3.1.1空间向量及其线性运算教学目标：1.了解空间向量的概念，掌握空间向量的线性运算及其性质；2.理解空间向量共线的充要条件 ;3.运用类比方法，经历向量及其运算由平面向空间推广的过程. 教学重点：空间向量的概念、空间向量的线性运算及其性质； 教学过程： 一.问题情境由于实际问题的需要,在必修4中,我们学习了平面向量,研究了平面向量的概念、运算及其性质,进而解决了平面上有关点,线的位置关系及度量问题. 但向量未必都在同一平面内,如下问题:已知物体受三个大小都为1000N 的力F 1 ，F 2，F 3， 且这三个力两两之间的夹角都为60°，则物体所受的合力为多少？ 是否为F 1→+F 2→+F 3→?此问题中,三个向量不在同一平面内,问题不好直接用平面向量来解决,为此需要将向量由平面向空间推广! 二.数学理论1.平面向量与空间向量的有关概念(1)在平面上，我们把既有大小又有方向的量叫做平面向量.平面上的向量一般用有向线段表示,同向等长的有向线段表示同一或相等的向量. 长度为0的向量叫零向量，记作0，0的方向是任意的； 长度为1个单位长度的向量，叫单位向量；F 12方向相反但模相等的向量叫做相反向量;向量a 的相反向量记作－a ．方向相同或相反的非零向量叫做平行向量(共线向量)，规定0与任一向量平行； 记作：a ∥b ，0∥a ．由向量的实际背景,平面向量的有关概念都可以移植到空间中 (2)空间向量的有关概念：在空间，我们把既有大小又有方向的量叫做空间向量.空间向量一般用有向线段表示.同向等长的有向线段表示同一或相等的向量. 在空间中，长度为0的向量叫零向量，记作0，0的方向是任意的； 长度为1个单位长度的向量，叫单位向量；方向相反但模相等的向量叫做相反向量;向量a 的相反向量记作－a ．方向相同或相反的非零向量叫做平行向量(共线向量)，规定0与任一向量平行； 记作：a ∥b ，0∥a ．2.平面向量与空间向量的线性运算我们现在研究的是自由向量,大小相等方向相同的向量是相等向量,而与它们的起点无关. 所以任意两个空间向量都可以平移到同一平面内因此,空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示.这样,空间两个向量的线性运算的意义与平面向量完全一样.已知空间向量a ，b ，在空间任取一点O ，作OA →＝a ，AB →＝b .由O ，A ，B 三点确定一个平面或共线可得，空间任意两个向量都可以用同一平面内的两个有向线段来表示.ab空间向量的加法、减法与数乘运算的意义如下（如图）OB →＝OA →＋AB →＝a ＋b （三角形法则） OC →＝OA →＋OB →＝a ＋b （平行四边形法则） BA →＝OA →－OB →＝a －b OP →＝λa (λ∈R )平面向量的线性运算满足下列运算律 运算律：⑴加法交换律：a ＋b ＝b ＋a⑵加法结合律：(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c ) ⑶数乘分配律：λ(a ＋b )＝λa ＋λb (λ∈R ) 那么,空间向量的运算是否仍满足上述规律?aλaO PaAOb Ba －b ab ab OABa ＋b(1),(3)中只涉及两个向量,显然满足,但(2)中涉及三个向量,在空间中是否成立?这一规律关系到空间中三个向量和的定义问题? 结合律的验证：三个向量中有共线向量时规律显然成立. 平面向量共线的充要条件在空间也是成立的3．共线向量定理：共线向量定理：空间任意两个向量a ,b (a ≠0)，a ∥b 的充要条件是存在实数λ，使b ＝λa . 三.数学运用例1. 如图，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，M 是BB 1的中点， 化简下列各式，并在图中标出化简得到的向量： (1)CB →＋BA 1→; (2)AC →＋CB →＋12AA 1→;(3)AA 1→－AC →－CB → 解：(1)CB →＋BA 1→＝CA 1→(2)因为M 是BB 1的中点, 所以BM →＝12BB 1→，AC →＋CB →＋12AA 1→AOABCabca ＋ba ＋b ＋cb ＋cA /A /又AA 1→＝BB 1→，所以AC →＋CB →＋12AA 1→＝AB →＋BM →＝AM →.(3)AA 1→－AC →－CB →＝CA 1→－CB →＝BA 1→.