2020年山东省高考数学模拟试卷（6）一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分） 1．（5分）集合{（1，2），（3，4）}的子集个数为（ ） A ．3B ．4C ．15D ．162．（5分）已知复数z 满足1z=i z+1，则复数z 的共轭复数z 对应的点在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．（5分）已知（1+x ）5＝a 0+a 1（1﹣x ）+a 2（1﹣x ）2+…+a 5（1﹣x ）5，则a 3＝（ ） A ．﹣40B ．40C ．10D ．﹣104．（5分）1943年，我国病毒学家黄祯祥在美国发表了对病毒学研究有重大影响的论文“西方马脑炎病毒在组织培养上滴定和中和作用的进一步研究”，这一研究成果，使病毒在试管内繁殖成为现实，从此摆脱了人工繁殖病毒靠动物、鸡胚培养的原始落后的方法．若试管内某种病毒细胞的总数y 和天数t 的函数关系为：y ＝2t ﹣1，且该种病毒细胞的个数超过108时会发生变异，则该种病毒细胞实验最多进行的天数为（ ）天（lg 2≈0.3010） A ．25B ．26C ．27D ．285．（5分）著名数学家华罗庚先生曾说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．”在数学的学习和研究中，经常用函数的图象来研究函数的性质，也经常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征，如函数f （x ）=x(e x −e −x )x 2−1的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．6．（5分）当a ＜0时，关于x 的不等式x 2﹣4ax +3a 2＜0的解集是（x 1，x 2），则b =x 1+x 2+ax 1x2取得最值的充分条件是（ ）A ．有最大值，b ≤﹣1B ．有最小值，b ≥−4√3C ．有最大值，b ≤﹣5D ．有最小值，b ≤−4√337．（5分）函数y ＝2﹣2sin x 的最大值和最小值分别是（ ） A ．2，﹣2B ．4，0C ．2，0D ．4，﹣48．（5分）已知数列{a n }的首项a 1＝1，函数f （x ）＝x 3+a n +1﹣a n ﹣cos nπ3为奇函数，记S n为数列{a n }的前n 项之和，则S 2020的值是（ ） A ．20232B ．1011C ．1008D ．336二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分） 9．（5分）将曲线y =sin 2x −√3sin(π−x)sin(x +3π2)上每个点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到g （x ）的图象，则下列说法正确的是（ ） A ．g （x ）的图象关于直线x =2π3对称 B ．g （x ）在[0，π]上的值域为[0，32] C ．g （x ）的图象关于点(π6，0)对称D ．g （x ）的图象可由y =cosx +12的图象向右平移2π3个单位长度得到10．（5分）设抛物线y 2＝2px （p ＞0）的焦点为F ，P 为其上一动点，当P 运动到（2，t ）时，|PF |＝4，直线l 与抛物线相交于A ，B 两点，点M （4，1），下列结论正确的是（ ） A ．抛物线的方程为y 2＝4x B ．|PM |+|PF |的最小值为6C ．存在直线l ，使得A 、B 两点关于x +y ﹣6＝0对称D ．当直线l 过焦点F 时，以AF 为直径的圆与y 轴相切11．（5分）如图，在棱长均相等的四棱锥P ﹣ABCD 中，O 为底面正方形的中心，M ，N 分别为侧棱P A ，PB 的中点，有下列结论正确的有（ ）A ．PD ∥平面OMNB ．平面PCD ∥平面OMNC ．直线PD 与直线MN 所成角的大小为90° D ．ON ⊥PB12．（5分）给出下列4个命题：①命题“若x ≥2且y ≥3，则x +y ≥5”为假命题． ②命题p ：∀x ＞2，x 2﹣1＞0，则￢p 是∀x ＞2，x 2﹣1≤0． ③“x ＞1”是“|x |＞0”的充分不必要条件． ④若2x +5y ≤2﹣y +5﹣x ，则x +y ≤0．其中所有正确命题是（ ） A ．①B ．②C ．③D ．④三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分） 13．（5分）已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，过左焦点F 1的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，且|AF 1|＝3|BF 1|，|AB |＝|BF 2|，则椭圆C 的离心率为 ． 14．（5分）已知O 是△ABC 的外心，且A =π3，AB ＝5，AC ＝3，若AO →=m AB →+n AC →，则m +n ＝ ．15．（5分）已知三棱锥S ﹣ABC 的顶点都在球O 的球面上，且该三棱锥的体积为2√3，SA ⊥平面ABC ．SA ＝4，∠ABC ＝120°，则球O 的体积的最小值为 ． 16．（5分）设双曲线x 216−y 2b =1的左右两个焦点分别为F 1、F 2，P 是双曲线上任意一点，过F 1的直线与∠F 1PF 2的平分线垂直，垂足为Q ，则点Q 的轨迹曲线E 的方程 ；M 在曲线E 上，点A （8，0），B （5，6），则12|AM |+|BM |的最小值 ．四．解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cosB =−12． （Ⅰ）若b sin B ﹣a sin A ＝2c sin C ，求ac 的值；（Ⅱ）若∠ABC 的平分线交AC 于D ，且BD ＝1，求4a +c 的最小值．18．（12分）数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S n +a n =n−1n(n+1)+1，n =1，2，3⋯ （1）设b n =a n +1n(n+1)，求证：数列{b n }是等比数列； （2）设c n =1−2n−1a n ，求c n 的最小值．19．（12分）在三棱锥，S ﹣ABC 中，AB ⊥平面SAC ，AS ⊥SC ，AB ＝1，AC =√2，E 为AB的中点，M为CE的中点．（1）证明：平面SCE⊥平面SAB；（2）在线段SB上是否存在一点N，使MN∥平面SAC？若存在，指出点N的位置并给出证明，若不存在，说明理由；（3）若∠SCA＝30°，求二面角S﹣CE﹣B的大小．20．（12分）为了适应高考改革，某中学推行“创新课堂”教学．高一平行甲班采用“传统教学”的教学方式授课，高一平行乙班采用“创新课堂”的教学方式授课，为了比较教学效果，期中考试后，分别从两个班中各随机抽取20名学生的成绩进行统计分析，结果如下表：（记成绩不低于120分者为“成绩优秀”）．分数[80，90）[90，100）[100，110）[110，120）[120，130）[130，140）[140，150）甲班频数1144532乙班频数0112664传统教学（甲班）创新课堂（乙班）总计成绩优秀成绩不优秀总计（Ⅰ）由以上统计数据填写下面的2×2列联表，并判断是否有95%以上的把握认为“成绩优秀与教学方式有关”？（Ⅱ）现从上述样本“成绩不优秀”的学生中，抽取3人进行考核，记“成绩不优秀”的乙班人数为X，求X的分布列和期望．参考公式：K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n ＝a +b +c +d ）临界值表： P （K 2≥k ） 0.1000.050 0.010 0.001 k2.7063.8416.63510.82821．（12分）已知动圆与y 轴相切于点M （0，2），过点E （0，﹣1），F （0，1）分别作动圆异于y 轴的两切线，设两切线相交于Q ，点Q 的轨迹为曲线Ω． （1）求曲线Ω的轨迹方程；（2）过（2，0）的直线l 与曲线Ω相交于不同两点A ，B ，若曲线Ω上存在点P ，使得λOP →=OA →+OB →成立，求实数λ的范围． 22．（12分）函数f(x)=e x −1e x ，ℎ(x)=xx+1（1）判断x ＞0时，f （x ）﹣h （x ）的零点个数，并加以说明； （2）正项数列{a n }满足a 1=1，a n e −a n+1=f(a n ) ①判断数列{a n }的单调性并加以证明．②证明：∑ n+1i=1a i ＜2−(12)n ．2020年山东省高考数学模拟试卷（6）参考答案与试题解析一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分） 1．（5分）集合{（1，2），（3，4）}的子集个数为（ ） A ．3B ．4C ．15D ．16【解答】解：{（1，2），（3，4）}的元素有2个， 所以子集个数有4个， 故选：B ．2．（5分）已知复数z 满足1z =i z+1，则复数z 的共轭复数z 对应的点在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【解答】解：∵1z =i z+1，∴z =1i−1=−12i −12， z =12i −12则z 的共轭复数对应的点的坐标为(−12，12)，位于第二象限． 故选：B ．3．（5分）已知（1+x ）5＝a 0+a 1（1﹣x ）+a 2（1﹣x ）2+…+a 5（1﹣x ）5，则a 3＝（ ） A ．﹣40B ．40C ．10D ．﹣10【解答】解：已知(1+x)5=a 0+a 1(1−x)+a 2(1−x)2+⋯+a 5(1−x)5=[2﹣（1﹣x ）]5，则a 3=C 53•（﹣1）3•22＝﹣40， 故选：A ．4．（5分）1943年，我国病毒学家黄祯祥在美国发表了对病毒学研究有重大影响的论文“西方马脑炎病毒在组织培养上滴定和中和作用的进一步研究”，这一研究成果，使病毒在试管内繁殖成为现实，从此摆脱了人工繁殖病毒靠动物、鸡胚培养的原始落后的方法．若试管内某种病毒细胞的总数y 和天数t 的函数关系为：y ＝2t ﹣1，且该种病毒细胞的个数超过108时会发生变异，则该种病毒细胞实验最多进行的天数为（ ）天（lg 2≈0.3010） A ．25B ．26C ．27D ．28【解答】解：∵y ＝2t ﹣1， ∴2t ﹣1＞108，两边同时取常用对数得：lg2t﹣1＞lg108，∴（t﹣1）lg2＞8，∴t﹣1＞8lg2，∴t＞8lg2+1≈27.6，∴该种病毒细胞实验最多进行的天数为27天，故选：C．5．（5分）著名数学家华罗庚先生曾说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．”在数学的学习和研究中，经常用函数的图象来研究函数的性质，也经常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征，如函数f（x）=x(e x−e−x)x2−1的图象大致是（）A．B．C．D．【解答】解：函数的定义域为{x|x≠±1}，f（﹣x）=−x(e−x−e x)x2−1=x(ex−e−x)x2−1=f（x），则函数f（x）是偶函数，图象关于y轴对称，排除A，当x＞1时，f（x）＞0恒成立，排除B，D，故选：C．6．（5分）当a＜0时，关于x的不等式x2﹣4ax+3a2＜0的解集是（x1，x2），则b=x1+x2+a x1x2取得最值的充分条件是（）A．有最大值，b≤﹣1B．有最小值，b≥−4√3C．有最大值，b≤﹣5D．有最小值，b≤−4√3 3【解答】解：依题意，x 1+x 2=4a ，x 1x 2=3a 2， ∴b =x 1+x 2+a x 1x 2=4a +13a =−[(−4a)+1−3a ]≤−2√(−4a)⋅1−3a =−4√33，当且仅当a =−√36时取等号，由于需要选择充分条件，故选项C 符合题意． 