 2为常数，故是等比数列；故答案为：①②④．21．【2020江苏南京9月调研】等差数列｛n a ｝的前n 项和记为n S ，已知147a a a ++＝99，258a a a ++＝93，若存在正整数k ，使得对任意n *N ∈，都有n k S S ≤恒成立，则k 的值为_______． 【答案】20【解析】因为1474399a a a a ++==，所以433a =；因为2585393a a a a ++==，所以531a =； 则5431332d a a =-=-=-，14339a a d =-=， 所以221(1)40(20)4002n n n S a n d n n n -=+=-+=--+，则20n =时，n S 有最大值，即20k =． 22．【2020江苏泰州中学开学考试】已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足12,a =-2S 是34,S S 的等差中项．设m 是整数，若存在N n +∈，使得等式3(1)402n n n S a m a m ++⋅+=成立，则m 的最大值是________． 【答案】16【解析】因为2S 是34,S S 的等差中项，所以34243234322222S S S S S S S a a q +=⇒-=-⇒=-⇒=-，所以()2nn a =-，()1223n n S +---=，12所以等式()31402n n n S a m a m ++⋅+=，化为：()()22240n n m ⎡⎤-+-+=⎣⎦，因此()()()()2216242424nn n nm --==--+-+-+， 因为m 为整数，所以()24161,2,3nn -+≤⇒=， 当1n =时，2482m m -=--+⇒=-； 当2n =时，164428m m -=-+⇒=-； 当3n =时，1684164m m -=--+⇒=-． 从而m 的最大值是16．13第六关 以数列为背景的填空题（原卷版）【名师综述】数列是高中数学的重要知识，是高中数学中等价转化思想的典型体现．近年来，高考对数列的命题，既充分体现自身知识结构体系的命题形式多样化，又保持与函数或不等式相结合的命题思路，呈现出“综合应用，融会贯通”的特色，充分彰显利用数列考查数学能力的价值． 类型一 以数列为载体考查数学思想与方法典例1．【2020江苏常州溧阳期中考试】设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，12m S -=-，0m S =，13m S +=．其中*m N ∈且2m ≥，则m =______．【举一反三】已知等差数列的通项公式为，前项和为，若不等式恒成立，则的最小值为__________．类型二 综合考查数列性质典例2．【2020江苏盐城上学期期中考试】若数列{}n a 满足121a a ==，32a =，则数列{}1n n a a +⋅是等比数列，则数列{}n a 的前19项和的值为________．【举一反三】数列为单调递增数列，且 ，则的取值范围是__________．类型三 以生成数列为研究对象考查数学能力 典例3．定义nP 1+P 2+．．．+P n 为n 个正数P 1，P 2，．．．，P n 的“均倒数”．若已知数列{a n }的前n 项的“均倒数”为12n+3，又b n =a n +12，则1b1b 2+1b2b 3+．．．+1b9b 10=________．{}n a n a n =n n S ()()2*13222Nn n S M n a a n ++≤+∈M {}n a ()23814,4,{ log ,4n t t n t n a n n --+<=≥*t N ∈t14典例4．【2020江苏丹靖沭10月联考】已知列{}n a 和{}n b ，其中2n a n =，n *∈N ，{}n b 的项是互不相等的正整数，若对于任意n *∈N ，{}n b 的第n a 项等于2n a n =的第n b 项，则()()149161234lg lg b b b b b b b b =___________．【举一反三】已知为数列的前项和，且，若，，给定四个命题①；②；③；④． 则上述四个命题中真命题的序号为____．【精选名校模拟】1．【2020江苏昆山调研】正项等差数列{}n a 中，31a =，则2413a a +的最小值为______．2．【2020江苏昆山调研】设数列{}n a 的前n 项和为n S 满足2141n n S S n ++=+（n *∈N ），若1n n a a +<，n *∈N ，则12a a ⨯的取值范围为______．n S {}n a n ()*112,2m m m a a a m N m -+=+∈≥()()()53222220172201822018a a a -+-+-=()()()53201720172017220172201822018a a a -+-+-=20174034S =20184036S =20172S S <201720a a -<153．【2020江苏苏州五校联考】设公比不为1的等比数列{}n a 满足1231a a a =-，且2a ，4a ，3a 成等差数列，则数列{}n a 的前4项和为______．4．【2020江苏盐城中学月考】已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，11132S =，6930a a +=，则12a 的值为____．5．【2020江苏常州溧阳期中考试】中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其大意为：“有一个人要走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．”则该人第五天走的路程为______里．6．【2020江苏沭阳修远中学月考】在公差d 不为零的等差数列{a n }中，a 1，a 3，a 9成等比数列，则1a d的值为_______．7．【2020江苏淮阴中学上学期期中】已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ．若9362S S S =+，则631S S +取得最小值时，9S 的值为_______．8．【2020江苏淮安四校联考】若等比数列{}n a 的前n 项和12n n S c +=+，则c =______．9．【2020江苏淮安四校联考】《算法统宗》中有如下问题：“哑子来买肉，难言钱数目，一斤少三十，八两多十八，试问能算者，合与多少肉”，意思是一个哑子来买肉，说不出钱的数目，买一斤（两）还差30文钱，买八两多十八文钱，求肉数和肉价，则该问题中，肉价是每两__________文．10．【2020江苏南通调研】已知等比数列{}n a 的各项均为正数，若32a =，则152a a +的最小值为_____．1611．【2020江苏苏州上学期期中考】等比数列{}n a 中，11a =，48a =，n S 是{}n a 的前n 项和，则5S =_________．12．【2020江苏苏州上学期期中考】已知各项都为正数的等差数列{}n a 中，53a =，则37a a 的最大值为_________．13．【2020江苏苏州上学期期中考】在等比数列{}n a 中，已知11a =-，427a =，则5a =______．14．【2020江苏无锡上学期期中考】若数列{}n a 和{}n b 满足21n n b a =-，{}25,9,7,15,35n b ∈---，且数列{}n a 中存在三个数经过适当排列后可以构成公比为()1q q <的等数列，则q =______．15．【2020江苏南京溧水区月考】已知{}n a 是公差不为0的等差数列，n S 是其前n 项和．若2345a a a a =，927S =，则1a 的值是____．16．【2020江苏镇江八校联考】已知n S 是等比数列{}n a 前n 项和，若11a =，3520a a +=，则84S S =_________．17．【2020江苏南京海门泗阳联考】已知等差数列{}n a 的公差为2﹣，且245a a a ，，成等比数列，则245a a a ，，的公比为_____．18．【2020江苏盐城上学期期中考】设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若35S S =，且公差d 0≠，则1a d的值为________．1719．【2020江苏常州上学期期中考试】已知在等差数列{}n a 中，若34515a a a ++=，则1267a a a a ++++=L ________．20．【2020江苏常州上学期期中考试】已知数列{}n a 是等比数列，有下列四个命题：①数列{}n a 是等比数列；②数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等比数列；③数列(){}2lg na 是等比数列；④数列{}1n n a a+⋅是等比数列．其中正确命题的序号为________．21．【2020江苏南京9月调研】等差数列｛n a ｝的前n 项和记为n S ，已知147a a a ++＝99，258a a a ++＝93，若存在正整数k ，使得对任意n *N ∈，都有n k S S ≤恒成立，则k 的值为_______．22．【2020江苏泰州中学开学考试】已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足12,a =-2S 是34,S S 的等差中项．设m 是整数，若存在N n +∈，使得等式3(1)402n n n S a m a m ++⋅+=成立，则m 的最大值是________．。

2020年最新绝密★启用前2020年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数 学参考公式：样本数据1x ，2x ，，n x 的标准差锥体体积公式222121[()()()]n s x x x x x x n=-+-++-13V Sh =其中x 为样本平均数 其中S 为底面面积、h 为高柱体体积公式 球的表面积、体积公式V Sh =24πS R =，34π3V R =其中S 为底面面积，h 为高 其中R 为球的半径一、填空题：本大题共1小题，每小题5分，共70分． 1.)6cos()(πω-=x x f 最小正周期为5π，其中0>ω，则=ω 2.一个骰子连续投2次，点数和为4的概率3.),(11R b a bi a ii∈+-+表示为，则b a += 4.{}73)1(2-<-=x x x A ，则A Z 的元素的个数 5.b a ,的夹角为120，,3,1==b a 则=-b a 56在平面直角坐标系xoy 中，设D 是横坐标与纵坐标的绝对值均大于2的点构成的区域，E 是到原点的距离不大于1的点构成的区域，向D 中随机投一点，则落入E 中的概率7. 某地区为了解70~80岁老人的日平均睡眠时间（单位：h ）， 随机选择了50位老人进行调查。

下表是这50位老人日睡眠时间的 频率分布表。

序号 （i ） 分组 （睡眠时间） 组中值（i G ） 频数 （人数） 频率 （i F ） 1 [4,5) 4.5 6 0.12 2 [5,6) 5.5 10 0.20 3 [6,7) 6.5 20 0.40 4 [7,8) 7.5 10 0.20 5[8,9) 8.5 4 0.08在上述统计数据的分析中，一部分计算算法流程图，则输出的S 的值是 。

8.直线b x y +=21是曲线)0(ln >=x x y 的一条切线，则实数b= ▲ 9.在平面直角坐标系中，设三角形ABC 的顶点分别为)0,(),0,(),,0(c C b B a A ，点P （0，p ）在线段AO 上（异于端点），设p c b a ,,,均为非零实数，直线CP BP ,分别交AB AC ,于点F E ,，一同学已正确算的OE 的方程：01111=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫⎝⎛-y a p x c b ，请你求OF 的方程： 10.将全体正整数排成一个三角形数阵：1 2 3 4 5 6 7 8 9 10。