例2.如图，在长方体OADB-CA ’D’B’中，OA ＝3,OB ＝4,OC ＝2,OI ＝OJ ＝OK ＝1,，点E ,F 分别是DB ,D ’B ’的中点，设OI →＝i , OJ →＝j , OK →＝k , ,试用向量i , j , k 表示OE →和OF →解：∵BD →＝OA →＝3OI →＝3i ，∴BE →＝12BD →＝32 i .又OB →＝4OJ →＝4j ,∴OE →＝OB →＋BE →＝32i ＋4j .∵EF →＝ BB ’→＝OC →＝2k ，∴OF →＝OE →＋EF →＝32i ＋4j ＋2k .例3.已知平行六面体ABCD -ABCD .求证：AC →＋ AB ’→＋ AD ’→＝2 AC ’→. 证明：∵平行六面体的六个面均为平行四边形， ∴AC →＝AB →＋AD →， AB ’→＝AB →＋ AA ’→， AD ’→＝AD →＋ AA ’→，∴AC →＋ AB ’→＋ AD ’→＝(AB →＋AD →)＋(AB →＋ AA ’→) +(AD →＋ AA ’→)＝2(AB →＋AD →＋ AA ’→). 又∵ AA ’→＝ CC ’→，AD →＝BC →，∴AB →＋AD →＋ AA ’→＝AB →＋BC →＋ CC ’→＝AC →＋ CC ’→＝ AC ’→， ∴AC →＋ AB ’→＋ AD ’→＝2 AC ’→. 【课堂练习】已知空间四边形ABCD ，连结AC ，BD ，设M ，G 分别是BC ，CD 的中点，化简下列各表达式，并标出化简结果向量： (1)AB →＋BC →＋CD →； (2)AB →＋12(BD →＋BC →)；(3)AB →－12(AB →＋AC →)．BCDMGAABCDA ’B ’C ’D ’四、回顾总结空间向量的定义与运算法则五、布置作业3.1.2 共面向量定理教学目标：1.了解向量共面的含义，理解共面向量定理；2.能运用共面向量定理证明有关线面平行和点共面的简单问题． 教学重点、难点：空间向量共面定理的证明及其应用． 教学过程： 一.知识回顾复习空间向量的概念以及空间向量的线性运算和性质． 二.问题情境在同一平面中,向量之间有共线与不共线之分; 在空间中,我们当然要关心向量共面问题.为此首先要明确什么叫做向量共面? 能平移到同一平面的向量叫做共面向量 问题: 空间中两个向量是否共面? 空间中三个向量是否共面?在平面向量中，向量b 与向量a (a ≠0)共线的充要条件是存在实数λ，使得b ＝λa .那么，空间的任意一个向量p 与两个不共线向量a ,b 共面时，它们之间存在怎样的关系呢？ 三.数学理论共面向量定理：如果两个向量a ,b 不共线，那么向量p 与向量a ,b 共面的充要条件是存在有序实数组(x ,y )，使p ＝x a ＋y b .证明：（必要性）向量a ,b 不共线，当p 与向量a ,b 共面时，它们可以平移到同一个平面内，根据平面向量的基本定理，存在惟一的有序实数组(x ,y )，使得p ＝x a ＋y b ．（充分性）对于空间的三个向量p ,a ,b ，其中a ,b 不共线，如果存在有序实数组(x ,y )，使p ＝x a ＋y b ，那么在空间任意取一点M ，作MA →＝a , MB →＝b , MA '→＝x a ,过点A ’作A'P →＝y b ,（如图），则MP →＝MA'→＋A'P →＝ x a ＋y b ＝ p ,，于是点P 在平面MAB 内，从而MP →,MA →,MB →共面，即向量p 与向量a ,b 共面．这就是说，向量p 可以由两个不共线的向量a ,b 线性表示．四．数学运用例1．如图，已知矩形ABCD 和矩形ADEF 所在平面互相垂直，点M ,N 分别在对角线BD ,AE 上，且BM ＝13BD ，AN ＝13AE ．求证：MN ∥平面CDE ．分析：要证明MN ∥平面CDE ，只要证明向量NM →可以用平面CDE 内的两个不共线的向量DE →和DC →线性表示．证明：如图，因为M 在BD 上，且BM ＝13BD ，所以MB →＝13DB →＝13DA →＋13AB →．同理AN →＝13AD →＋13DE →，又CD →＝BA →＝－13AB →，所以MN →＝MB →＋BA →＋AN →＝(13DA →＋13AB →)＋BA →＋(13AD →＋13DE →)＝23BA →＋13DE →＝23CD →＋13DE →．