故选：C ．7．（5分）函数y ＝2﹣2sin x 的最大值和最小值分别是（ ） A ．2，﹣2B ．4，0C ．2，0D ．4，﹣4【解答】解：函数y ＝2﹣2sin x 中，当sin x ＝1时，y ＝2﹣2＝0，是最小值； 当sin x ＝﹣1时，y ＝2+2＝4，是最大值；所以y ＝2﹣2sin x 的最大值和最小值分别是4和0． 故选：B ．8．（5分）已知数列{a n }的首项a 1＝1，函数f （x ）＝x 3+a n +1﹣a n ﹣cos nπ3为奇函数，记S n为数列{a n }的前n 项之和，则S 2020的值是（ ） A ．20232B ．1011C ．1008D ．336【解答】解：由题意，函数f （x ）＝x 3+a n +1﹣a n ﹣cos nπ3为奇函数，故f （0）＝a n +1﹣a n ﹣cos nπ3=0，即a n +1﹣a n ＝cos nπ3，n ∈N *．∵数列{cos nπ3}即为：12，−12，﹣1，−12，12，1，12，… ∴数列{cos nπ3}是一个以6为最小正周期的周期数列．∵a 1＝1，∴a 2＝a 1+cos π3=1+12=32，a 3＝a 2+cos 2π3=32−12=1，a 4＝a 3+cos 3π3=1﹣1＝0， a 5＝a 4+cos 4π3=0−12=−12， a 6＝a 5+cos5π3=−12+12=0，a 7＝a 6+cos 6π3=0+1＝1，• • •∴数列{a n }即为：1，32，1，0，−12，0，1，…很明显数列{a n }是一个以6为最小正周期的周期数列． ∵2020÷6＝336…4， ∴S 2020＝336×3+1+32+1+0=20232． 故选：A ．二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分） 9．（5分）将曲线y =sin 2x −√3sin(π−x)sin(x +3π2)上每个点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到g （x ）的图象，则下列说法正确的是（ ） A ．g （x ）的图象关于直线x =2π3对称 B ．g （x ）在[0，π]上的值域为[0，32] C ．g （x ）的图象关于点(π6，0)对称D ．g （x ）的图象可由y =cosx +12的图象向右平移2π3个单位长度得到【解答】解：∵y =sin 2x −√3sin(π−x)sin(x +3π2)=1−cos2x 2+√3sinxcosx =1−cos2x 2+√32sin2x =sin(2x −π6)+12． ∴g （x ）＝sin （x −π6）+12． 则g （2π3）＝sin （2π3−π6）+12=32，g （x ）的图象关于直线x =2π3对称，故A 正确； 由x ∈[0，π]，得x −π6∈[−π6，5π6]，可得sin （x −π6）+12∈[0，32]，故B 正确；由g （π6）=12，可得g （x ）的图象关于点（π6，12）对称，故C 错误； 对于D ，由y =cosx +12=sin （x +π2）+12的图象向右平移2π3个单位长度，得到y ＝sin （x +π2−2π3）+12=sin(x −π6)+12的图象，故D 正确．故选：ABD ．10．（5分）设抛物线y 2＝2px （p ＞0）的焦点为F ，P 为其上一动点，当P 运动到（2，t ）时，|PF |＝4，直线l 与抛物线相交于A ，B 两点，点M （4，1），下列结论正确的是（ ） A ．抛物线的方程为y 2＝4x B ．|PM |+|PF |的最小值为6C ．存在直线l ，使得A 、B 两点关于x +y ﹣6＝0对称D ．当直线l 过焦点F 时，以AF 为直径的圆与y 轴相切【解答】解：对于A ，当P 运动到（2，t ）时，|PF |＝4，由抛物线的定义可知，p2=4−x p =4−2=2，所以p ＝4，故抛物线的方程为y 2＝8x ，即A 错误；对于B ，过点P 作PP '垂直抛物线的准线，则|PM |+|PF |≥|PM |+|PP '|≥|MP '|=x M +p2=4+2=6，当且仅当P '、P 和M 三点共线时，等号成立，即B 正确； 对于C ，因为A 、B 两点关于x +y ﹣6＝0对称，所以直线l 的斜率为1， 设直线l 的方程为y ＝x +m ，A ，B 的坐标为（x 1，y 1），（x 2，y 2），联立{y =x +m y 2=8x，得x 2+（2m ﹣8）x +m 2＝0，所以{x 1+x 2=8−2mx 1x 2=m 2△=(2m −8)2−4m 2＞0，所以m ＜2，且y 1+y 2＝x 1+x 2+2m ＝8，即AB 的中点坐标为（4﹣m ，4），因为A 、B 两点关于x +y ﹣6＝0对称，所以点（4﹣m ，4）一定在直线x +y ﹣6＝0上， 于是4﹣m +4﹣6＝0，解得m ＝2，与m ＜2相矛盾， 故不存在直线l 满足题意，即C 错误；对于D ，设A 的坐标为（x 1，y 1），因为F （2，0），所以AF 的中点坐标为(x 1+22，y 12)， 而以AF 为直径的圆的半径为r =12|AF|=12(x 1+p 2)=x 1+22，与AF 的中点的横坐标相同，所以D 正确． 故选：BD ．11．（5分）如图，在棱长均相等的四棱锥P ﹣ABCD 中，O 为底面正方形的中心，M ，N 分别为侧棱P A ，PB 的中点，有下列结论正确的有（ ）A．PD∥平面OMNB．平面PCD∥平面OMNC．直线PD与直线MN所成角的大小为90°D．ON⊥PB【解答】解：在棱长均相等的四棱锥P﹣ABCD中，设棱长为2a，如图所示：①O为底面正方形的中心，M，N分别为侧棱P A，PB的中点，所以：ON∥PD，由于ON⊂平面ONM，PD⊄平面MON，所以：PD∥平面MON．故A正确．②由于NM∥AB∥CD，ON∥PD，所以平面PCD∥平面OMN．故B正确．③由于NM∥CD，所以直线PD与直线MN所成角的大小为60°，故C错误．④设锥体的棱长为2a，所以OB=√2a，所以OP=√(√3a)2−a2=√2a，所以△OBP为等腰直角三角形，由于点N为PB的中点，所以ON⊥PB，故D正确．故选：ABD．12．（5分）给出下列4个命题：①命题“若x≥2且y≥3，则x+y≥5”为假命题．②命题p：∀x＞2，x2﹣1＞0，则￢p是∀x＞2，x2﹣1≤0．③“x ＞1”是“|x |＞0”的充分不必要条件． ④若2x +5y ≤2﹣y +5﹣x ，则x +y ≤0．其中所有正确命题是（ ） A ．①B ．②C ．③D ．④【解答】解：对于①，根据不等式的基本性质，命题“若x ≥2且y ≥3，则x +y ≥5”显然为真命题；故①错误；对于②，命题的否定，命题p ：∀x ＞2，x 2﹣1＞0，则￢p 是∃x ＞2，x 2﹣1≤0；故②错误； 对于③，若x ＞1，则|x |＞0．若|x |＞0，则x 不一定大于1；故“x ＞1”是“|x |＞0”的充分不必要条件．③正确；对于④，设f （x ）＝2x ﹣5﹣x ，则f （x ）在R 上为增函数，且f （﹣y ）＝2﹣y ﹣5y ；由条件得，f （x ）≤f （﹣y ）；∴x ≤﹣y ，∴x +y ≤0；故④正确； 故答案为③④． 故选：CD ．三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分） 13．（5分）已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，过左焦点F 1的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，且|AF 1|＝3|BF 1|，|AB |＝|BF 2|，则椭圆C 的离心率为√105． 【解答】解：设|BF 1|＝k ，则|AF 1|＝3k ，|BF 2|＝4k ，由|BF 1|+|BF 2|＝|AF 1|+|AF 2|＝2a ， 得2a ＝5k ，|AF 2|＝2k ，如图：在△ABF 2中，cos ∠BAF 2=14，又在△AF 1F 2中，cos ∠F 1AF 2=(3k)2+(2k)2−(2c)22×3k×2k =14，得2c =√10k ，故离心率e =c a =√105， 故答案为：√105．14．（5分）已知O 是△ABC 的外心，且A =π3，AB ＝5，AC ＝3，若AO →=m AB →+n AC →，则m +n ＝2645．【解答】解：∵A =π3，AB =5，AC =3， ∴AB →⋅AC →=5×3×cos π3=152， ∵AO →=mAB →+nAC →，∴{AO →⋅AB →=mAB →2+nAB →⋅AC →=25m +152n =252AO →⋅AC →=mAB →⋅AC →+nAC →2=152m +9n =92， ∴{m =715n =19， ∴m +n =715+19=2645． 故答案为：2645．15．（5分）已知三棱锥S ﹣ABC 的顶点都在球O 的球面上，且该三棱锥的体积为2√3，SA ⊥平面ABC ．SA ＝4，∠ABC ＝120°，则球O 的体积的最小值为40√10π3．【解答】解：∵V S ﹣ABC =13S △ABC •SA =13×12×AB ×BC ×sin120°×4=2√3， ∴AB •BC ＝6，∵SA ⊥平面ABC ，SA ＝4，∴O 到平面ABC 的距离为d =12SA ＝2，设△ABC 的外接圆半径为r ，球O 的半径为R ，R =√r 2+d 2=√r 2+4．由余弦定理可知AC 2＝AB 2+BC 2﹣2AB •BC •cos120°＝AB 2+BC 2+6≥2AB •BC +6＝18， 当且仅当AB ＝BC =√6时取等号． ∴AC ≥3√2．由正弦定理可得2r =ACsin∠ABC ≥3√2√32=2√6，∴r ≥√6，则R ≥√10．∴当R =√10时，球O 的体积取得最小值V =43πR 3=40√10π3． 故答案为：40√10π3．16．（5分）设双曲线x 216−y 2b =1的左右两个焦点分别为F 1、F 2，P 是双曲线上任意一点，过F 1的直线与∠F 1PF 2的平分线垂直，垂足为Q ，则点Q 的轨迹曲线E 的方程 x 2+y 2＝16 ；M 在曲线E 上，点A （8，0），B （5，6），则12|AM |+|BM |的最小值 3√5 ．【解答】解：双曲线x 216−y 2b =1的a ＝4，延长F 1Q 与PF 2的延长线交于H ，连接OQ ，由PQ 为∠F 1PF 2的平分线，且为F 1H 边上的高，可得△PF 1H 为等腰三角形， 则|PF 1|＝|PH |，由双曲线的定义可得|PF 1|﹣|PF 2|＝2a ， 即有|F 2H |＝|PH |﹣|PF 2|＝|PF 1|﹣|PF 2|＝2a ，由OQ 为△F 1F 2H 的中位线，可得|OQ |=12|HF 2|＝a ＝4， 可得Q 的轨迹方程为圆x 2+y 2＝16；设M （x ，y ），设T （a ，b ），且12|AM |＝|TM |，可得√(x −8)2+y 2=2√(x −a)2+(y −b)2，平方可得x 2+y 2﹣16x +64＝4（x 2+y 2﹣2ax ﹣2by +a 2+b 2），化为x 2+y 2=8a−163x +8b 3y +64−4a 2−4b 23， 由于M 在圆x 2+y 2＝16上，可得8a−163=0，8b 3=0，64−4a 2−4b 23=16，解得a ＝2，b ＝0，则T （2，0），连接TB ，可得T ，M ，B 三点共线， 即有12|AM |+|BM |＝|TM |+|BM |取得最小值|TB |=√(2−5)2+62=3√5，故答案为：x 2+y 2＝16，3√5．四．解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cosB =−12． （Ⅰ）若b sin B ﹣a sin A ＝2c sin C ，求ac 的值；（Ⅱ）若∠ABC 的平分线交AC 于D ，且BD ＝1，求4a +c 的最小值． 