新高考数学复习考点知识与题型专题练习专题10 幂函数与二次函数一、选择题1．（2020·上海高一课时练习）下列函数中，既是偶函数，又在(,0)-∞上单调递增的函数是( )A ．2y x -=- B ．23y x =- C ．13y x =-D ．3y x -=【答案】B【解析】A: 2y x -=-为偶函数，且在()0,∞+上递增，即2y x -=-在(,0)-∞上单调递减，排除；B: 23y x =-为偶函数，在(,0)-∞上单调递增； C: 13y x =-为奇函数，故排除； D: 3y x -=为奇函数，故排除. 故选:B.2．（2020·石嘴山市第三中学高二月考（文））幂函数()221()21m f x m m x -=-+在()0,∞上为增函数，则实数m 的值为（ ）A ．0B ．1C ．1或2D ．2【答案】D【解析】由题意()f x 为幂函数，所以2211m m -+=，解得0m =或2m =. 因为()f x 在()0,∞上为增函数，所以210m ->，即12m >，所以2m =. 故选D.3．（2020·上海高一课时练习）下面是有关幂函数3()-=f x x 的四种说法，其中错误的叙述是( )A ．()f x 的定义域和值域相等B ．()f x 的图象关于原点中心对称C ．()f x 在定义域上是减函数D ．()f x 是奇函数【答案】C【解析】3()-=f x x ，函数的定义域和值域均为()(),00,-∞⋃+∞，A 正确；3()-=f x x ，()()33()f x x x f x ---=-=-=-，函数为奇函数，故BD 正确；()f x 在(),0-∞和()0,∞+是减函数，但在()(),00,-∞⋃+∞不是减函数，C错误. 故选：C.4.（2019·河北武邑中学高三月考（文））已知幂函数y =f(x)的图象通过点(2,2√2)，则该函数的解析式为（ ）A ．y =2x 12B ．y =x 12C ．y =x 32D ．y =12x 52【答案】C【解析】设幂函数的解析式为y =x a .∵幂函数y =f(x)的图象过点(2,2√2) ∴2√2=2a ∴a =32∴该函数的解析式为y =x 32故选C.5.（2019·福建高三期中（文））已知a =245，b =2515，c =427，则( ) A ．b <a <c B ．a <c <b C ．c <b <a D ．c <a <b【答案】D【解析】a =245=[(2)4]15=1615，b =2515，y =x 15在(0,+∞)递增，则a <b ，又a =245，c =427=247，y =2x 在R 上递增且45>47，则a >c ，所以c <a <b ，故选D.6．（2019·安徽省合肥一中高三其他（文））已知幂函数()nf x x =的图象过点18,4⎛⎫⎪⎝⎭，且()()13f a f +<，则a 的取值范围是（ ）A ．()4,2-B ．()(),42,-∞-+∞C ．(),4-∞-D ．2,【答案】B【解析】已知幂函数()n f x x =的图象过点18,4⎛⎫ ⎪⎝⎭，则184n=，则812log 43n ==-，故幂函数()f x 的解析式为()23f x x -=，若()()13f a f +<，则13a +>，解得4a或2a >.故选：B.7．（2020·上海高一课时练习）若幕函数()f x 的图像经过点1,42⎛⎫⎪⎝⎭，则该函数的图像（ ）A ．关于x 轴对称B ．关于y 轴对称C ．关于原点对称D ．关于直线y x =对称【答案】B【解析】设()f x x α=，依题意可得1()42α=，解得2α=-， 所以2()f x x -=，因为22()()()f x x x f x ---=-==， 所以()f x 为偶函数，其图象关于y 轴对称.故选：B.8．（2019·延安市第一中学高三月考（文））已知幂函数()f x x α=的图像过点1(2，则方程()2f x =的解是（ ）A ．4B ．2C ．2D ．12【答案】A【解析】依题意得1()22α=，解得12α=，所以12()f x x =，由()2f x =得122x =，解得4x =.故选：A.9.（2019·石嘴山市第三中学高三高考模拟（文））已知点(2,8)在幂函数f(x)=x n 的图象上，设a =f (√33),b =f(lnπ),c =f (√22)，则a,b,c 的大小关系为（ ）A ．b <a <cB ．a <b <cC ．b <c <aD ．a <c <b【答案】D【解析】由题可得：8=2n ，解得：n =3所以f (x )=x 3因为√33<1，√22<1，ln π>lne =1.又√33−√22=2√3−3√26=√12−√186<0，所以√33<√22<lnπ由f (x )=x 3在R 上递增，可得：f (√33)<f (√22)<f (lnπ).所以a <c <b .故选：D10．（2020·上海高三专题练习）设函数21(),()(,,0)f x g x ax bx a b R a x==+∈≠，若()y f x =的图象与()y g x =图象有且仅有两个不同的公共点1122(,),(,)A x y B x y ,则下列判断正确的是A ．当0a <时，12120,0x x y y +<+>B ．当0a <时，12120,0x x y y +>+<C ．当0a >时，12120,0x x y y +<+<D ．当0a >时，12120,0x x y y +>+>【答案】B【解析】令()()f x g x =,可得21ax b x=+． 设21(),F x y ax b x ==+ 根据题意()F x 与直线y ax b =+只有两个交点，不妨设12x x <，结合图形可知，当0a >时如右图，y ax b =+与()F x 左支双曲线相切，与右支双曲线有一个交点，根据对称性可得12||x x >，即120x x ->>，此时120x x +<，21122111,0y y y y x x =>=-∴+>-， 同理可得，当0a <时如左图，120x x +>，120y y +<故选：B ．二、多选题11．（2019·福建省厦门双十中学高一期中）黄同学在研究幂函数时，发现有的具有以下三个性质：①奇函数；②值域是{|,0}y y R y ∈≠且；③在(),0-∞上是减函数.则以下幂函数符合这三个性质的有（ ）A ．2()f x x =B ．()f x x =C ．1()f x x -=D ．13()f x x -=E.23()f x x -= 【答案】CD【解析】A. 2()f x x =，为偶函数，排除；B. ()f x x =，值域为R ，排除；C. 1()f x x -=，为奇函数，值域为{|,0}y y R y ∈≠且，在(),0-∞上是减函数，满足；D. 13()f x x -=，为奇函数，值域为{|,0}y y R y ∈≠且，在(),0-∞上是减函数，满足；E. 23()f x x -=，为偶函数，排除； 故选：CD .12．（2020·全国高一课时练习）已知实数a ，b 满足等式1132a b =，则下列五个关系式中可能成立的是（ ）A ．01b a <<<B ．10a b -<<<C ．1a b <<D ．10b a -<<<E.a b =【答案】ACE【解析】画出12y x =与13y x =的图象（如图），设1132a b m ==，作直线y m =.从图象知，若0m =或1，则a b =；若01m <<，则01b a <<<；若1m ；则1a b <<.故其中可能成立的是ACE .故选：ACE13．（2020·新泰市第二中学高二月考）已知函数()f x x α=图像经过点(4,2)，则下列命题正确的有（ ）A ．函数为增函数B ．函数为偶函数C ．若1x >，则()1f x >D ．若120x x <<，则()()121222f x f x x x f ++⎛⎫< ⎪⎝⎭.【答案】ACD【解析】将点(4,2)代入函数()f x x α=得：2=4α，则1=2α. 所以12()f x x =，显然()f x 在定义域[0,)+∞上为增函数，所以A 正确.()f x 的定义域为[0,)+∞，所以()f x 不具有奇偶性，所以B 不正确.当1x >1>，即()1f x >，所以C 正确.当若120x x <<时，()()122212()()22f x f x x x f ++-=22-.122x x +-.=0<.即()()121222f x f x x x f ++⎛⎫< ⎪⎝⎭成立，所以D 正确.故选：ACD.14．（2020·河北新乐市第一中学高二月考）已知函数229,1()4,1x ax x f x x a x x ⎧-+≤⎪=⎨++>⎪⎩，若()f x 的最小值为(1)f ，则实数a 的值可以是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】BCD【解析】当1x >,4()4f x x a a x=++≥+,当且仅当2x =时,等号成立；当1x ≤时,2()29f x x ax =-+为二次函数,要想在1x =处取最小,则对称轴要满足1x a =≥,且(1)4f a ≤+, 即1294a a -+≤+,解得2a ≥, 故选:BCD三、填空题15．（2020·上海高一课时练习）若0,m n k Q <<∈且k 0<，则1km ⎛⎫ ⎪⎝⎭与1kn ⎛⎫ ⎪⎝⎭的大小关系是_________．【答案】11kkm n ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【解析】因为0m n <<所以110m n>>由因为函数k y x =，(),0k Q k ∈<在()0,∞+上单调递减，所以11kkm n ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故答案为：11kkm n ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭16．（2018·山西康杰中学高考模拟（文））幂函数f(x)=(m 2−3m +3)x m的图象关于y 轴对称，则实数m ＝_______.【答案】2【解析】函数f （x ）=（m 2﹣3m+3）x m是幂函数，∴m 2﹣3m+3=1，解得m=1或m=2；当m=1时，函数y=x 的图象不关于y 轴对称，舍去；当m=2时，函数y=x 2的图象关于y 轴对称；∴实数m=2．故答案为：2．17.（2020·上海高三二模）已知1112,1,,,,1,2,3232 α⎧⎫⎨∈--⎩-⎬⎭.若函数()f x x α=在()0,∞+上递减且为偶函数，则α=________.【答案】2-【解析】由题可知，1112,1,,,,1,2,3232α⎧⎫⎨∈--⎩-⎬⎭，且函数()f x x α=在()0,∞+上递减且为偶函数，可知0α<，所以α的可能值为2-，1-，12-，当2α=-时，函数()()2210f x x x x-==≠， 由于()()()2211f x f x x x -===-，则()f x 为偶函数，符合题意； 当1α=-时，函数()()110f x x x x-==≠，由于()()()11f x f x x x-==-=--，则()f x 奇函数，不符合题意； 当12α=-时，函数()12f x x -==，此时()f x 的定义域()0,∞+，所以()f x 为非奇非偶函数，不符合题意；综上可知，满足题意的2α=-. 故答案为：2-.18．（2020·浙江省高三其他）已知幂函数()y f x =的图象过点3,3⎛ ⎝⎭，则此函数的解析式为________；在区间________上单调递减．【答案】()12f x x -= (0,)+∞ 【解析】设()f x x α=，代入⎛ ⎝⎭得()33f α==，解得12α=-，所以此函数的解析式为()12f x x -=．函数()y f x =在定义域内单调递减，故单调递减区间为(0,)+∞．故答案为：()12f x x -=；(0,)+∞.19．（2015·浙江省高考真题（文））已知函数()2,1{ 66,1x x f x x x x≤=+->，则()2f f ⎡⎤-=⎣⎦ ， ()f x 的最小值是 ．【答案】162-【解析】如图根据所给函数解析式结合其单调性作出其图像如图所示，易知()()min 12,62f f f x f ⎡⎤-=-==⎣⎦.20．（2019·北京高三二模（理））已知函数2221,30,()2,0 3.x x a x f x x x a x ⎧++--≤≤=⎨-+-<≤⎩当0a =时，()f x 的最小值等于____；若对于定义域内的任意x ，()f x x ≤恒成立，则实数a 的取值范围是____．【答案】3- 1[,1]4【解析】当0a =时，2221,30,()2,0 3.x x x f x x x x ⎧+--≤≤=⎨-+<≤⎩，－3≤x≤0时，f(x)＝（x ＋1）2－2，得：当x ＝－1时，f （x ）有最小值为－2，0＜x≤3时，f(x)＝－（x －1）2＋1，得：当x ＝3时，f （x ）有最小值为－3，所以，当0a =时，()f x 的最小值等于－3，定义域内的任意,()||x f x x ≤恒成立，①－3≤x≤0时，有221x x a x ++-≤-， 即：231a x x ≤--+恒成立， 令2()31g x x x =--+＝2313()24x -++， 在－3≤x≤0时，g （x ）有最小值：g （0）＝g （－3）＝1，所以，1a ≤，②0＜x≤3时，有22x x a x -+-≤， 即：2a x x ≥-+恒成立，令2()h x x x =-+21124x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭， 在0＜x≤3时，g （x ）有最大值：g （12）＝14，所以，14a ≥， 实数a 的取值范围是1[,1]421．已知函数()21f x ax bx =++（a 、b 为实数， 0a ≠， x ∈R ），若()10f -=，且函数()f x 的值域为()0,∞+，则()f x 的表达式=__________．当[]2,2x ∈-时， ()()g x f x kx =-是单调函数，则实数k 的取值范围是__________．【答案】()221f x x x =++ ])(,2?[6,?-∞-⋃+∞【解析】∵()()210f x ax bx a =++≠， ()101a b f -+==-，∴1a b =-①，又∵()222122b b b f x a x x a a a ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++-+⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦22122b b a x a a ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭，()2min104b f x a=-=②，联立①②解出1a =， 2b =，∴()221f x x x =++．(2)因为g （x ）=f （x ）-kx=x 2+2x+1-kx=x 2-（k-2）x+1=（()22222)12242k k k x ----+-∴≥或2262k k -≤-∴≥或2k ≤- 故答案为(1). ()221f x x x =++ (2). ])(,2?[6,?-∞-⋃+∞ 四、解答题22．（2020·嫩江市高级中学高一月考）已知函数f(x)=ax +b(a ≠0)满足3f(x −1)−2f(x +1)=2x −6.（1）求a ，b 的值；（2）求函数g(x)=x[f(x)−6]在区间[0,2]上的最值.【答案】（1）a =2,b =4 ； （2）最小值−12，最大值4． 【解析】（1）因为f(x −1)=a(x −1)+b,f(x +1)=a(x +1)+b ．所以3f(x −1)−2f(x +1)=3[a(x −1)+b]−2[a(x +1)+b] =ax −5a +b =2x −6，所以{a =2 ，−5a +b =−6解得{a =2 ，b =4 （2）由（1）可知：f(x)=2x +4．所以g(x)=x[f(x)−6]=x(2x +4−6)=2(x 2−x)=2[(x −12)2−14]=2(x −12)2−12．当x =12时，g(x)取最小值−12 ； 当x =2时， g(x)取最大值4．23．（2019·河南省高三月考（理））已知幂函数f （x ）＝（3m 2﹣2m ）x12m-在（0，+∞）上单调递增，g（x）＝x2﹣4x+t.（1）求实数m的值；（2）当x∈[1，9]时，记f（x），g（x）的值域分别为集合A，B，设命题p：x∈A，命题q：x∈B，若命题q是命题p的必要不充分条件，求实数t的取值范围.【答案】（1）m＝1（2）﹣42≤t≤5【解析】(1)∵f(x)=(3m2﹣2m)x12m-为幂函数,且在(0,+∞)上单调递增;∴232112m mm⎧-=⎪⎨-⎪⎩＞⇒m=1;(2)由(1)可得12()f x x=,当x∈[1,9]时,f(x)值域为:[1,3],g(x)=x2﹣4x+t的值域为:[t﹣4,t+45],∴A=[1,3],B=[t﹣4,t+45];∵命题p:x∈A,命题q:x∈B,且命题q是命题p的必要不充分条件,∴A ⫋B ,∴41453t t -≤⎧⎨+≥⎩425t ⇒-≤≤, 故实数t 的取值范围为[42,5]-.24．（2019·江苏省金陵中学高一期中）若函数()()22kk f x x k N -++=∈满足()()23f f <.（1）求k 的值及()f x 的解析式；（2）试判断是否存在正数q ，使函数()()()121g x qf x q x =-+-在区间[]1,2- 上的取值范围为区间174,8⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ ?若存在，求出正数q 的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）0k =或1k =，()2f x x =；（2）存在2q.【解析】(1)∵()()23f f <，∴22213k k -++⎛⎫< ⎪⎝⎭．故220k k -++>，解得12k -<<. 又∵k Z ∈，∴0k =或1k =.当0k =或1k =时，222k k -++=，∴()2f x x =.(2) 存在2q ，求解如下：假设存在0q >满足题设，由(1)知，()()[]2211,1,2g x qx q x x =-+-+∈-，∵()21g =-，∴两个最值点只能在1x =-和212q x q-=处取得， ()123g q -=-，2214124q q g q q ⎛⎫-+=⎪⎝⎭， 而()()224121411230244q q q g g q q q q -⎛⎫-+--=-+=≥ ⎪⎝⎭， ∴()()min 1234g x g q =-=-=-，即2q ，此时()2max411748q g x q +==，故2q 符合题意．25．（2020·金华市曙光学校高一月考）设函数2()3||()=-+f x ax x a ，其中a R ∈．（1）当1a =时，求函数()f x 的值域；（2）若对任意[,1]∈+x a a ，恒有()1f x ≥-，求a 的取值范围．【答案】（1）21,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦；（2）[]1,0-. 【解析】（1）当1a =时，()2251,01,0x x x f x x x x ⎧---≤=⎨-+->⎩，（i ）当0x ≤时，()252124f x x ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭，此时()21,4f x ⎛⎤∈-∞ ⎥⎝⎦， （ii ）当0x >时，()21324f x x ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭，此时()3,4f x ⎛⎤∈-∞- ⎥⎝⎦， 由（i ）(ii)得()f x 的值域为21,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦；（2）因为对任意[],1x a a ∈+，恒有()1f x ≥-，()()111f a f a ⎧≥-⎪∴⎨+≥-⎪⎩，即()()22234131211a a a a a ⎧-≥-⎪⎨+-+≥-⎪⎩，解得10a -≤≤， 下面证明，当[]1,0a ∈-时，对任意[],1x a a ∈+恒有()1f x ≥-，（i ）当0a x ≤≤时，()()()222,01f x x ax a f a f a =-+-==-≥-，故()()(){}min ,01f x f a f ≥≥-成立；（ii ）当01x a ≤≤+时，()225f x x ax a =---，()()217711,01f a a a f +=---≥-≥-，故()()(){}min 1,01f x f a f ≥+≥-成立， 此时，对任意[],1x a a ∈+，恒有()1f x ≥-， 所以实数a 的取值范围是[]1,0-.26．（2019·广东省增城中学高二期中）已知113a ≤≤， 若函数()22f x ax x =-在[]1,3上的最大值为()M a ，最小值为()N a ， 令()()()g a M a N a =-.（1）求()g a 的表达式;（2）若关于a 的方程()0g a t -=有解，求实数t 的取值范围.【答案】（1）()1112,321196,12a a a g a a a a ⎧+-<⎪⎪=⎨⎪+-⎪⎩；（2）实数t 的取值范围为1,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【解析】(1)()22f x ax x =-211a x a a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭1分∵113a ≤≤，∴113a≤≤①当112a ≤≤，即112a ≤≤时，则3x =时，函数()f x 取得最大值;1x a=时，函数()f x 取得最小值.∴()()396M a f a ==-，()11N a f a a ⎛⎫==- ⎪⎝⎭∴()()()g a M a N a =-=196a a+-3分②当123a <≤，即1132a ≤<时，则1x =时，函数()f x 取得最大值;1x a=时，函数()f x 取得最小值.∴()()12M a f a ==-，()11N a f a a ⎛⎫==- ⎪⎝⎭∴()()()g a M a N a =-=12a a+-. 5分综上，得()1112,321196,12a a a g a a a a ⎧+-<⎪⎪=⎨⎪+-⎪⎩（2）任取，且12a a <()()1212121a a a a a a --=，∵，且12a a <120a a ∴-<，120a a >，1210a a -<；∴()()12121210a a a a a a -->，即()()120g a g a ->∴∴函数()g a 在11,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减 ，任取341,,12a a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，且34a a <()()343434119696g a g a a a a a ⎛⎫⎛⎫-=+--+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()34343491a a a a a a --=∵341,,12a a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，且34a a <340a a ∴-<，340a a >，34910a a ->；∴()()343434910a a a a a a --<，即()()340g a g a -<∴()()34g a g a <∴函数()g a 在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增 ，当12a =时，()g a 取得最小值，其值为12g ⎛⎫= ⎪⎝⎭12又13g ⎛⎫=⎪⎝⎭43，()1g =4 ∴函数()g a 的值域为1,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦∵关于a 的方程()0g a t -=有解等价于()t g a =有解 ∴实数t 的取值范围为函数()g a 的值域，∴实数t 的取值范围为1,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦.27．（2020·全国高一）已知点A （t ，1）为函数y ＝ax 2+bx +4（a ，b 为常数，且a ≠0）与y ＝x 图象的交点．（1）求t ；（2）若函数y ＝ax 2+bx +4的图象与x 轴只有一个交点，求a ，b ； （3）若1≤a ≤2，设当12≤x ≤2时，函数y ＝ax 2+bx +4的最大值为m ，最小值为n ，求m ﹣n 的最小值．【答案】（1）t ＝1；（2）14a b =⎧⎨=-⎩或912a b =⎧⎨=-⎩；（3）98．【解析】（1）把A （t ，1）代入y ＝x 得t ＝1；（2）∵y ＝ax 2+bx +4的图象与x 轴只有一个交点，∴241160a b b a ++⎧⎨∆-⎩＝＝＝，∴14a b =⎧⎨=-⎩或912a b =⎧⎨=-⎩； （3）把A （1，1）代入y ＝ax 2+bx +4得，b ＝﹣3﹣a ，∴y ＝ax 2﹣（a +3）x +4＝a （x ﹣32a a +）2﹣95442a a -+，∴对称轴为直线x ＝32a a+， ∵1≤a ≤2，∴54≤x ＝32a a+≤2， ∵12≤x ≤2，∴当x ＝12时，y ＝ax 2+bx +4的最大值为m ＝542a -+，当x ＝2时，n ＝﹣95442a a -+，∴m ﹣n ＝94a， ∵1≤a ≤2，∴当a ＝2时，m ﹣n 的值最小， 即m ﹣n 的最小值98．。