又CD →与DE →不共线，根据共面向量定理，可知MN →,CD →,DE →共面． 由于MN 不在平面CDE 内，所以MN ∥平面CDE ．例2．设空间任一点O 和不共线的三点A ,B ,C ,若点P 满足向量关系OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →（其中x ＋y ＋z ＝1），试问：P , A ,B ,C 四点是否共面？分析：类比证明三点共线的方法，要判断P , A ,B ,C 是否共面，可考察三个共起点的向量AP →，AB →，AC →是否共面．解：由x ＋y ＋z ＝1，可得x ＝1－z －y ．则OP →＝(1－z －y )OA →＋yOB →＋zOC →＝OA →＋y (OB →－OA →)＋z (OC →－OA →)， 所以OP →－OA →＝y (OB →－OA →)＋z (OC →－OA →)，即AP →＝yAB →＋zAC →.由A ,B ,C 三点不共线，可知AB →和AC →不共线， 所以AP →，AB →，AC →共面且具有公共起点A ．从而P , A ,B ,C 四点共面．思考：如果将x ＋y ＋z ＝1整体代入，由(x ＋y ＋z ) OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →出发，你能得到什么结论？例3．从□ABCD 所在平面外一点O 作向量OE →＝kOA →,OF →＝kOB →,OG →＝kOC →,OH →＝kOD →, （1）求证：四点E ,F ,G ,H 共面；（2）平面AC ∥平面EG ． 解：（1）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AC →＝AB →＋AD →， ∵EG →＝OG →－OE →＝kOC →－kOA →＝k (OC →－OA →)＝kAC →＝k (AB →＋AD →) ＝k (OB →－OA →＋OD →－OA →)＝OF →－OE →＋OH →－OE →＝EF →＋EH →， ∴EG →,EF →,EH →共面且共起点，∴E ,F ,G ,H 四点共面． （2）∵EF →＝OF →－OE →＝k (OB →－OA →)＝kAB →，∴EF →∥AB →，∴EF →∥平面AC ，同理EG →∥平面AC ，又EF →∩EG →＝E ，∴平面AC ∥平面EG ． 练习：已知两个非零向量e 1, e 2不共线，如果AB →＝e 1＋ e 2, AC →＝2 e 1＋8 e 2, AD →＝3 e 1－3 e 2. 求证：A ,B ,C ,D 四点共面． 五．回顾小结1．共面向量定理的证明； 2．共面向量定理的简单运用． 六．布置作业3.1.3空间向量基本定理教学目标：1.掌握空间向量基本定理及其推论；2.理解空间任一向量可用空间不共面的三个已知向量唯一线性表示，而且这种表示是唯一 的；3.在简单问题中，会选择适当的基底来表示任一空间向量． 教学重点，难点：空间向量基本定理及其推论． 教学过程： 一.知识回顾共线向量定理：空间任意两个向量a ,b (a ≠0)，a ∥b 的充要条件是存在实数λ，使b ＝λa . 平面向量基本定理：如果e 1，e 2那么对于这一平面内的任一向量a ,有且只有一对实数x ,y ，使a = x e 1+ y e 2 . 二.问题情境平面向量基本定理表明，平面内任一向量可以用该平面的两个不共线的向量来线性表示．对于空间向量是否有相应的结论呢？ 三.数学理论 空间向量基本定理：如果三个向量 e 1, e 2 , e 3不共面，那么对空间任一向量p ，存在一个惟一的有序实数组x ，y ，z ，使p ＝x e 1＋y e 2＋z e 3.证明：（存在性）设e 1, e 2 , e 3不共面过点O 作OA →＝e 1, OB →＝e 2, OC →＝e 3, OP →＝p ,， 过点P 作直线PP’平行于OC ，交平面OAB 于点P’， 在平面OAB 内，过点P’作直线P’A’∥OB , P’B ∥OA , 分别与直线OA ,OB 相交于点A ’,B ’，于是，存在三个实数x ,y ,z ，使OA'→＝xOA →＝x e 1，OB'→＝yOB →＝y e 2，OC'→＝zOC →＝z e 3，∴OP →＝OA'→＋OB'→＋OC'→＝xOA →＋yOB →＋zOC →＝x e 1＋y e 2＋z e 3．