【解答】解：（Ⅰ）由正弦定理，得b 2﹣a 2＝2c 2，即b 2＝a 2+2c 2； 由余弦定理得b 2＝a 2+c 2﹣2ac cos B ， 又cosB =−12，所以c 2＝ac ； 所以ac =1．（Ⅱ）由题意得S △ABC ＝S △ABD +S △DBC ， 即12acsin120°=12asin60°+12csin60°，所以ac ＝a +c ，即1a+1c=1；则4a +c =(4a +c)(1a +1c )=5+ca +4ac ≥5+2√c a ⋅4ac =9， 当且仅当c ＝2a ，即c ＝3，a =32时取等号； 所以4a +c 的最小值为9．18．（12分）数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S n +a n =n−1n(n+1)+1，n =1，2，3⋯ （1）设b n =a n +1n(n+1)，求证：数列{b n }是等比数列；（2）设c n =1−2n−1a n ，求c n 的最小值．【解答】（1）证明：依题意，由S n +a n =n−1n(n+1)+1，n =1，2，3⋯，可得 S n ＝1﹣a n +n−1n(n+1)，n ∈N *．当n ＝1时，a 1＝S 1＝1﹣a 1，解得a 1=12．则a n +1＝S n +1﹣S n ＝1﹣a n +1+n(n+1)(n+2)−1+a n −n−1n(n+1)， ∴2a n +1＝a n +n (n+1)(n+2)−n−1n(n+1)=a n +1n(n+1)−2(n+1)(n+2)，整理，得2a n +1+2(n+1)(n+2)=a n +1n(n+1)，即2b n +1＝b n ． ∵b 1＝a 1=11×2=12+12=1， ∴数列{b n }是以1为首项，12为公比的等比数列． （2）解：由（1）知b n ＝（12）n ﹣1，n ∈N *．则a n ＝b n −1n(n+1)=（12）n ﹣1−1n(n+1)，故c n =2n−1n(n+1)．依题意，有{c n ≤c n+1c n ≤c n−1，即{ 2n−1n(n+1)≤2n(n+1)(n+2)2n−1n(n+1)≤2n−2n(n−1)，整理，得{1n ≤2n+22n+1≤1n−1．解得2≤n ≤3．∴当n ＝2，或n ＝3时，最小值c n ＝c 2＝c 3=13．19．（12分）在三棱锥，S ﹣ABC 中，AB ⊥平面SAC ，AS ⊥SC ，AB ＝1，AC =√2，E 为AB 的中点，M 为CE 的中点． （1）证明：平面SCE ⊥平面SAB ；（2）在线段SB 上是否存在一点N ，使MN ∥平面SAC ？若存在，指出点N 的位置并给出证明，若不存在，说明理由；（3）若∠SCA＝30°，求二面角S﹣CE﹣B的大小．【解答】解：（1）由AB⊥平面SAC，SC⊂平面SAC，故AB⊥SC，由AS⊥AC，AB∩AS＝A，AB，AS⊂平面SAB，所以SC⊥平面SAB，SC⊂平面SCE，故平面SCE⊥SAB；（2）存在点N为SB上的靠近S的四等分点即SN=14SB，MN∥平面SAC，证明如下：取AE的中点F，连接FN，FM，则MF∥AC，因为AC⊂平面SAC，MF⊄平面SAC，所以MF∥平面SAC，又MF∩MN＝N，MF，MN⊂平面MNF，所以平面MNF∥平面SAC，又MN⊂平面MNF，所以MN∥平面SAC；（3）作SO ⊥AC 于O ，过O 作AB 的平行线为x 轴，OC 为y 轴，OS 为z 轴，建立空间直角坐标系，由∠SCA ＝30°，AS ⊥SC ，得AS =√22，AO =√24，SC =√2cos30°=√2⋅√32=√62，，OS =√64，OC =3√24，AE =12， 故B （√24，1，0），E （√24，12，0），C(−3√24，0，0)，S （0，0，√64）， CE →=(√2，12，0)，SC →=(−3√24，0，−√64)， 设平面SEC 的法向量为m →=(x ，y ，z)，由{m →⋅CE →=√2x +12y =0m →⋅SC →=−3√24x −√64z =0，得m →=(1，−2√2，−√3)， 平面BEC 的法向量为n →=(0，0，1)， 由cos ＜m →，n →＞=√312=−12，因为二面角S ﹣CE ﹣B 为钝角， 故所求二面角为120°．20．（12分）为了适应高考改革，某中学推行“创新课堂”教学．高一平行甲班采用“传统教学”的教学方式授课，高一平行乙班采用“创新课堂”的教学方式授课，为了比较教学效果，期中考试后，分别从两个班中各随机抽取20名学生的成绩进行统计分析，结果如下表：（记成绩不低于120分者为“成绩优秀”）． 分数 [80，90） [90，100） [100，110） [110，120） [120，130） [130，140） [140，150）甲班频数 1 1 4 4 5 3 2 乙班频数112664传统教学（甲班）创新课堂（乙班）总计成绩优秀成绩不优秀总计（Ⅰ）由以上统计数据填写下面的2×2列联表，并判断是否有95%以上的把握认为“成绩优秀与教学方式有关”？（Ⅱ）现从上述样本“成绩不优秀”的学生中，抽取3人进行考核，记“成绩不优秀”的乙班人数为X，求X的分布列和期望．参考公式：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n＝a+b+c+d）临界值表：P（K2≥k）0.1000.0500.0100.001k 2.706 3.841 6.63510.828【解答】解：（Ⅰ）根据题意填写列联表如下，传统教学（甲班）创新课堂（乙班）总计成绩优秀101626成绩不优秀10414总计202040根据2×2列联表中的数据，计算K2=40×(10×4−16×10)226×14×20×20≈3.956＞3.841，所以有95%以上的把握认为“成绩优秀与教学方式有关”；（Ⅱ）根据题意知，随机变量X的可能取值为0，1，2，3；计算P（X＝0）=C103C143=3091，P（X＝1）=C102⋅C41C143=4591，P（X＝2）=C101⋅C42C143=1591，P（X＝3）=C43C143=191；所以X的分布列为：X0123P309145911591191数学期望为E （X ）＝0×3091+1×4591+2×1591+3×191=67． 21．（12分）已知动圆与y 轴相切于点M （0，2），过点E （0，﹣1），F （0，1）分别作动圆异于y 轴的两切线，设两切线相交于Q ，点Q 的轨迹为曲线Ω． （1）求曲线Ω的轨迹方程；（2）过（2，0）的直线l 与曲线Ω相交于不同两点A ，B ，若曲线Ω上存在点P ，使得λOP →=OA →+OB →成立，求实数λ的范围．【解答】解：（1）设动圆的圆心为（m ，n ），半径为r ，由动圆与y 轴相切于点M （0，2），可得|m |＝r ，n ＝2，设E （0，﹣1）的切线方程为y ＝k 1x ﹣1，过F （0，1）的切线方程为y ＝k 2x +1， 可得1√1+k 12=2√1+k 22=|m |，解得k 1=9−m 26m ，k 2=1−m 22m ，联立过E ，F 的切线方程可得x =2k 1−k 2=6m3+m 2，y =k 1+k 2k 1−k 2=6−2m 23+m 2， 则y 24+x 23=9−6m 2+m 49+6m 2+m 4+12m 29+6m 2+m 4=1，故曲线Ω的轨迹方程为y 24+x 23=1；（2）由题意，直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝k （x ﹣2）． 由{y =k(x −2)4x 2+3y 2=12消去y ，得（4+3k 2）x 2﹣12k 2x +12k 2﹣12＝0，（*） 设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），P （x 0，y 0），则x 1，x 2是方程（*）的两根， 所以△＝（12k 2）2﹣4（4+3k 2）（12k 2﹣12）＞0，即k 2＜4，①， 且x 1+x 2=12k24+3k2，由λOP →=OA →+OB →，得{x 1+x 2=λx 0y 1+y 2=λy 0，所以 { x 0=x 1+x 2λ=12k2λ(4+3k 2)y 0=y 1+y 2λ=k(x 1+x 2)−4k λ=−16k λ(4+3k 2)，因为点P （x 0，y 0）在椭圆上， 所以12＝4x 02+3y 02=576k4λ2(4+3k 2)2+768k2λ2(4+3k 2)2，即116λ2=3k 4+4k 2(4+3k 2)2=k 24+3k 2=13−43(4+3k 2)，再由①，得0≤116λ2＜14， 所以λ∈（﹣2，2）．22．（12分）函数f(x)=e x −1e x ，ℎ(x)=x x+1（1）判断x ＞0时，f （x ）﹣h （x ）的零点个数，并加以说明；（2）正项数列{a n }满足a 1=1，a n e −a n+1=f(a n )①判断数列{a n }的单调性并加以证明．②证明：∑ n+1i=1a i ＜2−(12)n ． 【解答】解：（1）当x ＞0时，f （x ）﹣h （x ）=e x −x−1e x (x+1)，令t （x ）＝e x ﹣x ﹣1，x ＞0，则t ′（x ）＝e x ﹣1＞0，故t （x ）在（0，+∞）上单调递增， 所以t （x ）＞t （0）＝0，所以f （x ）﹣h （x ）＞0即零点个数为0，（2）①数列{a n }为递减数列，证明如下：因为a 1=1，a n e −a n+1=f(a n )，所以a n+1=−ln 1−e −a n a n， 要证明数列{a n }为递减数列，只要证明a n +1＜a n ，即a n+1=−ln1−e −a n a n ＜a n ， 只要证﹣ln 1−e −x x ＜x ，x ＞0，即1﹣e ﹣x ＞xe ﹣x ， 由f （x ）=e x −1e x =1−e −x ，所以1﹣e ﹣x ＞xe ﹣x ＝x [1﹣（1﹣e ﹣x）]即f （x ）=e x −1e x =1−e −x ＞h （x ）， 由（1）可知结论成立，②要证明：∑ n+1i=1a i ＜2−(12)n ，由a 1＝1，只要证明a n+1＜1n ，只要证a n+1＜12a n ， 由于a 1＝1，此时a n+1＜12a n ＜a n−122＜⋯＜a 12n =12n c 成立， 所以即证﹣ln1−e −a n a n ＜12a n ，即﹣ln 1−e −x x ＜12x ， 即1−e −x x ＞e −x 2，即ex 2−e −x 2＞x ，（x ＞0）， 令m （x ）=e x 2−e −x 2−x ，（x ＞0），则m′(x)=12(e x 2+e −x 2)−1＞0，因此m （x ）在（0，+∞）上单调递增，所以m（x）＞m（0）＝0，于是e x2−e−x2＞x成立，原不等式成立．。
