绝密★启用前试卷类型：B 2015年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（文科）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1、若集合{}1,1M=-，{}2,1,0N=-，则M N =（）A．{}0,1-B．{}0C．{}1 D．{}1,1-2、已知i是虚数单位，则复数()21i+=（）A．2-B．2C．2i-D．2i 3、下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（）A．2siny x x=+B．2cosy x x=-C．122xxy=+ D．sin2y x x=+4、若变量x，y满足约束条件224x yx yx+≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则23z x y=+的最大值为（）A．10B．8C．5D．2 5、设C∆A B的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若2a=，c=cos A=且b c<，则b=（）AB．2C．D．36、若直线1l和2l是异面直线，1l在平面α内，2l在平面β内，l是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是（）A．l至少与1l，2l中的一条相交B．l与1l，2l都相交C．l至多与1l，2l中的一条相交D．l与1l，2l都不相交7、已知5件产品中有2件次品，其余为合格品．现从这5件产品中任取2件，恰有一件次品的概率为（）A．0.4B．0.6C．0.8D．1 8、已知椭圆222125x ym+=（0m>）的左焦点为()1F4,0-，则m=（）A．9B．4C．3D．2 9、在平面直角坐标系x yO中，已知四边形CDAB是平行四边形，()1,2AB=-，()D2,1A =，则D CA⋅A =（）A．2B．3C．4 D．510、若集合(){},,,04,04,04,,,p q r s p s q s r s p q r sE=≤<≤≤<≤≤<≤∈N且，(){}F,,,04,04,,,t u v w t u v w t u v w=≤<≤≤<≤∈N且，用()card X表示集合X中的元素个数，则()()card card FE+=（）A．50B．100C．150 D．200二、填空题（本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．）（一）必做题（11~13题）11、不等式2340x x--+>的解集为．（用区间表示）12、已知样本数据1x，2x，⋅⋅⋅，nx的均值5x=，则样本数据121x+，221x+，⋅⋅⋅，21nx+的均值为．13、若三个正数a，b，c成等比数列，其中5a=+5c=-b=．（二）选做题（14、15题，考生只能从中选作一题）14、（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系x yO中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线1C的极坐标方程为()cos sin2ρθθ+=-，曲线2C的参数方程为2x ty⎧=⎪⎨=⎪⎩（t为参数），则1C与2C交点的直角坐标为．15、（几何证明选讲选做题）如图1，AB为圆O的直径，E为AB的延长线上一点，过E作圆O的切线，切点为C，过A作直线CE的垂线，垂足为D．若4A B=，C E=DA=．三、解答题（本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．）16、（本小题满分12分）已知tan2α=．()1求tan4πα⎛⎫+⎪⎝⎭的值；()2求2sin2sin sin cos cos21ααααα+--的值．17、（本小题满分12分）某城市100户居民的月平均用电量（单位：度），以[)160,180，[)180,200，[)200,220，[)220,240，[)240,260，[)260,280，[]280,300分组的频率分布直方图如图2．()1求直方图中x的值；()2求月平均用电量的众数和中位数；()3在月平均用电量为[)220,240，[)240,260，[)260,280，[]280,300的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户居民，则月平均用电量在[)220,240的用户中应抽取多少户？18、（本小题满分14分）如图3，三角形DCP所在的平面与长方形CDAB所在的平面垂直，D C4P=P=，6AB=，C3B=．()1证明：C//B平面DP A；()2证明：C DB⊥P；()3求点C到平面D P A的距离．19、（本小题满分14分）设数列{}n a的前n项和为n S，n*∈N．已知11a=，232a=，354a=，且当2n≥时，211458n n n nS S S S++-+=+．()1求4a的值；()2证明：112n na a+⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为等比数列；()3求数列{}na的通项公式．20、（本小题满分14分）已知过原点的动直线l与圆1C:22650x y x+-+=相交于不同的两点A，B．()1求圆1C的圆心坐标；()2求线段AB的中点M的轨迹C的方程；()3是否存在实数k，使得直线L:()4y k x=-与曲线C只有一个交点？若存在，求出k的取值范围；若不存在，说明理由．21、（本小题满分14分）设a为实数，函数()()()21f x x a x a a a=-+---．()1若()01f≤，求a的取值范围；()2讨论()f x的单调性；()3当2a≥时，讨论()4f xx+在区间()0,+∞内的零点个数．2015年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（文科）参考答案一、选择题1.C2.D3.A4.C5.B6.A7.B8.C9.D 10.D二、填空题11. 【答案】()4,1-12. 【答案】1113. 【答案】114. 【答案】()2,4-15. 【答案】316. 【答案】（1）3-；（2）1．17. 【答案】（1）0.0075；（2）230，224；（3）5．18. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）．（1）因为四边形CDAB是长方形，所以C//DB A，因为CB⊄平面DP A，DA⊂平面DP A，所以C//B平面DP A（2）因为四边形CDAB是长方形，所以C CDB⊥，因为平面DCP⊥平面CDAB，平面DCP平面CD CDAB=，CB⊂平面CDAB，所以CB⊥平面DCP，因为DP⊂平面DCP，所以C DB⊥P（3）取CD的中点E，连结AE和PE，因为D CP=P，所以CDPE⊥，在Rt D∆PE中，PE===，因为平面DCP⊥平面CDAB，平面DCP平面CD CDAB=，PE⊂平面DCP，所以PE⊥平面CDAB，由（2）知：CB⊥平面DCP，由（1）知：C//DB A，所以DA⊥平面DCP，因为DP⊂平面DCP，所以D DA⊥P，设点C到平面DP A的距离为h，因为C D CDV V-P A P-A=三棱锥三棱锥，所以D C D1133S h S∆P A∆A⋅=⋅PE，即CDD13621342ShS∆A∆P A⨯⨯⋅PE===⨯⨯，所以点C到平面DP A的距离是19. 