1/ （惟一性）假设还存在x’,y’,z’使p＝x’ e1＋y’ e2＋z’e3，那么x e1＋y e2＋z e3＝x’ e1＋y’ e2＋z’e3∴(x－x’)e1＋(y－y’)e2＋(z－z’)e3＝0不妨设x≠x’即x－x’≠0，∴e1＝－y－y’x－x’e2－z－z’x－x’e3,∴e1, e2, e3共面此与已知矛盾，∴有序实数组(x,y,z)是惟一的.空间向量基本定理告诉我们，若三向量e1,e2,e3不共面，那么空间的任一向量都可由e1, e2, e3线性表示，我们把{ e1, e2, e3}叫做空间的一个基底，e1, e2, e3叫做基向量.空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底如果空间一个基底的三个基向量两两互相垂直，那么这个基底叫做正交基底，特别地，当一个正交基底的三个基向量都是单位向量时，称这个基底为单位正交基底，通常用{i,j,k}表示.推论：设O,A,B,C是不共面的四点，则对空间任一点P，都存在惟一的三个有序实数x，y，z，使OP→＝xOA→＋yOB→＋zOC→.四.数学运用例1如图，在正方体OADB-CA’D’B’中，，点E是AB与OD的交点,M是OD’与CE的交点，试分别用向量OA→,OB→,OC→表示OD'→和OM→.解：∵OD→＝OA→＋OB→,∴OD'→＝OD→＋DD'→＝OA→＋OB→＋OC→.由△OME∽△D’MC,可得OM＝12MD’＝13OD’,∴OM→＝13OD'→＝13OA→＋13OB→＋13OC→.例2 .如图，已知空间四边形OABC，其对角线为OB,AC,M,N分别是对边OA，BC的中点，点G在线段MN上，且MG＝2GN，用基底向量OA→，OB→，OC→表示向量OG→.解：OG→＝OM→＋MG→＝OM→＋23MN→A＝12OA →＋23(ON →－OM →) ＝12OA →＋23[12(OB →＋OC →)－12OA →] ＝12OA →＋13(OB →＋OC →)－13OA → ＝16OA →＋13OB →＋13OC →, ∴OG →＝16OA →＋13OB →＋13OC →.五、回顾总结空间向量基本定理及其证明 六、布置作业§3.1.4 空间向量的坐标表示教学目标（1）能用坐标表示空间向量，掌握空间向量的坐标运算； （2）会根据向量的坐标判断两个空间向量平行． 教学重点，难点空间向量的坐标的确定及运算． 教学过程 一.知识回顾复习平面向量的坐标表示及运算律：（1）若p ＝x i ＋y j （i ，j 分别是x ，y 轴上同方向的两个单位向量），则p 的坐标为(x , y )； （2）若a ＝(a 1, a 2)，b ＝(b 1, b 2)，则加（减）法：a ＋b ＝(a 1＋b 1, a 2＋b 2)；a －b ＝(a 1－b 1, a 2－b 2) 数乘：λa ＝(λa 1, λa 2)（λ∈R ） 数量积：a ·b ＝a 1b 1＋a 2b 2特别地，a ∥b ⇔a 1＝λb 1，a 2＝λb 2（λ∈R ）；a ⊥b ⇔a 1b 1＋a 2b 2＝0（3）若A (x 1, y 1)，B (x 2, y 2)，则AB →＝(x 2－x 1, y 2－y 1)． 二.问题情境在平面“解析几何初步”一章中，我们已经学习过空间直角坐标系，并能用坐标表示空间任意一点的位置．如何用坐标表示空间向量？怎样进行空间向量的坐标运算？ 三．数学理论1．空间向量的坐标表示如图，在空间直角坐标O －xyz 中，分别取与x 轴、y 轴、z 轴方向相同的单位向量i ，j ，k 作为基向量，对于空间任意一个向量a ，根据空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x , y , z )，使a ＝x i ＋y j ＋z k ．有序实数组(x , y , z )叫做向量a 在空间直角坐标O －xyz 中的坐标，记作a ＝(x , y , z )．2．在空间直角坐标O －xyz 中，对于空间任意一点A (x , y , z )，向量OA →是确定的，容易得到OA →＝x i ＋y j ＋z k ，因此，向量OA →的坐标为OA →＝(x , y , z )．这就是说，当空间向量a 的起点移至坐标原点时，其终点的坐标就是向量a 的坐标． 3．