小学奥数-几何五大模型(鸟头模型).

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模型二 鸟头模型

两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形． 共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比．

如图在ABC△中，,DE分别是,ABAC上的点如图 ⑴(或D在BA的延长线上，E在AC上如图 2)，

则:():()ABCADESSABACADAE△△

EDCBA EDCBA

图⑴ 图⑵

【例 1】 如图在ABC△中，,DE分别是,ABAC上的点，且:2:5ADAB，:4:7AEAC，16ADES△平方厘米，求ABC△的面积．

EDCBA EDCBA

【解析】 连接BE，::2:5(24):(54)ADEABESSADAB△△，

::4:7(45):(75)ABEABCSSAEAC△△，所以:(24):(75)ADEABCSS△△，设8ADES△份，则35ABCS△份，16ADES△平方厘米，所以1份是2平方厘米，35份就是70平方厘米，ABC△的面积是70平方厘米．由此我们得到一个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比 ．

三角形等高模型与鸟头模型 小学奥数-几何五大模型(鸟头模型).

2 / 7 【巩固】如图，三角形ABC中，AB是AD的5倍，AC是AE的3倍，如果三角形ADE的面积等于1，那么三角形ABC的面积是多少？

EDCBA ABCDE

【解析】 连接BE．

∵3ECAE

∴3ABCABESS

又∵5ABAD

∴515ADEABEABCSSS，∴1515ABCADESS．

【巩固】如图，三角形ABC被分成了甲(阴影部分)、乙两部分，4BDDC，3BE，6AE，乙部分面积是甲部分面积的几倍？

乙甲EDCBA ABCDE甲乙

【解析】 连接AD．

∵3BE，6AE

∴3ABBE，3ABDBDESS

又∵4BDDC，

∴2ABCABDSS，∴6ABCBDESS，5SS乙甲．

【例 2】 如图在ABC△中，D在BA的延长线上，E在AC上，且:5:2ABAD，

:3:2AEEC，12ADES△平方厘米，求ABC△的面积．

EDCBA EDCBA

【解析】 连接BE，::2:5(23):(53)ADEABESSADAB△△

::3:(32)(35):(32)5ABEABCSSAEAC△△，

所以:(32):5(32)6:25ADEABCSS△△，设6ADES△份，则25ABCS△份，12ADES△平方厘米，所以1份是2平方厘米，25份就是50平方厘米，ABC△的面积是50平方厘米．由此我们得到一个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比

【例 3】 如图所示，在平行四边形ABCD中，E为AB的中点，2AFCF，三角形AFE(图中阴影部分)的面积为8平方厘米．平行四边形的面积是多少平方厘米？ 小学奥数-几何五大模型(鸟头模型).

3 / 7 EFDCBA

【解析】 连接FB．三角形AFB面积是三角形CFB面积的2倍，而三角形AFB面积是三角形AEF面积的2倍，所以三角形ABC面积是三角形AEF面积的3倍；又因为平行四边形的面积是三角形ABC面积的2倍，所以平行四边形的面积是三角形AFE面积的326（）倍．因此，平行四边形的面积为8648(平方厘米)．

【例 4】 已知DEF△的面积为7平方厘米，,2,3BECEADBDCFAF，求ABC△的面积．

FEDCBA

【解析】 :():()(11):(23)1:6BDEABCSSBDBEBABC△△，:():()(13):(24)3:8CEFABCSSCECFCBCA△△:():()(21):(34)1:6ADFABCSSADAFABAC△△

设24ABCS△份，则4BDES△份，4ADFS△份，9CEFS△份，244497DEFS△份，恰好是7平方厘米，所以24ABCS△平方厘米

【例 5】 如图，三角形ABC的面积为3平方厘米，其中:2:5ABBE，:3:2BCCD，三角形BDE的面积是多少？

ABECDDCEBA

【解析】 由于180ABCDBE，所以可以用共角定理，设2AB份，3BC份，则5BE份，

325BD份，由共角定理:():()(23):(55)6:25ABCBDESSABBCBEBD△△，设6ABCS△份，恰好是3平方厘米，所以1份是0.5平方厘米，25份就是250.512.5平方厘米，三角形BDE的面积是12.5平方厘米

【例 6】 (2007年”走美”五年级初赛试题)如图所示，正方形ABCD边长为6厘米，13AEAC，13CFBC．三角形DEF的面积为_______平方厘米．

FEDCBA

【解析】 由题意知13AEAC、13CFBC，可得23CEAC．根据”共角定理”可得， 小学奥数-几何五大模型(鸟头模型).