2020年新高考数学第三次模拟试卷一、选择题1．设集合M＝{x|0≤x＜2}，N＝{x|x2﹣x﹣6＜0}，则集合M∩N等于（）A．{x|0≤x＜2}B．{x|﹣2≤x＜3}C．{x|0＜x≤3}D．{x|﹣2≤x＜0} 2．若复数z1，z2，在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1＝1+i，则＝（）A．i B．﹣i C．1D．﹣13．设a∈R，b＞0，则“3a＞2b”是“a＞log3b”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．如图是某手机商城2018年华为、苹果、三星三种品牌的手机各季度销量的百分比堆积图（如：第三季度华为销量约占50%，三星销量约占30%，苹果销量约占20%），根据该图判断，以下结论中一定正确的是（）A．四个季度中，每季度三星和苹果总销量之和均不低于华为的销量B．苹果第二季度的销量小于第三季度的销量C．第一季度销量最大的为三星，销量最小的为苹果D．华为的全年销量最大5．如图，在△ABC中，AB＝BC＝4，∠ABC＝30°，AD是边BC上的高，则的值等于（）A．2B．4C．6D．86．函数f（x）＝的图象大致为（）A．B．C．D．7．已知双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，实轴长为4，渐近线方程为y＝，|MF1|﹣|MF2|＝4，点N在圆x2+y2﹣4y＝0上，则|MN|+|MF1|的最小值为（）A．2B．5C．6D．78．已知函数f（x）＝lnx+ln（a﹣x）的图象关于直线x＝1对称，则函数f（x）的值域为（）A．（0，2）B．[0，+∞）C．（﹣∞，2]D．（﹣∞，0]二、多项选择题（共4小题）9．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠ABC＝60°，∠ABC的平分线交AC于点D，且BD＝，则下列说法正确的是（）A．ac的最小值是4B．ac的最大值是4C．a+2c的最小值是2+2D．a+2c的最小值是3+210．若非零实数a，b满足a＜b，则下列不等式不一定成立的是（）A．＜1B．+≥2C．D．a2+a＜b2+b11．已知半径为10的球的两个平行截面圆的周长分别是12π和16π，则这两个截面圆间的距离为（）A．2B．4C．12D．1412．若三条直线l1：ax+y+1＝0，l2：x+ay+1＝0，l3：x+y+a＝0不能围成三角形，则a的取值为（）A．a＝1B．a＝﹣1C．a＝﹣2D．a＝2三、填空题（共4小题）13．现有5人要排成一排照相，其中甲与乙两人不相邻，且甲不站在两端，则不同的排法有种．（用数字作答）14．意大利数学家列昂那多•斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，…，即F（1）＝F（2）＝1，F（n）＝F（n﹣1）+F（n﹣2）（n≥3，n∈N*），此数列在现代物理“准晶体结构”、化学等领域都有着广泛的应用．若此数列被2整除后的余数构成一个新数列{a n}，则a2019＝，数列{a n}的前2019项的和为．15．若函数f（x）＝mx2﹣e x+1（e为自然对数的底数）在x＝x1和x＝x2两处取得极值，且x2≥2x1，则实数m的取值范围是．16．若F（c，0）是双曲线＝1（a＞0，b＞0）的右焦点，过点F作该双曲线一条渐近线的垂线并与两条渐近线分别相交于A，B两点，O为坐标原点，△OAB的面积为，则该双曲线的离心率为．四、解答题（本题共6小题）17．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且4b cos2＝2b+a sin B．（1）求cos A；（2）若a＝2，c＝5，求b．18．已知正项数列{a n}的前n项和为．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设{a n}是递增数列，，T n为数列{b n}的前n项和，若恒成立，求实数m的取值范围．19．随着科技的发展，网络已逐渐融入了人们的生活．网购是非常方便的购物方式，为了了解网购在我市的普及情况，某调查机构进行了有关网购的调查问卷，并从参与调查的市民中随机抽取了男女各100人进行分析，从而得到表（单位：人）经常网购偶尔或不用网购合计男性50100女性70100合计（Ⅰ）完成上表，并根据以上数据判断能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为我市市民网购与性别有关？（Ⅱ）①现从所抽取的女市民中利用分层抽样的方法抽取10人，再从这10人中随机选取3人赠送优惠券，求选取的3人中至少有2人经常网购的概率；②将频率视为概率，从我市所有参与调查的市民中随机抽取10人赠送礼品，记其中经常网购的人数为X，求随机变量X的数学期望和方差．参考公式：P（K2≥k0）0.150.100.050.0250.0100.0050.001 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828 20．四边形ABCD是菱形，ACEF是矩形，平面ACEF⊥平面ABCD，AB＝2AF＝2，∠BAD ＝60°，G是BE的中点．（Ⅰ）证明：CG∥平面BDF（Ⅱ）求二面角E﹣BF﹣D的余弦值．21．已知椭圆E：的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，动点P在椭圆E上，△PF1F2的周长为6．（1）求椭圆E的方程；（2）设直线PF2与椭圆E的另一个交点为Q，过P，Q分别作直线l：x＝t（t＞2）的垂线，垂足为M，N，l与x轴的交点为T．若四边形PMNQ的面积是△PQT面积的3倍，求直线PQ斜率的取值范围．22．已知函数f（x）＝xe x﹣1﹣alnx（无理数e＝2.718…）．（1）若f（x）在（1，+∞）单调递增，求实数a的取值范围：（2）当a＝0时，设g（x）＝•f（x）﹣x2﹣x，证明：当x＞0时，g（x）＞1﹣﹣（）2．参考答案一、单项选择题（共8小题）1．设集合M＝{x|0≤x＜2}，N＝{x|x2﹣x﹣6＜0}，则集合M∩N等于（）A．{x|0≤x＜2}B．{x|﹣2≤x＜3}C．{x|0＜x≤3}D．{x|﹣2≤x＜0}【分析】可求出集合N，然后进行交集的运算即可．解：N＝{x|﹣2＜x＜3}；∴M∩N＝{x|0≤x＜2}．故选：A．2．若复数z1，z2，在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1＝1+i，则＝（）A．i B．﹣i C．1D．﹣1【分析】由已知求得z2，把z1，z2代入，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．解：∵z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，且z1＝1+i，∴z2＝﹣1+i，∴＝＝．故选：B．3．设a∈R，b＞0，则“3a＞2b”是“a＞log3b”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】根据充分条件和必要条件的定义；指数函数和对数函数的图象和性质分别进行判断．解：若3a＞2b，b＞0，则a＞log32b，可得a＞log3b；若a＞log3b，可得3a＞b，无法得到3a＞2b，所以“3a＞2b”是“a＞log3b”的充分而不必要条件．故选：A．4．如图是某手机商城2018年华为、苹果、三星三种品牌的手机各季度销量的百分比堆积图（如：第三季度华为销量约占50%，三星销量约占30%，苹果销量约占20%），根据该图判断，以下结论中一定正确的是（）A．四个季度中，每季度三星和苹果总销量之和均不低于华为的销量B．苹果第二季度的销量小于第三季度的销量C．第一季度销量最大的为三星，销量最小的为苹果D．华为的全年销量最大【分析】根据图象，逐一分析选项，得出答案．解：根据图象，分析如下：A，错误，第四季度三星和苹果总销量之和低于华为的销量；B，错误，苹果第二季度的销量大于第三季度的销量；C，错误，第一季度销量最大的为华为；D，华为在每个季度的销量都最大，所以华为的全年销量最大，故D正确，故选：D．5．如图，在△ABC中，AB＝BC＝4，∠ABC＝30°，AD是边BC上的高，则的值等于（）A．2B．4C．6D．8【分析】由题意，＝•（+）＝•+•；⊥；•＝||•||cos∠BAD＝||•sin30°•||•cos60°；从而求得．解：＝•（+）＝•+•＝•＝||•||cos∠BAD＝||•sin30°•||•cos60°＝4×4×＝4；故选：B．6．函数f（x）＝的图象大致为（）A．B．C．D．【分析】判断函数的奇偶性与图象对称性之间的关系，利用特殊值的对应性是否一致利用排除法进行求解即可．解：f（﹣x）＝＝＝＝﹣＝﹣f（x），即函数f（x）是奇函数，图象关于原点对称，排除C，D，f（1）＝＜0，排除B，故选：A．7．已知双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，实轴长为4，渐近线方程为y＝，|MF1|﹣|MF2|＝4，点N在圆x2+y2﹣4y＝0上，则|MN|+|MF1|的最小值为（）A．2B．5C．6D．7【分析】求得双曲线的a，b，可得双曲线方程，求得焦点坐标，运用双曲线的定义和三点共线取得最小值，连接CF2，交双曲线于M，圆于N，计算可得所求最小值．解：由题意可得2a＝4，即a＝2，渐近线方程为y＝±x，即有＝，即b＝1，可得双曲线方程为﹣y2＝1，焦点为F1（﹣，0），F2，（，0），由双曲线的定义可得|MF1|＝2a+|MF2|＝4+|MF2|，由圆x2+y2﹣4y＝0可得圆心C（0，2），半径r＝2，|MN|+|MF1|＝4+|MN|+|MF2|，连接CF2，交双曲线于M，圆于N，可得|MN|+|MF2|取得最小值，且为|CF2|＝＝3，则则|MN|+|MF1|的最小值为4+3﹣2＝5．故选：B．8．已知函数f（x）＝lnx+ln（a﹣x）的图象关于直线x＝1对称，则函数f（x）的值域为（）A．（0，2）B．[0，+∞）C．（﹣∞，2]D．（﹣∞，0]【分析】根据题意，分析可得f（a﹣x）＝f（x），即可得函数f（x）的图象关于直线x ＝对称，据此可得a的值，进而可得f（x）＝lnx+ln（2﹣x）＝ln（2x﹣x2），设t＝2x﹣x2，则y＝lnt，由换元法分析可得答案．解：根据题意，对于函数f（x）＝lnx+ln（a﹣x），有f（a﹣x）＝ln（a﹣x）+ln[a﹣（a﹣x）]＝lnx+ln（a﹣x）＝f（x），则函数f（x）的图象关于直线x＝对称，若函数f（x）＝lnx+ln（a﹣x）的图象关于直线x＝1对称，则有＝1，则a＝2，则f（x）＝lnx+ln（2﹣x）＝ln（2x﹣x2），其定义域为（0，2），设t＝2x﹣x2，则y＝lnt，又由t＝﹣（x﹣1）2+1，0＜x＜2，则有0＜t≤1，则y＝lnt≤0，即函数f（x）的值域为（﹣∞，0]；故选：D．二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分）9．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠ABC＝60°，∠ABC的平分线交AC于点D，且BD＝，则下列说法正确的是（）A．ac的最小值是4B．ac的最大值是4C．a+2c的最小值是2+2D．a+2c的最小值是3+2【分析】现根据三角形面积公式得条件，再利用基本不等式求最值．解：有题意知S△ABC＝S△ABD+S△BDC，由角平分线性质以及面积公式可得：，化简得ac＝a+c，∴，当且仅当a＝c时成立，解之得ac≥4，选项A对；∵ac＝a+c，∴1＝，∴≥3+2，当且仅当a＝，选项D对；故选：AD．10．若非零实数a，b满足a＜b，则下列不等式不一定成立的是（）A．＜1B．+≥2C．D．a2+a＜b2+b【分析】当a＜b＜0时，＜1不成立可判断A；当时，不成立可判断B；利用作差可判断C，D．解：当a＜b＜0时，＜1不成立，当时，不成立，因为＝＜0，则一定成立，因为a2﹣b2+a﹣b＝（a﹣b）（a+b+1）符号不定，故a2a＜b2+b不一定成立．故选：ABD．11．已知半径为10的球的两个平行截面圆的周长分别是12π和16π，则这两个截面圆间的距离为（）A．2B．4C．12D．14【分析】由平行截面的周长求出两个半径，再由截面圆的半径，球的半径和球心到截面的距离构成直角三角形求出球心到截面的距离，分平行平面在球心的同一侧和两边求出平行平面的距离．解：两个平行截面圆的周长分别是12π和16π，可得两个半径分别为6，8，如果这两个平行平面在球心同一侧时，取球的中截面可得球心到截面的距离OB＝＝＝8，OA＝＝＝6，所以平行线间的距离d＝OB﹣OA＝8﹣6＝2，如果这两个平行平面在球心两侧时，所以平行线间的距离d'＝OB+OA＝8+6＝14，故选：AD．12．若三条直线l1：ax+y+1＝0，l2：x+ay+1＝0，l3：x+y+a＝0不能围成三角形，则a的取值为（）A．a＝1B．a＝﹣1C．a＝﹣2D．a＝2【分析】l1和l3平行，或l2和l3平行，l1和l2平行，分类讨论，利用两条直线平行的条件分别求得m的值，综合可得结论．