《信号与系统要点复习》吴大正第四版

目　录第1章　信号与系统1.1　复习笔记1.2　课后习题详解1.3　名校考研真题详解第2章　连续系统的时域分析2.1　复习笔记2.2　课后习题详解2.3　名校考研真题详解第3章　离散系统的时域分析3.1　复习笔记3.2　课后习题详解3.3　名校考研真题详解第4章　傅里叶变换和系统的频域分析4.1　复习笔记4.2　课后习题详解4.3　名校考研真题详解第5章　连续系统的s域分析5.1　复习笔记5.2　课后习题详解5.3　名校考研真题详解第6章　离散系统的z域分析6.1　复习笔记6.2　课后习题详解6.3　名校考研真题详解第7章　系统函数7.1　复习笔记7.2　课后习题详解7.3　名校考研真题详解第8章　系统的状态变量分析8.1　复习笔记8.2　课后习题详解8.3　名校考研真题详解第1章　信号与系统1.1　复习笔记一、信号的基本概念与分类信号是载有信息的随时间变化的物理量或物理现象，其图像为信号的波形。

根据信号的不同特性，可对信号进行不同的分类：确定信号与随机信号；周期信号与非周期信号；连续时间信号与离散时间信号；实信号与复信号；能量信号与功率信号等。

二、信号的基本运算1加法和乘法f1（t）±f2（t）或f1（t）×f2（t）两信号f1（·）和f2（·）的相加、减、乘指同一时刻两信号之值对应相加、减、乘。

2．反转和平移（1）反转f（－t）f（－t）波形为f（t）波形以t＝0为轴反转。

图1-1（2）平移f（t＋t0）t0＞0，f（t＋t0）为f（t）波形在t轴上左移t0；t0＜0，f（t＋t0）为f（t）波形在t轴上右移t0。

图1-2平移的应用：在雷达系统中，雷达接收到的目标回波信号比发射信号延迟了时间t0，利用该延迟时间t0可以计算出目标与雷达之间的距离。

这里雷达接收到的目标回波信号就是延时信号。

3．尺度变换f（at）若a＞1，则f（at）波形为f（t）的波形在时间轴上压缩为原来的；若0＜a＜1，则f（at）波形为f（t）的波形在时间轴上扩展为原来的；若a＜0，则f（at）波形为f（t）的波形反转并压缩或展宽至。

1-1画出下列各信号的波形【式中)()(t t t r ε=】为斜升函数。

（2）∞<<-∞=-t et f t,)( （3）)()sin()(t t t f επ=（4）)(sin )(t t f ε= （5）)(sin )(t r t f = （7）)(2)(k t f kε= （10）)(])1(1[)(k k f kε-+=解：各信号波形为 （2）∞<<-∞=-t et f t,)(（3）)()sin()(t t t f επ=（4）)(sin )(t t f ε=（5）)rt f=)(t(sin（7）)(t f kε)(k2=（10）)(])1kf kε(k)(1[=-+1-2 画出下列各信号的波形[式中)()(t t t r ε=为斜升函数]。

（1）)2()1(3)1(2)(-+--+=t t t t f εεε （2）)2()1(2)()(-+--=t r t r t r t f（5）)2()2()(t t r t f -=ε （8）)]5()([)(--=k k k k f εε（11）)]7()()[6sin()(--=k k k k f εεπ（12）)]()3([2)(k k k f k ---=εε解：各信号波形为（1）)2()1(3)1(2)(-+--+=t t t t f εεε（2）)2()1(2)()(-+--=t r t r t r t f（5）)2()2()(t t r t f -=ε（8）)]5()([)(--=k k k k f εε（11）)]7()()[6sin()(--=k k k k f εεπ（12）)]()3([2)(k k k f k ---=εε1-3 写出图1-3所示各波形的表达式。

1-4 写出图1-4所示各序列的闭合形式表达式。

1-5 判别下列各序列是否为周期性的。

如果是，确定其周期。

（2）)63cos()443cos()(2ππππ+++=k k k f （5）)sin(2cos 3)(5t t t f π+=解：1-6 已知信号)(t f 的波形如图1-5所示，画出下列各函数的波形。