【答案】（1）78；（2）证明见解析；（3）()11212nna n-⎛⎫=-⨯ ⎪⎝⎭．(1)当n=2时，4423143533558,15181124224S S S S a⎧⎫⎧⎫⎧⎫+=++++++=+++⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭⎩⎭即4解得：478a=（2）因为()() n2n1121114582,44442,n n n n n n n n S S S S n S S S S S S n ++-++-++=+≥-+-=-≥所以即()2131442,44n n na a a n a a+++=≥+=因为×()212112211111422512164,44,14422222n nn n n nn n nn n n nn na a a a a aa a a aa a a aa a++++++++++---+==+====---所以因为，所以数列1211111222n n a a a a +⎧⎫--=⎨⎬⎩⎭是以为首项，公比为的等比数列（3）由()2知：数列112n n a a +⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以21112a a -=为首项，公比为12的等比数列，所以111122n n n a a -+⎛⎫-= ⎪⎝⎭即1141122n nn n a a ++-=⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以数列12n n a ⎧⎫⎪⎪⎪⎪⎨⎬⎛⎫⎪⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎩⎭是以1212a =为首项，公差为4的等差数列，所以()2144212n na n n =+-⨯=-⎛⎫ ⎪⎝⎭，即()()111422122n n n a n n -⎛⎫⎛⎫=-⨯=-⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以数列{}n a 的通项公式是()11212n n a n -⎛⎫=-⨯ ⎪⎝⎭20. 【答案】（1）()3,0；（2）492322=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-y x ⎪⎭⎫ ⎝⎛≤<335x ；（3）存在，752752≤≤-k 或34±=k ．（1） 圆()()222211:65034,3,0C x y x x y +-+=-+=化为所以圆C 的圆心坐标为（2） 设线段AB 的中点M(),,o o x y 由圆的性质可得1C M 垂直于直线l设直线l 的方程为00(l k 1,,cm y mx m y mx ==-=已知直线的斜率存在），所以所以00001,3y y x x =--所以222200000393024x x y x y ⎧⎫-+=-+=⎨⎬⎩⎭即因为动直线l 与圆1C ，所以2m <45；所以22200y m x =<220004,5x x -所以3x <2004,x 5x 解得>53或0x <0,又因为0<03,x ≤所以 53<03x ≤.所以()00,M x y 满足22003953.243x y x ⎧⎫⎧⎫-+=<≤⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭即 223953.243x y x ⎧⎫⎧⎫-+=<≤⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭（3） 由题意知直线l 表示过定点T()4,0,斜率为k 的直线结合图形，220003955324333x y x x ⎧⎪⎧⎫⎧⎫-+=<≤-⎨⎬⎨⎬⎨⎩⎭⎩⎭⎪⎪⎩⎭表示的是一段关于轴对称，起点为，按逆时针方向运动到53⎧⎪⎨⎪⎪⎩⎭的圆弧，根据对称性，只需讨论在x 轴对称下方的圆弧。
2015年普通高等学校招生全国统一考试〔XX 卷〕数学〔理科〕一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．〔1〕[2015年XX ，理1，5分]若集合{}|(4)(1)0M x x x =++=，}{|(4)(1)0N x x x =--=，则M N =〔〕〔A 〕{}1,4〔B 〕{}1,4--〔C 〕{}0〔D 〕∅[答案]D[解析]{}{}(4)(1)04,1M x x x =++==--，{}{}(4)(1)01,4N x x x =--==，M N ∴⋂=∅故选D ． 〔2〕[2015年XX ，理2，5分]若复数i(32i)z =-〔i 是虚数单位〕，则z =〔〕〔A 〕23i -〔B 〕23i +〔C 〕32i +〔D 〕32i - [答案]A[解析]i(32i)3i 2z =-=+，23i z ∴=-，故选A ．〔3〕[2015年XX ，理3，5分]下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是〔〕〔A 〕21y x =+〔B 〕1y x x=+〔C 〕122x x y =+〔D 〕x y x e =+[答案]D[解析]A 和C 选项为偶函数，B 选项为奇函数，D 选项为非奇非偶函数，故选B ．〔4〕[2015年XX ，理4，5分]袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球，从袋中任取2个球，所取的2个球中恰好有1个白球，1个红球的概率为〔〕 〔A 〕521〔B 〕1021〔C 〕1121〔D 〕1 [答案]B[解析]111052151021C C P C ==，故选B ． 〔5〕[2015年XX ，理5，5分]平行于直线2++1=0x y 且与圆225x y +=相切的直线的方程是〔〕〔A 〕250250x y x y ++=+-=或〔B 〕250250x y x y ++=+-=或 〔C 〕250250x y x y -+=--=或〔D 〕250250x y x y -+=--=或[答案]A[解析]设所求直线为02=++c y x ，因为圆心坐标为()0,0，则由直线与圆相切可得25521c cd ===+，解得5c =±，所求直线方程为250250x y x y ++=+-=或，故选A ．〔6〕[2015年XX ，理6，5分]若变量,x y 满足约束条件4581302x y x y +≥⎧⎪≤≤⎨⎪≤≤⎩，则32z x y =+的最小值为〔〕〔A 〕4〔B 〕235〔C 〕6〔D 〕315[答案]B[解析]如图所示，阴影部分为可行域，虚线表示目标函数32z x y =+，则当目标函数过点81,5⎛⎫⎪⎝⎭，32z x y =+取最小值为235，故选B ．〔7〕[2015年XX ，理7，5分]已知双曲线2222:1x y C a b-=的离心率54e =，且其右焦点为2(5,0)F ，则双曲线C 的方程为〔〕〔A 〕22143x y -=〔B 〕221916x y -=〔C 〕221169x y -=〔D 〕22134x y -= [答案]C[解析]由双曲线右焦点为2(5,0)F ，则5c =，544c e a a ==∴=．2229b c a ∴=-=，所以双曲线方程为221169x y -=，故选C ．〔8〕[2015年XX ，理8，5分]若空间中n 个不同的点两两距离都相等，则正整数n 的取值〔〕〔A 〕至多等于3〔B 〕至多等于4〔C 〕等于5〔D 〕大于5 [答案]B[解析]当3=n 时，正三角形的三个顶点符合条件；当4=n 时，正四面体的四个顶点符合条件，故可排除A ，C ，D 四个选项，故选B ．