2020年江苏高考数学试卷及答案（含附加题）一、填空题：本大题共14小题，每题5分，共计70分，请把答案填写在答题卡相应位置上。

1.已知集合{}1,0,1,2A =-，{}0,2,3B =，则A B = __________。

2.已知i 是虚数单位，则复数()()12z i i =+-的实部是__________。

3.已知一组数据4，2a，3-a，5，6的平均数为4，则a 的值是__________。

4.将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次,观察向上的点数,则点数和为5的概率是。

5.右图是一个算法流程图,若输出y的值为-2,则输入x的值为。

6.在平面直角坐标系xOy中22y =,若双曲线()222105x y a a -=>的一条渐近线方程为52y x =,则该双曲线的离心率是。

7．已知()y f x =是奇函数，当0x >时，23()f x x =，则(8)f -的值是。

8.已知22sin +=43πα（），则sin 2α的值是。

9.如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的，已知螺帽的底面正六边形边长为2cm，高为2cm，内孔半径为0.5cm，则此六角螺帽毛坯的体积是3cm 。

10.将函数3sin 24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像向右平移6π个单位长度，则平移后的图像与y 轴最近的对称轴方程是。

11.设{}n a 是公差为d 的等差数列，{}n b 是公比为q 的等比数列，已知数列{}+n n a b 的前项和()221n n S n n n N *=-+-∈，则d q +的值是。

12.已知22451(,)x y y x y R +=∈，则22x y +的最小值是。

13.在△ABC 中，4AB =，=3AC ，∠=90BAC °，D 在边AC 上，延长AD P 到，使得=9AP ，若32PA mPB m PC ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭（m 为常数），则CD 的长度是。

2020江苏高考数学填空题“提升练习”（34）1．已知函数()f x 是定义在(0,)+∞上是单调增函数，当n *∈N 时，()f n *∈N ，若[()]3f f n n =，则f(5)的值等于__________．2、设向量)sin ,(cos ),sin ,(cos ββαα==b a ，其中πβα<<<0，若|2||2|b a b a -=+，则αβ-=__________．3、已知定义在R 上的可导函数()y f x =的导函数为/()f x ，满足/()()f x f x <且(1)y f x =+为偶函数，(2)1f =，则不等式()x f x e <的解集为__________．4、设函数)(13)(3R x x ax x f ∈+-=，若对于任意]1,1[-∈x ，都有0)(≥x f 恒成立，则实数a 的值为__________．5、已知⎩⎨⎧≥<+-=1,log 1,4)13()(x x x a x a x f a 是定义在实数集R 上的减函数，那么a 的取值范围是__________．6、已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的中心为O ，右焦点为F 、右顶点为A ，右准线与x 轴交点为H ，则FA OH的最大值为__________．7、已知抛物线28y x =上一动点M ，圆22430x x y -++=上一动点N ，定点()5,4T 。

则线段,MN MT 之和的最小值为__________．8、已知函数()()321332m f x x x m x n =-+-+，若()f x 有6个不同的单调区间，则实数m 的取值范围为__________．9、已知圆A ：()2232x y -+=，点P 是抛物线C ：24y x =上的动点，过点P 作圆A 的两条切线，则两切线夹角的最大值为__________．10、若椭圆122=+n y m x （0>>n m ）和双曲线122=-by a x （0>a ，0>b ）有相同的焦点1F ，2F ，点P 是两条曲线的一个交点，则||||21PF PF ⋅的值为__________．11、设双曲线122=-y x 的两条渐近线与直线22=x 围成的三角形区域（包括边界）为E ，),(y x P 为该区域内的一动点，则目标函数y x z 2-=的最小值为__________．12、已知)0(12222>>=+b a b y a x ，N M ,是椭圆上关于原点对称的两点，P 是椭圆上任意一点且直线PN PM ,的斜率分别为21,k k ，021≠k k ，则21k k +的最小值为1,则椭圆的离心率为__________．13、已知⊙A ：221x y +=，⊙B:22(3)(4)4x y -+-=，P 是平面内一动点，过P 作⊙A 、⊙B 的切线，切点分别为D 、E ，若PE PD =，则P 到坐标原点距离的最小值为__________．14、已知圆O 的方程为224x y +=，P 是圆O 上的一个动点，若OP 的垂直平分线总是被平面区域x y a +≥覆盖，则实数a 的取值范围是__________．简明参考答案（34）：【江浦高级中学2020届高三数学仿真冲刺练习】1．缺答案【蒋垛中学2020年高三数学综合练习（文科）】2、2π 3、(0,)+∞ 4、4 5、)31,71[ 【梅村高级中学2020学年高二上学期期中考试】 6、14； 7、6； 8、()2,3。

2020年江苏省高考数学最后一卷一、填空题（本大题共14小题，共70.0分）1.已知集合A={0,1，2}，B={x|−1<x<1}，则A∩B=________．2.若复数z=i(2−z)，则z=______ ．3.读如下两个伪代码，完成下列题目．(1)Ⅰ输出的结果为________．(2)若Ⅰ、Ⅱ输出的结果相同，则伪代码Ⅱ输入x的值为________．4.已知样本2000个，其频率分布直方图如下，那么在[2,8)之间的有__________个．5.用红、黄、蓝三种不同的颜色给A，B两点涂色，每个点只涂一种颜色，则点A，点B颜色不同的概率为____________.6.函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)在R上的部分图象如图所示，则ω的值为______ ．7. 在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 2m+1−y 2=1的离心率为2，则实数m 的值是_________． 8. 已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a1+a 200=1，则S 200=_____ 9. 若一个圆锥的母线与底面所成的角为π6，体积为125π，则此圆锥的高为_______。

10. 如图，在圆C 中，C 为圆心，AC 为圆的半径，AB 是弦，若|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=6，则AC⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =______．11. 若sinα=45，则sin(α−π4)+√22cosα=__________． 12. 在平面直角坐标系xOy 中，已知圆M ：x 2+y 2−4x −8y +12=0，圆N 与圆M 外切于点(0,m)，且过点(0,−2)，则圆N 的标准方程为______________．13. 已知函数f(x)={k(x +2),x ≤0−lnx,x >0(k <0)，若函数y =f(f(x))−1有3个零点，则实数k 的取值范围为______ ．14. 已知△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足2a 2+bc =6，则△ABC 面积的最大值为______．二、解答题（本大题共11小题，共142.0分）15. 如图，在三棱锥ABC −A 1B 1C 1中，AB =AC ，，，D ，E 分别是AB 1，BC的中点．求证：(1)DE//平面ACC 1A 1；(2)AE ⊥平面BCC 1B 1.16.如图，在△ABC中，∠B=30°，AC=2√5，D是边AB上一点．(Ⅰ)求△ABC的面积的最大值；(Ⅱ)若CD=2，△ACD的面积为4，∠ACD为锐角，求BC的长．17.某社区有一块直角三角形的闲置土地MON，OM=ON=60米，该区域内有处P，点P到边界OM的距离PC=20米，点P到边界ON的距离PD=10米．社区为改善居民生活环境，决定将其改造为居民休闲广场．方案为：经过点P修建一条笔直小路(两端A,B分别在边界OM,ON上，宽度不计)将该区域分为两部分，在区域AOB内安装健身器材，平均每平方米造价600元，剩余区域种植草皮，每平方米造价100元．(1)当OP ⊥AB 时，求休闲广场的总造价为多少元？(2)求休闲广场总造价的最低费用为多少元？18. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左右焦点分别为，F 1和F 2，上顶点为B ，BF 2，延长线交椭圆于点A ，△ABF 的周长为8，且BF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =0．(Ⅰ)求椭圆C 的方程；(Ⅱ)若直线l ⊥AB 且与椭圆C 相交于两点P ，Q ，求|PQ|的最大值．19.已知函数f(x)=lnx．(1)若直线y=2x+p(p∈R)是函数y=f(x)图象的一条切线，求实数p的值．(2)若函数g(x)=x−mx−2f(x)(m∈R)有两个极值点，求实数m的取值范围．20.已知数列{a n}中，a1=1，其前n项和为S n，且满足a n=2S n22S n−1(n≥2,n∈N+).(Ⅰ)求证：数列{1S n}是等差数列；(Ⅱ)证明：13S1+15S2+17S3+⋯+12n+1S n<12．21.已知矩阵[122a ]的属于特征值b的一个特征向量为[11]，求实数a、b的值．22.已知曲线C的极坐标方程为，直线l:θ=a(a∈[0,π),ρ∈R)与曲线C相交于M、N两点．以极点O为原点，极轴为x轴的非负半轴建立平面直角坐标系．(Ⅰ)求曲线C的参数方程；(Ⅱ)记线段MN的中点为P，若|OP|⩽λ恒成立，求实数λ的取值范围．23.设实数a，b，c满足a+2b+3c=4，求证：a2+b2+c2≥8．724.如图，已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，点M，N分别为A1A和B1B的中点．(Ⅰ)求异面直线CM与D1N所成角的余弦值；(Ⅱ)求点D1到平面MDC的距离．25.设随机变量X的分布列为P(X=k)=1，k=1，2，3，4，5.求E(X+2)2，V(2X−1)．5-------- 答案与解析 --------1.答案：{0}解析：【分析】本题考查集合的交集运算，属于基础题．直接利用交集定义即可求得答案．【解答】解：根据交集的定义可得A∩B={0}．故答案为{0}．2.答案：1+i解析：解：复数z=i(2−z)，则z=2i1+i =2i(1−i)(1+i)(1−i)=1+i．故答案为：1+i．化简已知条件，利用复数的除法的运算法则化简求解即可．本题考查复数的代数形式的混合运算，基本知识的考查．3.答案：(1)6(2)0解析：【分析】本题考查算法中的赋值语句，(1)根据题中的伪代码直接写出答案；(2)利用两个伪代码输出结果相同，得到关于x的方程，即可求出x的值，属基础题．【解答】解：(1)第一次赋值：x=1;第二次赋值：x=2×1=2;第三次赋值：x=3×2=6，输出：6．(2)由伪代码可知Ⅱ输出的结果是x2+6，若Ⅰ、Ⅱ输出的结果相同，则x2+6=0，解得x=0．故答案为(1)6(2)0．4.答案：880解析：本题考查频率分布直方图的应用，属于简单题。

2020年江苏省高考数学填空题考前压轴冲刺专题03三角函数与解三角形问题2020年江苏高考填空题考点预测三角函数与解三角形是江苏高考必考的题型，主要考察正余弦定理，三角函数的图像与性质在解三角形中的灵活运用，常考的知识点如下：1.在ABC ∆中，C B A C B A tan tan tan tan tan tan =++,CB C B A tan tan 1tan tan tan -+-=. 2.在ABC ∆中，B c C b a cos cos +=，A c C a b cos cos +=,A b B a c cos cos +=.3.ABC ∆的面积Rabc R c ab C ab S 4221sin 21===. 4.C R c B R b A R a sin 2,sin 2,sin 2===.5.222222222cos 2,cos 2,cos 2b c a B ac c b a C ab a c b A bc -+=-+=-+=. 例1.(高考题)在锐角ABC ∆中，若C B A sin sin 2sin =,则C B A tan tan tan 的最小值为___________. 【答案】22【解析】法一：（基本不等式）因为C B A sin sin 2sin =，所以C B C B C B sin sin 2sin cos cos sin =+,得 C B C B tan tan 2tan tan =+. 所以：C B A C B A C B A C B A tan tan tan 22tan tan 2tan tan tan tan tan tan tan ≥+=++=, 即：22tan tan tan ≥C B A ，即C B A tan tan tan 的最小值为8.当4π=A 时等号成立.法二：（函数法）因为C B A sin sin 2sin =，所以C B C B C B sin sin 2sin cos cos sin =+,得 C B C B tan tan 2tan tan =+.所以1tan tan tan tan 2tan tan 1tan tan tan -=-+-=C B C B C B C B A ,所以：1tan tan tan tan 2tan tan tan 22-=C B C B C B A ,令x C B =-1tan tan ，则0,)1(2tan tan tan 2>+=x xx C B A 则84)1(2)1(2tan tan tan 2≥++=+=xx x x C B A ，当1=x 时等号成立. 即C B A tan tan tan 的最小值为8.当4π=A 时等号成立.例 2.在ABC ∆中，,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若22228a b c ++=，则ABC ∆面积的最大值为 ． 【答案】552【解析】法一：由三角形面积公式可得1sin 2S ab C =,()222211cos 4S a b C =-, 22222221142a b c S a b ab ⎡⎤⎛⎫+-=-⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，因为22228a b c ++=，所以22282a b c +=-，()2222222222222228311831114242416c a b c c S a b a b a b ab ab ⎡⎤⎡⎤-⎛⎫⎛⎫+--=-=-=-⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦()()222222835161616a bc c c +-≤-=-+，当且仅当a b =时，等号成立， 当85c =时， 2516c c -+取得最大值45，S． 法二：建立如图平面直角坐标系，设)0,2(c A -，),(),0,2(y x C c B 因为82222=++c b a ，所以82)2()2(22222=+++++-c y cx y cx ， 即222454c y x -=+，点C 在半径为2454c -的圆上运动，所以55245422212≤-=≤=c c cr ch S ，当85c =时， 2516c c -+取得最大值45，S的最大值为5．。