向量坐标运算法则（类似于平面向量的坐标运算） （1）设a ＝(a 1, a 2, a 3)，b ＝(b 1, b 2, b 3)，则a ＋b ＝(a 1＋b 1, a 2＋b 2, a 3＋b 3)，a －b ＝(a 1－b 1, a 2－b 2, a 3－b 3) λa ＝(λa 1, λa 2, λa 3)（λ∈R ）（2）若A (x 1, y 1, z 1)，B (x 2, y 2, z 2)，则AB →＝(x 2－x 1, y 2－y 1, z 2－z 1)． 4．空间向量平行的坐标表示a ∥b （a ≠0）⇔a 1＝λb 1，a 2＝λb 2，a 3＝λb 3（λ∈R ） 说明：即对应的坐标成比例（但没有平面向量平行的等积式）四．数学运用 1．例题：【例1】已知a ＝(1, －3, 8)，b ＝(3, 10, －4)，求a ＋b ，a －b ，3a ． 解：a ＋b ＝(1, －3, 8)＋(3, 10, －4)＝(1＋3, －3＋10, 8－4)＝(4, 7, 4)，a －b ＝(1, －3, 8)－(3, 10, －4)＝(1－3, －3－10, 8＋4)＝(－2, －13, 12)， 3a ＝3×(1, －3, 8)＝(3, －9, 24)【例2】已知空间四点A (－2, 3, 1)，B (2, －5, 3)，C (10, 0, 10)和D (8, 4, 9)，求证：四边形ABCD 是梯形．证：依题意OA →＝(－2, 3, 1)，OB →＝(2, －5, 3)，所以AB →＝OB →－OA →＝(2, －5, 3)－(－2, 3, 1)＝(4, －8, 2)同理DC →＝(2, －4, 1)，AD →＝(10, 1, 8)，BC →＝(8, 5, 7) 由AB →＝2DC →可知，AB →∥CD →，|AB →|≠|DC →|，又AD →与BC →不共线，所以四边形ABCD 是梯形． 说明：与平面向量一样，若A (x 1, y 1, z 1)，B (x 2, y 2, z 2)，则AB →＝OB →－OA →＝(x 2－x 1, y 2－y 1, z 2－z 1)．这就是说，一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去它的起点坐标．【例3】已知a ＝(1, 6, －3)，b ＝(1, －2, 9)，c ＝(4, 0, 24)，求证：a ，b ，c 共面． 解：因为a ＝(1, 6, －3)，b ＝(1, －2, 9)，所以a 与b 不共线．不妨设c ＝x a ＋y b ，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝46x －2y ＝0－3x ＋9y ＝24解得⎩⎨⎧x ＝1y ＝3，所以c ＝a ＋3b ，所以a ，b ，c 共面．【例4】在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N ，P 分别是CC 1，B 1C 1，C 1D 1的中点，试建立空间直角坐标系，证明：平面MNP ∥平面A 1BD ．解：以D 1为坐标原点，D 1A 1，D 1C 1，D 1D 所在直线为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系．设正方体棱长为1，则A1(1, 0, 0)，B (1, 1, 1)，D (0, 0, 1)，B 1(1, 1, 0)，C 1(0, 1, 0)，N (12, 1, 0)，M (0, 1, 12)，D 1(0, 0, 0)，P (0,12, 0)， 于是A 1B →＝(0, 1, 1)，A 1D →＝(－1, 0, 1)，NM →＝(－12, 0, 12)，PM→＝(0, 12, 12)，显然有NM →＝12A 1D →，PM →＝12A 1B →．所以，NM →∥A 1D →，PM →∥A 1B →，因此平面MNP ∥平面A 1BD ．说明：同平面解析几何坐标法解题一样，关键是如何建立适当的坐标系．当然本题不用坐标法而用向量的方法也不难证明． 五．回顾小结：1．会正确的确定空间向量及点的坐标；2．向量的坐标判断两个空间向量平行的方法；六．课外作业：§3.1.5 空间向量的数量积第一课时教学目标1.在充分了解平面向量及空间向量的概念、向量的加、减以及数乘等运算基础上,进一步类比探究并获得空间向量数量积的概念、性质及运算律．2.