▪ 傅氏正变换▪ 傅氏反变换二、欧拉公式三、常用信号傅里叶变换1、第1组 ---时域：模拟单频信号 ⏹ 傅里叶变换：)(ωδπA A A ↔tt f F t d e )()( j ωω-∞∞-⎰=ωωωd e )(21)( j tF t f ⎰∞∞-π=0000j j 0j j 01cos (e e )21sin (e e )2j tt t t t t ωωωωωω--=+=-[])()(cos 000ωωδωωδπω-++↔t [])()(sin ωωδωωδπω--+↔j t 1t)(t δ 0ωt)(ωδ1 1)(t δ时域单位冲激函数及频谱At)(t δ ωt)(ωδ)(2ωδπA时域直流函数及频谱正弦、余弦函数及频谱⏹频谱图：⏹物理含义：类似于直流信号，都是只含某一个频率的频率分量，所以它们的密度频谱都是冲激函数。

2、第2组时域：数字信号⏹单位冲激序列函数为周期且波形图频谱图⏹单脉冲信号波形图频谱图te0jωt0cosω00tsinω∑∞-∞=-=nTnTtt)()(δδ2ωπ=TT∑∑∞-∞=∞-∞=-=-↔nnTnnTt)()(12)(ωωδωωωδπδ()a()b)2(Sa)()(ωττω=↔Ftf周期矩形脉冲( 幅度为 1 、宽度为τ、周期为 T ) 的傅立叶变换。

波形图四、傅里叶变换的几个重要结论（性质）（1）带宽受限于无限时域受限 频域无限 频域受限 时域无限（2）时域卷积与频域卷积)()()()(2121ωωF F t f t f •⇒* )()()()(2121t f t f F F •⇐*ωω（3）尺度展缩∑∑∞-∞=∞-∞=-=-↔n n T n n n n Tt f )()2(Sa )()2(Sa 2)(00000ωωδτωτωωωδτωπτ22-)(||1)()(||)(a t f a a F a F a at f ⇐⇒ω从波形和频谱上看：时域压缩则频域扩展反之：时域扩展则频域压缩（4）离散性与周期性时域周期（1T ）频域离散（112T πω=） 频域周期（s ω 时域离散（sTs ωπ2=）（5）互易性（或对称性）)()(2)()(t F f F t f -⇐-⇒ωπω 典型应用： )(211)(ωπδδ⇒⇒t（6）时移与频移0)()()()(00t j t j et f F e F t t f ωωωωω⇐-⇒--所谓傅里叶变换的性质：是指当当型号的时域（或频域）发生某种改变（或作运算）之后，在频域（或时域）相应的变化规律。

信号与系统习题解析C1-1画出下列各信号的波形【式中)()(t t t r ε=】为斜升函数。

（2）∞<<-∞=-t et f t,)( （3）)()sin()(t t t f επ=（4）)(sin )(t t f ε= （5）)(sin )(t r t f = （7）)(2)(k t f kε= （10）)(])1(1[)(k k f kε-+=解：各信号波形为 （2）∞<<-∞=-t et f t,)(（3）)()sin()(t t t f επ=（4）)fεt=(sin)(t（5）)trf=(sin)(t（7）)t(kf kε=)(2（10）)f kεk-=(k+(])1(1[)1-2 画出下列各信号的波形[式中)()(t t t r ε=为斜升函数]。

（1）)2()1(3)1(2)(-+--+=t t t t f εεε （2）)2()1(2)()(-+--=t r t r t r t f （5）)2()2()(t t r t f -=ε （8）)]5()([)(--=k k k k f εε （11）)]7()()[6sin()(--=k k k k f εεπ（12）)]()3([2)(k k k f k---=εε 解：各信号波形为（1）)2()1(3)1(2)(-+--+=t t t t f εεε（2）)2()1(2)()(-+--=t rt rt rtf（5）)2()2()(ttrtf-=ε（8）)]5()([)(--=k k k k f εε（11）)]7()()[6sin()(--=k k k k f εεπ（12）)]()3([2)(kkkf k---=εε1-3 写出图1-3所示各波形的表达式。

1-4 写出图1-4所示各序列的闭合形式表达式。

1-5 判别下列各序列是否为周期性的。

如果是，确定其周期。

（2）)63cos()443cos()(2ππππ+++=k k k f（5）)sin(2cos 3)(5t t t f π+=解：1-6 已知信号)(t f 的波形如图1-5所示，画出下列各函数的波形。