解：由于l1的斜率﹣a，l3的斜率为﹣1，则由题意可得l1和l3平行，或l2和l3平行，l1和l2平行．若l1和l3平行，则＝，求得a＝1；若l2和l3平行，则＝，求得a＝1．若l1和l2平行，则＝，求得a＝±1．综上可得，实数a所有可能的值为﹣1，1，故选：AB．三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．现有5人要排成一排照相，其中甲与乙两人不相邻，且甲不站在两端，则不同的排法有36种．（用数字作答）【分析】根据题意，分2步进行分析：①，将除甲乙的三人全排列，排好后有4个空位，②，分析甲乙的安排方法数目，由分步计数原理计算可得答案．解：根据题意，分2步进行分析：①，将除甲乙的三人全排列，有A33＝6种情况，排好后有4个空位，②，由于甲不站在两端，则甲有2个空位可选，乙在剩下的3个空位中任选1个，有3种选法，则甲乙的选法有2×3＝6种，故不同的排法有6×6＝36种；故答案为：36．14．意大利数学家列昂那多•斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，…，即F（1）＝F（2）＝1，F（n）＝F（n﹣1）+F（n﹣2）（n≥3，n∈N*），此数列在现代物理“准晶体结构”、化学等领域都有着广泛的应用．若此数列被2整除后的余数构成一个新数列{a n}，则a2019＝0，数列{a n}的前2019项的和为1346．【分析】根据题意写出数列{a n}的前若干项，观察发现此数列是以3为周期的周期数列，继而可求解．解：∵“兔子数列”的各项为：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，…，∴此数列被2整除后的余数依次为：1，1，0，1，1，0，1，1，0，……，即a1＝1，a2＝1，a3＝0，a4＝1，a5＝1，a6＝0，……，∴数列{a n}是以3为周期的周期数列，∴a2019＝a3＝0，∴数列{a n}的前2019项的和为：a1+a2+a3+……+a2019＝673（a1+a2+a3）＝673×2＝1346，故答案为：0，1346．15．若函数f（x）＝mx2﹣e x+1（e为自然对数的底数）在x＝x1和x＝x2两处取得极值，且x2≥2x1，则实数m的取值范围是．【分析】方法1：f'（x）＝2mx﹣e x，x＝x1和x＝x2两处取得极值，且x2≥2x1，设A（2x1，4mx1），B（2x1，），构造，，在（0，1）递减，转化求解即可．方法2：f'（x）＝2mx﹣e x，有两个不等的实数根x1，x2且x2≥2x1，令，则，利用函数的单调性转化求解即可．解：方法1：f'（x）＝2mx﹣e x，，，直线y＝2mx，曲线y＝e x，x2≥2x1，A（2x1，4mx1），B（2x1，），，x1≤ln2，构造，，在（0，1）递减，．方法2：f'（x）＝2mx﹣e x由题知有两个不等的实数根x1，x2且x2≥2x1，令，则，易知h（x）在（﹣∞，0），（0，1）上为减函数；在（1，+∞）上为增函数．当x2＝2x1时，由，得x1＝ln2，此时；当x2＞2x1时，综上．故答案为：．16．若F（c，0）是双曲线＝1（a＞0，b＞0）的右焦点，过点F作该双曲线一条渐近线的垂线并与两条渐近线分别相交于A，B两点，O为坐标原点，△OAB的面积为，则该双曲线的离心率为．【分析】求出双曲线的渐近线方程，设两条渐近线的夹角为θ，由两直线的夹角公式，可得tanθ＝tan∠AOB，求出F到渐近线y＝x的距离为b，即有|OB|＝a，△OAB的面积可以表示为•a•a tanθ，结合条件可得a，b的关系，再由离心率公式即可计算得到．解：双曲线﹣＝1的渐近线方程为y＝±x，设两条渐近线的夹角为θ，则tanθ＝tan∠AOB＝＝，设FB⊥OB，则F到渐近线y＝x的距离为d＝＝b，即有|OB|＝a，则△OAB的面积可以表示为•a•a tanθ＝＝，解得＝，则e＝＝＝．故答案为：．四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且4b cos2＝2b+a sin B．（1）求cos A；（2）若a＝2，c＝5，求b．【分析】（1）由已知结合正弦定理及同角平方关系即可求解cos A，（2）由已知结合余弦定理可求b．解：（1）因为4b cos2＝2b+a sin B，所以2b（1+cos A）＝2c+a sin B，即4b cos A＝3a sin B，由正弦定理可得，4sin B cos A＝3sin A sin B，因为sin B≠0，所以4cos A＝3sin A，又sin2A+cos2A＝1且sin A＞0，cos A＞0，所以cos A＝；（2）由余弦定理可得，cos A＝＝，整理可得，b2﹣6b+5＝0，解可得，b＝1或b＝5．18．已知正项数列{a n}的前n项和为．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设{a n}是递增数列，，T n为数列{b n}的前n项和，若恒成立，求实数m的取值范围．【分析】（1）n≥2时，4a n＝4S n﹣4S n﹣1，化为：＝，a n＞0．化简进而得出．（2）{a n}是递增数列，取a n＝2n﹣1．可得＝＝，利用裂项求和方法、数列的单调性即可得出．解：（1）n≥2时，4a n＝4S n﹣4S n﹣1＝+4n﹣1﹣[+4（n﹣1）﹣1]，化为：＝，a n＞0．∴a n﹣a n﹣1＝2，或a n+a n﹣1＝2，a n﹣a n﹣1＝2时，数列{a n}是等差数列，a n＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1．a n+a n﹣1＝2，∵a1＝1，可得a n＝1．（2）{a n}是递增数列，∴a n＝2n﹣1．＝＝，数列{b n}的前n项和T n＝＝，∵恒成立，∴，解得m≥3．∴实数m的取值范围是[3，+∞）．19．随着科技的发展，网络已逐渐融入了人们的生活．网购是非常方便的购物方式，为了了解网购在我市的普及情况，某调查机构进行了有关网购的调查问卷，并从参与调查的市民中随机抽取了男女各100人进行分析，从而得到表（单位：人）经常网购偶尔或不用网购合计男性50100女性70100合计（Ⅰ）完成上表，并根据以上数据判断能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为我市市民网购与性别有关？（Ⅱ）①现从所抽取的女市民中利用分层抽样的方法抽取10人，再从这10人中随机选取3人赠送优惠券，求选取的3人中至少有2人经常网购的概率；②将频率视为概率，从我市所有参与调查的市民中随机抽取10人赠送礼品，记其中经常网购的人数为X，求随机变量X的数学期望和方差．参考公式：P（K2≥k0）0.150.100.050.0250.0100.0050.001 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828【分析】（1）完成列联表，由列联表，得k2＝，由此能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为我市市民网购与性别有关．（2）①由题意所抽取的10名女市民中，经常网购的有10×＝7人，偶尔或不用网购的有10×＝3人，由此能选取的3人中至少有2人经常网购的概率．②由2×2列联表可知，抽到经常网购的市民的频率为：，由题意X～B（10，0.6），由此能求出随机变量X的数学期望E（X）和方差D（X）．解：（1）完成列联表（单位：人）：经常网购偶尔或不用网购合计男性5050100女性7030100合计12080200由列联表，得：k2＝＝，∴能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为我市市民网购与性别有关．（2）①由题意所抽取的10名女市民中，经常网购的有10×＝7人，偶尔或不用网购的有10×＝3人，∴选取的3人中至少有2人经常网购的概率为：P＝＝．②由2×2列联表可知，抽到经常网购的市民的频率为：，将频率视为概率，∴从我市市民中任意抽取一人，恰好抽到经常网购市民的概率为0.6，由题意X～B（10，0.6），∴随机变量X的数学期望E（X）＝10×0.6＝6，方差D（X）＝10×0.6×0.4＝2.4．20．四边形ABCD是菱形，ACEF是矩形，平面ACEF⊥平面ABCD，AB＝2AF＝2，∠BAD ＝60°，G是BE的中点．（Ⅰ）证明：CG∥平面BDF（Ⅱ）求二面角E﹣BF﹣D的余弦值．【分析】（Ⅰ）根据线面平行的判定定理或者面面平行的性质定理即可证明：CG∥平面BDF（Ⅱ）建立空间坐标系，求出平面的法向量，利用向量法即可求二面角E﹣BF﹣D的余弦值．【解答】（I）证法一：设AC∩BD＝O，BF的中点为H，因为G是BE的中点，，∴OCGH是平行四边形∴CG∥OH，CG⊄平面BDF，OH⊂平面BDF，∴CG∥平面BDF证法二：因为G是BE的中点，，∴CG∥DF，∵CG⊄平面BDF，DF⊂平面BDF，∴CG∥平面BDF（II）设EF的中点为N，ACEF是矩形，ON⊥AC，平面ACEF⊥平面ABCD，∴ON⊥面ABCD∴ON⊥AC，ON⊥BD四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，以O为原点，OB所在直线为x轴，OC所在直线为Y轴，ON所在直线为Z轴建立空间直角坐标系，AB＝2，AF＝1，∠BAD＝60°，则平面BEF的法向量为，平面BDF的法向量为，令z1＝1，则，由设二面角E﹣BF﹣D的大小为θ则，则二面角E﹣BF﹣D的余弦值是．21．已知椭圆E：的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，动点P在椭圆E上，△PF1F2的周长为6．（1）求椭圆E的方程；（2）设直线PF2与椭圆E的另一个交点为Q，过P，Q分别作直线l：x＝t（t＞2）的垂线，垂足为M，N，l与x轴的交点为T．若四边形PMNQ的面积是△PQT面积的3倍，求直线PQ斜率的取值范围．【分析】（1）根据椭圆的离心率和焦点三角形的周长建立方程求出a，c的值即可；（2）先设出直线PQ的方程为x＝my+1，联立方程组得出根与系数关系，利用四边形PMNQ的面积是△PQT面积的3倍，得出t关于m的表达式，由t＞2建立不等式，解出m的取值范围，进而根据得出k的取值范围．解：（1）因为P是E上的点，且F1，F2为E的左、右焦点，所以|PF1|+|PF2|＝2a，又因为|F1F2|＝2c，△PF1F2的周长为6，所以2a+2c＝6，又因为椭圆的离心率为，所以，解得a＝2，c＝1．所以，E的方程为．……………（2）依题意，直线PQ与x轴不重合，故可设直线PQ的方程为x＝my+1，由，消去x得：（3m2+4）y2+6my﹣9＝0，设P（x1，y1），Q（x2，y2）则有△＞0且．…设四边形PMNQ的面积和△PQT面积的分别为S1，S2，则S1＝3S2，又因为，S2＝．所以，即3（t﹣1）＝2t﹣（x1+x2），得t＝3﹣（x1+x2），又x1＝my1+1，x2＝my2+1，于是t＝3﹣（my1+my2+2）＝1﹣m（y1+y2），所以，由t＞2得，解得，设直线PQ的斜率为k，则，所以，解得，所以直线PQ斜率的取值范围是．……………22．已知函数f（x）＝xe x﹣1﹣alnx（无理数e＝2.718…）．（1）若f（x）在（1，+∞）单调递增，求实数a的取值范围：（2）当a＝0时，设g（x）＝•f（x）﹣x2﹣x，证明：当x＞0时，g（x）＞1﹣﹣（）2．【分析】（1）由题意可得f′（x）＝（1+x）e x﹣1﹣＝≥0在（1，+∞）上恒成立．可得a≤（x+x2）e x﹣1＝h（x），利用导数研究其单调性可得实数a的取值范围．（2）当a＝0时，g（x）＝•f（x）﹣x2﹣x＝e x﹣x2﹣x．g′（x）＝e x﹣2x﹣1＝u（x）．利用导数研究其单调性极值，进而证明结论．【解答】（1）解：由题意可得f′（x）＝（1+x）e x﹣1﹣＝≥0在（1，+∞）上恒成立．∴a≤（x+x2）e x﹣1＝h（x），h′（x）＝（1+3x+x2）e x﹣1＞0，∴函数h（x）在（1，+∞）上单调递增．∴a≤h（1）＝2．∴实数a的取值范围是（﹣∞，2]．（2）证明：当a＝0时，g（x）＝•f（x）﹣x2﹣x＝e x﹣x2﹣x．g′（x）＝e x﹣2x﹣1＝u（x）．u′（x）＝e x﹣2，可得x＝ln2时，函数u（x）取得极小值，g′（ln2）＝u（ln2）＝1﹣2ln2＜0．∵g′（0）＝0，又＝﹣2（1+ln2）﹣1＝e﹣3﹣ln2＞0．∴存在x0∈（ln2，1+ln2），使得g′（x0）＝﹣2x0﹣1＝0，＝2x0+1．由单调性可得：x＝x0时，函数g（x）取得极小值即最小值，∴g（x）≥g（x0）＝﹣﹣x0＝2x0+1﹣﹣x0＝﹣+x0+1＝﹣+．由x0∈（ln2，1+ln2），可得函数y＝g（x0）单调递减，故g（x））≥g（x0）＞﹣+＞1﹣﹣（）2．∴当x＞0时，g（x）＞1﹣﹣（）2．。