二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． 〔一〕必做题〔9~13〕〔9〕[2015年XX ，理9，5分]在4x （-1）的展开式中，x 的系数为． [答案]6[解析]()()()4424411r rr rr r Cx C x ---=-，则当2r =时，x 的系数为()22416C -=． 〔10〕[2015年XX ，理10，5分]在等差数列{}n a 中，若3456725a a a a a ++++=，则28a a +=． [答案]10[解析]由等差数列性质得，345675525a a a a a a ++++==，解得55a =，所以285210a a a +==．〔11〕[2015年XX ，理11，5分]设ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若3a =，1sin 2B =，6C π=，则b =．[答案]1[解析]15sin ,266B B ππ=∴=或，又6C π=，故6B π=，所以，23A π=由正弦定理得，sin sin a bA B =，所以1b =． 〔12〕[2015年XX ，理12，5分]某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了条毕业留言〔用数字作答〕． [答案]1560[解析]40391560⨯=．〔13〕[2015年XX ，理13，5分]已知随机变量X 服从二项分布(,)B n p ，()30E X =，()20D X =，则p =．[答案]13[解析]()30E X np ==，()(1)20D X np p =-=，解得13p =．〔二〕选做题〔14-15题，考生只能从中选做一题〕〔14〕[2015年XX ，理14，5分]〔坐标系与参数方程选做题〕已知直线l 的极坐标方程为2sin()24πρθ-=，点A 的极坐标为7(22,)4A π，则点A 到直线l 的距离为．[答案]522[解析]222sin()2(sin cos )2422πρθρθθ-=-=sin cos 1ρθρθ∴-=．即直线l 的直角坐标方程为110y x x y -=-+=，即，点A 的直角坐标为()2,2-，A 到直线的距离为2215222d ++==． 〔15〕[2015年XX ，理15，5分]〔几何证明选讲选做题〕如图1，已知AB 是圆O 的直径，4AB =，EC 是圆O的切线，切点为C ，1BC =，过圆心O 作BC 的平行线，分别交EC 和AC 于点D 和点P ，则OD =． [答案]8[解析]如图所示，连结O ，C 两点，则OC CD ⊥，OD AC ⊥90CDO ACD ∴∠+∠=︒90ACD CBA CBA CAB ∠=∠∠+∠=︒，，CDO CAB ∴∠=∠，所以OD OCAB BC=， 所以8OD =．三、解答题：本大题共6题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．〔16〕[2015年XX ，理16，12分]在平面直角坐标系xOy 中，已知向量22,22m ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，()sin ,cos n x x =，0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭． 〔1〕若m n ⊥，求tan x 的值； 〔2〕若m 与n 的夹角为3π，求x 的值． 解：〔1〕()2222,sin ,cos sin cos sin 22224m n x x x x x π⎛⎫⎛⎫⋅=-⋅=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，m n ⊥，0m n ∴⋅=，即sin 04x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭， sin 04x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，又0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，444x πππ∴-<-<，04x π∴-=．即4x π=，tan tan 14x π∴==．〔2〕依题意2222sin 4cossin 3422sin cos 22x m n m nx xπππ⎛⎫- ⎪⋅⎛⎫⎝⎭==- ⎪⎝⎭⋅⎛⎫⎛⎫+-⋅+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 1sin 42x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，又,444x πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，46x ππ∴-=，即56412x πππ=+=． 〔17〕[2015年XX ，理17，12分]某工厂36名工人的年龄数据如下表：工人编号年龄 工人编号年龄 工人编号年龄 工人编号年龄 1 40 2 44 3 40 4 41 5 33 6 40 7 45 8 42 9 43 10 36 11 31 12 38 13 39 14 43 15 45 16 39 17 38 18 36 19 27 20 43 21 41 22 37 23 34 24 42 25 37 26 44 27 42 28 34 29 39 30 43 31 38 32 42 33 53 34 37 35 49 36 39〔1〕用系统抽样法从36名工人中抽取容量为9的样本，且在第一分段里采用随机抽样法抽到的年龄数据为44，列出样本的年龄数据；〔2〕计算〔1〕中样本的均值x 和方差2s ；〔3〕36名工人中年龄在x s 与x s 之间有着多少人？所占的百分比是多少〔精确到0．01%〕？ 解：〔1〕由题意得，通过系统抽样分别抽取编号为2，6，10，14，18，22，26，30，34的年龄数据为样本．则样本的年龄数据为：44，40，36，43，36，37，44，43，37．〔2〕由〔1〕中的样本年龄数据可得，()1444036433637444337409x =++++++++=，则()()()()()()()()1222222222444040403640434036403740444043409s ⎡=-+-+-+-+-+-+-+-⎢⎣()23740⎤+-⎥⎦= 9100．〔3〕由题意知年龄在100100404099⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，之间，即年龄在[]3743，之间， 由〔1〕中容量为9的样本中年龄、在[]3743，之间的有5人， 所以在36人中年龄在[]3743，之间的有536209⨯=〔人〕，则所占百分比为20100%55.56%36⨯≈．〔18〕[2015年XX ，理18，14分]如图，三角形PDC 所在的平面与长方形ABCD 所在的平面垂直，4PD PC ==，6AB =，3BC =，点E 是CD 边的中点，点F ，G 分别在线段AB ，BC 上，且2AF FB ==，2CG GB =． 〔1〕证明：PE FG ⊥；〔2〕求二面角P AD C --的正切值；〔3〕求直线PA 与直线FG 所成角的余弦值． 解：〔1〕PD PC =PDC ∴∆为等腰三角形，E 为CD 边的中点，所以PE DC ⊥， PDC ABCD ⊥平面平面，PDC ABCD DC ⋂=平面平面，且PE PDC ⊂平面，∴PE ABCD ⊥平面FG ABCD ⊂平面，PE FG ∴⊥．