第一章 信号与系统（一）1-1画出下列各信号的波形【式中)()(t t t r ε=】 为斜升函数。

（2）∞<<-∞=-t e t f t ,)( （3）)()sin()(t t t f επ= （4）)(sin )(t t f ε= （5）)(sin )(t r t f = （7）)(2)(k t f k ε= （10）)(])1(1[)(k k f k ε-+= 解：各信号波形为 （2）∞<<-∞=-t e t f t ,)(（3）)()sin()(t t t f επ=（4）)fεt=(sin)(t （5）)tf=r(sin)(t（7）)tf kε(k=(2)（10）)f kεk-=(k+]()1(1[)1-2 画出下列各信号的波形[式中)()(t t t r ε=为斜升函数]。

（1）)2()1(3)1(2)(-+--+=t t t t f εεε （2）)2()1(2)()(-+--=t r t r t r t f（5）)2()2()(t t r t f -=ε （8）)]5()([)(--=k k k k f εε（11）)]7()()[6sin()(--=k k k k f εεπ （12）)]()3([2)(k k k f k---=εε 解：各信号波形为 （1）)2()1(3)1(2)(-+--+=t t t t f εεε（2）)2()1(2)()(-+--=t rt rt rtf（5）)2()2()(ttrtf-=ε（8）)]5()([)(--=k k k k f εε（11）)]7()()[6sin()(--=k k k k f εεπ（12）)]()3([2)(kkkf k---=εε1-3 写出图1-3所示各波形的表达式。

1-4 写出图1-4所示各序列的闭合形式表达式。

1-5 判别下列各序列是否为周期性的。

如果是，确定其周期。

（2）)63cos()443cos()(2ππππ+++=k k k f （5）)sin(2cos 3)(5t t t f π+=解：1-6 已知信号)(t f 的波形如图1-5所示，画出下列各函数的波形。

1-1画出下列各信号的波形【式中)()(t t t r ε=】为斜升函数。

（2）∞<<-∞=-t et f t,)( （3）)()sin()(t t t f επ=（4）)(sin )(t t f ε= （5）)(sin )(t r t f = （7）)(2)(k t f kε= （10）)(])1(1[)(k k f kε-+=解：各信号波形为 （2）∞<<-∞=-t et f t,)(（3）)()sin()(t t t f επ=（4）)(sin )(t t f ε=（5）)f=rt)(sin(t （7）)t(k=f kε)(2（10）)f kεk=(k+-((])11[)1-2 画出下列各信号的波形[式中)()(t t t r ε=为斜升函数]。

（1）)2()1(3)1(2)(-+--+=t t t t f εεε （2）)2()1(2)()(-+--=t r t r t r t f（5）)2()2()(t t r t f -=ε （8）)]5()([)(--=k k k k f εε（11）)]7()()[6sin()(--=k k k k f εεπ（12）)]()3([2)(k k k f k ---=εε解：各信号波形为（1）)2()1(3)1(2)(-+--+=t t t t f εεε（2）)2()1(2)()(-+--=t r t r t r t f（5）)2()2()(t t r t f -=ε（8）)]5()([)(--=k k k k f εε（11）)]7()()[6sin()(--=k k k k f εεπ（12）)]()3([2)(k k k f k---=εε1-3 写出图1-3所示各波形的表达式。

1-4 写出图1-4所示各序列的闭合形式表达式。

1-5 判别下列各序列是否为周期性的。

如果是，确定其周期。

（2）)63cos()443cos()(2ππππ+++=k k k f （5）)sin(2cos 3)(5t t t f π+=解：1-6 已知信号)(t f 的波形如图1-5所示，画出下列各函数的波形。

信号与线性系统复习提纲第一章 信号与系统1．信号、系统的基本概念2．信号的分类，表示方法（表达式或波形）连续与离散；周期与非周期；实与复信号；能量信号与功率信号 3．信号的基本运算：加、乘、反转和平移、尺度变换。

图解时应注意仅对变量t 作变换，且结果可由值域的非零区间验证。

4．阶跃函数和冲激函数{极限形式的定义；关系；冲激的Dirac 定义 阶跃函数和冲激函数的微积分关系 冲激函数的取样性质（注意积分区间）)()0()()(t f t t f δδ⋅=⋅；⎰∞∞-=⋅)0()()(f dt t t f δ)()()()(111t t t f t t t f -⋅=-⋅δδ；⎰∞∞-=-⋅)()()(11t f dt t t t f δ5．系统的描述方法数学模型的建立：微分或差分方程系统的时域框图，基本单元：乘法器，加法器，积分器（连），延时单元（离）（由时域框图列方程的步骤。