2020年济南市高考数学模拟试卷（6月份）一、选择题（共10小题）.1．已知全集U ＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，A ＝{1，2，3}，B ＝{4，5，6}，则（∁U A ）∩（∁U B ）等于（ ） A ．{1，2，3}B ．{4，5，6}C ．{1，2，3，4，5，6}D ．{7，8}2．双曲线x 22−y 24=1的渐近线方程为（ ）A ．y ＝±2xB ．y ＝±√2xC ．y ＝±12xD ．y ＝±√22x3．复数11−i（i 为虚数单位）的共轭复数是（ ）A ．12−12iB ．1﹣iC ．12+12iD ．1+i4．已知m ，n 表示两条不同的直线，α表示平面，则下列说法正确的是（ ） A ．若m ∥α，n ∥α，则m ∥n B ．若m ∥α，m ⊥n ，则 n ⊥α C ．若m ⊥α，n ⊥α，则m ∥nD ．若m ⊥α，m ⊥n ，则n ∥α5．已知a ，b ∈R ，则“a ＝1”是“直线ax +y ﹣1＝0和直线x +（a 2﹣2）y ﹣1＝0垂直”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6．若直线y ＝2x 上不存在点（x ，y ）的坐标满足条件{x +y −3＜0，x −2y −3＜0，x ＞m ，则实数m 的最小值为（ ） A ．12B ．1C ．32D ．27．已知数列{a n }，满足a 1＝a 且a n+1={12a n ，n =2k −1，k ∈N ∗，2a n ，n =2k ，k ∈N ∗．设S n 是数列{a n }的前n 项和，若S 2020＝1，则a 的值为（ ）A ．13030B ．12020C ．11515D ．18．分别将椭圆C 1的长轴、短轴和双曲线C 3的实轴、虚轴都增加m 个单位长度（m ＞0），得到椭圆C 2和双曲线C 4．记椭圆C 1，C 2和双曲线C 3，C 4的离心率分别是e 1，e 2，e 3，e 4，则（ ） A ．e 1＞e 2，e 3＜e 4B ．e 1＞e 2，e 3与e 4的大小关系不确定C ．e 1＜e 2，e 3＞e 4D ．e 1＜e 2，e 3与e 4的大小关系不确定9．将边长为1的正方形ABCD 沿对角线BD 翻折，使得二面角A ﹣BD ﹣C 的平面角的大小为π3，若点E ，F 分别是线段AC 和BD 上的动点，则BE →⋅CF →的取值范围为（ ）A ．[﹣1，0]B ．[−1，14]C ．[−12，0]D ．[−12，14]10．设函数f （x ）＝lnx +cos x 的极值点从小到大依次为a 1，a 2，a 3，…，a n ，…，若c n ＝a n +1﹣a n ，d n ＝f （a n +1）﹣f （a n ），则下列命题中正确的个数有（ ） （1）数列{c n }为单调递增数列 （2）数列{d n }为单调递减数列（3）存在常数λ∈R ，使得对任意正实数t ，总存在n 0∈N ∗，当n ＞n 0时，恒有|c n ﹣λ|＜t（4）存在常数μ∈R ，使得对任意正实数t ，总存在n 0∈N ∗，当n ＞n 0时，恒有|d n ﹣μ|＜t A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分． 11．已知函数f(x)=2sin(2x −π3)，则其最小正周期T ＝ ，f(π3)= ．12．某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则此几何体的所有侧面中，直角三角形共有 个，该几何体的体积是 cm 3．13．二项式(x 3+1x)4的展开式中，常数项为 ，所有项的系数之和为 ．14．已知随机变量ξ的分布列如表：ξ12 3P12a 2a 2则a ＝ ，方差D （ξ）＝ ．15．将A ，B ，C ，D ，E ，F 六个字母排成一排，若A ，B ，C 均互不相邻且A ，B 在C 的同一侧，则不同的排法有 种．（用数字作答）16．已知函数f(x)={lnx ，x ＞0，(12)x−2，x ≤0，若f （f （a ））≤0，则实数a 的取值范围为 ．17．四面体P ﹣ABC 中，PA =√3，其余棱长都为2，动点Q 在△ABC 的内部（含边界），设∠PAQ ＝α，二面角P ﹣BC ﹣A 的平面角的大小为β，△APQ 和△BCQ 的面积分别为S 1，S 2，且满足S 1S 2=3sinα4sinβ，则S 2的最大值为 ．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且√3asinB−bcosA=0．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若a＝1，求√3b−c的取值范围．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，且PA＝PB＝2，若点E，F分别为AB和CD的中点．（Ⅰ）求证：平面ABCD⊥平面PEF；（Ⅱ）若二面角P﹣AB﹣C的平面角的余弦值为√36，求PC与平面PAB所成角的正弦值．20．已知数列{a n}的前n项和为S n，且Sn =n2+n2．公比大于0的等比数列{b n}的首项为b1＝1，且b2+b3＝20．（Ⅰ）求{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）若cn =(a n)2b n，求证：c1+c2+c3+⋯+c n＜72，（n∈N*）．21．设点P（s，t）为抛物线C：y2＝2px（p＞0）上的动点，F是抛物线的焦点，当s＝1时，|PF|=54．（Ⅰ）求抛物线C的方程；（Ⅱ）过点P作圆M：（x﹣2）2+y2＝1的切线l1，l2，分别交抛物线C于点A，B．当t ＞1时，求△PAB面积的最小值．22．定义两个函数的关系：函数m（x），n（x）的定义域分别为A，B，若对任意的x1∈A，总存在x2∈B，使得m（x1）＝n（x2），我们就称函数m（x）为n（x）的“子函数”．已知函数f(x)=√x+1−3ln x3，g（x）＝x4+ax3+bx2+ax+3，a，b∈R．4（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若f（x）为g（x）的一个“子函数”，求a2+b2的最小值．参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集U ＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，A ＝{1，2，3}，B ＝{4，5，6}，则（∁U A ）∩（∁U B ）等于（ ） A ．{1，2，3}B ．{4，5，6}C ．{1，2，3，4，5，6}D ．{7，8}【分析】由补集的运算求出∁U A ，∁U B ，再由交集的运算求出结果． 解：由已知：∁U A ＝{4，5，6，7，8}，∁U B ＝{1，2，3，7，8}， ∴（∁U A ）∩（∁U B ）＝{7，8}， 故选：D ．【点评】本题考查了交、补集的混合运算，属于基础题． 2．双曲线x 22−y 24=1的渐近线方程为（ ）A ．y ＝±2xB ．y ＝±√2xC ．y ＝±12xD ．y ＝±√22x【分析】由双曲线的渐近线方程y ＝±√2x 即可得到答案．解：∵双曲线方程为x 22−y 24=1，∴其渐近线方程为：y ＝±√2x ＝±√2x ，故选：B ．【点评】本题考查双曲线的简单性质，着重考查双曲线的渐近线方程，属于基础题．3．复数11−i（i为虚数单位）的共轭复数是（）A．12−12i B．1﹣i C．12+12i D．1+i【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由共轭复数的概念得答案解：∵11−i =1×(1+i)(1−i)(1+i)=12+12i，∴复数11−i 的共轭复数是12−12i．故选：A．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．4．已知m，n表示两条不同的直线，α表示平面，则下列说法正确的是（）A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m∥α，m⊥n，则n⊥αC．若m⊥α，n⊥α，则m∥n D．若m⊥α，m⊥n，则n∥α【分析】根据空间线面位置关系的性质与判定举反例进行说明即可．解：对于A，若m∥α，n∥α，则m与n可能平行，可能相交，可能异面，故A错误；对于B，若m∥α，m⊥n，则n与α可能平行，可能相交，有可能n在平面α内，故B错误．对于C，由项目垂直的性质定理“垂直于同一个平面的两条直线平行“可知C正确；对于D，若m⊥α，m⊥n，则当n⊂α时，显然结论错误，故D错误；故选：C．【点评】本题考查了空间线面位置关系的性质与判定，属于中档题．5．已知a，b∈R，则“a＝1”是“直线ax+y﹣1＝0和直线x+（a2﹣2）y﹣1＝0垂直”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】直线ax +y ﹣1＝0和直线x +（a 2﹣2）y ﹣1＝0垂直，可得：a +a 2﹣2＝0，解得a ．即可判断出关系．解：直线ax +y ﹣1＝0和直线x +（a 2﹣2）y ﹣1＝0垂直，可得：a +a 2﹣2＝0，解得a ＝1或﹣2．∴“a ＝1”是“直线ax +y ﹣1＝0和直线x +（a 2﹣2）y ﹣1＝0垂直”的充分不必要条件． 故选：A ．【点评】本题考查了直线垂直与斜率之间的关系、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．6．若直线y ＝2x 上不存在点（x ，y ）的坐标满足条件{x +y −3＜0，x −2y −3＜0，x ＞m ，则实数m 的最小值为（ ） A ．12B ．1C ．32D ．2【分析】根据{y =2xx +y −3=0，确定交点坐标为（1，2）要使直线y ＝2x 上存在点（x ，y ）满足约束条件{x +y −3＜0，x −2y −3＜0，x ＞m ，则m ≤1，由此可得结论．解：由题意，{y =2xx +y −3=0，可求得交点坐标为（1，2）要使直线y ＝2x 上存在点（x ，y ）满足约束条件{x +y −3＜0，x −2y −3＜0，x ＞m ，，如图所示．可得m≤1∴实数m 的最大值为1 故选：B ．【点评】本题考查线性规划知识的运用，考查学生的理解能力，属于基础题．7．已知数列{a n }，满足a 1＝a 且a n+1={12a n ，n =2k −1，k ∈N ∗，2a n ，n =2k ，k ∈N ∗．设S n 是数列{a n }的前n 项和，若S 2020＝1，则a 的值为（ ）A ．13030B ．12020C ．11515D ．1【分析】根据数列的递推关系得到数列{a n }的奇数项均为a ；偶数项均为：12a ；再结合S 2020＝1即可求解结论．