0课后作业衿芝［基础送分提速狂刷练］一、选择题1 .先后抛掷两枚质地均匀的骰子，设出现的点数之和是12,11,10 的概率依次是P 1, P 2, P 3,则()A . P 1 = P 2v P 3B . P 1 v P 2v P 3C . P 1 v P 2= P 3D . P 3 = P 2 v P 1 答案 B解析 先后抛掷两枚骰子点数之和共有36种可能，而点数之和1 1 1为12,11,10的概率分别为P 1 = —, P 2 = 18, P 3 = 12•故选B.2 . (2017浙江金丽衢十二校联考)4张卡片上分别写有数字1,2,3,4,从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字 之和为偶数的概率为()答案 B解析 因为从四张卡片中任取出两张的情况为(1,2), (1,3), (1,4), (2.3) , (2,4), (3,4),共6种.其中两张卡片上数字和为偶数的情况为1(1.3) , (2,4),共2种，所以两张卡片上的数字之和为偶数的概率为 孑故选B.3. 从1,2,3,4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对 值为2的概率是()答案 B解析 从1,2,3,4中任取2个不同的数有以下六种情况：(1,2),3 一4 D2 一3 G1一3 B1 一2代(1,3) , (1,4), (2,3), (2,4), (3,4),满足取出的2个数之差的绝对值为2 12的(1,3), (2,4)，故所求概率是6= 3.故选B.4. (2018 山西朔州模拟)某校食堂使用大小、手感完全一样的餐 票，小明口袋里有一元餐票 他从口袋中随机地摸出 2 ()A 3_ 10 答案 解析 数 n = 10,5. (2018保定模拟)甲、乙二人玩猜数字游戏，先由甲任想一数 字，记为a ,再由乙猜甲刚才想的数字，把乙猜出的数字记为b ,且a ,b € {1,2,3}，若|a — b|< 1,则称甲、乙“心有灵犀”，现任意找两 个人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为( )1答案解析 件总数为3X 3 = 9.设“甲、乙心有灵犀”为事件A ,则A 的对立事件B 为“ |a — b| > 1”，即|a — b|= 2,包含2个基本事件，2 2 7•-P(B) = 9」P(A)= 1 — 9=6.故选 D.6. (2018合肥模拟)从2名男生和2名女生中任意选择两人在星 期六、星期日参加某公益活动，每天一人，则星期六安排一名男生、 星期2张，两元餐票2张，五元餐票1张，若 张，则其面值之和不少于四元的概率为 厂2 J 3 B.5 C.2D.5C小明口袋里共有5张餐票，随机地摸出2张，基本事件总m = 5,故其面其面值之和不少于四元包含的基本事件数值之和不少于四元的概率为m =10=2.故选C .5 2 7 B.9 C.3 D.9D甲任想一数字有3种结果，乙猜数字有3种结果，基本条日安排一名女生的概率为()A 1 ^_5ZA. 3B. 12C.2D. 12答案 A解析 设2名男生记为A i , A 2,2名女生记为B i, B 2,任意选择两 人在星期六、星期日参加某公益活动，共有 A 1A 2, A i B i , A 1B 2, A 2B 1, A 2B 2, BI B 2 ,A 2A ,B l A l , B 2A I , B I A 2, B 2A 2 , B 2B i 12 种情况，而星 期六安排一名男生、星期日安排一名女生共有 A i B i , A i B 2, A ?B i , A 2B 24 4 i 种情况，则发生的概率为P =乜=3,故选A.7. (20i7银川模拟)连掷骰子两次得到的点数分别记为a 和b ,则使直线3x — 4y = 0与圆(x — a)2+ (y — b)2= 4相切的概率为()i i i i代6 B 不 C.9 D.3 答案 B解析 连掷骰子两次总的试验结果有 36种，要使直线3x — 4y = 0符合题意的(a , b)有(6,2), (2,4),共2种，由古典概型的概率计算公i式可得所求概率为P =看•故选B .8. 抛掷两枚均匀的骰子，得到的点数分别为a , b ,那么直线£ +ab = i 的斜率k > — 2的概率为( )答案 D解析 记a , b 的取值为数对(a , b),由题意知(a , b)的所有可能 取值有36种.由直线a + b = i 的斜率k = — b >— 2知2，那么满a b a 2 a 2足题意的(a , b)可能的取值为(2,i), (3,i), (4,i), (4,2), (5,i), (5,2),9 i与圆(x — a)2 + (y — b)2 = 4 相切，则 |3a —4b|~5~=2,即满足 |3a — 4b|= i0, i i 3 i(6,i), (6,2), (6,3),共有9种，所以所求概率为36 = 4.故选D.9. (20i8太原模拟)记连续投掷两次骰子得到的点数分别为m, n,(n向量a = (m, n)与向量b= (1,0)的夹角为a,贝S a€ 0, 4的概率为i 4丿()5 5 17A. 18B. 12 C*2 D"12答案B解析解法一：依题意，向量a= (m, n)共有6X 6= 36(个)，其(n中满足向量a= (m, n)与向量b= (1,0)的夹角a€ 0, 4 |,即n<m的(m, n)可根据n的具体取值：第一类，当n= 1时，m有5个不同的取值；第二类，当n= 2时，m有4个不同的取值；第三类，当n = 3时，m 有3个不同的取值；第四类，当n = 4时，m有2个不同的取值；第五类，当n= 5时，m有1个取值，因此满足向量a= (m, n)与向量b(n=(1,0)的夹角a€ 0, 4 的(m, n)共有 1 + 2+3 + 4+ 5= 15(个)，所以< 4J15 5所求概率为^6=12•故选B.解法二：依题意可得向量a= (m, n)共有6X6= 36(个)，其中满(n足向量a= (m, n)与向量b= (1,0)的夹角a€ 0, 4丿，即卩n<m的向量a 36—6 15 5=(m, n)有—=15(个)，所以所求概率为36=12故选B.10. (2018淄博模拟)将一颗骰子投掷两次，第一次出现的点数记为a,第二次出现的点数记为b,设任意投掷两次使两条不重合直线11：ax+ by= 2, I2：x+ 2y= 2平行的概率为P1,相交的概率为P2，若137点(P 1 ,2)在圆(x — m)2 + y 2=面的内部，则实数m 的取值范围是() 两条直线l 1: ax + by = 2, l 2： x + 2y = 2平行的情形有a = 2, b =2 14或 a = 3, b = 6,故概率为 P i = 36= 18.两条直线l i ： ax + by = 2, I 2： x + 2y = 2相交的情形除平行与重合 (a = 1，b = 2)即可,22 137T 点(P 1, P 2)在圆(x — m) + y = 144的内部,、2137…<18—吋 +〔12^144,5 7解得—18<m<18,故选D. 二、填空题11. (2017海淀模拟)现有7名数理化成绩优秀者，分别用 A 1, A , A 3, B 1, B 2, C 1, C 2表示，其中A 1, A , A 3的数学成绩优秀， B 1 , B 2的物理成绩优秀，C 1, C 2的化学成绩优秀.从中选出数学、物 理、化学成绩优秀者各1名，组成一个小组代表学校参加竞赛，则 A 1和B 1不全被选中的概率为 .5答案5解析 从这7人中选出数学、物理、化学成绩优秀者各1名，所 有可能的结果组成的12个基本事件为：(A 1, B 1, C 1), (A 1, B 1, C 2), (A 1 , B 2, G) ,(A 1, B 2, C 2),(A 2, B 1, C 〔) ,(A 2 , B 1 , C 2) ,(A 2 ,— —18’ 匚7 C. — 18’ 答案 D解析 对于a 与b 各有6种情形，故总数为36种.A. B.——OO5 18 (_ _5 7' D. C 18，18；厂33 P 2= 36=1112.B2 ,C1) , (A2 , B2 , C2), (A3 , B1 , G) , (A3 , B1 , C2) , (A3 , B2 , C1), (A3 ,B2 , C2).设“A1和B1不全被选中”为事件N ,则其对立事件N表示“A1—— 2 和B1 全被选中”,由于N = {(A1 , B1 , CJ, (A1 , B1 , C2)}, P(N)=^1 — 1 5=6 ,由对立事件的概率计算公式得P(N)= 1 —P(N) = 1—6=5.12. (2018武汉调研)某同学同时掷两颗骰子，得到点数分别为a,b,则双曲线-b = 1的离心率e>{5的概率是_____________ .1答案16解析由e= 1 + ?>.5，得b>2a.当a= 1 时，b = 3,4,5,6 四种情况；当a= 2时，b = 5,6两种情况，总共有6种情况.又同时掷两颗骰子，得到的点数(a, b)共有36种结果.•••所求事件的概率P _ 6 _ 1=36=6.13. (2018湖南长沙模拟)抛掷两枚质地均匀的骰子，得到的点数分别为a, b,则使得直线bx+ ay= 1与圆x2+ y2= 1相交且所得弦长不超过垮的概率为________________ .1答案1解析根据题意，得到的点数所形成的数组(a, b)共有6X 6 = 36 种，其中满足直线bx+ ay= 1与圆x2+ y2= 1相交且所得弦长不超过豊？，则圆心到直线的距离不小于3即卩1>寸了+存》3>即卩1<a2+ b2<9 的有(1,1), (1,2), (2,1), (2,2)四种，故直线bx+ ay= 1 与圆x2 + y2= 1相交且所得弦长不超过4_3'2的概率为36= 9.T T T14. (2017 宿迁模拟)已知k€ Z, AB= (k,1), AC= (2,4),若|AB|<4,则厶ABC是直角三角形的概率是__________ .3答案3—T解析因为|AB|=. k2+ 1<4,所以一15< k< 15,因为k€乙所以k=- 3,- 2,-1,0,1,2,3,当厶ABC为直角三角形时，应有AB 丄AC,或AB丄BC,或AC丄BC,由AB AC= 0,得2k+ 4= 0,所以kT T T T T=-2,因为BC=AC —AB= (2- k,3)，由AB BC= 0,得k(2- k) + 3 =T T0,所以k=- 1 或3,由AC BC= 0,得2(2-k) + 12 = 0,所以k= 8(舍去)，故使△ ABC为直角三角形的k值为一2,- 1或3,所以所求概率P=3.三、解答题15. 为了解收购的每只小龙虾的重量，某批发商在刚从甲、乙两个水产养殖场收购的小龙虾中分别随机抽取了40只，得到小龙虾的重量的频数分布表如下.从甲水产养殖场中抽取的40只小龙虾的重量的频数分布表从乙水产养殖场中抽取的40只小龙虾的重量的频数分布表(1) 试根据上述表格中的数据，完成从甲水产养殖场中抽取的40只小龙虾的重量的频率分布直方图；频率/组距0.0450.0400.0350.0300.0250.0200,0150,0100,005 -" 5 15 25 35 45 55 重址/克若规定二级以上(包括二级)的小龙虾为优质小龙虾，估计甲、乙两个水产养殖场的小龙虾哪个的“优质率”高？并说明理由.⑶从乙水产养殖场抽取的重量在［5,15), ［15,25), ［45,55］内的小龙虾中利用分层抽样的方法抽取6只，再从这6只中随机抽取2 只, 求至少有1只的重量在［15,25)内的概率.解(1)-频率/组距0.045 -0.040 ........... .……1—0.035^0/)30 -0.025 ... .............. ..........0X)20-厂0.0150,010-.................. ...............0X)05 ......... 厂--- ---- -- --- --- --- ---- >u 5 15 25 35 45 55 重量/克(2) 若把频率看作相应的概率，则 0.8,所以乙水产养殖场的小龙虾 “优质率”高. (3)用分层抽样的方法从乙水产养殖场重量在［5,15), ［15,25),［45,55］内的小龙虾中抽取6只，则重量在［5,15)内的有1只，在［15,25) 内的有3只，在［45,55］内的有2只，记重量在［5,15)内的1只为x ,在［15,25)内的3只分别为％, y 2, y s ,在［45,55］内的2只分别为乙，z ?,从中任取2只，可能的情况有 (x , yd, (x , y 2), (x , y s ), (x ,乙)，(x , Z 2), (y 1,嵋,(y 1, y s ), (y 1, 乙)，(y 1, z 2), (y 2, y s ), (y 2,乙)，s, z ?), (y s ,乙),(y s , z ?),(乙,z ?), 共15种；记“任取2只，至少有1只的重量在［15,25)内”为事件A ,则事 件 A 包含的情况有(x ,浙)，(x ,y 2), (x , y s ), (y 1, y 2), (y 1, y s ), (y 1 ,乙),(y 1 , z 2), (y 2 , y s ) , (y 2 ,乙),y ,殓,(y s , zj , (y s ,交,共 12种.12 4所以 P(A) = 12= 516. (2017石景山区一模)“累积净化量(CCM)”是空气净化器质 量的一个重要衡量指标，它是指空气净化器从开始使用到净化效率为 50%时对颗粒物的累积净化量，以克表示.根据GB/T18801 - 2015《空 气净化器》国家标准，对空气净化器的累积净化量 (CCM)有如下等级 划分：为了了解一批空气净化器(共2000台)的质量，随机抽取n 台机“甲水产养殖场的小龙虾为优质小龙虾 0.75,的概率为的概率为 16+ 10 + 4 4018+10 + 440器作为样本进行估计，已知这n台机器的累积净化量都分布在区间(4,14］中，按照(4,6］, (6,8］, (8,10］, (10,12］, (12,14］,均匀分组，其中累积净化量在(4,6］的所有数据有：4.5,4.6,5.2,5.3,5.7和5.9,并绘制了如下频率分布直方图.(1) 求n的值及频率分布直方图中的x值；(2) 以样本估计总体，试估计这批空气净化器(共2000台)中等级为P2的空气净化器有多少台？⑶从累积净化量在(4,6］的样本中随机抽取2台，求恰好有1台等级为P2的概率.解(1)v在(4,6］之间的数据一共有6个，再由频率分布直方图得：落在(4,6］之间的频率为0.03X 2= 0.06, 60.06 =100,由频率分布直方图的性质得:(0.03 + x+ 0.12 + 0.14 + 0.15)X 2= 1,解得x= 0.06.⑵由频率分布直方图可知：落在(6,8］之间共：0.12X2X 100 = 24台,又•••在(5,6］之间共4台，二落在(5,8］之间共28 台,二估计这批空气净化器（共2000台）中等级为P2的空气净化器有560台.（3）设“恰好有1台等级为P2”为事件B,依题意落在（4,6］之间共6台，属于国标P2级的有4台，分别设为a i，a2，b1， d，b3，b4，则从（4,6］中随机抽取2台，基本事件为佝，a?）, （a i，bj，佝，b2），（a i，b3），（a i，b4），（a2，b i），（a2，b2），@2，b3），@2，b4），（b i，b?），（b i，b3），（b i，b4），（b2，b R，（b2，b q），（b3，b"，共15 种.事件B 包含的基本事件为（a i, b i）, （a i, b2）, （a i, b3）, （a i , b4）, （a2 , b i）, （a2 , b2）, （a2 , b3）, （a2 , b4）,共8 种.二恰好有i台等级为P2的概率P（B）=m=75.。