4 / 7 :():()12:(33)2:9CEFABCSSCFCECBAC△△；而66218ABCS△；所以4CEFS△；同理得，:2:3CDEACDSS△△;，183212CDES△，6CDFS△

故412610DEFCEFDECDFCSSSS△△△△(平方厘米)．

【例 7】 如图，已知三角形ABC面积为1，延长AB至D，使BDAB；延长BC至E，使2CEBC；延长CA至F，使3AFAC，求三角形DEF的面积．

FEDCBA ABCDEF

【解析】 (法1)本题是性质的反复使用．

连接AE、CD．

∵11ABCDBCSS，1ABCS，

∴S1DBC．

同理可得其它，最后三角形DEF的面积18．

(法2)用共角定理∵在ABC和CFE中，ACB与FCE互补，

∴111428ABCFCESACBCSFCCE．

又1ABCS，所以8FCES．

同理可得6ADFS，3BDES．

所以186318DEFABCFCEADFBDESSSSS．

【例 8】 如图，平行四边形ABCD，BEAB，2CFCB，3GDDC，4HAAD，平行四边形ABCD的面积是2， 求平行四边形ABCD与四边形EFGH的面积比．

HGABCDEF HGABCDEF

【解析】 连接AC、BD．根据共角定理

∵在ABC△和BFE△中，ABC与FBE互补，

∴111133ABCFBESABBCSBEBF△△．

又1ABCS△，所以3FBES△．

同理可得8GCFS△，15DHGS△，8AEHS△．

所以8815+3+236EFGHAEHCFGDHGBEFABCDSSSSSS△△△△． 小学奥数-几何五大模型(鸟头模型).

5 / 7 所以213618ABCDEFGHSS．

【例 9】 如图，四边形EFGH的面积是66平方米，EAAB，CBBF，DCCG，HDDA，求四边形ABCD的面积．

HGFEDCBA ABCDEFGH

【解析】 连接BD．由共角定理得:():()1:2BCDCGFSSCDCBCGCF△△，即2CGFCDBSS△△

同理:1:2ABDAHESS△△，即2AHEABDSS△△

所以2()2AHECGFCBDADBABCDSSSSS△△△△四边形

连接AC，同理可以得到2DHGBEFABCDSSS△△四边形

5AHECGFHDGBEFEFGHABCDABCDSSSSSSS△△△△四边形四边形四边形

所以66513.2ABCDS四边形平方米

【例 10】 如图，将四边形ABCD的四条边AB、CB、CD、AD分别延长两倍至点E、F、G、H，若四边形ABCD的面积为5，则四边形EFGH的面积是 ．

ABCDEFGH ABCDEFGH

【解析】 连接AC、BD．

由于2BEAB，2BFBC，于是4BEFABCSS，同理4HDGADCSS．

于是444BEFHDGABCADCABCDSSSSS．

再由于3AEAB，3AHAD，于是9AEHABDSS，同理9CFGCBDSS．

于是999AEHCFGABDCBDABCDSSSSS．

那么491260EFGHBEFHDGAEHCFGABCDABCDABCDABCDABCDSSSSSSSSSS．

【例 11】 如图，在ABC△中，延长AB至D，使BDAB，延长BC至E，使12CEBC，F是AC的中点，若ABC△的面积是2，则DEF△的面积是多少？

ABCDEF

【解析】 ∵在ABC△和CFE△中，ACB与FCE互补，

∴224111ABCFCESACBCSFCCE△△． 小学奥数-几何五大模型(鸟头模型).

6 / 7 又2ABCS，所以0.5FCES．

同理可得2ADFS△，3BDES△．

所以20.5323.5DEFABCCEFDEBADFSSSSS△△△△△

【例 12】 如图，1ABCS△，5BCBD，4ACEC，DGGSSE，AFFG．求FGSS．

SGFEDCBA

【解析】 本题题目本身很简单，但它把本讲的两个重要知识点融合到一起，既可以看作是”当两个三角形有一个角相等或互补时，这两个三角形的面积比等于夹这个角的两边长度的乘积比”的反复运用，也可以看作是找点，最妙的是其中包含了找点的3种情况．

最后求得FGSS△的面积为4321115432210FGSS△．

【例 13】 如图所示，正方形ABCD边长为8厘米，E是AD的中点，F是CE的中点，G是BF的中点，三角形ABG的面积是多少平方厘米？

ABCDEFG ABCDEFG

【解析】 连接AF、EG．

因为218164BCFCDESS△△，根据”当两个三角形有一个角相等或互补时，这两个三角形的面积比等于夹这个角的两边长度的乘积比”8AEFS，8EFGS，再根据”当两个三角形有一个角相等或互补时，这两个三角形的面积比等于夹这个角的两边长度的乘积比”，得到16BFCS，32ABFES，24ABFS，所以12ABGS平方厘米．

【例 14】 四个面积为1的正六边形如图摆放，求阴影三角形的面积．

HGFEDCBA