解：因为数列{a n }，满足a 1＝a 且a n+1={12a n，n =2k −1，k ∈N ∗，2a n ，n =2k ，k ∈N ∗．则a 2＝a 1+1=12a 1=12a ；a 3＝a 2+1＝2a 2＝a ； a 4＝a 3+1=12a 3=12a ；…即数列{a n }的奇数项均为a ；偶数项均为：12a ；故S 2020＝1010a +1010×12a ＝1⇒a =11515．故选：C．【点评】本题主要考查数列递推关系式的应用，根据递推关系式求出其规律是解题关键．8．分别将椭圆C1的长轴、短轴和双曲线C3的实轴、虚轴都增加m个单位长度（m＞0），得到椭圆C2和双曲线C4．记椭圆C1，C2和双曲线C3，C4的离心率分别是e1，e2，e3，e4，则（）A．e1＞e2，e3＜e4B．e1＞e2，e3与e4的大小关系不确定C．e1＜e2，e3＞e4D．e1＜e2，e3与e4的大小关系不确定【分析】分别求出原椭圆与双曲线的离心率，再求出轴变化后的离心率，结合不等式的性质比较大小即可．解：设椭圆C1的长轴、短轴分别为2a，2b，则其半焦距c1=√a2−b2，∴其离心率e1=c1a=√1−(b a)2，其长轴与短轴各增加m个单位长度，则椭圆C2的长半轴为a+m2，短半轴为b+m2，则c2=√(a+m2)2−(b+m2)2，其离心率e2=c2a+m2=√1−(b+m2a+m2)2，由不等式的性质可得ba ＜b+m2a+m2，则e1＞e2；双曲线C3的实轴、虚轴分别为2a，2b，则其半焦距c3=√a2+b2，∴其离心率e3=c3a=√1+(b a)2，其实轴、虚轴都增加m个单位长度，则双曲线C4的实半轴长为a+m2，虚半轴为b+m2，则c4=√(a+m2)2+(b+m2)2，其离心率e 4=c 4a+m 2=√1+(b+m 2a+m 2)2， 由不等式的性质可得由于双曲线中a ，b 的关系不确定，若b ＜a ，则ba＜b+m2a+m 2，则e 3＜e 4． 若b ＞a ，同理可得e 3＞e 4． 故选：B ．【点评】本题考查椭圆与双曲线的简单性质，考查计算能力，是中档题．9．将边长为1的正方形ABCD 沿对角线BD 翻折，使得二面角A ﹣BD ﹣C 的平面角的大小为π3，若点E ，F 分别是线段AC 和BD 上的动点，则BE →⋅CF →的取值范围为（ ）A ．[﹣1，0]B ．[−1，14]C ．[−12，0]D ．[−12，14]【分析】推导出BE →⋅BC →=（BO →+OE →）•（CO →+OF →）=BO →⋅CO →+BO →⋅OF →+OE →⋅CO →+OE →⋅OF →=−（OB →⋅OF →+OE →⋅OC →），由此能求出BE →⋅CF →的值． 解：如图，BE →⋅BC →=（BO →+OE →）•（CO →+OF →） =BO →⋅CO →+BO →⋅OF →+OE →⋅CO →+OE →⋅OF →＝0﹣（OB →⋅OF →+OE →⋅OC →）+0 ＝﹣（OB →⋅OF →+OE →⋅OC →），∵OB =OD =√22，∴OB →⋅OF →∈[−12，12]，∵OC ＝OA =√22，二面角A ﹣BD ﹣C 的平面角的大小为π3，∴OE→⋅OC→∈[14，12]，∴BE→⋅CF→∈[﹣1，14]．故选：B．【点评】本题考查向量的数量积的取值范围的求法，考查空间向量坐标运算法则、向量的数量积关系等基础知识，考查推理论证能力，是中档题．10．设函数f（x）＝lnx+cos x的极值点从小到大依次为a1，a2，a3，…，a n，…，若c n＝a n+1﹣a n，d n＝f（a n+1）﹣f（a n），则下列命题中正确的个数有（）（1）数列{c n}为单调递增数列（2）数列{d n}为单调递减数列（3）存在常数λ∈R，使得对任意正实数t，总存在n0∈N∗，当n＞n0时，恒有|c n﹣λ|＜t（4）存在常数μ∈R，使得对任意正实数t，总存在n0∈N∗，当n＞n0时，恒有|d n﹣μ|＜tA．4个B．3个C．2个D．1个【分析】求出函数f（x）的导函数，在同一坐标系内作出函数y=1x与y＝sin x的图象，可得极值点的情况，得到c1＜c2，c2＞c3，故（1）错误；再由limn→∞(c n−π)=0，判断（3）正确；作出f（x）＝lnx+cos x的图象的大致形状，可得d1＜0，d2＞0，d3＜0，判断（2）错误；再由d n＝lna n+1﹣lna n+cos a n+1﹣cos a n=ln a n+1a n +cosa n+1−cosa n，结合limn→∞a n+1a n=0，cos a n+1﹣cos a n→2（或﹣2），判断（4）错误．解：由f（x）＝lnx+cos x，得f′（x）=1x−sinx，分别作出函数y=1x与y＝sin x的图象如图，∵c1＝a2﹣a1，c2＝a3﹣a2，c3＝a4﹣a3，∴c1＜c2，c2＞c3，故（1）错误；limn→∞(c n−π)=0，故（3）正确；函数f（x）＝lnx+cos x的图象如图，∵d1＜0，d2＞0，d3＜0，∴（2）错误；d n＝lna n+1﹣lna n+cos a n+1﹣cos a n=ln a n+1a n+cosa n+1−cosa n．∵limn→∞a n+1a n=0，cos an+1﹣cos a n→2（或﹣2），∴（4）错误．综上，仅有（3）正确．故选：D．【点评】本题考查命题的真假判断，其中涉及到数列的增减性，函数的求导以及对函数极值点的理解，考查数形结合的解题思想方法，难度较大．二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．11．已知函数f(x)=2sin(2x−π3)，则其最小正周期T＝π，f(π3)=√3．【分析】根据三角函数的周期公式以及三角函数的关系进行化简计算即可．解：由三角函数的周期公式得函数的周期T=2π2=π，f（π3）＝2sin（2π3−π3）＝2sinπ3=2×√32=√3，故答案为：π，√3．【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，结合三角函数的周期以及三角公式是解决本题的关键．比较基础．12．某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则此几何体的所有侧面中，直角三角形共有 3 个，该几何体的体积是 2 cm3．【分析】首先把三视图转换为几何体，进一步求出几何体的体积和直角三角形的个数．解：根据几何体的三视图转换为几何体为：该几何体为四棱锥体．如图所示：所以该几何体中有三个直角三角形，△ABE，△ADE，△ABC．该几何体的体积为V=1×12(1+2)×2×2=2．3故答案为：3；2【点评】本题考查的知识要点：三视图和几何体之间的转换，几何体的体积和表面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．13．二项式(x3+1)4的展开式中，常数项为 4 ，所有项的系数之和为16 ．x【分析】写出展开式的通项，令x的指数为0，求出常数项；利用赋值法，令x＝1，可得所有项系数之和．解：展开式的通项为：T=C4k(x3)4−k x−k=C4k x12−4k，k+1令12﹣4k＝0得，k＝3，故常数项为C43=4．对原式，令x＝1，得所有项系数和24＝16．故答案为：4，16【点评】本题考查二项展开式的通项以及赋值法研究系数的问题，同时考查学生运用转化思想解决问题的能力，要注意计算的准确性．属于基础题．14．已知随机变量ξ的分布列如表：ξ12 3P12a 2a 2则a ＝12，方差D （ξ）＝1116．【分析】利用分布列的性质，求解a ，求出期望，然后求解方差即可． 解：由题意可知：12+a 2+a 2=1，a ∈（0，1），解得a =12，所以：E ξ=1×12+2×14+3×14=74．D （ξ）＝（1−74）2×12+（2−74）2×14+（3−74）2×14=1116．故答案为：12；1116．【点评】本题考查离散型随机变量的分布列的性质以及期望与方差的求法，是基本知识的考查．15．将A ，B ，C ，D ，E ，F 六个字母排成一排，若A ，B ，C 均互不相邻且A ，B 在C 的同一侧，则不同的排法有 96 种．（用数字作答）【分析】先排D 、E 、F ，再利用插空法排A ，B ，C 且C 只能插在A 、B 的同侧，根据乘法原理计算出结果． 解：先排D 、E 、F ，有A 33种排法；再利用插空法排A ，B ，C 且C 只能插在A 、B 的同侧，有C 43C 21A 22种排法； 所以有A33C 43C 21A 22=96种排法．故填：96．【点评】本题主要考查排列组合中的乘法原理的应用，属于基础题．16．已知函数f(x)={lnx ，x ＞0，(12)x−2，x ≤0，若f （f （a ））≤0，则实数a 的取值范围为 [﹣log 23，0]∪[1e，e ] ．【分析】根据题意，根据a 的取值范围分4种情况讨论①a ＜﹣1，②﹣1≤a ≤0，③0＜a ≤1，④a ＞1，每种情况下求出f （f （a ））的解析式，结合指数对数不等式的解法求出a 的取值范围，综合4种情况即可得答案． 解：根据题意，分4种情况讨论：①当a ＜﹣1时，f （a ）＝（12）a ﹣2＞0，此时f （f （a ））＝ln （（12）a ﹣2），若f （f （a ））≤0，即ln （（12）a ﹣2）≤0，则有0＜（12）a ﹣2≤1， 解可得：﹣log 23≤a ＜﹣1；②当﹣1≤a ≤0时，f （a ）＝（12）a ﹣2≤0，此时f （f （a ））=(12)(12)a −2−2，若f （f （a ））≤0，即(12)(12)a −2−2≤0，则有（12）a≤2，解可得：﹣1≤a ≤0；③当0＜a ≤1时，f （a ）＝lna ≤0，此时f （f （a ））＝（12）lna ﹣2，若f （f （a ））≤0，即（12）lna ﹣2≤0，解可得1e≤a ≤1， ④当a ＞1时，f （a ）＝lna ＞0，此时f （f （a ））＝ln （lna ）， 若f （f （a ））≤0，即ln （lna ）≤0，则有0＜lna ≤1， 解可得：1＜a ≤e ，综合可得：﹣log 23≤a ＜0或1e≤a ≤e ，即a 的取值范围为[﹣log 23，0]∪[1e，e ]；故答案为：[﹣log 23，0]∪[1e，e ]．【点评】本题考查分段函数的应用，涉及指数、对数不等式的解法，属于基础题．17．四面体P﹣ABC中，PA=√3，其余棱长都为2，动点Q在△ABC的内部（含边界），设∠PAQ＝α，二面角P﹣BC﹣A的平面角的大小为β，△APQ和△BCQ的面积分别为S1，S2，且满足S1S2=3sinα4sinβ，则S2的最大值为4√3−6 ．【分析】面体P﹣ABC中，PA=√3，其余棱长都为2，取BC的中点D，连接PD，AD，则PD⊥BC，AD⊥BC，故∠BDA为二面角P﹣BC﹣A的平面角β，求出β，设Q到BC 的距离为h，根据面积之比，求出AQ＝h，得到Q的轨迹方程，与直线联立求出AB与圆弧的交点，得到h的最大值，再求出S2面积的最大值．解：四面体P﹣ABC中，PA=√3，其余棱长都为2，取BC的中点D，连接PD，AD，则PD⊥BC，AD⊥BC，故∠BDA为二面角P﹣BC﹣A的平面角β，因为等边三角形PBC，ABC，故PD＝AD=√3=PA，故β＝60°，设Q到BC的距离为h，则S1 S2=12AP⋅AQsinα12BC⋅ℎ=3sinα4sinβ，化简得，AQ＝h，故点Q的轨迹为以点A为焦点，以BC为准线的抛物线在三角形ABC内部的一段弧，如图建立直角坐标系，则抛物线的方程为y 2=2√3x ，A （0，√32），直线AB 的方程为：y =−√33(x −√32)，由{y 2=2√3xy =−√32(x −√32)，得x 2−7√3x +34=0，故圆弧与AB 的交点横坐标为x =7√3−122，则Q 到BC 的最大距离h =7√3−122+√32=4√3−6，故S 2的最大值为12⋅2⋅(4√3−6)=4√3−6．故答案为：4√3−6．【点评】本题考查二面角，动点的轨迹方程，求面积的最大值等，考查运算能力和应用能力，中档题．