2020江苏高考数学填空题 “提升练习”（28）1、已知1()sin ,[0,π]3f x x x x =-∈.01cos 3x =（0[0,π]x ∈），下面命题中真命题的序号是__________．①()f x 的最大值为0()f x ② ()f x 的最小值为0()f x ③()f x 在0[0,]x 上是减函数 ④ ()f x 在0[,π]x 上是减函数2、设定义在(−1, 1)上的函数 f (x)的导函数x x f cos 5)(/+=, 且0)0(=f ，则不等式0)1()1(2<-+-x f x f 的解集为__________．3. 若函数222y x x =-+的定义域和值域均为区间],[b a ，其中Z b a ∈,，则=+b a __________．4. 设函数4421lg )(a x f x x ++=，R a ∈.如果不等式4lg )1()(->x x f 在区间]3,1[上有解，则实数a 的取值范围是__________．5、若函数f (x )＝x －4mx 2＋4mx ＋3的定义域为R ，则实数m 的取值范围是__________．6、已知函数f (x )=||12x x++，则满足不等式f (1- x 2) > f (2x )的x 的取值范围是__________．7、关于x 的方程022=--k x x ，下列判断：①存在实数k ，使得方程有两个不同的实数根； ②存在实数k ，使得方程有三个不同的实数根；③存在实数k ，使得方程有四个不同的实数根．其中正确的有__________．8、已知一个函数的定义域为[2,4]，值域为[4,16]，写出两个．．形如ny m =的函数解析式__________．9、已知锐角3πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的终边经过点()34,2P ,则cos α=__________．10、设偶函数()f x 对任意x ∈R ，都有)(1)4(x f x f -=+，且当[3,2]x ∈--时，()4f x x =,则=)2011(f __________．11、在ABC Rt ∆中，c ，r ，S 分别表示它的斜边长，内切圆半径和面积，则Scr的取值范围是__________．12、已知向量c b a ,,满足c a b R x c x b x a ⋅=∈=++4),(022，则向量与的关系是__________．（填“共线”或“不共线”）13、设函数3)1ln(2)(2+++-=x e x x x f 的定义域为区间[]a a ,-，则函数)(x f 的最大值与最小值之和为__________．14．平面向量也叫二维向量，二维向量的坐标表示及其运算可以推广到n (n ≥3)维向量，n 维向量可用(x 1，x 2，x 3，x 4，…，x n )表示．设a r ＝(a 1，a 2，a 3，a 4，…，a n )，b r＝(b 1，b 2，b 3，b 4，…，b n )，规定向量a r 与b r夹角θ的余弦为cos θ＝∑ni ＝1a i b i∑n i ＝1a 2i∑ni ＝1b 2i.已知n 维向量a r，b r ，当a r ＝(1,1,1,1，…，1)，b r＝(－1，－1,1,1,1，…，1)时，cos θ等于__________．简明参考答案（28）：【泰兴市第三高级中学2020－2020学年高二上学期期中考试（数学）】 1～2缺答案【无锡一中2020学年高一上学期期中考试】 3. 3 4. 41>a【扬州市2020学年度高一上学期数学期中试题】5、[0，34)；6、-2-（1，1）；7、①②；【扬州中学2020学年度第一学期高一数学期中B 卷】 8．缺答案【姜堰市2020学年度第一学期高三期中调研测试（理科）】 9、1326710、12-11、)1,222[- 12、共线 13、6【盐城市田家炳中学2020学年度第一学期高三数学期中试卷】14. n －4n。