掌握空间向量夹角和模的概念，学会用向量数量积求两直线所成的角，能判断两直线（向量）的位置关系（平行、垂直）；3.了解空间向量数量积的几何意义． 教学重点，难点 空间向量数量积 教学过程一．问题情境 1.知识回顾（1）平面向量的数量积定义：已知两个非零向量a ，b ，有a ·b ＝|a ||b |cos θ，（0≤θ≤π），其中θ是向量a ，b 的夹角，并规定a ·b ＝0．（2）平面向量的夹角：将a →与b →平移至同起点处所成的0≤θ≤π 角．（同起点是关键） 2.问题：我们已经学过了平面向量夹角的定义和平面向量数量积的定义，那么类比平面向量知识，空间向量的夹角和数量积怎么定义？ 二.数学理论由于任意两个空间向量都是共面向量，因此，两个空间向量的夹角以及它们的数量积就可以像平面向量那样来定义． 1.空间向量的夹角及其表示：如图，已知两非零向量a ，b ，在空间任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB 叫做向量a 与向量b 的夹角，记作<a ,b >；范围：0≤<a ,b >≤π，在这种规定下，两个向量的夹角就被唯一确定了，并且有<a ,b >＝<b ,a >． 若<a ,b >＝0，那么向量a 与b 同向； 若<a ,b >＝π，那么向量a 与b 反向；若<a ,b >＝π2，则称a 与b 互相垂直，记作：a ⊥b ．注意：正确使用两个向量夹角的符号<a ,b >．例如：<AB →,AC →>＝∠BAC ． 2.向量的模：设OA →＝a ，则有向线段OA →的长度叫做向量a 的长度或模，记作：|a |． 3.向量的数量积：已知a ，b 是空间两个非零向量，则|a ||b |cos<a ,b >叫做向量a ，b 的数量积，记作a ·b ，即a ·b ＝|a ||b |cos<a ,b >．规定：0向量与任何向量的数量积为0．注意：①两个向量的数量积是数量，而不是向量，符号由cos θ的符号所决定． ②零向量与任意向量的数量积等于零． 4.由空间向量数量积定义可知：空间两个非零向量a ·b 的夹角<a ,b >可以由cos<a ,b >＝a ·b|a ||b |求得．5.空间向量数量积的性质：（1）cos<a ,b >＝a ·b|a ||b |；（2）a ⊥b ⇔a ·b ＝0（a ，b 是两个非零向量）；（3）|a |2＝a ·a ＝a 2．注意：①性质（2）是证明两向量垂直的依据； ②性质（3）是求向量的长度（模）的依据。
空间向量的基本运算在空间解析几何中，向量是表示有大小和方向的物理量。
空间向量具有三个分量，通常表示为A = (x, y, z)，其中x、y、z分别代表向量在x轴、y轴、z轴上的分量。
空间向量的基本运算包括向量的加法、减法、数量乘法、点乘和叉乘。
一、向量的加法向量的加法是指将两个向量相加得到一个新向量的运算。
设有向量A = (x1, y1, z1)和向量B = (x2, y2, z2)，它们的和向量C = A + B = (x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2)。
二、向量的减法向量的减法是指将一个向量减去另一个向量得到一个新向量的运算。
设有向量A = (x1, y1, z1)和向量B = (x2, y2, z2)，它们的差向量C = A -B = (x1 - x2, y1 - y2, z1 - z2)。
三、数量乘法数量乘法是指将向量的每个分量都乘以一个实数得到一个新的向量。
设有向量A = (x, y, z)和实数k，它们的数量乘积为kA = (kx, ky, kz)。
四、点乘点乘又称为数量积或内积，是指将两个向量相乘再相加得到一个实数的运算。
设有向量A = (x1, y1, z1)和向量B = (x2, y2, z2)，它们的点乘结果为AB = x1 * x2 + y1 * y2 + z1 * z2。
五、叉乘叉乘又称为向量积或外积，是指将两个向量相乘得到一个新向量的运算。
设有向量A = (x1, y1, z1)和向量B = (x2, y2, z2)，它们的叉乘结果为C = A × B = (y1 * z2 - z1 * y2, z1 * x2 - x1 * z2, x1 * y2 - y1 * x2)。
以上是空间向量的基本运算，它们在解决空间中的几何问题和物理问题中起着重要的作用。