〔2〕由长方形ABCD 知，AD DC ⊥，PDC ABCD ⊥平面平面，PDC ABCD DC ⋂=平面平面，且AD ABCD ⊂平面AD PDC ∴⊥平面PD PDC ⊂平面，PD AD ∴⊥DC AD PD AD PC PDA DC CAD ⊥⊥⊂⊂由，，且平面，平面．PDC P AD C ∴∠--即为二面角，由长方形ABCD 得6DC AB ==，E 为CD 边的中点，则132DE DC ==，2243437PD DE PE DC PE ==⊥∴=-=，，，7tan 3PE PDC DE ∴∠==即二面角P AD C --的正切值为73．〔3〕如图，连结A ，C ，22AF FB CG GB ==，BF BGAB BC∴=，//FG AC ，PAC ∴∠为直线PA 与直线FG 所成角． 由长方形ABCD 中63AB BC ==，得：226335AC =+= 由〔2〕知AD PD ⊥，34AD BC PD ===，22345AP ∴=+=，由题意知4PC =，22295cos 225AP AC PC PAC AP AC +-∴∠==⋅⋅，所以，直线PA 与直线FG 所成角的余弦值为9525． 〔19〕[2015年XX ，理19，14分]设1a ，函数2()(1)x f x x e a ．〔1〕求()f x 的单调区间；〔2〕证明：()f x 在()+∞∞-,上仅有一个零点； 〔3〕若曲线()y f x 在点P 处的切线与x 轴平行，且在点(,)M m a 的切线与直线OP 平行〔O 是坐标原点〕，证明：321m a e≤--． 解：〔1〕2()(1)x f x x e a =+-，22()=2(1)(1)x x x f x xe x e x e '∴++=+，x R ∈时，()0f x '≥恒成立．()f x ∴的单调递增区间为R ．〔2〕由〔1〕可知()f x 在R 上为单调递增函数，当x a =，()=(+)(1)aaaf a a e a ea e-=+-1，1a >，()0f a ∴>，()f x ∴在(,)-∞+∞仅有一个零点．〔3〕令点P 为00(,)x y ，曲线()y f x =在点P 处的切线与x 轴平行，0200()=(1)0x f x x e '∴+=，0=1x ∴-，2(1,)P a e--，∴直线OP 斜率为221op ae k a e -==--， 在点(),M m n 处的切线与直线OP 平行，22()(1)m f m m e a e'∴=+=-．要证明321m a e ≤--，即证32(1)m a e+≤-．要证明32(1)(1)m m +≤+，需证明1m m e +≤，设()1m g m e m =--，()1m g m e '∴=-，令()0,0g m m '==，()g m ∴在∞(-,0)上单调递减，在+∞(0，)上单调递增，()(0)0g m g ∴≥=， 10m e m ∴--≥，1m e m ∴≥-，命题得证．〔20〕[2015年XX ，理20，14分]已知过原点的动直线l 与圆221:650C x y x 相交于不同的两点A ，B ．〔1〕求圆1C 的圆心坐标；〔2〕求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程；〔3〕是否存在实数k ，使得直线:(4)L y k x 与曲线C 只有一个交点？若存在，求出k 的取值X 围；若不存在，说明理由．解：〔1〕由题意知：圆1C 方程为：22(3)4x y -+=，∴圆1C 的圆心坐标为()3,0． 〔2〕由图可知，令()11,M x y，1|||OM C M =22211||||||OC OM C M =+，2222211113(3)x y x y ∴=++-+，221139()24x y ∴-+=，∵直线L 与圆1C 交于A 、B 两点，∴直线L 与圆1C 的距离：02d ≤< 22110(3)4x y ∴≤-+<，2211930(3)()442x x ∴≤-+--<，1533x ∴<≤ ∴轨迹C 的方程为：22395()(,3]243x y x -+=∈．〔3〕∵直线L ：(4)y k x =-与曲线2239()24x y -+=仅有1个交点，联立方程：22(4)5(,3]393()24y k x x x y =-⎧⎪∈⎨-+=⎪⎩， 得：2222(1)(83)160k x k x k +-++=，在区间5(,3]3有且仅有1个解．当2222=(83)64+1=k k k ∆+-（）0时，43k =±，此时，125(,3]53x =∈，仅有一个交点，符合题意．当0∆≠时，令2222()(1)(83)16g x k x k x k =+-++，则有：5()(3)0g g ≤解得：[k ∈，∴k 的取值X 围为：[k ∈或43k =±．〔21〕[2015年XX ，理21，14分]数列n a 满足：*121224,2n n n a a na n N ． 〔1〕求3a 的值；〔2〕设求数列{}n a 的前n 项和n T ； 〔3〕令111111,(1)(2)23n nn T b a b a n n n，证明：数列{}n a 的前n 项和n S 满足22ln n S n ．解：〔1〕由题意知：1212242n n n a a na -++++=-，当=2n 时，121222=42a a ++-；当=3n 时，1232322+3=42a a a ++-，321322233=4(4)224a ++---=，31=4a ． 〔2〕1212242n n n a a na -++++=-，12132+(+1)42n n n n a a na n a ++∴+++=-，， 111123243111(+1)()()222222n n n n nn n n n n n n n n n a a a -++-+++--+=-==∴=∴=∴{}n a 是首相为1，公比为12的等边数列，∴1111()1122()212212nn n n T ---==-=--．〔3〕由〔2〕得：1122n n T -=-1111(2)(1)22n n S n -∴=-++，已知不等式：111ln(1)23n n+<+设()ln(1),01xf x x x x =+->+2()01x f x x'∴=>+，()f x 在()∞0,+单调递增， ()ln(1)(0)01x f x x f x ∴=+->=+，ln(1)1xx x∴+>+在()∞0,+上恒成立． 令1=x n，1ln(1)ln(1)ln ln ln(1)ln 2ln1ln n n n n n n +=+-+--++-=，1111ln(1)231n n +>++++111ln 231n n ∴>++++， 111111(2)(1)2(1)2(1ln 2)22ln 2222n n S n n-∴=-++<++<+=+．。