6．系统的性质线性：齐次性和可加性；分解特性、零状态线性、零输入线性。

时不变性：常参量LTI 系统的数学模型：线性常系数微分（差分）方程（以后都针对LTI 系统） LTI 系统零状态响应的微积分特性因果性、稳定性（可结合第7章极点分布判定）第二章 $第三章连续系统的时域分析1． 微分方程的经典解法：齐次解+特解（代入初始条件求系数） 自由响应、强迫响应、瞬态响应、稳态响应的概念0—～0+初值（由初始状态求初始条件）：目的，方法（冲激函数系数平衡法）全响应=零输入响应+零状态响应；注意应用LTI 系统零状态响应的微积分特性 特别说明：特解由激励在t>0时或t>=0+的形式确定2． 冲激响应)(t h定义，求解（经典法），注意应用LTI 系统零状态响应的微积分特性~阶跃响应)(t g 与)(t h 的关系3． 卷积积分定义及物理意义激励)(t f 、零状态响应)(t y f 、冲激响应)(t h 之间关系)()()(t h t f t y f *= 卷积的图示解法（了解）函数与冲激函数的卷积（与乘积不同）)()()(t f t t f =*δ；)()()(11t t f t t t f -=-*δ 卷积的微分与积分$复合系统冲激响应的求解（了解）第四章 离散系统的时域分析&1．离散系统的响应差分方程的迭代法求解差分方程的经典法求解：齐次解+特解（代入初始条件求系数）全响应=零输入响应+ 零状态响应初始状态（是)()2(),1(N y y y --- ），而初始条件（指的是)1()1(),0(-N y y y ） 2．单位序列响应)(k h)(k δ的定义，)(k h 的定义，求解（经典法）； 若方程右侧是激励及其移位序列时，注意应用线性时不变性质求解（阶跃响应)(k g 与)(k h 的关系 3． 卷积和定义及物理意义激励)(k f 、零状态响应)(k y f 、冲激响应)(k h 之间关系)()()(k h k f k y f *=卷积和的作图解 )(k f 与)(k δ的卷积和)()()(k f k k f =*δ；)()()(11k k f k k k f -=-*δ结合前面卷积积分和卷积和，知道零状态响应除经典解法外的另一方法。

安徽建筑工业学院电信学院第五章连续系统的s域分析频域分析以虚指数信号e jωt为基本信号，任意信号可分解为众多不同频率的虚指数分量之和。

使响应的求解得到简化。

物理意义清楚。

但也有不足：（1）有些重要信号不存在傅里叶变换，如e2tε(t);（2）对于给定初始状态的系统难于利用频域分析。

在这一章将通过把频域中的傅里叶变换推广到复频域来解决这些问题。

本章引入复频率s = σ+jω,以复指数函数e st为基本信号，任意信号可分解为不同复频率的复指数分量之和。

这里用于系统分析的独立变量是复频率s，故称为s域分析。

所采用的数学工具为拉普拉斯变换。

安徽建筑工业学院电信学院§5.1 拉普拉斯变换•从傅里叶变换到拉普拉斯变换•收敛域•(单边)拉普拉斯变换•常见函数的拉普拉斯变换•单边拉氏变换与傅里叶变换的关系安徽建筑工业学院电信学院一、从傅里叶变换到拉普拉斯变换有些函数不满足绝对可积条件，求解傅里叶变换困难。

为此，可用一衰减因子e-σt(σ为实常数）乘信号f(t) ，适当选取σ的值，使乘积信号f(t) e-σt当t→∞时信号幅度趋近于0 ，从而使f(t) e-σt的傅里叶变换存在。

相应的傅里叶逆变换为f(t) e-σt= ∫∞∞−+ωωσπωde)(21tjbjFF b(σ+jω)=ℱ[ f(t) e-σt]= ttfttf t jtjt de)(dee)()(∫∫∞∞−+−∞∞−−−=ωσωσ∫∞∞−++=ωωσπωσde)(21)()(tjbjFtf令s = σ+ jω,d ω=ds/j，有安徽建筑工业学院电信学院定义∫∞∞−−=tetfsF stbd)()(∫∞+∞−=jjde)(j21)(σσπssFtf stb双边拉普拉斯变换对Fb(s)称为f(t)的双边拉氏变换（或象函数），f(t)称为Fb(s) 的双边拉氏逆变换（或原函数）。

安徽建筑工业学院电信学院二、收敛域只有选择适当的σ值才能使积分收敛，信号f(t)的双边拉普拉斯变换存在。