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且√3asinB−bcosA=0．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若a＝1，求√3b−c的取值范围．【分析】（Ⅰ）由正弦定理化简已知等式，结合sin B＞0，利用同角三角函数基本关系式可求tan A=√33，结合范围A∈（0，π），可求A的值．（Ⅱ）由正弦定理，三角函数恒等变换的应用可求√3b−c=2sin（B−π6），由范围B∈(0，5π6)，可得B−π6∈（−π6，2π3），利用正弦函数的图象和性质即可求解其取值范围．解：（Ⅰ）∵√3asinB−bcosA=0，即√3a sin B＝b cos A，∴由正弦定理可得√3sin A sin B＝sin B cos A，∵sin B＞0，∴√3sin A＝cos A，即tan A=√33，∵A∈（0，π），∴A=π6；（Ⅱ）∵A=π6，a＝1，∴由正弦定理bsinB =csinC=1sinπ6=2，可得b＝2sin B，c＝2sin C＝2sin（5π6−B），∴√3b−c=2√3sin B﹣2sin（5π6−B）＝2√3sin B﹣2（12cosB+√32sin B）=√3sin B﹣cos B＝2sin（B−π6），∵B∈(0，5π6)，B−π6∈（−π6，2π3），∴sin（B−π6）∈（−12，1]，∴可得√3b−c=2sin（B−π6）∈（﹣1，2]．【点评】本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换的应用，正弦函数的图象和性质，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，且PA＝PB＝2，若点E，F分别为AB和CD的中点．（Ⅰ）求证：平面ABCD⊥平面PEF；（Ⅱ）若二面角P﹣AB﹣C的平面角的余弦值为√36，求PC与平面PAB所成角的正弦值．【分析】（Ⅰ）利用线面垂直，将问题转化为证AB与平面PEF垂直的问题；（Ⅱ）先利用二面角P﹣AB﹣C的平面角的余弦值为√36，求出OP，然后利用空间直角坐标系，将问题转化为PC→与平面PAB法向量夹角的问题求解．解：（Ⅰ）∵PA＝PB，∴AB⊥PE．而AB⊥EF，所以AB⊥平面PEF，又AB⊂平面PEF，所以平面ABCD⊥平面PEF．（Ⅱ）结合（Ⅰ）可知，∠PEF即为二面角P﹣AB﹣C的平面角．如图，作PO⊥EF于O，则OEPE =√3=√36，∴OE =12，OF =32，则OP =√112．如图建立空间直角坐标系，则P(0，0，√112)，C(1，32，0)，A(−1，−12，0)，B(1，−12，0)．设平面PAB 的法向量为n →=(x ，y ，z)，则{n →⋅PB →=0n →⋅AB →=0，则{x −12y −√112=02x =0， 令z ＝1，则x =0，y =−√11，z =1，∴n →=(0，−√11，1)，PC →=(1，32，−√112)，∴sinθ=|cos ＜n →，PC →＞|=|n →⋅PC→|n →||PC →||=2√1112⋅6=√226． 故PC 与平面PAB 所成角的正弦值为√226．【点评】本题考查空间位置关系的判定和空间角的计算问题．主要是运用转化思想实现空间位置关系的证明，而角的计算问题，主要是通过建系设点，将空间角转化为向量间的夹角问题求解．属于中档题．20．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n =n 2+n 2．公比大于0的等比数列{b n }的首项为b 1＝1，且b 2+b 3＝20．（Ⅰ）求{a n }和{b n }的通项公式；（Ⅱ）若c n =(a n )2b n，求证：c 1+c 2+c 3+⋯+c n ＜72，（n ∈N *）．【分析】第（Ⅰ）题对于数列{a n }运用公式a n ={S 1，n =1S n −S n−1，n ≥2可计算出数列{a n }的通项公式，对于数列{b n}可设等比数列{b n}的公比为q（q＞0），然后根据已知条件可写出关于q的一元二次方程，解出q的值，即可得到等比数列{b n}的通项公式；第（Ⅱ）题先根据第（Ⅰ）题的结果计算出数列{c n}的通项公式，然后计算出当n≥2时，c n+1 c n 关于n的表达式并进行放缩，进一步可将数列{c n}放缩到一个等比数列c n≤（916）n﹣2，注意n＝1时要另外计算，再在求和时放缩成等比数列求和的性质，计算出结果并加以放缩可证明不等式成立．【解答】（Ⅰ）解：由题意，当n＝1时，a1＝S1=12+12=1，当n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1=n2+n2−(n−1)2+(n−1)2=n，∵当n＝1时，a1＝1也满足上式，∴a n＝n，n∈N*．设等比数列{b n}的公比为q（q＞0），则b2＝b1q＝q，b3＝b1q2＝q2，故b2+b3＝q+q2＝20，整理，得q2+q﹣20＝0，解得q＝﹣5（舍去），或q＝4，∴b n＝1•4n﹣1＝4n﹣1，n∈N*．（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知，cn =(a n)2b n=n24n−1，当n≥2时，c n+1c n =(n+1)24nn24n−1=(n+1)24n2=(1+1n)24≤916，即c n+1≤916c n，∵c1＝c2＝1，c3=916，∴当n≥2时，c n≤（916）n﹣2，∴c1+c2+c3+…+c n≤1+1+916+（916）2+…+（916）n﹣2，＝1+1−(916)n−1 1−916＝1+167[1﹣（916）n﹣1]＜1+167=237＜72．∴c1+c2+c3+⋯+c n＜72，（n∈N*）．【点评】本题主要考查等差数列和等比数列的基本量的计算，以及数列求和的不等式证明问题．考查了转化与化归思想，方程思想，分类讨论思想，放缩法，不等式的运算能力，以及逻辑推理能力和数学运算能力．本题属中档题．21．设点P（s，t）为抛物线C：y2＝2px（p＞0）上的动点，F是抛物线的焦点，当s＝1时，|PF|=54．（Ⅰ）求抛物线C的方程；（Ⅱ）过点P作圆M：（x﹣2）2+y2＝1的切线l1，l2，分别交抛物线C于点A，B．当t ＞1时，求△PAB面积的最小值．【分析】（Ⅰ）当s＝1时，|PF|=54，由抛物线的焦半径公式可得1+p2=54，得p=12，则抛物线方程可求；（Ⅱ）由点P（s，t）为抛物线C：y2＝x上的动点，得t2＝s，可设过点P（t2，t）的切线为x＝m（y﹣t）+t2，利用圆心到直线的距离等于半径可得2√1+m2=1，得（t2﹣1）m2+2t（2﹣t2）m+（2﹣t2）2﹣1＝0，由根与系数的关系得m1+m2=2t(t2−2)t2−1，m1m2=t2−3．设A（y12，y1），B（y22，y2），则直线l1：x=m1(y−t)+t2，与抛物线方程联立，再由根与系数的关系可得ty1=m1t−t2，即y1＝m1﹣t，同理y2＝m2﹣t，再设直线AB：x＝（y1+y2）y﹣y1y2，利用弦长公式求弦长，由点到直线的距离公式求P到直线AB的距离，代入三角形面积公式，换元后利用基本不等式与二次函数求最值．解：（Ⅰ）当s＝1时，|PF|=54，即1+p2=54，得p=12．∴抛物线C的方程为y2＝x；（Ⅱ）点P（s，t）为抛物线C：y2＝x上的动点，则t2＝s，设过点P（t2，t）的切线为x＝m（y﹣t）+t2，则2√1+m2=1，得（t2﹣1）m2+2t（2﹣t2）m+（2﹣t2）2﹣1＝0（*）．m1，m2是方程（*）的两个根，∴m1+m2=2t(t2−2)t2−1，m1m2=t2−3．设A（y12，y1），B（y22，y2），∵直线l1：x=m1(y−t)+t2与抛物线C：y2＝x交于点A，则{x=m1(y−t)+t 2y2=x，得y2−m1y+m1t−t2=0，∴ty1=m1t−t2（根与系数的关系），即y1＝m1﹣t，同理y2＝m2﹣t．设直线AB：x＝（y1+y2）y﹣y1y2，则|AB|=√1+(y 1+y 2)2|y 1−y 2|，d =21212√1+(y1+y 2)2又y 1+y 2=m 1+m 2−2t =−2t t 2−1，y 1y 2=(m 1−t)(m 2−t)=3−t 2t 2−1．∴S △PAB =12|AB|⋅d =|y 1−y 2|⋅|t 2−t(y 1+y 2)+y 1y 2|=12√(−2t t 2−1)2−4⋅3−t 2t 2−1⋅|t 2−t ⋅−2t t 2−1+3−t 2t 2−1|=√t 4−3t 2+3(t 2−1)2•|t 4+3t 2−1|． 令u ＝t 2﹣1＞0，则S △PAB =(u +4u+2)√1u2−1u+1． 当且仅当u ＝2，即t =√3时S △PAB 取得最小值3√3．【点评】本题考查抛物线方程的求法，考查直线与圆、直线与抛物线位置关系的应用，考查整体运算思想方法，考查计算能力，属难题．22．定义两个函数的关系：函数m （x ），n （x ）的定义域分别为A ，B ，若对任意的x 1∈A ，总存在x 2∈B ，使得m （x 1）＝n （x 2），我们就称函数m （x ）为n （x ）的“子函数”．已知函数f(x)=√x +1−34ln x 3，g （x ）＝x 4+ax 3+bx 2+ax +3，a ，b ∈一、选择题．（Ⅰ）求函数f （x ）的单调区间；（Ⅱ）若f （x ）为g （x ）的一个“子函数”，求a 2+b 2的最小值． 【分析】（I ）f(x)=√x +1−34ln x 3，x ∈（0，+∞），f ′（x ）=−34x 121+x=(√1+x−2)(2√1+x+1)4x 1+x．即可得出单调性．（II ）由（I ）可得：f （x ）∈[2，+∞）．x →+∞时，g （x ）→+∞，且g （x ）为连续函数，因此只需g （x ）min ≤2．即g （x ）＝2有实数解．即x 4+ax 3+bx 2+ax +1＝0，x ≠0，x 2+ax +b +a •1x +1x =0，令t ＝x +1x ∈（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）．即t 2+at +b ﹣2＝0在（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）上有实数解，将（a ，b ）看成直线ta +b +t 2﹣2＝0，令u =√a 2+b 2，则u min =t 2−2√t +1，（t2≥4），过换元利用函数的单调性即可得出．解：（I）f(x)=√x+1−34ln x3，x∈（0，+∞），f′（x）=−34x21+x=(√1+x−2)(2√1+x+1)4x√1+x．∴函数f（x）的单调递减区间为（0，3），单调递增区间为[3，+∞）．（II）由（I）可得：x＝3时，函数f（x）取得极小值即最小值，f（3）＝2．∴f（x）∈[2，+∞）．x→+∞时，g（x）→+∞，且g（x）为连续函数，因此只需g（x）min≤2．即g（x）＝2有实数解．即x4+ax3+bx2+ax+1＝0，x≠0，则x2+ax+b+a•1x +1x=0，令t＝x+1x∈（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞），即t2+at+b﹣2＝0在（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）上有实数解．将（a，b）看成直线ta+b+t2﹣2＝0，令u=√a2+b2，则u min=t2−2√t+1，（t2≥4）．令s=√t2+1≥√5．2√t2+1=√t2+1−√t2+1=s−3s≥√5−3√5=2√5，（t2≥4）．∴a2+b2的最小值为45．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、换元法、等价转化方法、方程与不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．。