2015数学广东卷(理科)参考公式:样本数据x1,x2,…,x n的方差s2=[(x1-)2+(x2-)2+…+(x n-)2],其中表示样本均值.一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,满分40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2015高考广东卷,理1)若集合M={x|(x+4)(x+1)=0},N={x|(x-4)(x-1)=0},则M∩N等于( D )(A){1,4} (B){-1,-4} (C){0} (D)○解析:化简集合得M={-4,-1},N={1,4},显然M∩N=⌀,故选D.2.(2015高考广东卷,理2)若复数z=i(3-2i)(i是虚数单位),则等于( A )(A)2-3i (B)2+3i (C)3+2i (D)3-2i解析:因为i(3-2i)=3i-2i2=2+3i,所以z=2+3i,所以=2-3i,故选A.3.(2015高考广东卷,理3)下列函数中,既不是奇函数,也不是偶函数的是( D )(A)y=(B)y=x+(C)y=2x+(D)y=x+e x解析:易知y=与y=2x+是偶函数,y=x+是奇函数,故选D.4.(2015高考广东卷,理4)袋中共有15个除了颜色外完全相同的球,其中有10个白球,5个红球.从袋中任取2个球,所取的2个球中恰有1个白球,1个红球的概率为( B )(A)(B)(C)(D)1解析:从15个球中任取2个球,取法共有种,其中恰有1个白球,1个红球的取法有×种,所以所求概率为P==,故选B.5.(2015高考广东卷,理5)平行于直线2x+y+1=0且与圆x2+y2=5相切的直线的方程是( A )(A)2x+y+5=0或2x+y-5=0(B)2x+y+=0或2x+y-=0(C)2x-y+5=0或2x-y-5=0(D)2x-y+=0或2x-y-=0解析:切线平行于直线2x+y+1=0,故可设切线方程为2x+y+c=0(c≠1),结合题意可得=,解得c=±5.故选A.6.(2015高考广东卷,理6)若变量x,y满足约束条件则z=3x+2y的最小值为( B )(A)4 (B)(C)6 (D)解析:由约束条件画出可行域如图.由z=3x+2y得y=-x+,易知目标函数在直线4x+5y=8与x=1的交点A1,处取得最小值,故z min=,故选B.7.(2015高考广东卷,理7)已知双曲线C:-=1的离心率e=,且其右焦点为F2(5,0),则双曲线C的方程为( C )(A)-=1 (B)-=1(C)-=1 (D)-=1解析:由已知得解得故b=3,从而所求的双曲线方程为-=1,故选C.8.(2015高考广东卷,理8)若空间中n个不同的点两两距离都相等,则正整数n的取值( B )(A)至多等于3 (B)至多等于4(C)等于5 (D)大于5解析:首先我们知道正三角形的三个顶点满足两两距离相等,于是可以排除C,D.又注意到正四面体的四个顶点也满足两两距离相等,于是排除A,故选B.二、填空题:本大题共7小题,考生作答6小题,每小题5分,满分30分.(一)必做题(9~13题)9.(2015高考广东卷,理9)在(-1)4的展开式中,x的系数为.解析:(-1)4的展开式通项为T r+1=()4-r(-1)r=(-1)r··,令=1,得r=2,从而x的系数为(-1)2=6.答案:610.(2015高考广东卷,理10)在等差数列{a n}中,若a3+a4+a5+a6+a7=25,则a2+a8= .解析:利用等差数列的性质可得a3+a7=a4+a6=2a5,从而a3+a4+a5+a6+a7=5a5=25,故a5=5,所以a2+a8=2a5=10.答案:1011.(2015高考广东卷,理11)设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若a=,sin B=,C=,则b= .解析:在△ABC中,由sin B=可得B=或B=,结合C=可知B=.从而A=π,利用正弦定理=,可得b=1.答案:112.(2015高考广东卷,理12)某高三毕业班有40人,同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言,那么全班共写了条毕业留言.(用数字作答)解析:因为同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言,且全班共有40人,所以全班共写了40×39=1560(条)毕业留言.答案:156013.(2015高考广东卷,理13)已知随机变量X服从二项分布B(n,p).若E(X)=30,D(X)=20,则p= .解析:因为X~B(n,p),所以E(X)=np=30,D(X)=np(1-p)=20,解得n=90,p=.答案:(二)选做题(14~15题,考生只能从中选做一题)14.(2015高考广东卷,理14)(坐标系与参数方程选做题)已知直线l的极坐标方程为2ρsinθ-=,点A的极坐标为A2,,则点A到直线l的距离为.解析:将直线l的极坐标方程2ρsinθ-=化为直角坐标方程为x-y+1=0.由A2,得A点的直角坐标为(2,-2),从而点A到直线l的距离d==.答案:15.(2015高考广东卷,理15)(几何证明选讲选做题)如图,已知AB是圆O的直径,AB=4,EC是圆O的切线,切点为C,BC=1.过圆心O作BC的平行线,分别交EC和AC于点D和点P,则OD= .解析:易得AC==,由OP∥BC,且O为AB的中点可知CP=AC=,OP=BC=,∠APO=∠ACB=90°.所以∠CPD=90°.因为EC是切线,所以∠DCP=∠B,从而△CPD∽△BCA,故=,所以DP=.故OD=DP+OP=+=8.答案:8三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.16.(本小题满分12分)(2015高考广东卷,理16)在平面直角坐标系xOy中,已知向量m=,-,n=(sin x,cos x),x∈.(1)若m⊥n,求tan x的值;(2)若m与n的夹角为,求x的值.解:(1)因为m⊥n,所以m·n=sin x-cos x=0.即sin x=cos x,又x∈0,,所以tan x==1.(2)易求得|m|=1,|n|==1.因为m与n的夹角为,所以cos==.则sin x-cos x=sin x-=.又因为x∈0,,所以x-∈-,.所以x-=,解得x=.17.(本小题满分12分)(1)用系统抽样法从36名工人中抽取容量为9的样本,且在第一分段里用随机抽样法抽到的年龄数据为44,列出样本的年龄数据;(2)计算(1)中样本的均值和方差s2;(3)36名工人中年龄在-s与+s之间有多少人?所占的百分比是多少?(精确到0.01%)?解:(1)由系统抽样知识知,将36名工人分为9组(4人一组),每组抽取一名工人.因为在第一分段里抽到的是年龄为44的工人,即编号为2的工人,故所抽样本的年龄数据为44,40,36,43,36,37,44,43,37.(2)均值==40;方差s2=×[(44-40)2+(40-40)2+(36-40)2+(43-40)2+(36-40)2+(37-40)2+(44-40)2+(43-40)2+(37-40)2]=.(3)由(2)可知s=.由题意,年龄在-s与+s之间,即在区间[37,43]内的工人共有23人,所占的百分比为×100%≈63.89%.18.(本小题满分14分)(2015高考广东卷,理18)如图,三角形PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直,PD=PC=4,AB=6,BC=3.点E是CD边的中点,点F,G分别在线段AB,BC上,且AF=2FB,CG=2GB.(1)证明:PE⊥FG;(2)求二面角P AD C的正切值;(3)求直线PA与直线FG所成角的余弦值.(1)证明:因为PD=PC,点E为DC中点,所以PE⊥DC.又因为平面PDC⊥平面ABCD,平面PDC∩平面ABCD=DC,所以PE⊥平面ABCD.又FG⊂平面ABCD,所以PE⊥FG.(2)解:由(1)可知PE⊥AD.因为四边形ABCD为长方形,所以AD⊥DC.又因为PE∩DC=E,所以AD⊥平面PDC.而PD⊂平面PDC,所以AD⊥PD.由二面角的平面角的定义可知∠PDC为二面角P AD C的一个平面角.