通过这些基本运算，我们可以进行向量的相加减、放缩，计算向量之间的夹角，求解平面和直线的方程等。
高二数学新课标专题一空间向量及其运算(理）一、知识概述空间向量及其运算,空间向量及其加减与数乘运算;共线向量及共面向量；空间向量基本定理,两个向量的数量积．在学习中，我们首先把平面向量及其线性运算推广到空间向量.在同学们已有了空间直线和平面平行,以及平面和平面平行的概念，这一推广对同学们来说应该不会感到太难,但我们仍要牢记,现在研究的范围已由平面扩大到空间.一个向量已是一个平移,两个不平行的向量确定的平面已不是一个平面,而是互相平行的平面集,其中我们可以通过在空间上一步步地验证运算法则和运算律,一方面通过学习空间向量复习了平面向量(高一学习的),另一方面培养了我们的空间观念.当我们把平面向量推广到空间向量后，很自然地要认识空间向量的两个最基本的子空间:共线向量和共面向量，把平行向量基本定理和平面向量基本定理推广到空间,然后由这两个定理推出空间直线和平面的向量表达式．有了这两个表达式，我们就可很方便地使用向量工具解决空间的共线和共面问题．在学习共线和共面向量定理后，我们学习空间最重要的基础定理:空间向量基本定理．这个定理是空间几何研究数量化的基础.有了这个定理空间结构变得简单明了，整个空间被三个不共面的基向量所确定．这样，空间的一个点或一个向量与实数组（ｘ，y,ｚ)建立起了一一对应关系.最后，我们学习了本节的最后一个知识点——两个向量的数量积，将平面两个向量的数量积推广到空间，建立起了向量在轴上的投影的概念，并学习了内积的几个运算性质．通过这一周的学习,同学们建立起了空间向量的概念,初步将空间向量与空间图形联系起来,并通过课堂内外的例、习题的讲解与学习，初步学会用向量知识来解决立体几何问题的方法与技巧．二、重、难点知识的归纳与剖析（一）本周学习与研究中的四个重点１、空间向量的运算及运算律空间向量加法,减法，数乘向量的意义及运算律与平面向量类似．学习过程中,我们要加强直观说理，结合式与图之间的互相转换加深理解.如：（1)首尾相接的若干向量之和等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量．因此，求空间若干向量之和时，可通过平移将它们转化为首尾相接的向量;（2)首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形,则它们的和为；（3）两个向量相加的平行四边形法则在空间仍成立．因此求始点相同的两个向量之和时，可考虑用平行四边形法则．2、共线向量定理和共面向量定理由于空间向量的平行（共线)的定义、共线向量定理等与平面向量完全相同,都是平面向量的相关知识向空间的推广,因此,我们可以在熟练地掌握平面向量这些知识的基础上来加深理解.其中要明确如下几点：（1）的两条有向线段所在直线既可能是同一直线，也可能是平行直线；当时,也具有同样的意义；(2）运用确定平面的条件可以将空间向量问题转化为平面向量问题;(３)理解共线向量定理时,应知道该定理包含两个命题：有一点不在上;(４）空间直线的向量参数方程是空间共线向量定理的具体体现；3、空间向量基本定理空间向量基本定理与平面向量基本定理类似,区别仅在于基底中多了一个向量,从而分解结果中也多了一“项”,因此不难理解.空间向量基本定理说明了用空间三个不共面已知向量组可以线性表示出空间任意一个向量，而且表示的结果是唯一的．４、两个向量的数量积的计算方法及其应用.理解两个向量的数量积的定义是利用两个向量的数量积开展计算的关键，其中还要结合它的一些性质．其具体应用是思考如下几个问题：（1)如何把已知的几何条件转化为向量表示?(2）考虑一些未知的向量能否用基向量或其它已知向量表示？（３）如何对已经表示出来的向量进行运算，才能获得需要的结论?(二)本周学习与研究中的难点应用向量解决立体几何问题是贯穿于本节学习始终的一个难点．它涉及到如何利用向量的运算法则及定律将一些线线间的关系用向量刻画，然后利用共线向量定理,共面向量定理证明多点共线，多线共面问题，最后利用向量的数量积的定义及性质来解决有关求线段长,求异面直线所成的角的计算问题.突破该难点的方法可以采用多练习去实现，从练习中悟出其中的技巧和方法.三、例题点评例1、如图中,已知点O是平行六面体ABCD-A1B１Ｃ1D1体对角线的交点，点P是任意一点，则．