第一局2019江苏高考数学卷10.在平面直角坐标系xOy 中，P 是曲线y ＝x ＋4x(x >0)上的一个动点，则点P 到直线x ＋y ＝0的距离的最小值是________．11.在平面直角坐标系xOy 中，点A 在曲线y ＝ln x 上，且该曲线在点A 处的切线经过点(－e ，－1)(e 为自然对数的底数)，则点A 的坐标是________．12.如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，E 在边AB 上，BE ＝2EA ，AD 与CE 交于点O .若AB →·AC →＝6AO →·EC →，则AB AC的值是________．第12题图13.已知tan α＝－23，则sin α________．14.设f (x )，g (x )是定义在R 上的两个周期函数，f (x )的周期为4，g (x )的周期为2，且f (x )是奇函数．当x ∈(0,2]时，f (x )＝1－(x －1)2，g (x )(x ＋2)，0<x ≤1，－12，1<x ≤2，其中k >0.若在区间(0,9]上，关于x 的方程f (x )＝g (x )有8个不同的实数根，则k 的取值范围是________．第二局2018江苏高考数学卷10.如图所示，已知正方体的棱长为2，则以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为________．11.若函数f(x)＝2x3－ax2＋1(a∈R)在(0，＋∞)内有且只有一个零点，则f(x)在[－1,1]上的最大值与最小值的和为________．12.在平面直角坐标系xOy中，已知A为直线l：y＝2x上在第一象限内的点，点B(5,0)，以AB为直径的圆C与直线l交于另一点D.若AB→·CD→＝0，则点A的横坐标为________．13.在△ABC中，已知角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠ABC＝120°，∠ABC的平分线交AC于点D，且BD＝1,则4a＋c的最小值为________．14.已知集合A＝{x|x＝2n－1，n∈N*}，B＝{x|x＝2n，n∈N*}，将A∪B中的所有元素按从小到大的顺序依次排列构成数列{a n}，设数列{a n}的前n项和为S n，则使S n≥12a n＋1成立的n的最小值为________．第三局2017江苏高考数学卷10.某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是________．11.已知函数f (x )＝x 3－2x ＋e x －1ex ，其中e 是自然对数的底数．若f (a －1)＋f (2a 2)≤0，则实数a 的取值范围是________．12.如图，在同一个平面内，已知向量OA →，OB →，OC →的模分别为1,1，2，OA →与OC →的夹角为α，且tanα＝7，OB →与OC →的夹角为45°.若OC →＝mOA →＋nOB →(m ，n ∈R )，则m ＋n ＝________.12.在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (－12,0)，B (0,6)，点P 在圆O ：x 2＋y 2＝50上，若PA →·PB →≤20，则点P 的横坐标的取值范围是________．13.设f (x )是定义在R 上且周期为1的函数，在区间[0,1)上，f (x )2，x ∈D ，，x ∉D ，其中集合D ＝⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈-=*,1N n n n x x ，则方程f (x )－lg x ＝0的解的个数是________．第四局2016江苏高考数学卷10.如图，在平面直角坐标系xO y 中，已知F 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点，直线y ＝b 2与椭圆交于B ，C 两点，且∠BFC ＝90°，则该椭圆的离心率是________．11.设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1,1)上，f (x )＋a ，－1≤x ＜0，|25－x |，0≤x ＜1，其中a ∈R .若f f 则f (5a )的值是________．12.已知实数x ，y －2y ＋4≥0，x ＋y －2≥0，x －y －3≤0，则x 2＋y 2的取值范围是________．13.如图，在△ABC 中，已知D 是BC 的中点，E ，F 是AD 上的两个三等分点，BA →·CA →＝4，BF →·CF →＝－1，则BE →·CE →的值是________．14.在锐角三角形ABC 中，若sin A ＝2sin B sin C ，则tan A tan B tan C 的最小值是________．第五局2015江苏高考数学卷10.在平面直角坐标系xOy 中，以点(1,0)为圆心且与直线mx －y －2m －1＝0(m ∈R )相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为________．11.已知数列{a n }满足a 1＝1，且a n ＋1－a n ＝n ＋1(n ∈N *)，10项和为________．12.在平面直角坐标系xOy 中，P 为双曲线x 2－y 2＝1右支上的一个动点．若点P 到直线x －y ＋1＝0的距离大于c 恒成立，则实数c 的最大值为________．13.已知函数f (x )＝|ln x |，g (x )，0＜x ≤1，2－4|－2，x >1，则方程|f (x )＋g (x )|＝1实根的个数为________．14.设向量a k cos k π6，sin k π6＋k ＝0,1,2，…，12)，则)(1110+=⋅∑k k k a a的值为________．第六局2014江苏高考数学卷10.已知函数f (x )＝x 2＋mx －1，若对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )<0成立，则实数m 的取值范围是________．11.在平面直角坐标系xOy 中，若曲线y ＝ax 2＋b x(a ，b 为常数)过点P (2，－5)，且该曲线在点P 处的切线与直线7x ＋2y ＋3＝0平行，则a ＋b 的值是________．12.如图，在平行四边形ABCD 中，已知AB ＝8，AD ＝5，CP →＝3PD →，AP →·BP →＝2，则AB →·AD→的值是________．12.已知f (x )是定义在R 上且周期为3的函数，当x ∈[0,3)时，f (x )＝|x 2－2x ＋12|.若函数y ＝f (x )－a 在区间[－3,4]上有10个零点(互不相同)，则实数a 的取值范围是________．14.若△ABC 的内角满足sin A ＋2sin B ＝2sin C ，则cos C 的最小值是________．第七局2013江苏高考数学卷10.设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝12AB，BE＝23BC，若DE→＝λ1AB→＋λ2AC→(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．11.已知f(x)是定义在R上的奇函数．当x>0时，f(x)＝x2－4x，则不等式f(x)>x的解集用区间表示为________．12.在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C的标准方程为x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)，右焦点为F，右准线为l，短轴的一个端点为B，设原点到直线BF的距离为d1，点F到l的距离为d2.若d2＝6d1，则椭圆C的离心率为________．13.在平面直角坐标系xOy中，设定点A(a，a)，P是函数y＝1x(x>0)图象上一动点．若点P，A之间的最短距离为22，则满足条件的实数a的所有值为________．14.在正项等比数列{a n}中，已知a5＝12，a6＋a7＝3，则满足a1＋a2＋…＋a n>a1a2…a n的最大正整数n的值为________．第八局2012江苏高考数学卷10.设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1,1]上，f (x )＝－1≤x ＜0，0≤x ≤1，其中a ，b ∈R .若a ＋3b 的值为________．11.设α为锐角，若＝45，则sin α________．12.在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C 的方程为x 2＋y 2－8x ＋15＝0，若直线y ＝kx －2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值是________．13.已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋b (a ，b ∈R )的值域为[0，＋∞)，若关于x 的不等式f (x )<c 的解集为(m ，m ＋6)，则实数c 的值为________．14.已知正数a ，b ，c 满足5c －3a ≤b ≤4c －a ，c ln b ≥a ＋c ln c ，则b a的取值范围是________.2011江苏高考数学卷10.已知e 1，e 2是夹角为23π的两个单位向量，a ＝e 1－2e 2，b ＝k e 1＋e 2,若a ·b ＝0，则k 的值为________．11.已知实数a ≠0，函数f (x )x ＋a ，x <1，x －2a ，x ≥1，若f (1－a )＝f (1＋a )，则a 的值为________．12.在平面直角坐标系xOy 中，已知P 是函数f (x )＝e x (x >0)的图象上的动点，该图象在P 处的切线l 交y 轴于点M ，过点P 作l 的垂线交y 轴于点N ，设线段MN 的中点的纵坐标为t ，则t 的最大值是________．13.设1≤a 1≤a 2≤…≤a 7，其中a 1，a 3，a 5，a 7成公比为q 的等比数列，a 2，a 4，a 6成公差为1的等差数列，则q 的最小值是________．14.设集合A ＝⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈≤+-≤R y x m y x m y x ,,)2(2),222（，B ＝{(x ，y )|2m ≤x ＋y ≤2m ＋1，x ，y ∈R }，若A ∩B ≠∅，则实数m 的取值范围是________．2010江苏高考数学卷10.y＝6cos x的图象与y＝5tan x的图象的交点为P，过点P 作PP1⊥x轴于点P1，直线PP1与y＝sin x的图象交于点P2，则线段P1P2的长为________．11.已知函数f(x)2＋1，x≥0，，x<0，则满足不等式f(1－x2)>f(2x)的x的取值范围是________．12.设实数x，y满足3≤xy2≤8,4≤x2y≤9，则x3y4的最大值是________．13.在锐角三角形ABC中，已知A、B、C的对边分别为a、b、c，ba＋ab＝6cos C，则tan Ctan A＋tan Ctan B＝________.14.将边长为1m正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记S＝(梯形的周长)2梯形的面积，则S的最小值是________．10.已知偶函数f (x )的定义域为R ，且在[0，＋∞)上为增函数，则不等式f (3x )>f (x 2＋2)的解集为________．11.过直线l ：y ＝x －2上任意点P 作圆C ：x 2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则当切线长最小时，△PAB 的面积为________．12.已知点P 在曲线C ：y ＝12x 2上，曲线C 在点P 处的切线为l ，过点P 且与直线l 垂直的直线与曲线C 的另一交点为Q ，O 为坐标原点，若OP ⊥OQ ，则点P 的纵坐标为________．13.如图，在等腰直角三角形ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝2，以AB 为直径在△ABC 外作半圆O ，P 为半圆弧AB 上的动点，点Q 在斜边BC 上，若AB →·AQ →＝83，则AQ →·CP →的最小值为________．14.已知e 为自然对数的底数，函数f (x )＝e x －ax 2的图象恒在直线y ＝32ax 上方，则实数a 的取值范围为________．tan xα，10.在平面直角坐标系xOy中，若曲线y＝sin2x与y＝18则sin2α的值为________．11.如图，正六边形ABCDEF中，若AD→＝λAC→＋μAE→(λ，μ∈R)，则λ＋μ的值为________．第11题图12.如图，有一壁画，最高点A处离地面6m，最低点B处离地面3.5m．若从离地高2m 的C处观赏它，则离墙________m时，视角θ最大．第12题图13.已知函数f(x)＝x2－2x＋3a，g(x)＝2.若对任意x1∈[0,3]，总存在x2∈[2,3]，使得x－1|f(x1)|≤g(x2)成立，则实数a的值为________．14.在平面四边形ABCD中，∠BAD＝90°，AB＝2，AD＝1.若AB→·AC→＋BA→·BC→＝4CA→·CB→，则3 CD的最小值为________．CB＋1210.在平面直角坐标系xOy中，过双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的右焦点F作一条渐近线的平行线，交另一条渐近线于点P.若线段PF的中点恰好在此双曲线上，则此双曲线的离心率为________．11.有一个体积为2的长方体，它的长、宽、高依次为a，b,1.现将它的长增加1，宽增加2，且体积不变，则所得新长方体高的最大值为________．12.已知向量a，b，c是同一平面内的三个向量，其中a，b是夹角为60°的两个单位向量．若向量c满足c·(a＋2b)＝－5，则|c|的最小值为________．13.在平面直角坐标系xOy中，已知MN是圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝2的一条弦，且CM⊥CN，P是MN的中点．当弦MN在圆C上运动时，直线l：x－3y－5＝0上存在两点A，B，使得∠APB≥π2恒成立，则线段AB长度的最小值是________．14.已知函数f(x)＝12x2－a ln x＋x－12，对任意x∈[1，＋∞)，当f(x)≥mx恒成立时实数m的最大值为1，则实数a的取值范围是________．10.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)＝x2－5x，则不等式f(x－1)>f(x)的解集为________．11.在平面直角坐标系xOy中，已知点A(－1,0)，B(5,0)．若圆M：(x－4)2＋(y－m)2＝4上存在唯一点P，使得直线PA，PB在y轴上的截距之积为5，则实数m的值为________．12.已知AD是Rt△ABC的斜边BC上的高，点P在DA的延长线上，且满足(PB→＋PC→)·AD→＝4 2.若AD＝2，则PB→·PC→的值为________．13.已知函数f(x)＋3，x≤0，3－12x＋3，x>0.设g(x)＝kx＋1，且函数y＝f(x)－g(x)的图象经过四个象限，则实数k的取值范围为________．14.在△ABC中，若sin C＝2cos A cos B，则cos2A＋cos2B的最大值为________．10.已知点A (－1,0)，B (1,0)，若圆(x －a ＋1)2＋(y －a －2)2＝1上存在点M 满足MA →·MB →＝3，则实数a 的取值范围是________．11.对于函数y ＝f (x )，若f (x )≥x ，≥－x 内，则称该函数为“V 型函数”．下列函数：①y ＝x ＋1x；②y ＝|x －1x |；③y ＝e |x |；④y ＝|tan x |x －π2，其中是“V 型函数”的是________(填序号)．12.如图所示，矩形ABCD 的边AB ＝4，AD ＝2，以点C 为圆心，CB 为半径的圆与CD 交于点E ，若点P 是圆弧EB (含端点B 、E )上的一点，则PA →·PB →的取值范围是________．第12题图14.已知函数f (x )＝32cos x (cos x ＋sin x )－322(x ∈R )，设点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，…，P n (x n ，y n )，…都在函数y ＝f (x )图象上，且满足x 1＝π6，x n ＋1－x n ＝π4(n ∈N *)，则y 1＋y 2＋…＋y 2019的值为________．14.已知函数f (x )－1，1≤x <2，x ≥2，如果函数g (x )＝f (x )－k (x －3)恰有2个不同的零点，那么实数k 的取值范围是________．11.已知直线l：y＝－x＋4与圆C：(x－2)2＋(y－1)2＝1相交于P，Q两点，则CP→·CQ→＝________.12.已知正实数x，y满足x＋4y－xy＝0，若x＋y≥m恒成立，则实数m的取值范围为________．12.设a，b是非零实数，且满足a sinπ7＋b cosπ7a cosπ7－b sinπ7＝tan10π21，则ba＝________.13.已知函数f(x)＝a＋3＋4x－|x＋a|有且仅有三个零点，且这三个零点构成等差数列，则实数a的值为________．14.若存在正实数x，y，z满足3y2＋3z2≤10yz，且ln x－ln z＝e yz，则xy的最小值为________．10.已知函数f (x )＝2x 4＋4x 2，若f (a ＋3)>f (a －1)，则实数a 的取值范围为________．11.在平面直角坐标系xOy 中，过圆C 1：(x －k )2＋(y ＋k －4)2＝1上任一点P 作圆C 2：x 2＋y 2＝1的一条切线，切点为Q ，则当线段PQ 长最小时，k ＝________.12.已知点P 为平行四边形ABCD 所在平面上一点，且满足PA →＋PB →＋2PD →＝0，λPA →＋μPB →＋PC →＝0，则λμ＝________.13.已知函数f (x )3－3x ＋2a ，x ≥a ，3＋3x －4a ，x <a ，若存在x 0<0，使得f (x 0)＝0，则实数a 的取值范围是________．14.在△ABC 中，已知sin A sin B sin(C －θ)＝λsin 2C ，其中tan θθ若1tan A ＋1tan B ＋2tan C为定值，则实数λ＝________.10.已知数列{a n}是等比数列，有下列四个命题：①数列{|a n|}是等比数列；②数列{a n a n＋1}是等比数列；③④数列{lg a2n}是等比数列．其中正确的命题有________个．11.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x＋2)＝f(x)，当0<x≤1时，f(x)＝x3－ax＋1，则实数a的值为________．12.在平面四边形ABCD中，AB＝1，DA＝DB，AB→·AC→＝3，AC→·AD→＝2，则|AC→＋2AD→|的最小值为________．13.在平面直角坐标系xOy中，圆O：x2＋y2＝1，圆C：(x－4)2＋y2＝4.若存在过点P(m,0)的直线l，直线l被两圆截得的弦长相等，则实数m的取值范围是________．14.已知函数f(x)＝(2x＋a)(|x－a|＋|x＋2a|)(a<0)．若f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(672)＝0，则满足f(x)＝2019的x的值为________．10.已知a >0，b >0，且a ＋3b ＝1b －1a，则b 的最大值为________．11.将函数f (x )＝sin2x 的图象向右平移π6个单位长度得到函数g (x )的图象，则以函数f (x )与g (x )的图象的相邻三个交点为顶点的三角形的面积为________．12.在△ABC 中，AB ＝2，AC ＝3，∠BAC ＝60°，P 为△ABC 所在平面内一点，满足CP →＝32PB →＋2PA →，则CP →·AB →的值为________．13.在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C 1：x 2＋y 2＋2mx －(4m ＋6)y －4＝0(m ∈R )与以C 2(－2,3)为圆心的圆相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，且满足x 21－x 22＝y 22－y 21，则实数m 的值为________．14.已知x >0，y >0，z >0，且x ＋3y ＋z ＝6，则x 3＋y 2＋3z 的最小值为________．10.若直线kx －y －k ＝0与曲线y ＝e x (e 是自然对数的底数)相切，则实数k ＝________.11.已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0，φ∈R )是偶函数，点(1,0)是函数y ＝f (x )图象的对称中心，则ω的最小值为________．12.平面内不共线的三点O ，A ，B 满足|OA →|＝1，|OB →|＝2，点C 为线段AB 的中点，∠AOB的平分线交线段AB 于点D .若|OC →|＝32，则|OD →|＝________.13.过原点的直线l 与圆x 2＋y 2＝1交于P ，Q 两点，点A 是该圆与x 轴负半轴的交点，以AQ 为直径的圆与直线l 有异于Q 的交点N ，且直线AN 与直线AP 的斜率之积等于1，那么直线l 的方程为__________________________________．14.数列{a n }，{b n }满足b n ＝a n ＋1＋(－1)n a n (n ∈N *)，且数列{b n }的前n 项和为n 2.已知数列{a n －n }的前2018项和为1，那么数列{a n }的首项a 1＝________.10.设公差不为零的等差数列{a n}满足a3＝7，且a1－1，a2－1，a4－1成等比数列，则a10＝________.11.已知θ是第四象限角，则cosθ＝45，那么________．12.已知直线y＝a(x＋2)(a>0)与函数y＝|cos x|的图象恰有四个公共点A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D(x4，y4)，其中x1<x2<x3<x4，则x4＋1tan x4＝________.13.已知点P在圆M：(x－a)2＋(y－a＋2)2＝1上，A，B为圆C：x2＋(y－4)2＝4上两动点，且AB＝23，则PA→·PB→的最小值是________．14.在锐角三角形ABC中，已知2sin2A＋sin2B＝2sin2C，则1tan A＋1tan B＋1tan C的最小值为________．10.在平面直角坐标系xOy 中，过点A (1,3)，B (4,6)，且圆心在直线x －2y －1＝0上的圆的标准方程为________．11.设S n 是等比数列{a n }的前n 项和，若S 5S 10＝13，则S 5S 20＋S 10＝________.12.设函数f (x )x 2＋2x ，x ≥0，2x ，x ＜0，若方程f (x )－kx ＝3有三个相异的实根，则实数k 的取值范围是________．13.如图，在边长为2的正方形ABCD 中，M ，N 分别是边BC ，CD 上的两个动点，且BM＋DN ＝MN ，则AM →·AN →的最小值是________．第13题图13.设函数f (x )＝|2x －ax 2|，若对任意的x 1∈(－∞，0)，总存在x 2∈[2，＋∞)，使得f (x 2)≤f (x 1)，则实数a 的取值范围是________．10.已知△ABC 是边长为2的等边三角形，D ，E 分别是边AB ，BC 的中点，连接DE 并延长到点F ，使得DE ＝3EF ，则AF →·BC →的值为________．11.已知等差数列{a n }的公差为d (d ≠0)，前n 项和为S n ，且数列{S n ＋n }也为公差为d 的等差数列，则d ＝________.12.已知x >0，y >0，x ＋y ＝1x ＋4y，则x ＋y 的最小值为________．13.已知圆O ：x 2＋y 2＝1，圆M ：(x －a )2＋(y －2)2＝2.若圆M 上存在点P ，过点P 作圆O 的两条切线，切点为A ，B ，使得PA ⊥PB ，则实数a 的取值范围为________．14.设函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx (a ，b ，c ∈R ，a ≠0)．若不等式xf ′(x )－af (x )≤2对一切x ∈R 恒成立，则b ＋c a的取值范围为________．10.设A＝{(x，y)|3x＋4y≥7}，点P∈A，过点P引圆(x＋1)2＋y2＝r2(r>0)的两条切线PA，PB.若∠APB的最大值为π3，则r的值为________．11.设函数f(x)＝ω>0.若函数f(x)在[0,2π]上恰有2个零点，则ω的取值范围是________．12.若正实数a，b，c满足ab＝a＋2b，abc＝a＋2b＋c，则c的最大值为________．13.设函数f(x)＝x3－a2x(a>0，x≥0)，O为坐标原点，A(3，－1)，C(a,0)．若对此函数图象上的任意一点B，都满足OA→·OB→≤OA→·OC→成立，则a的值为________．14.若数列{a n}满足a1＝0，a4n－1－a4n－2＝a4n－2－a4n－3＝3，a4na4n－1＝a4n＋1a4n＝12，其中n∈N*，且对任意n∈N*都有a n<m成立，则m的最小值为________．10已知函数x e e x f x x sin 2)(--=-，则不等式0)()12(2≤+-x f x f 的解集为.11.在平面四边形ABCD 中，若E 为BC 的中点，,3,2==DE AE 则=+⋅)(DC AB AD .12.已知函数⎪⎩⎪⎨⎧≤>=.0,2.0,lg )(x x x x f x 若函数1)(2--=a x f y 存在5个零点，则实数a 的取值范围为.13.在平面直角坐标系xoy 中，已知点C B A ,),1,1(为圆4:22=+y x O 上的两动点，且,32=BC 若圆O 上存在点,P 使得,0,>=+m OP m AC AB 则正数m 的取值范围为.14.在ABC ∆中，设角C B A ,,的对边分别是,,,c b a 若c b a ,,2成等差数列，则C A sin 2sin 3+的最小值为.10．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知11a =，且数列也为等差数列，则10a =▲．11．如图，已知抛物线22(0)y px p =>与双曲线22221(00)y x a b a b -=>>，有相同的焦点F ，双曲线的焦距为2c ，点A 是两曲线的一个交点，若直线AF，则双曲线的离心率为▲．12．在平面凸四边形ABCD中，AB =，3CD =，点E 满足，且AE=BE=2．若的值为▲．13．在平面直角在平面直角坐标系xOy 中，已知圆221O x y +=：，圆22(4)4C x y -+=：，动点P在直线20x -=上的两点E F ，之间，过点P 分别作圆O C ，的切线，切点为A B ，，若满足2PB PA ≥，则线段EF 的长度为▲．14．已知函数22e ()ln 0x x a f x x x a ⎧⎪=⎨⎪<<⎩，≥，，．若对任意实数k ，总存在实数0x ，使得00()f x kx =成立，求实数a 的取值集合为▲．y x O AB F 第11题10．若向量a ，b 满足1a = ，2b = ，且a ，b 的夹角为3π，则a b + ＝．11．在△ABC 中，若a ＝2，∠B ＝60°，b =，则c ＝．12．在平面直角坐标系xOy 中，若圆C 的圆心在第一象限，圆C 与x 轴相交于A(1，0)、B(3，0)两点，且与直线10x y -+=相切，则圆C 的标准方程为．13．在△ABC 中，BC ＝6，BC 边上的高为2，则AB AC ⋅ 的最小值为．14．函数32()f x x bx cx d =+++在区间[﹣1，2]上是减函数，则b ＋c 的最大值为．10．若将一个圆锥的侧面沿一条母线剪开，其展开图是半径为2cm 的半圆，则该圆锥的体积为cm 3．11．在平面直角坐标系xOy 中，己知圆C 过点A(0，﹣8)，且与圆22660x y x y +--=相切于原点，则圆C 的方程为．12．在△ABC 中，D，E 分别是AC，AB 的中点，BA BC 6⋅= ，CA CB 3⋅= ，BD CE ⋅= 4-，则BA CA ⋅ 的值是．13．己知实数x ，y ，z ∈[0，4]，如果222,,z y x 是公差为2的等差数列，则x y y z -+-的最小值为．14．已知函数()33x x f x -=-，3313(12log )(3log 1)log f t f t t -+-≥，则t 的取值范围是．10．在平行四边形ABCD 中，∠A ＝3π，AB ＝2，AD ＝1，若M 、N 分别是边BC 、CD 上的点，且满足BM CN BC CD= ，则AM AN ⋅ 的取值范围是．11．如图，已知△ABC 为等腰直角三角形，其中∠BAC ＝90°，且AB ＝2，光线从AB 边上的中点P 出发，经BC ，CA 反射后又回到点P （反射点分别为Q ，R ），则光线经过的路径总长PQ ＋QR ＋RP ＝．12．在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 1：y mx =与曲线3()2f x x x =+从左至右依次交于A 、B 、C 三点，若直线l 2：2y kx =+上存在P 满足PA PC 1+= ，则实数k 的取值范围是．13．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆O ：224x y +=，过点P(1，1)的直线l 交圆O 于A ，B 两点，且AP ＝2PB ，则满足上述条件的所有直线斜率之和为．14．已知P ，Q 为曲线C ：21y x =-+上在y 轴两侧的点，过P ，Q 分别作曲线C 的切线，则两条切线与x 轴围成的三角形面积的最小值为．第三十局10.已知函数()2sin x x f x e e x -=--，则不等式2(32)()0f x f x -+≤的解集为11.在ABC ∆中，0150ABC ∠=，D 在线段AC 上，030DBC ∠=，若ABC ∆，当BD 取最大值是，AC =12.已知周期为4的函数()1|2|f x x ⎧⎪=⎨--⎪⎩(1,1](1,3]x x ∈-∈，(0)m >，若方程1()03f x x -=恰好有5个实数根，则实数m 的取值范围是13.已知1||||1,,(,1),(,1),2a b a b c m m d n n ==⋅==-=- 存在,a b 对于任意实数,m n ，不等式||||a c b d T -+-≥ ，则实数T 的取值范围是14.已知0,0,2,a b c >>>且1a b +=，则362ac c b ab c ++-的最小值是。