在Rt△PDE中,PE==,所以tan∠PDC==.从而二面角P AD C的正切值为.(3)解:连接AC.因为==,所以FG∥AC.易求得AC=3,PA==5.所以直线PA与直线FG所成角等于直线PA与直线AC所成角,即∠PAC,在△PAC中,cos∠PAC==.所以直线PA与直线FG所成角的余弦值为.19.(本小题满分14分)(2015高考广东卷,理19)设a>1,函数f(x)=(1+x2)e x-a.(1)求f(x)的单调区间;(2)证明:f(x)在(-∞,+∞)上仅有一个零点;(3)若曲线y=f(x)在点P处的切线与x轴平行,且在点M(m,n)处的切线与直线OP平行(O是坐标原点),证明:m≤-1.(1)解:函数f(x)的定义域为R.因为f'(x)=2x·e x+(1+x2)e x=(x2+2x+1)e x=(x+1)2e x≥0,所以函数f(x)在R上单调递增,即f(x)的单调递增区间为(-∞,+∞),无单调递减区间.(2)证明:因为a>1,所以f(0)=1-a<0,f(ln a)=(1+ln2a)e ln a-a=aln2a>0,所以f(0)·f(ln a)<0,由零点存在性定理可知f(x)在(0,ln a)内存在零点.又由(1)知f(x)在R上单调递增,故f(x)在(-∞,+∞)上仅有一个零点.(3)证明:设点P(x0,y0),由题意知,f'(x0)=(x0+1)2=0,解得x0=-1.所以y0=(1+)-a=-a,所以点P的坐标为-1,-a.所以k OP=a-.由题意可得f'(m)=(m+1)2e m=a-.要证明m≤-1,只需要证明m+1≤,只需要证明(m+1)3≤a-=(m+1)2e m,只需要证明m+1≤e m.构造函数:h(x)=e x-x-1(x∈R),则h'(x)=e x-1.当x<0时,h'(x)<0,即h(x)在(-∞,0)上单调递减;当x>0时,h'(x)>0,即h(x)在(0,+∞)上单调递增;所以函数h(x)有最小值,为h(0)=0,则h(x)≥0.所以e x-x-1≥0,故e m-m-1≥0,即m+1≤e m,故原不等式成立.20.(本小题满分14分)(2015高考广东卷,理20)已知过原点的动直线l与圆C1:x2+y2-6x+5=0相交于不同的两点A,B.(1)求圆C1的圆心坐标;(2)求线段AB的中点M的轨迹C的方程;(3)是否存在实数k,使得直线L:y=k(x-4)与曲线C只有一个交点?若存在,求出k的取值范围;若不存在,说明理由.解:(1)圆C1的方程x2+y2-6x+5=0可化为(x-3)2+y2=4,所以圆心坐标为(3,0).(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),M(x0,y0),则x0=,y0=.由题意可知直线l的斜率必存在,设直线l的方程为y=tx.将上述方程代入圆C1的方程,化简得(1+t2)x2-6x+5=0.由题意可得Δ=36-20(1+t2)>0(*),x1+x2=,所以x0=,代入直线l的方程得y0=.因为+=+===3x0,所以x0-2+=.由(*)解得t2<,又t2≥0,所以<x0≤3.所以线段AB的中点M的轨迹C的方程为x-2+y2=<x≤3.(3)由(2)知,曲线C是在区间,3上的一段圆弧.如图,D,,E,-,F(3,0),直线L过定点G(4,0).于是k GD=-,k GE=.当直线L与圆C相切时,=,解得k=±,由图可知,当k∈-,∪-,时直线L与曲线C只有一个交点.21.(本小题满分14分)(2015高考广东卷,理21)数列{a n}满足:a1+2a2+…+na n=4-,n∈N*.(1)求a3的值;(2)求数列{a n}的前n项和T n;(3)令b1=a1,b n=+1+++…+a n(n≥2),证明:数列{b n}的前n项和S n满足S n<2+2ln n.(1)解:当n=1时,a1=1;当n=2时,a1+2a2=2,解得a2=;当n=3时,a1+2a2+3a3=,解得a3=.(2)解:当n≥2时,a1+2a2+…+(n-1)a n-1+na n=4-,①a1+2a2+…+(n-1)a n-1=4-,②由①-②得na n=,所以a n=(n≥2),经检验,a1=1也适合上式,所以a n=(n∈N*).所以数列{a n}是以1为首项,为公比的等比数列.所以T n==2-.(3)证明:b1=1,b n=-·+1+++…+·(n≥2).当n=1时,S1=1<2+2ln 1.当n≥2时,b n=+1+++…+·a n=+1+++…+·(T n-T n-1)=+1+++…+·T n-1+++…+·T n-1=1+++…+·T n-1+++…+·T n-1,所以S n=1+1+·T2-1·T1+1++·T3-1+·T2+…+1+++…+·T n-1+++…+·T n-1=1+++…+·T n<21+++…+=2+2++…+,以下证明++…+<ln n(n≥2).构造函数h(x)=ln x-1+(x>1),则h'(x)=-=>0(x>1),所以函数h(x)在区间(1,+∞)上单调递增,即h(x)>h(1)=0.所以ln x>1-(x>1),分别令x=2,,,…,得ln 2>1-=,ln >1-=,ln >1-=,…ln>1-=.累加得ln 2+ln +…+ln>++…+,即ln 2+(ln 3-ln 2)+…+[ln n-ln(n-1)]>++…+,所以++…+<ln n(n≥2).综上,S n<2+2ln n,n∈N*.。
2015年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)数学(理科)本试卷共4页,21小题,满分150分.考试用时120分钟. 注意事项:1.答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、考场号、座位号填写在答题卡上,用2B 铅笔将试卷类型(A)填涂在答题卡相应位置上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”.2.选择题每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案,答案不能答在试卷上.3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答.答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4.作答选做题时,请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点,再作答.漏涂、错涂、多涂的,答案无效.5.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后,将试卷和答题卡一并交回. 参考公式:样本数据x 1,x 2,…,x n 的方差s 2=1[(x 1-x )2+(x 2-x )2+…+(x n -x )2],其中x 表示样本均值.一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,满分40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2015广东,理1)若集合M={x|(x+4)(x+1)=0},N={x|(x-4)(x-1)=0},则M ∩N=( ) A.{1,4} B.{-1,-4} C.{0} D.⌀ 答案:D解析:由题意知集合M={-4,-1},N={4,1},M 和N 没有相同的元素.故M ∩N=⌀. 2.