分析:将要证明等式的左边分解成两部分：与，第一组向量和中各向量的终点构成平行四边形AＢＣD,第二组向量和中的各向量的终点构成平行四边形A1B1C1D1，于是我们就想到了应该先证明:将以上所述结合起来就产生了本例的证明思路．解答：设E,E1分别是平行六面体的面ABCD与A1B1C１D1的中心，于是有点评：在平面向量中，我们证明过以下命题:已知点O是平行四边形ABCD对角线的交点，点Ｐ是平行四边形ＡＢCＤ所在平面上任一点，则，本例题就是将平面向量的命题推广到空间来．例2、已知空间四边形ＯABC中,Ｍ为BC中点,N为AＣ中点,Ｐ为OＡ中点,Q为OB中点，若AB=OＣ，求证:PＭ⊥QN.分析：欲证PM⊥ＱN，只要证明解答：点评：欲证用相同的几个向量表示出来，然后利用向量的数量积. 例3、如图，E是正方体ABCD-A1B１C1Ｄ1的棱Ｃ1D1中点,试求向量分析：利用数量积定义,求出，再求出所成角的余弦.解答:点评：求向量所成角,首先应将用一组基底表示出来，再利用公式.空间向量及其运算(理）检测一、选择题１、下列说法中正确的是（)A.两个有共同起点且相等的向量,其终点可能不同B.若非零向量与是共线向量，则Ａ、B、C、Ｄ四点共线Ｃ．若D.四边形ABCD是平行四边形的充要条件是=2、已知空间四边形ＡBCＤ，连ＡC,BＤ，设Ｍ、G分别是BＣ、CD中点,则（）A． B. C. D.３、如图中,已知空间四边形OＡＢC，其对角线为OＢ，AC,M,Ｎ分别是对边OA，BC 的中点，点G在线段ＭN上，且分所成的定比为２,现用基向量(）A. B.C.D．4、空间四边形ＡBCＤ的每边及对角线长均为，E，Ｆ，G分别是AB,BD,DC的中点,则（)Ａ． B.１C．Ｄ．５、已知空间四边形ＡBCD的各条边的长度相等,E为BC中点，那么( )Ａ.Ｂ.Ｃ． D.6、设A,B，Ｃ，D是空间不共面的四点，且满足(）Ａ.钝角三角形Ｂ．锐角三角形 C.直角三角形D．不确定7、空间四边形OABC中，OＢ=ＯＣ，∠AOＢ=∠AOC=() Ａ. B. C.D．０８、()A．Ｂ． C.D．不确定９、在下列条件中,使M与A、B、C一定共面的是( ）A．B．C． D.10、（）Ａ．B． C. D.二、综合题１1、已知点G是△ABC的重心,Ｏ是空间任一点,若12、在平行六面体AＢCＤ－EFGＨ中,，１３、已知ABＣD－A1B1Ｃ１Ｄ1为正方体,则下列命题中错误的命题为________＿_.１4、已知平行四边形ABCD,如图从平面ＡＣ外一点Ｏ引向量（１）四点E、F、G、H共面;（2）平面ＡC／/平面EＧ.15、正方体AＢCＤ－A1B１Ｃ1Ｄ1，M为ＡＡ１的中点，Ｎ为A1B１上的点,满足MN⊥MＣ,MP⊥Ｂ1C.16、如图所示,在平行六面体ABCD－A１B１C1Ｄ1中,O是Ｂ1Ｄ１的中点，求证：B1C∥平面ODC.答案一、选择题:1—10ＤADＡＤBＤＢCC2、如图3、4、5、6、同理有:ｃos∠DＢC>0，∠DCB>0, 故三角形BCD为锐角三角形．7、8、9、由共面向量定理知Ｃ正确. 1０、二、综合题１１、解:答案:31２、解:如图答案：13、解：①正确.②正确．③不正确．④不正确答案：③④1４、解：15、解:１6、解:高考解析：空间向量及其运算(理)“向量”知识逐渐成为命题热点,一般选择题,填空题重在考查空间向量的概念，解答题重在考查空间向量的运算及数量积等性质，利用向量知识解决立体几何问题.不过从课本中的例习题的形式来看，高考中对于原立体几何中关于求异面直线所成的角,异面直线间的距离,以及有关证明线线垂直,线面垂直，线线平行,线面平行等问题，一般地都可采用两种方法处理,一种用纯立体几何知识解决,这对思维能力要求较高,另一种就是用向量法解决，这样将几何问题代数化.同学们在平时训练中，对于同一题，最好采取两种方法解决，并且训练熟练．例１、（全国高考试题)如图,已知:平行六面体ABCＤ－A1B1C1Ｄ1的底面ＡBCD是菱形,且∠C1CＢ=∠C１CＤ＝∠BＣD=60°.（1）证明：Ｃ1C⊥BＤ；(2）当的值为多少时,能使A1Ｃ⊥平面C１BD？请给出证明.分析：本题考查直线与直线,直线与平面的关系，逻辑推理能力，怎样把空间垂直关系的判定转化为向量的知识是关键．解答：例2、(上海高考试题）若则下列等式不一定成立的是（) Ａ.Ｂ.C． D.分析：本题考查向量的加、减法及数乘、数量积等运算的性质,空间向量（即使是平面向量)的数量积不满足结合律．故选D.答案：Ｄ。