2020年江苏省高考数学试卷一、填空题1. 已知集合B={0,2,3}，A={−1,0,1,2}，则A∩B=________.2. 已知i是虚数单位，则复数z=(1+i)(2−i)的实部是________.3. 已知一组数据4，2a，3−a，5，6的平均数为4，则a的值是________.4. 将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数和为5的概率是________.5. 下图是一个算法流程图，若输出y值为−2，则输入x的值是________.6. 在平面直角坐标系xOy中，若双曲线x2a2−y25=1(a>0)的一条渐近线方程为y=√52x，则该双曲线的离心率是________.7. 已知y=f(x)是奇函数，当x≥0时，f(x)=x 23，则f(−8)的值是________.8. 已知sin2(π4+α)=23，则sin2α的值是________.9. 如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的．已知螺帽的底面正________cm 2.10. 将函数y =3sin (2x +π4)的图象向右平移π6个单位长度，则平移后的图象中与y 轴最近的对称轴的方程是________.11. 设{a n }是公差为d 的等差数列，{b n }是公比为q 的等比数列.已知{a n +b n }的前n 项和S n =n 2−n +2n −1(n ∈N ∗)，则d +q 的值是________.12. 已知5x 2y 2+y 4=1(x,y ∈R )，则x 2+y 2的最小值是________.13. 在△ABC 中，AB =4， AC =3， ∠BAC =90∘，D 在边BC 上，延长AD 到P ，使得AP =9.若PA →=mPB →+(32−m)PC →(m 为常数），则CD 的长度是________.14. 在平面直角坐标系xOy 中，已知P (√32,0)，A ，B 是圆C:x 2+(y −12)2=36上的两个动点，满足PA =PB ，则△PAB 面积的最大值是________. 二、解答题15. 在三棱柱ABC −A 1B 1C 1中， AB ⊥AC ，B 1C ⊥平面ABC ，E ，F 分别是AC ，B 1C 的中点．(1)求证： EF//平面AB 1C 1；(2)求证：平面AB 1C ⊥平面ABB 1.16. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，己知a=3，c=√2，∠B=45∘.(1)求sin C的值；(2)在边BC上取一点D，使得cos∠ADC=−45，求tan∠DAC的值.17. 某地准备在山谷中建一座桥梁，桥址位置的竖直截面图如图所示：谷底O在水平线MN上，桥AB与MN平行，OO′为铅垂线（O′在AB上）．经测量，左侧曲线AO上任一点D到MN的距离ℎ1（米）与D到OO′的距离a（米）之间满足关系式ℎ1=140a2；右侧曲线BO上任一点F到MN的距离ℎ2（米）与F到OO′的距离b（米）之间满足关系式ℎ2=−1800b3+6b．已知点B到OO′的距离为40米．(1)求桥AB的长度；(2)计划在谷底两侧建造平行于OO′的桥墩CD和EF. 且CE为80米，其中C，E在AB上（不包括端点）. 桥墩EF每米造价k（万元），桥墩CD每米造价32k（万元）(k>0)，问O′E为多少米时，桥墩CD与EF的总造价最低？18. 在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆E:x24+y23=1的左、右焦点分别为F1，F2，点A在椭圆E上且在第一象限内，AF2⊥F1F2，直线AF1与椭圆E相交于另一点B．(1)求△AF1F2的周长；(2)在x 轴上任取一点P ，直线AP 与椭圆E 的右准线相交于点Q ，求OP →⋅QP →的最小值；(3)设点M 在椭圆E 上，记△OAB 与△MAB 的面积分别为S 1，S 2，若S 2=3S 1，求点M 的坐标．19. 已知关于x 的函数y =f (x ) ，y =g (x )与ℎ(x )=kx +b (k,b ∈R )在区间D 上恒有f (x )≥ℎ(x )≥g (x ).(1)若f (x )=x 2+2x ，g (x )=−x 2+2x ，D =(−∞,+∞)，求ℎ(x )的表达式；(2)若f (x )=x 2−x +1，g (x )=k ln x ，ℎ(x )=kx −k ，D =(0,+∞)，求k 的取值范围；(3)若f (x )=x 4−2x 2，g (x )=4x 2−8，ℎ(x )=4(t 3−t )x −3t 4+2t 2(0<|t|≤√2)，D =[m,n ]⊂[−√2,√2]，求证：n −m ≤√7.20. 已知数列{a n }(n ∈N ∗)的首项a 1=1，前n 项和为S n .设λ和k 为常数，若对一切正整数n ，均有S n+11k−S n 1k=λa n+11k成立，则称此数列为“λ−k ”数列. (1)若等差数列是“λ−1”数列，求λ的值；(2)若数列{a n }是“√33−2”数列，且a n >0，求数列{a n }的通项公式；(3)对于给定的λ，是否存在三个不同的数列{a n }为“λ−3”数列，且a n ≥0？若存在，求出λ的取值范围；若不存在，说明理由.参考答案与试题解析2020年江苏省高考数学试卷一、填空题1.【答案】{0,2}【考点】交集及其运算【解析】集合论中，设A，B是两个集合，由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合，叫做集合A与集合B的交集，记作A∩B．【解答】解：集合B={0,2,3}，A={−1,0,1,2}，则A∩B={0,2}.故答案为：{0,2}.【点评】此题暂无点评2.【答案】3【考点】复数代数形式的混合运算复数的基本概念【解析】此题暂无解析【解答】解：z=(1+i)(2−i)=3+i，则实部为3.故答案为：3.【点评】此题暂无点评3.【答案】2【考点】众数、中位数、平均数【解析】此题暂无解析【解答】=4，解：由4+2a+(3−a)+5+65可知a=2.故答案为：2.此题暂无点评4.【答案】19【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率【解析】此题暂无解析【解答】解：总事件数为6×6=36，满足条件的事件为(1, 4)，(2, 3)，(3, 2)，(4, 1)为共4种，则点数和为5的概率为436=19.故答案为：19.【点评】此题暂无点评5.【答案】−3【考点】程序框图【解析】此题暂无解析【解答】解：由题可知当y=−2时，当x>0时，y=2x=−2，无解；当x<0时，y=x+1=−2，解得：x=−3. 故答案为：−3.【点评】此题暂无点评6.【答案】32【考点】双曲线的渐近线双曲线的离心率【解析】此题暂无解析【解答】解：由x 2a2−y25=1得渐近线方程为y=±√5ax.∴c2=a2+5=9，∴c=3，∴离心率e=ca =32.故答案为：32. 【点评】此题暂无点评7.【答案】−4【考点】函数奇偶性的性质函数的求值【解析】此题暂无解析【解答】解：y=f(x)是奇函数，当x≥0时，f(x)=x 2 3，则f(−8)=−f(8)=−823=−4.故答案为：−4.【点评】此题暂无点评8.【答案】13【考点】二倍角的余弦公式运用诱导公式化简求值【解析】此题暂无解析【解答】解：因为sin2(π4+α)=23，由sin2(π4+α)=12[1−cos(π2+2α)]=12(1+sin2α)=23，解得sin2α=13.故答案为：13.9.【答案】12√3−π2【考点】柱体、锥体、台体的体积计算【解析】此题暂无解析【解答】解：记此六角螺帽毛坯的体积为V，正六棱柱的体积为V1，内孔的体积为V2，则V1=6×12×2×2×sin60∘×2=12√3，V2=π×(0.5)2×2=π2，所以V=V1−V2=12√3−π2.故答案为：12√3−π2.【点评】此题暂无点评10.【答案】x=−5π24【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换正弦函数的对称性【解析】此题暂无解析【解答】解：因为f(x)=3sin(2x+π4)，将函数f(x)=3sin(2x+π4)的图象向右平移π6个单位长度得：g(x)=f(x−π6)=3sin(2x−π3+π4)=3sin(2x−π12)，则y=g(x)的对称轴为2x−π12=π2+kπ,k∈Z，即x=7π24+kπ2,k∈Z.当k=0时，x=7π24，当k=−1时，x=−5π24，故答案为：x =−5π24. 【点评】 此题暂无点评 11.【答案】 4【考点】等差数列与等比数列的综合 数列的求和【解析】 此题暂无解析 【解答】解：因为{a n +b n }的前n 项和为： S n =n 2−n +2n −1(n ∈N ∗)， 当n =1时，a 1+b 1=1，当n ≥2时，a n +b n =S n −S n−1 =2n −2+2n−1， 所以当n ≥2时，a n =2(n −1)，b n =2n−1，且当n =1时，a 1+b 1=0+1=1成立， 则d =a 2−a 1=2−0=2， q =b 2b 1=21=2，则d +q =4. 故答案为：4. 【点评】 此题暂无点评 12. 【答案】45【考点】基本不等式在最值问题中的应用 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：4=(5x 2+y 2)⋅4y 2≤[(5x 2+y 2)+4y 22]2=254(x 2+y 2)2，故x 2+y 2≥45，当且仅当5x 2+y 2=4y 2=2， 即x 2=310，y 2=12时取(x 2+y 2)min =45.【点评】 此题暂无点评 13. 【答案】 185【考点】二倍角的正弦公式 正弦定理 向量的共线定理 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：由向量系数m +(32−m)=32为常数， 结合等和线性质可知|PA →||PD →|=321，故PD =23PA =6，AD =PA −PD =3=AC ，故∠C =∠CDA ，故∠CAD =π−2C . 在△ABC 中，cos C =ACBC =35.在△ADC ，由正弦定理CDsin ∠CAD =ADsin C ， 即CD =sin (π−2C)sin C⋅AD =sin 2C sin C⋅AD =2AD cos C=2×35×3=185.故答案为：185. 【点评】 此题暂无点评 14. 【答案】10√5 【考点】与圆有关的最值问题 利用导数研究函数的最值【解析】 此题暂无解析 【解答】解：如图，作PC 所在直径EF ，交AB 于点D ，∵PA=PB，CA=CB=R=6，∴PC⊥AB.∵EF为直径，要使面积S△PAB最大，则P，D位于C点两侧，并设CD=x，计算可知PC=1，故PD=1+x, AB=2BD=2√36−x2，故S△PAB=12AB⋅PD=(1+x)⋅√36−x2.令x=6cosθ，其中θ∈(0, π2)，S△PAB=(1+x)√36−x2=(1+6cosθ)⋅6sinθ=6sinθ+18sin2θ.记函数f(θ)=6sinθ+18sin2θ，则f′(θ)=6cosθ+36cos2θ=6(12cos2θ+cosθ−6).令f′(θ)=6(12cos2θ+cosθ−6)=0，解得cosθ=23或cosθ=−34<0(舍去)，显然，当0≤cosθ<23时，f′(θ)<0，f(θ)单调递减；当23<cosθ<1时，f′(θ)>0，f(θ)单调递增.结合cosθ在(0,π2)递减，故cosθ=23时，f(θ)最大，此时sinθ=√1−cos2θ=√53，故f(θ)max=6×√53+36×√53×23=10√5，即△PAB面积的最大值是10√5.故答案为：10√5.【点评】此题暂无点评二、解答题15.【答案】证明：(1)因为E，F分别是AC，B1C的中点，所以EF//AB1.因为EF⊄平面AB1C1，AB1⊂平面AB1C1，所以EF//平面AB1C1.(2)因为B1C⊥平面ABC，AB⊂面ABC，所以B1C⊥AB.又因为AB⊥AC，AC∩B1C=C，AC⊂面AB1C，B1C⊂面AB1C，所以AB⊥面AB1C.因为AB⊂面ABB1，所以平面AB1C⊥平面ABB1.【考点】平面与平面垂直的判定直线与平面平行的判定【解析】此题暂无解析【解答】证明：(1)因为E，F分别是AC，B1C的中点，所以EF//AB1.因为EF⊄平面AB1C1，AB1⊂平面AB1C1，所以EF//平面AB1C1.(2)因为B1C⊥平面ABC，AB⊂面ABC，所以B1C⊥AB.又因为AB⊥AC，AC∩B1C=C，AC⊂面AB1C，B1C⊂面AB1C，所以AB⊥面AB1C.因为AB⊂面ABB1，所以平面AB1C⊥平面ABB1.【点评】此题暂无点评16.【答案】解：(1)由余弦定理，得cos B=cos45∘=a2+c2−b22ac=26√2=√22，因此b2=5，即b=√5.由正弦定理csin C =bsin B，得√2sin C=√5√22，因此sin C=√55.(2)因为cos∠ADC=−45，所以sin∠ADC=√1−cos2∠ADC=35，因为∠ADC∈(π2, π)，所以C∈(0, π2)，所以cos C=√1−sin2∠C=2√55，所以sin∠DAC=sin(π−∠DAC)=sin(∠ADC+∠C) =sin∠ADC cos C+cos∠ADC sin C=2√525.因为∠DAC∈(0, π2)，所以cos∠DAC=√1−sin2∠DAC=11√525，故tan∠DAC=sin∠DACcos∠DAC =211.【考点】两角和与差的正弦公式余弦定理正弦定理同角三角函数间的基本关系【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)由余弦定理，得cos B=cos45∘=a2+c2−b22ac=26√2=√22，因此b2=5，即b=√5.由正弦定理csin C =bsin B，得√2sin C=√5√22，因此sin C=√55.(2)因为cos∠ADC=−45，所以sin∠ADC=√1−cos2∠ADC=35，因为∠ADC∈(π2, π)，所以C∈(0, π2)，所以cos C=√1−sin2∠C=2√55，所以sin∠DAC=sin(π−∠DAC)=sin(∠ADC+∠C) =sin∠ADC cos C+cos∠ADC sin C=2√525.因为∠DAC∈(0, π2)，所以cos∠DAC=√1−sin2∠DAC=11√525，故tan∠DAC=sin∠DACcos∠DAC =211.【点评】此题暂无点评17.【答案】解：(1)过A，B分别作MN的垂线，垂足为A1，B1，则AA 1=BB 1=−1800×403+6×40=160. 令140a 2=160，得a =80，所以AO ′=80，AB =AO ′+BO ′=80+40=120(米). 故桥AB 的长度为120米.(2)设O ′E =x ，则CO ′=80−x ， 由{0<x <40，0<80−x <80， 解得：0<x <40， 则总造价y =3k 2[160−140(80−x )2]+k [160−(−1800x 3+6x)] =k 800(x 3−30x 2+160×800)(0<x <40)，则y ′=k800(3x 2−60x )=3k800x (x −20).因为k >0，所以令y ′=0，得x =0或20， 所以当0<x <20时， y ′<0，y 单调递减； 当20<x <40时， y ′>0，y 单调递增，所以，当x =20时，y 取最小值155k ，此时造价最低． 答： O ′E 为20米时，桥墩CD 与EF 的总造价最低． 【考点】利用导数研究函数的最值 函数模型的选择与应用【解析】 此题暂无解析 【解答】解：(1)过A ，B 分别作MN 的垂线，垂足为A 1，B 1，则AA 1=BB 1=−1800×403+6×40=160. 令140a 2=160，得a =80，所以AO ′=80，AB =AO ′+BO ′=80+40=120(米). 故桥AB 的长度为120米.(2)设O ′E =x ，则CO ′=80−x ， 由{0<x <40，0<80−x <80， 解得：0<x <40， 则总造价y =3k 2[160−140(80−x )2]+k [160−(−1800x 3+6x)] =k 800(x 3−30x 2+160×800)(0<x <40)，则y ′=k800(3x 2−60x )=3k800x (x −20).因为k >0，所以令y ′=0，得x =0或20， 所以当0<x <20时， y ′<0，y 单调递减； 当20<x <40时， y ′>0，y 单调递增，所以，当x =20时，y 取最小值155k ，此时造价最低． 答： O ′E 为20米时，桥墩CD 与EF 的总造价最低． 【点评】 此题暂无点评 18.【答案】解：(1)由题意知，△AF 1F 2的周长l =2a +2c =6. (2)由椭圆方程得A (1,32)， 设点P (t,0)，则直线AP 方程为y =321−t(x −t ).令x =a 2c=4，得y Q =6−32t 1−t，即Q(4,12−3t2−2t)，则QP →=(t −4,12−3t 2t−2)，所以OP →⋅QP →=t 2−4t =(t −2)2−4≥−4， 即OF →⋅QP →的最小值为−4.(3)设O 到直线AB 的距离为d 1，M 到直线AB 的距离为d 2. 若S 2=3S 1，则12×|AB|×d 2=12×|AB|×d 1×3， 即d 2=3d 1.由题意可得直线AB 方程为y =34(x +1)，即3x −4y +3=0， 所以d 1=35,d 2=95.由题意得，M 点应为与直线AB 平行且距离为95的直线与椭圆的交点.设平行于AB 的直线l 为3x −4y +m =0，与直线AB 的距离为95，所以√9+16=95，即m =−6或12． 当m =−6时，直线l 为3x −4y −6=0，即y =34(x −2). 联立{y =34(x −2),x 24+y 23=1,可得(x −2)(7x +2)=0，即{x M =2,y M =0,或{x M =−27,y M =−127,所以M(2,0)或(−27,−127).当m =12时，直线l 为3x −4y +12=0，即y =34(x +4). 联立{y =34(x +4),x 24+y 23=1,可得214x 2+18x +24=0，Δ=9×(36−56)<0，所以无解． 综上所述，M 点坐标为(2,0)或(−27,−127).【考点】圆锥曲线中的定点与定值问题 椭圆中的平面几何问题 直线与椭圆结合的最值问题【解析】 此题暂无解析 【解答】解：(1)由题意知，△AF 1F 2的周长l =2a +2c =6. (2)由椭圆方程得A (1,32)，设点P (t,0)，则直线AP 方程为y =321−t(x −t ).令x =a 2c=4，得y Q =6−32t 1−t，即Q(4,12−3t 2−2t)，则QP →=(t −4,12−3t 2t−2)，所以OP →⋅QP →=t 2−4t =(t −2)2−4≥−4， 即OF →⋅QP →的最小值为−4.(3)设O 到直线AB 的距离为d 1，M 到直线AB 的距离为d 2. 若S 2=3S 1，则12×|AB|×d 2=12×|AB|×d 1×3， 即d 2=3d 1.由题意可得直线AB 方程为y =34(x +1)，即3x −4y +3=0，所以d 1=35,d 2=95.由题意得，M 点应为与直线AB 平行且距离为95的直线与椭圆的交点. 设平行于AB 的直线l 为3x −4y +m =0，与直线AB 的距离为95， 所以√9+16=95，即m =−6或12． 当m =−6时，直线l 为3x −4y −6=0，即y =34(x −2). 联立{y =34(x −2),x 24+y 23=1,可得(x −2)(7x +2)=0，即{x M =2,y M =0或{x M =−27,y M=−127,所以M(2,0)或(−27,−127).当m =12时，直线l 为3x −4y +12=0，即y =34(x +4).联立{y =34(x +4),x 24+y 23=1,可得214x 2+18x +24=0，Δ=9×(36−56)<0，所以无解． 综上所述，M 点坐标为(2,0)或(−27,−127). 【点评】 此题暂无点评 19. 【答案】(1)解：由f(x)=g(x)，得x=0,f′(x)=2x+2，g′(x)=−2x+2，所以f′(0)=g′(0)=2，所以，函数ℎ(x)的图像为过原点，斜率为2的直线，所以ℎ(x)=2x，经检验：ℎ(x)=2x符合题意.(2)解：ℎ(x)−g(x)=k(x−1−ln x)，设φ(x)=x−1−ln x，则φ′(x)=1−1x =x−1x，可得φ(x)≥φ(1)=0，所以当ℎ(x)−g(x)≥0时，k≥0.令p(x)=f(x)−ℎ(x)=x2−x+1−(kx−k) =x2−(k+1)x+(1+k)≥0，得当x=k+1≤0时，f(x)在(0,+∞)上递增，所以p(x)>p(0)=1+k≥0，所以k=−1；当k+1>0时，Δ≤0，即(k+1)2−4(k+1)≤0，(k+1)(k−3)≤0，−1<k≤3.综上，k∈[0,3]．(3)证明：因为f(x)=x4−2x2，所以f′(x)=4x3−4x=4x(x+1)(x−1)，所以函数y=f(x)的图像在x=x0处的切线为y=(4x03−4x0)(x−x0)+(x04−2x02)=(4x03−4x0)x−3x04+2x02，可见直线y=ℎ(x)为函数y=f(x)的图像在x=t(0<|t|≤√2)处的切线.又因为由函数y=f x的图像可知，当f(x)≥ℎ(x)在区间D上恒成立时，|t|∈[1,√2].又由g(x)−ℎ(x)=0，得4x2−4(t3−t)x+3t4−2t2−8=0.设方程g(x)−ℎ(x)=0的两根为x1,x2，则x1+x2=t3−t，x1x2=3t4−2t2−84，所以|x1−x2|=√(x1+x2)2−4x1x2=√(t3−t)2−(3t4−2t4−8)=√t6−5t4+3t2+8.令t2=λ，则λ∈[1,2]，由图像可知n−m=|x1−x2|=√λ3−5λ2+3λ+8，设φ(λ)=λ3−5λ2+3λ+8，则φ′(λ)=3λ2−10λ+3=(λ−3)(3λ−1)，所以当λ∈[1,2]时，φ′(λ)<0，φ(λ)单调递减，所以φ(λ)max=φ(1)=7，故(n−m)max=|x1−x2|max=√φ(λ)max=√7，即n−m≤√7.【考点】利用导数研究不等式恒成立问题函数与方程的综合运用利用导数研究曲线上某点切线方程利用导数研究函数的单调性导数的几何意义【解析】此题暂无解析【解答】(1)解：由f(x)=g(x)，得x=0,f′(x)=2x+2，g′(x)=−2x+2，所以f′(0)=g′(0)=2，所以，函数ℎ(x)的图像为过原点，斜率为2的直线，所以ℎ(x)=2x，经检验：ℎ(x)=2x符合题意.(2)解：ℎ(x)−g(x)=k(x−1−ln x)，设φ(x)=x−1−ln x，则φ′(x)=1−1x =x−1x，可得φ(x)≥φ(1)=0，所以当ℎ(x)−g(x)≥0时，k≥0.令p(x)=f(x)−ℎ(x)=x2−x+1−(kx−k) =x2−(k+1)x+(1+k)≥0，得当x=k+1≤0时，f(x)在(0,+∞)上递增，所以p(x)>p(0)=1+k≥0，所以k=−1；当k+1>0时，Δ≤0，即(k+1)2−4(k+1)≤0，(k+1)(k−3)≤0，−1<k≤3.综上，k∈[0,3]．(3)证明：因为f(x)=x4−2x2，所以f′(x)=4x3−4x=4x(x+1)(x−1)，所以函数y=f(x)的图像在x=x0处的切线为y=(4x03−4x0)(x−x0)+(x04−2x02)=(4x03−4x0)x−3x04+2x02，可见直线y=ℎ(x)为函数y=f(x)的图像在x=t(0<|t|≤√2)处的切线.又因为当f(x)≥ℎ(x)在区间D上恒成立时，|t|∈[1,√2].又由g(x)−ℎ(x)=0，得4x2−4(t3−t)x+3t4−2t2−8=0.设方程g(x)−ℎ(x)=0的两根为x1,x2，则x1+x2=t3−t，，x1x2=3t4−2t2−84所以|x1−x2|=√(x1+x2)2−4x1x2=√(t3−t)2−(3t4−2t4−8)=√t6−5t4+3t2+8.令t2=λ，则λ∈[1,2]，由图像可知n−m=|x1−x2|=√λ3−5λ2+3λ+8，设φ(λ)=λ3−5λ2+3λ+8，则φ′(λ)=3λ2−10λ+3=(λ−3)(3λ−1)，所以当λ∈[1,2]时，φ′(λ)<0，φ(λ)单调递减，所以φ(λ)max=φ(1)=7，故(n−m)max=|x1−x2|max=√φ(λ)max=√7，即n−m≤√7.【点评】此题暂无点评20.【答案】解：(1)k=1时，a n+1=S n+1−S n=λa n+1，由n为任意正整数，且a1=1，a n≠0，可得λ=1.(2)√S n+1−√S n=√3√a n+1，3a n+1=S n+1−S n=√3√a n+1(√S n+1+√S n)，3因此√S n+1+√S n=√3√a n+1，√3a n+1，即√S n+1=23S n+1=43a n+1=43(S n+1−S n )， 所以S n+1=4S n .又S 1=a 1=1，S n =4n−1， a n =S n −S n−1=3⋅4n−2，n ≥2.综上，a n ={1，n =1，3⋅4n−2，n ≥2.(n ∈N ∗) (3)若存在三个不同的数列{a n }为“λ−3”数列， 则S n+113−S n 13=λa n+113，则S n+1−3S n+123S n 13+3S n+113S n 23−S n =λ3a n+1=λ3(S n+1−S n ). 由a 1=1，a n ≥0，且S n >0， 令p n =(S n+1S n )13>0，则(1−λ3)p n 3−3p n 2+3p n −(1−λ3)=0，λ=1时，p n =p n 2，由p n >0可得p n =1，则S n+1=S n ，即a n+1=0，此时{a n }唯一，不存在三个不同的数列{a n }； λ≠1时，令t =31−λ3，则p n 3−tp n 2+tp n −1=0，则(p n −1)[p n 2+(1−t)p n +1]=0，①t ≤1时，p n 2+(1−t)p n +1>0，则p n =1，同理不存在三个不同的数列{a n }；②1<t <3时，Δ=(1−t)2−4<0，p n 2+(1−t)p n +1=0无解，则p n =1，同理不存在三个不同的数列{a n }； ③t =3时，(p n −1)3=0， 则p n =1，同理不存在三个不同的数列{a n }； ④t >3即0<λ<1时，Δ=(1−t)2−4>0， p n 2+(1−t)p n +1=0有两解α，β. 设α<β，α+β=t −1>2，αβ=1>0， 则0<α<1<β， 则对任意n ∈N ∗，S n+1S n =1或S n+1S n =α3或S n+1S n =β3，此时S n =1，S n ={1，n =1，α3，n ≥2，S n ={1,n =1,2β3，n ≥3均符合条件， 对应a n ={1,n =1,0,n ≥2，a n ={1,n =1,α3−1,n =2,0,n ≥3，a n ={1,n =1,β3−1,n =3,0,n =2,n ≥4,则存在三个不同的数列{a n }为“λ−3”数列，且a n ≥0. 综上，0<λ<1.【考点】数列递推式一元二次方程的根的分布与系数的关系 等比数列的通项公式等差数列的性质【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)k =1时，a n+1=S n+1−S n =λa n+1， 由n 为任意正整数，且a 1=1，a n ≠0， 可得λ=1.(2)√S n+1−√S n =√33√a n+1， a n+1=S n+1−S n =√33√a n+1(√S n+1+√S n )，因此√S n+1+√S n =√3√a n+1， 即√S n+1=23√3a n+1， S n+1=43a n+1=43(S n+1−S n )， 所以S n+1=4S n .又S 1=a 1=1，S n =4n−1， a n =S n −S n−1=3⋅4n−2，n ≥2.综上，a n ={1，n =1，3⋅4n−2，n ≥2.(n ∈N ∗) (3)若存在三个不同的数列{a n }为“λ−3”数列， 则S n+113−S n 13=λa n+113，则S n+1−3S n+123S n 13+3S n+113S n 23−S n =λ3a n+1=λ3(S n+1−S n ). 由a 1=1，a n ≥0，且S n >0， 令p n =(S n+1S n )13>0，则(1−λ3)p n 3−3p n 2+3p n −(1−λ3)=0，λ=1时，p n =p n 2，由p n >0可得p n =1，则S n+1=S n ，即a n+1=0，此时{a n }唯一，不存在三个不同的数列{a n }； λ≠1时，令t =31−λ3，则p n 3−tp n 2+tp n −1=0，则(p n −1)[p n 2+(1−t)p n +1]=0，①t ≤1时，p n 2+(1−t)p n +1>0，则p n =1，同理不存在三个不同的数列{a n }；②1<t <3时，Δ=(1−t)2−4<0，p n 2+(1−t)p n +1=0无解，则p n =1，同理不存在三个不同的数列{a n }； ③t =3时，(p n −1)3=0， 则p n =1，同理不存在三个不同的数列{a n }；④t >3即0<λ<1时，Δ=(1−t)2−4>0， p n 2+(1−t)p n +1=0有两解α，β. 设α<β，α+β=t −1>2，αβ=1>0， 则0<α<1<β，则对任意n ∈N ∗，S n+1S n =1或S n+1S n =α3或S n+1S n =β3，此时S n =1，S n ={1，n =1，α3，n ≥2，S n ={1,n =1,2β3，n ≥3均符合条件， 对应a n ={1,n =1,0,n ≥2，a n ={1,n =1,α3−1,n =2,0,n ≥3，a n ={1,n =1,β3−1,n =3,0,n =2,n ≥4,则存在三个不同的数列{a n }为“λ−3”数列，且a n ≥0. 综上，0<λ<1.【点评】此题暂无点评。