(2015广东,理2)若复数z=i(3-2i)(i 是虚数单位),则z = ( )A.2-3iB.2+3iC.3+2iD.3-2i 答案:A解析:因为z=i(3-2i)=3i -2i 2=2+3i,所以z =2-3i .3.(2015广东,理3)下列函数中,既不是奇函数,也不是偶函数的是( ) A.y= 2 B.y=x+1 C.y=2x +12x D.y=x+e x答案:D解析:根据函数奇偶性的定义,易知函数y= 2y=2x +1x 为偶函数,y=x+1为奇函数,所以排除选项A,B,C.故选D.4.(2015广东,理4)袋中共有15个除了颜色外完全相同的球,其中有10个白球,5个红球.从袋中任取2个球,所取的2个球中恰有1个白球,1个红球的概率为( ) A.5B.10C.11D.1答案:B解析:从15个球中任取2个球,其中白球的个数服从超几何分布,根据超几何分布的概率公式,得所取的2个球中恰有1个白球,1个红球的概率为C 101C 51C 152=10×5=10. 5.(2015广东,理5)平行于直线2x+y+1=0且与圆x 2+y 2=5相切的直线的方程是( ) A.2x+y+5=0或2x+y-5=0 B.2x+y+ =0或2x+y- =0 C.2x-y+5=0或2x-y-5=0 D.2x-y+ 5=0或2x-y- 5=0 答案:A解析:设与直线2x+y+1=0平行的直线方程为2x+y+m=0(m ≠1),因为直线2x+y+m=0与圆x 2+y 2=5相切,即点(0,0)到直线2x+y+m=0的距离为 5,所以 5= 5,|m|=5.故所求直线的方程为2x+y+5=0或2x+y-5=0.6.(2015广东,理6)若变量x ,y 满足约束条件 4x +5y ≥8,1≤x ≤3,0≤y ≤2,则z=3x+2y 的最小值为( )A.4B.235C.6 D.315答案:B解析:作出题中约束条件表示的可行域如图中阴影部分所示,由z=3x+2y可得y=-32x+z2.z指的是直线y=-3x+z在y轴上的截距,根据图形可知当直线y=-3x+z通过点A时,可使z取得最小值,即z取得最小值.易知点A的坐标为1,45,所以z min=3×1+2×4=23.7.(2015广东,理7)已知双曲线C:x 2a2−y2b2=1的离心率e=54,且其右焦点为F2(5,0),则双曲线C的方程为()A.x 24−y23=1 B.x29−y216=1C.x 2−y2=1 D.x2−y2=1答案:C解析:因为双曲线C的右焦点为F2(5,0),所以c=5.因为离心率e=ca =54,所以a=4.又a2+b2=c2,所以b2=9.故双曲线C的方程为x 2−y2=1.8.(2015广东,理8)若空间中n个不同的点两两距离都相等,则正整数n的取值()A.至多等于3B.至多等于4C.等于5D.大于5答案:B解析:特殊值法.当n=3时,正三角形的三个顶点之间两两距离相等,故n=3符合;当n=4时,联想正四面体的四个顶点之间两两距离相等,故n=4符合.由此可以排除选项A,C,D.故选B.二、填空题:本大题共7小题,考生作答6小题,每小题5分,满分30分.(一)必做题(9~13题)9.(2015广东,理9)在(x-1)4的展开式中,x的系数为.答案:6解析:该二项展开式的通项为T r+1=C4r(x)4-r(-1)r,当x的指数为1时,4-r=2,解得r=2.故T3=C42(x)2(-1)2=6x,即x的系数为6.10.(2015广东,理10)在等差数列{a n}中,若a3+a4+a5+a6+a7=25,则a2+a8=. 答案:10解析:根据等差数列的性质,得a3+a4+a5+a6+a7=5a5=25,解得a5=5.又a2+a8=2a5,所以a2+a8=10.11.(2015广东,理11)设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若a=3,sin B=12,C=π6,则b=.答案:1解析:由sin B=12解得B=π6或B=5π6.根据三角形内角和定理,舍去B=5π,所以B=π6,A=2π3.根据正弦定理asin A =bsin B,得3sin2π3=bsinπ6,解得b=1.12.(2015广东,理12)某高三毕业班有40人,同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言,那么全班共写了条毕业留言.(用数字作答)答案:1 560解析:该问题是一个排列问题,故共有A402=40×39=1 560条毕业留言.13.(2015广东,理13)已知随机变量X服从二项分布B(n,p).若E(X)=30,D(X)=20,则p=. 答案:13解析:根据二项分布的均值、方差公式,得E(X)=np=30,D(X)=np(1−p)=20,解得p=13.(二)选做题(14-15题,考生只能从中选做一题)14.(2015广东,理14)(坐标系与参数方程选做题)已知直线l的极坐标方程为2ρsin θ−π4=2,点A的极坐标为A22,7π4,则点A到直线l的距离为.答案:522解析:2ρsin θ−π=2,即2ρsin θcosπ-2ρcos θsinπ=2,将其化为直角坐标方程为y-x=1.又点A的直角坐标为22cos7π4,22sin7π4=(2,-2),所以点A(2,-2)到直线y-x=1的距离d=2=522.15.(2015广东,理15)(几何证明选讲选做题)如图,已知AB是圆O的直径,AB=4,EC是圆O的切线,切点为C,BC=1,过圆心O作BC的平行线,分别交EC和AC于点D和点P,则OD=.答案:8解析:设OD交劣弧AC于点M,由OP∥BC,得OP=1,P为AC的中点,PM=3.由切割线定理得DC2=DM·(DM+4).①在△ABC中,AC为直角边,且AC=2−BC2=42−12=15,所以CP=152.在Rt△DCP中,DC2=(DM+PM)2+CP2, ②联立①②可求得DM=6,所以OD=8.三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.16.(本小题满分12分)(2015广东,理16)在平面直角坐标系xOy中,已知向量m=22,−22,n=(sin x,cos x),x∈0,π.(1)若m⊥n,求tan x的值;(2)若m与n的夹角为π3,求x的值.解:(1)∵m=2,−2,n=(sin x,cos x),且m⊥n,∴m·n=22,−2·(sin x,cos x)=2sin x-2cos x=sin x−π=0.又x∈0,π2,∴x-π4∈ −π4,π4.∴x-π=0,即x=π.∴tan x=tanπ4=1.(2)由(1)和已知得cosπ3=m·n|m|·|n|=sin x−π422+−22·sin2x+cos2x=sin x−π4=12,又x-π∈ −π,π,∴x-π4=π6,即x=5π12.17.(本小题满分12分)(2015广东,理17)某工厂36名工人的年龄数据如下表:(1)用系统抽样法从36名工人中抽取容量为9的样本,且在第一分段里用随机抽样法抽到的年龄数据为44,列出样本的年龄数据;(2)计算(1)中样本的均值x和方差s2;(3)36名工人中年龄在x-s与x+s之间有多少人?所占的百分比是多少(精确到0.01%)?解:(1)依题意知所抽取的样本编号是一个首项为2,公差为4的等差数列,故其所有样本编号依次为2,6,10,14,18,22,26,30,34,对应样本的年龄数据依次为44,40,36,43,36,37,44,43,37.(2)由(1)可得其样本的均值x=44+40+36+43+36+37+44+43+379=40,方差s2=19[(44-40)2+(40-40)2+(36-40)2+(43-40)2+(36-40)2+(37-40)2+(44-40)2+(43-40)2+(37-40)2]=19[42+02+(-4)2+32+(-4)2+(-3)2+42+32+(-3)2]=100.