[基础保分练] 1.a a a (a >0)用分数指数幂表示为________． 2．已知x <1，化简4(x －2)4－x 2－2x ＋1＝________.3．计算：()130.027- －⎝⎛⎭⎫－17－2＋12729⎛⎫ ⎪⎝⎭－(2－1)0＝________. 4．若2x ＝3，⎝⎛⎭⎫12y ＝32，则22x ＋y ＝________. 5．(2019·南京调研)已知log 7[log 3(log 2x )]＝0，那么12x - ＝________.6. 2332a b --⎛⎫ ⎪⎝⎭ ·(－3a －1b )÷5434a b --⎛⎫ ⎪⎝⎭(a >0，b >0)＝________. 7．(2019·徐州质检)计算：(log 29)·(log 32)·2318⎛⎫⎪⎝⎭ ＝________. 8．若a ＝log 92，则9a ＝________，3a ＋3－a ＝________. 9．若x ·log 32＝1，则2x ＋2－x ＝________. 10．若15a ＝5b ＝3c ＝25，则1a ＋1b －1c＝________. [能力提升练] 1．若a ＋b ＝13m ，ab ＝2316m (m >0)，则a 3＋b 3的值为________． 2．(2018·常州模拟)若log 2(log 3x )＝log 3(log 2y )＝2，则x ＋y ＝________.3．已知x ＝log 23，则23x －2－3x 2x －2－x ＝________. 4．(2018·无锡调研)已知函数y ＝4a x －9－1(a >0且a ≠1)恒过定点A (m ，n )，则log m n ＝________. 5．若lg x －lg y ＝a ，则lg ⎝⎛⎭⎫x 23－lg ⎝⎛⎭⎫y 23＝________.(用含有a 的式子表示) 6．(2019·南京模拟)已知常数a >0，函数f (x )＝2x2x ＋ax的图象经过点P ⎝⎛⎭⎫p ，65，Q ⎝⎛⎭⎫q ，－15，若2p ＋q ＝16pq ，则a ＝________.答案精析基础保分练1．78a 2.1 3.－45 4.6 5.24 6．－32b 2 7.1 8.2 3229.103解析 因为x ·log 32＝1，所以x ＝1log 32＝log 23， 所以2x ＋2－x ＝2log 32＋2log 32- ＝2log 32＋21log 32＝3＋13＝103. 10．1解析 ∵15a ＝5b ＝3c ＝25，∴a ＝log 1525，b ＝log 525，c ＝log 325， ∴1a ＋1b －1c＝log 2515＋log 255－log 253 ＝log 2525＝1.能力提升练 1.12m 2.593 3.919 4.125．3a解析 ∵lg x －lg y ＝a ，∴lg x y＝a ， ∴lg ⎝⎛⎭⎫x 23－lg ⎝⎛⎭⎫y 23 ＝lg ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎫x23⎝⎛⎭⎫y 23＝lg ⎝⎛⎭⎫x y 3＝3lg x y＝3a . 6．4解析 函数f (x )＝2x 2x ＋ax的图象经过点P ⎝⎛⎭⎫p ，65，Q ⎝⎛⎭⎫q ，－15. 则2p 2p ＋ap ＋2q2q ＋aq ＝65－15＝1，整理得2p ＋q ＋2p aq ＋2q ap ＋2p ＋q 2p ＋q ＋2p aq ＋2q ap ＋a 2pq ＝1， 解得2p ＋q ＝a 2pq ，由于2p ＋q ＝16pq ，所以a 2＝16，由于a >0，故a ＝4.。