(3)由(2)知s=10,所以x-s=3623,x+s=4313.因为年龄在x-s与x+s之间共有23人,所以其所占的百分比是2336≈63.89%.18.(本小题满分14分)(2015广东,理18)如图,三角形PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直,PD=PC=4,AB=6,BC=3,点E是CD边的中点,点F,G分别在线段AB,BC上,且AF=2FB,CG=2GB.(1)证明:PE⊥FG;(2)求二面角P-AD-C的正切值;(3)求直线PA与直线FG所成角的余弦值.(1)证明:∵PD=PC,且点E为CD边的中点,∴PE⊥DC.又平面PDC⊥平面ABCD,且平面PDC∩平面ABCD=CD,PE⊂平面PDC,∴PE⊥平面ABCD.又FG⊂平面ABCD,∴PE⊥FG.(2)解:∵四边形ABCD是矩形,∴AD⊥DC.又平面PDC⊥平面ABCD,且平面PDC∩平面ABCD=CD,AD⊂平面ABCD,∴AD⊥平面PDC.∵PD⊂平面PDC,∴AD⊥PD.∴∠PDC即为二面角P-AD-C的平面角.在Rt△PDE中,PD=4,DE=1AB=3,PE= PD2−DE2=7,∴tan∠PDC=PEDE =73,即二面角P-AD-C的正切值为73.(3)解:如图所示,连接AC,∵AF=2FB,CG=2GB,即AF=CG=2,∴AC ∥FG ,∴∠PAC 即为直线PA 与直线FG 所成的角或其补角. 在△PAC 中,PA=2+AD 2=5, AC=2+CD 23 由余弦定理可得cos ∠PAC=PA 2+AC 2−PC 2=2 5)222×5×3 5=9 5, ∴直线PA 与直线FG 所成角的余弦值为9 525.19.(本小题满分14分)(2015广东,理19)设a>1,函数f (x )=(1+x 2)e x -a.(1)求f (x )的单调区间;(2)证明:f (x )在(-∞,+∞)上仅有一个零点;(3)若曲线y=f (x )在点P 处的切线与x 轴平行,且在点M (m ,n )处的切线与直线OP 平行(O 是坐标原点),证明:m ≤a −2e3-1.解:(1)由题意可知函数f (x )的定义域为R ,f'(x )=(1+x 2)'e x +(1+x 2)(e x )'=(1+x )2e x ≥0,故函数f (x )的单调递增区间为(-∞,+∞),无单调递减区间. (2)∵a>1,∴f (0)=1-a<0,且f (a )=(1+a 2)e a -a>1+a 2-a>2a-a=a>0. ∴函数f (x )在区间(0,a )上存在零点.又由(1)知函数f (x )在(-∞,+∞)上单调递增, ∴函数f (x )在(-∞,+∞)上仅有一个零点. (3)由(1)及f'(x )=0,得x=-1.又f (-1)=2e -a ,即P −1,2e −a ,∴k OP =2e−a−0−1−0=a-2e .又f'(m )=(1+m )2e m ,∴(1+m )2e m =a-2.令g (m )=e m -m-1,则g'(m )=e m -1,∴由g'(m )>0,得m>0,由g'(m )<0,得m<0.∴函数g (m )在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增. ∴g (m )min =g (0)=0,即g (m )≥0在R 上恒成立, 即e m ≥m+1.∴a-2e =(1+m )2e m ≥(1+m )2(1+m )=(1+m )3, 即 a −23≥1+m. 故m ≤ a −23-1.20.(本小题满分14分)(2015广东,理20)已知过原点的动直线l 与圆C 1:x 2+y 2-6x+5=0相交于不同的两点A ,B. (1)求圆C 1的圆心坐标;(2)求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程;(3)是否存在实数k ,使得直线L :y=k (x-4)与曲线C 只有一个交点?若存在,求出k 的取值范围;若不存在,说明理由. 解:(1)由x 2+y 2-6x+5=0,得(x-3)2+y 2=4,从而可知圆C 1的圆心坐标为(3,0). (2)设线段AB 的中点M (x ,y ),由弦的性质可知C 1M ⊥AB ,即C 1M ⊥OM. 故点M 的轨迹是以OC 1为直径的圆,该圆的圆心为C 3,0 ,半径r=1|OC 1|=1×3=3, 其方程为 x −322+y 2= 322,即x 2+y 2-3x=0.又因为点M 为线段AB 的中点,所以点M 在圆C 1内, 所以 2+y 2<2. 又x 2+y 2-3x=0,所以可得x>5. 易知x ≤3,所以5<x ≤3.所以线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程为x 2+y 2-3x=0 53<x ≤3 . (3)存在实数k 满足题意.由(2)知点M 的轨迹是以C 32,0 为圆心,32为半径的圆弧EF(如图所示,不包括两个端点), 且E 53,2 53 ,F 53,−2 53. 又直线L :y=k (x-4)过定点D (4,0), 当直线L 与圆C 相切时,由k 32−4 −0 k +1=32,得k=±34.又k DE =-k DF =-0− −2 534−53=2 5,结合上图可知当k ∈ −3,3 ∪ −2 5,2 5时,直线L :y=k (x-4)与曲线C 只有一个交点.21.(本小题满分14分)(2015广东,理21)数列{a n }满足:a 1+2a 2+…+na n =4-n +22n−1,n ∈N *.(1)求a 3的值;(2)求数列{a n }的前n 项和T n ; (3)令b 1=a 1,b n =T n−1+ 1+1+1+⋯+1a n (n ≥2),证明:数列{b n }的前n 项和S n 满足S n <2+2ln n.解:(1)依题意知3a 3=(a 1+2a 2+3a 3)-(a 1+2a 2)=4-3+223−1− 4−2+222−1 =34,即a 3=14.(2)∵当n ≥2时,na n =(a 1+2a 2+…+na n )-[a 1+2a 2+…+(n-1)a n-1]=4-n +22n−1− 4−n +12n−2=n2n−1,∴a n = 12 n−1.又a 1=4-1+220=1也适合此式, ∴a n = 1n−1,即数列{a n }是首项为1,公比为12的等比数列.故T n =1− 12n1−12=2- 1n−1. (3)由b n =a 1+a 2+⋯+a n−1n + 1+12+⋯+1n a n ,且b 1=a 1,知b 2=a 12+ 1+12 a 2,b 3=a 1+a 23+ 1+12+13a 3,……∴S n =b 1+b 2+…+b n = 1+1+⋯+1 (a 1+a 2+…+a n )= 1+1+⋯+1T n= 1+1+⋯+1 2−12n−1 <2× 1+1+⋯+1.记f (x )=ln x+1x -1(x>1),则f'(x )=1−12=x−12>0,∴f (x )在(1,+∞)上是增函数, 又f (1)=0,即在(1,+∞)上f (x )>0.又k ≥2,且k ∈N *时,kk−1>1, ∴f k =ln k+1k k−1-1>0,即lnk >1.∴1<ln 2,1<ln 3,……,1<ln n,即有1+1+…+1<ln 2+ln 3+…+ln n=ln n. ∴2× 1+1+1+⋯+1<2+2ln n , 即S n <2+2ln n.。
